12pq阶7度对称图的分类

Classification of Heptavalent Symmetry Graphs of Order 12pq

摘要: 若一个图的自同构群在其弧集上是传递的，则称该图为对称图。郭等人确定了所有$12p,24p$ 阶的7度对称图，凌等人确定了所有$36p$ 阶的7度对称图。本文将通过确定所有$12pq$ 阶的连通7度对称图来推广这些结果，其中$q>p$ 为素数。

Abstract: A graph is said to be symmetric if its automorphism group is transitive on its arcs. Guo et al. determined all heptavalent symmetric graphs of order $12p$ and $24p$ . Ling et al. determined all heptavalent symmetric graphs of order $36p$ . In this paper, we shall generalize these results by determining all connected heptavalent symmetric graphs of order $12pq$ , where $q>p$ are primes.

1. 引言

在本文中，所有图均假设为有限的、简单的、连通的和无向的。对于图Γ，分别用$V\Gamma$ ，$E\Gamma$ ，$A\Gamma$ 和$Aut\Gamma$ 表示其顶点集、边集、弧集和全自同构群。设$G$ 是图Γ的全自同构群$Aut\Gamma$ 的一个子群。若$G$ 在$V\Gamma$ 和$A\Gamma$ 上分别是传递的，则称Γ是G-点传递的和G-弧传递的。弧传递图也称为对称图。对于图Γ和正整数$s$ ，Γ的一条s-弧是一个顶点序列${\alpha }_0,{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s$ ，使得对于$1\le i\le s$ ，${\alpha }_{i-1}$ 与${\alpha }_i$ 相邻，并且对于$1\le i\le s-1$ ，${\alpha }_{i-1}\ne {\alpha }_{i+1}$ 。设$G$ 是$Aut\Gamma$ 的一个子群。若$G$ 在Γ的s-弧集上是传递的，则称Γ是$\left(G,s\right)$ -弧传递的；若Γ是$\left(G,s\right)$ -弧传递的但不是$\left(G,s+1\right)$ -弧传递的，则称其为$\left(G,s\right)$ -传递的。当$G=Aut\text{Γ}$ 时，我们称$\left(G,s\right)$ -弧传递图或$\left(G,s\right)$ -传递图为s-弧传递图或s-传递图。

对称图的分类长期以来一直是群论与图论交叉领域的核心主题，对于特定阶数和度数的此类图已取得显著进展：对于三度对称图，Conder等人[1]给出了所有顶点数少于768的三度对称图，为低度数传递图的分类提供了基础参考，而Feng等人[2]-[4]使用覆盖技术对阶数为$np$ 和$n{p}^2$ 的三度对称图进行了分类。对于五度对称图，已经进行了广泛研究。例如，[5]-[9]中给出了阶数为$8p,2pq,2p^2,4pq$ 和$8pq$ 的此类图的分类结果，这些工作揭示了素数幂因子对此类图结构性质的关键影响。关于七度对称图，尽管该领域的研究起步相对较晚，但近年来已取得显著进展。[10]-[12]中给出了阶为$12p,24p,36p$ 的7度对称图的分类。本文将进一步分类阶为$12pq$ 的7度对称图。

2. 预备结果

取正规商是研究点传递图的一种典型方法。设$Aut\Gamma$ 有一个点传递子群$G$ 。假设$N$ 是$G$ 的正规子群且$N$ 在$V\Gamma$ 上作⽤非传递。那么如下定义正规商图${\Gamma }_N$ ：它的顶点集是$N$ 在$V\Gamma$ 上的N-轨道，并且两个顶点$B,C\in V{\Gamma }_N$ 是相邻的当且仅当$B$ 中的某个顶点在Γ中与$C$ 中的某个顶点相邻。如果Γ的度等于${\Gamma }_N$ 的度，那么Γ被称为${\Gamma }_N$ 的正规覆盖。根据文献[13]，可得到下面的引理：

引理2.1 ([13])设Γ是一个素数$p>2$ 度的对称图，其中$G\le Aut\Gamma$ ，并且设$N⊴G$ 在$V\Gamma$ 上至少有三个轨道。则以下陈述成立。

1) $N$ 在$V\Gamma$ 上是半正则的，$G/N\le Aut{\Gamma }_N$ ，并且${\Gamma }_N$ 是一个$p$ 度的$G/N$ -弧传递图；

2) Γ是$\left(G,s\right)$ -传递的，当且仅当${\Gamma }_N$ 是$\left(G/N,s\right)$ -传递的，其中$1\le s\le 5$ 或$s=7$ 。

以下引理确定了连通7度对称图的点稳定子。

引理2.2 ([14] [15])设Γ是一个连通的7度$\left(G,s\right)$ -弧传递图，其中$G\le Aut\Gamma$ ，$s\ge 1$ 。那么$s\le 3$ 且以下情况之一成立，其中$\alpha \in V\Gamma$ 。

1) 如果$G_{\alpha }$ 是可解的，那么$\left|G_{\alpha }\right||252$ 。此外，二元组$\left(s,G_{\alpha }\right)$ 位于下表1中。

Table 1. Solvable situation

表1. 可解情况

$s$	1	2	3
$G_{\alpha }$	$Z_7,D_{14},F_{21},D_{28},Z_3\times F_{21}$	$F_{42},Z_2\times F_{42},Z_3\times F_{42}$	$Z_6\times F_{42}$

2) 如果$G_{\alpha }$ 是不可解的，那么$\left|G_{\alpha }\right||2^{24}\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7$ 。此外，三元组$\left(s,G_{\alpha },\left|G_{\alpha }\right|\right)$ 位于下表2中。

Table 2. Unsolvable situation

表2. 不可解情况

$s$	2	3
$G_{\alpha }$	$PSL\left(3,2\right),ASL\left(3,2\right),$ $ASL\left(3,2\right)\times Z_2,A_7,S_7$	$PSL\left(3,2\right)\times S_4,A_7\times A_6,S_7\times S_6,\left(A_7\times A_6\right):Z_2,$ $Z_2^6:\left(SL\left(2,2\right)\times SL\left(3,2\right)\right),\left[2^{20}\right]:\left(SL\left(2,2\right)\times SL\left(3,2\right)\right)$
$\left|G_{\alpha }\right|$	$2^3\cdot 3\cdot 7,2^6\cdot 3\cdot 7,2^7\cdot 3\cdot 7,$ $2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7,2^4\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$	$2^6\cdot 3^2\cdot 7,2^6\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7,2^8\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7,$ $2^7\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7,2^{10}\cdot 3^2\cdot 7,2^{24}\cdot 3^2\cdot 7$

为了构造7度对称图，需要引入陪集图。设$G$ 为一个有限群，且$H\le G$ 。假设$D$ 是$G$ 中$H$ 的某些双陪集的并集，使得$D^{-1}=D$ 。$G$ 关于$H$ 和$D$ 的陪集图$\text{Cos}\left(G,H,D\right)$ 定义为：顶点集为$\left[G:H\right]$ ，即$G$ 中$H$ 的右陪集的集合，边集为$\left\{\left\{Hg,Hdg\right\}|g\in G,d\in D\right\}$ 。图$\text{Cos}\left(G,H,D\right)$ 的度为$\left|D\right|/\left|H\right|$ ，并且当且仅当$D$ 生成群$G$ 时，该图是连通的。显然，对于每个$\alpha \in Aut\left(G\right)$ ，有$\text{Cos}\left(G,H,D\right)\cong \text{Cos}\left(G,H^{\alpha },D^{\alpha }\right)$ 。设$S$ 是$G$ 的一个生成子集，满足$1\notin S$ 且$S=S^{-1}$ 。显然，陪集图$\text{Cos}\left(G,1,S\right)$ 是一个连通的无向简单图，它被称为$G$ 关于$S$ 的凯莱图，记为$Cay\left(G,S\right)$ 。

引理2.3 ([6])设Γ为一个图，$G$ 为$Aut\Gamma$ 的一个顶点传递子群。那么Γ同构于一个陪集图$\text{Cos}\left(G,H,D\right)$ ，其中$H=G_{\alpha }$ 是$G$ 中$\alpha \in V\Gamma$ 的稳定子群，$D$ 由$G$ 中所有将$V$ 映射到其某个邻点的元素组成。此外，

1) 当且仅当$D$ 生成群$G$ 时，Γ是连通的；

2) 当且仅当$D$ 是一个单个的双陪集时，Γ是G-弧传递的。特别地，如果$g\in G$ 交换$V$ 及其某个邻点，那么$g^2\in H$ 且$D=HgH$ ；

3) Γ的度等于$\left|G\right|/\left|H\right|=\left|H:H\cap H^g\right|$ 。

根据文献[16]和[17]，可知$PSL\left(2,q\right)$ 和$PGL\left(2,q\right)$ 的极大子群的信息，其中$q$ 是一个奇素数。

引理2.4 ([16] [17])设$G=PSL\left(2,q\right)$ 或$PGL\left(2,q\right)$ ，且$M$ 是$G$ 的一个极大子群，其中$q\ge 5$ 是一个素数。

1) 如果$G=PSL\left(2,q\right)$ ，那么$M\in \left\{D_{q-1},D_{q+1},Z_q:Z_{\left(q-1\right)/2},A_4,S_4,A_5\right\}$ ；

2) 如果$G=PGL\left(2,q\right)$ ，那么$M\in \left\{D_{2\left(q+1\right)},D_{2\left(q-1\right)},Z_q:Z_{q-1},S_4,PSL\left(2,q\right)\right\}$ 。

3. 主要结果

定理1 设Γ是一个阶为$12pq$ 的7度对称图，其中$q>p$ 是素数。则以下陈述之一成立。

1) 自同构群$Aut\text{Γ}\cong PSL\left(2,q\right),PGL\left(2,q\right),PSL\left(2,q\right)\times Z_2$ 或$PGL\left(2,q\right)\times Z_2$ ，其中$q$ 只有两种可能，即$q=83$ 或167；

2) Γ在表3中。

Table 3. Heptavalent symmetric graphs of order $12pq$

表3. 阶为$12pq$ 的7度对称图

$\Gamma$	$Aut\Gamma$	$\left(p,q\right)$
${\mathcal{C}}_{660}$	$\left(Z_2\times M_{22}\right).Z_2$	$\left(5,11\right)$
${\mathcal{C}}_{1716}$	$S_{13}$	$\left(11,13\right)$
$ℒ{\mathcal{G}}_{72}^i$	$PSL\left(2,8\right)\times Z_2$	$\left(2,3\right),i=1,2,3$
$\mathcal{U}{\mathcal{G}}_{72}$	$PSU\left(3,3\right)⋊Z_2$	$\left(2,3\right)$
$\mathcal{S}{\mathcal{G}}_{120}$	$S_7$	$\left(2,5\right)$
$ℒ{\mathcal{G}}_{312}^i$	$PGL\left(2,13\right)\times Z_2$	$\left(2,13\right),1\le i\le 4$
$ℒ{\mathcal{G}}_{312}^5$	$\left(PSL\left(2,13\right)\times Z_2\right)⋊Z_2$	$\left(2,13\right)$
$ℒ{\mathcal{G}}_{312}^6$	$PSL\left(2,13\right)⋊D_8$	$\left(2,13\right)$
${\mathcal{C}}_{25764}^1$	$PSL\left(2,113\right)$	$\left(19,113\right)$

接下来，将通过一系列引理来证明定理1。

引理3.1 设Γ是阶为$6pq$ 的7度对称图，其中$q>p$ 是素数。那么Γ同构于表4中的某个图。

Table 4. Heptavalent symmetric graphs of order $6pq$

表4. 阶为$6pq$ 的7度对称图

$\text{Γ}$	$Aut\text{Γ}$	$\left(p,q\right)$
${\mathcal{C}}_{36}$	$PSL\left(2,8\right)$	$\left(2,3\right)$
$\mathcal{S}{\mathcal{G}}_{156}^i$	$PSL\left(2,13\right)\times Z_2$	$\left(2,13\right),i=1,3,4,5$
$\mathcal{S}{\mathcal{G}}_{156}^2$	$PGL\left(2,13\right)\times Z_2$	$\left(2,13\right)$
$\mathcal{C}{\mathcal{G}}_{156}^1$	$PGL\left(2,13\right)$	$\left(2,13\right),1\le i\le 4$
$C{D}_{6pq,k}$	$D_{6pq}:Z_7$	$\left(7|p-1,7|q-1\right)$
${\mathcal{C}}_{90}$	$Z_3.S_7$	$\left(3,5\right)$
${\mathcal{C}}_{330}$	$M_{22}.Z_2$	$\left(5,11\right)$
${\mathcal{C}}_{870}^1$	$PGL\left(2,29\right)$	$\left(5,29\right)$
${\mathcal{C}}_{870}^i$	$PSL\left(2,29\right)$	$\left(5,29\right),2\le i\le 4$
${\mathcal{C}}_{2838}^1$	$PGL\left(2,43\right)$	$\left(11,43\right)$
${\mathcal{C}}_{2838}^i$	$PSL\left(2,43\right)$	$\left(11,43\right),2\le i\le 6$
${\mathcal{C}}_{20418}^1$	$PGL\left(2,83\right)$	$\left(41,83\right)$
${\mathcal{C}}_{20418}^i$	$PSL\left(2,83\right)$	$\left(41,83\right),2\le i\le 11$

证明：设Γ是阶为$6pq$ 的7度对称图，其中$q>p$ 是素数。设$A=Aut\text{Γ}$ ，取$\alpha \in V\Gamma$ 。根据引理2.2，$\left|A_{\alpha }\right||2^{24}\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7$ 。因此$\left|A_{\alpha }\right||2^{25}\cdot 3^5\cdot 5^2\cdot 7\cdot p\cdot q$ 。如果$p=2$ ，那么Γ的阶为$12q$ ，根据文献[18]，有$q\in \left\{5,13\right\}$ 且Γ同构于${\mathcal{C}}_{36},\mathcal{S}{\mathcal{G}}_{156}^i,1\le i\le 5$ 或$\mathcal{C}{\mathcal{G}}_{156}^i,1\le i\le 4$ 。如果$p=3$ ，那么Γ的阶为$18q$ ，根据文献[19]，有$q=5$ 且Γ同构于${\mathcal{C}}_{90}$ 。因此，接下来考虑$q>p\ge 5$ 的情况。

如果$A$ 是可解的。那么根据文献[20]，有$A\cong D_{6pq}:Z_7$ 且Γ同构于$C{D}_{6pq,k}$ ，其中$7\left|p-1,7\right|q-1$ 。

如果$A$ 是不可解的。根据文献[20]，有$A\cong M_{22},\left|V\Gamma \right|=6\cdot 5\cdot 11$ 或$A\cong PSL\left(2,r\right)$ ，$PGL\left(2,r\right)$ 。对于后一种情况，$A$ 有一个正规子群$N$ 同构于$PSL\left(2,r\right)$ 。如果$N$ 在$V\Gamma$ 上至少有三个轨道。那么根据引理2.1，$N_{\alpha }=1$ ，所以$\left|N\right||6pq$ ，这与$N\cong PSL\left(2,r\right)$ 矛盾。因此，$N_{\alpha }\ne 1$ ，$N$ 在$V\Gamma$ 上至多有两个轨道，并且$3pq$ 整除$\left|N\right|$ 。由于Γ是连通的，$N⊴A$ 且$N_{\alpha }\ne 1$ ，所以$1\ne N_{\alpha }^{\Gamma \left(\alpha \right)}⊴A_{\alpha }^{\Gamma \left(\alpha \right)}$ ，由此可知7整除$\left|N_{\alpha }\right|$ ，因此$21pq$ 整除$\left|N\right|$ 。由于$\left|A:N\right|\le 2$ ，所以$\left|A_{\alpha }:N_{\alpha }\right|\le 2$ 。如果$A_{\alpha }$ 是不可解的，那么因为$\left|A_{\alpha }:N_{\alpha }\right|\le 2$ ，所以$N_{\alpha }$ 也是不可解的。根据引理2.4，$N_{\alpha }=A_5$ ，这与7整除$\left|N_{\alpha }\right|$ 矛盾。因此$A_{\alpha }$ 是可解的，并且根据引理2.2，$A_{\alpha }$ 整除252。注意$N_{\alpha }$ 是$A_{\alpha }$ 的子群，所以$\left|N_{\alpha }\right||252$ 。这意味着$N$ 的阶整除$1512pq$ 。

断言$r=q$ 。由于$\left|V\Gamma \right|=6pq=\left|A\right|/\left|A_{\alpha }\right|$ 且$A\cong PSL\left(2,r\right)$ 或$PGL\left(2,r\right)$ ，由此可得

$6pq=r\left(r-1\right)\left(r+1\right)/2\left|A_{\alpha }\right|$ 或$r\left(r-1\right)\left(r+1\right)/\left|A_{\alpha }\right|$ 。由于$r\equiv \pm 1\left(\mathrm{mod}7\right)$ 是一个素数且$\left|A_{\alpha }\right||252$ ，所以有$r=p$ 或$q$ 。假设$r=p$ 。那么$6q=\left(p-1\right)\left(p+1\right)/2\left|A_{\alpha }\right|$ 或$\left(p-1\right)\left(p+1\right)/\left|A_{\alpha }\right|$ ，这意味着$p+1=q$ ，这是一个矛盾，

因为$p+1$ 不是一个素数。因此$r=q$ 且$\left|N\right|=\frac{q\left(q-1\right)\left(q+1\right)}{2}$ 。注意到$N$ 整除$1512pq$ 且$\left(\frac{p-1}{2},\frac{p+1}{2}\right)=1$ ，如果$p|\frac{q-1}{2}$ 则$q+1|1512$ 。由此可得$q=7$ ，11，13，17，23，41，53，71，83，107，167，251，503或1511。如果$p|\frac{q+1}{2}$ ，那么$q-1|1512$ ，由此可得$q=7$ ，13，19，29，37，43，73，109，127，379或757。再由

$21pq|\left|N\right|$ 和$\left|N\right||2^{25}\cdot 3^5\cdot 5^2\cdot 7\cdot p\cdot q$ ，其中$q>p\ge 5$ ，可以得到$q=29$ ，41，43，71，83，167，251，379，503，757或1511。因此，$N$ 是表5中的群之一。

Table 5. Some possible simple groups $N$

表5. 一些可能的单群$N$

$N$	Order	$N$	Order
$PSL\left(2,29\right)$	$2^2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 29$	$PSL\left(2,251\right)$	$2^2\cdot 3^2\cdot 5^3\cdot 7\cdot 251$
$PSL\left(2,41\right)$	$2^3\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 41$	$PSL\left(2,379\right)$	$2^2\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7\cdot 19\cdot 379$
$PSL\left(2,43\right)$	$2^2\cdot 3\cdot 7\cdot 11\cdot 43$	$PSL\left(2,503\right)$	$2^3\cdot 3^2\cdot 7\cdot 251\cdot 503$
$PSL\left(2,71\right)$	$2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 71$	$PSL\left(2,757\right)$	$2^2\cdot 3^3\cdot 7\cdot 379\cdot 757$
$PSL\left(2,83\right)$	$2^2\cdot 3\cdot 7\cdot 41\cdot 83$	$PSL\left(2,1511\right)$	$2^3\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7\cdot 151\cdot 1511$
$PSL\left(2,167\right)$	$2^3\cdot 3\cdot 7\cdot 83\cdot 167$

假设$q=29$ 。那么$N=PSL\left(2,29\right)$ 且$\left(p,q\right)=\left(5,29\right)$ 。如果$N$ 在$V\Gamma$ 上有两个轨道，那么$A=PGL\left(2,29\right)$ 。因此，根据引理2.2，$\left|A_{\alpha }\right|=28$ 且$A_{\alpha }=F_{14}\times Z_2$ 。通过Magma [21]，存在一个图，记为${\mathcal{C}}_{870}^1$ 。如果$N$ 在$V\Gamma$ 上是传递的，且根据引理2.2，$N_{\alpha }=Z_7$ 。因此，根据引理2.3，$\Gamma \cong \text{Cos}\left(N,N_{\alpha },N_{\alpha }g{N}_{\alpha }\right)$ ，其中$g$ 是$N$ 中的一个2-元素，使得$g^2\in N_{\alpha }$ 且$\langle N_{\alpha },g\rangle =N$ 。通过Magma [21]，存在三个图，记为${\mathcal{C}}_{870}^i$ ，其中$2\le i\le 4$ ，$i$ 是一个整数。类似地，假设$q=83$ 。通过Magma [21]，$\Gamma \cong {\mathcal{C}}_{20418}^i$ ，其中$1\le i\le 11$ 。

假设$q=41$ 。那么$N=PSL\left(2,41\right)$ 且$\left(p,q\right)=\left(5,41\right)$ 。注意到$\left|N:N_{\alpha }\right|=3pq$ 或$6pq$ 。根据引理2.4，$N$ 没有指数为$3pq$ 或$6pq$ 的子群，这是一个矛盾。类似地，$q\ne 71$ ，251，379，1511。

假设$q=43$ 。那么$N=PSL\left(2,43\right)$ 且$\left(p,q\right)=\left(11,43\right)$ 。注意到$\left|N:N_{\alpha }\right|=3pq$ 或$6pq$ 。根据引理2.4，$N$ 没有指数为$3pq$ 的子群，因此$N$ 在$V\Gamma$ 上是传递的且$\left|N_{\alpha }\right|=14$ 。并且根据引理2.2，有$N_{\alpha }=F_{14}$ 。通过Magma [21]，存在六个图，记为${\mathcal{C}}_{2838}^i$ ，其中$i=1\le i\le 6$ 。

假设$q=167$ 。那么$N=PSL\left(2,167\right)$ 且$\left(p,q\right)=\left(83,167\right)$ 。如果$N$ 在$V\Gamma$ 上有两个轨道，那么根据引理2.2，$A=PGL\left(2,167\right)$ 且$\left|A_{\alpha }\right|=56$ ，这产生矛盾。因此，$N$ 在$V\Gamma$ 上是传递的，并且根据引理2.2，$N_{\alpha }=F_{14}\times Z_2$ 。于是根据引理2.3，$\Gamma \cong \text{Cos}\left(N,N_{\alpha },N_{\alpha }g{N}_{\alpha }\right)$ ，其中$g$ 是$N$ 中的一个2-元素，使得$g^2\in N_{\alpha }$ 且$\langle N_{\alpha },g\rangle =N$ 。通过Magma [21]，存在这样的$g\in A$ 。因此$\Gamma \cong \text{Cos}\left(N,N_{\alpha },N_{\alpha }g{N}_{\alpha }\right)$ ，$A\cong PSL\left(2,167\right)$ 或$PGL\left(2,167\right)$ 。

假设$q=503$ 。那么$N=PSL\left(2,503\right)$ 且$\left(p,q\right)=\left(251,503\right)$ 。如果$N$ 在$V\Gamma$ 上有两个轨道，那么 $A=PGL\left(2,503\right)$ ，因此根据引理2.2，$\left|A_{\alpha }\right|=168$ 且$A_{\alpha }=PSL\left(3,2\right)$ 。这是不可能的，因为$PGL\left(2,503\right)$ 没有与$PSL\left(3,2\right)$ 同构的子群。如果$N$ 在$V\Gamma$ 上是传递的，那么$\left|N_{\alpha }\right|=84$ 。根据引理2.2，$N_{\alpha }=F_{42}\times Z_2$ 。这是不可能的，因为$PSL\left(2,503\right)$ 没有与$F_{42}\times Z_2$ 同构的子群，产生矛盾。类似地，$q\ne 757$ 。

因此，我们完成了引理3.1的证明。

现在，设Γ为一个阶为$12pq$ 的7度对称图，其中$q>p$ 且$p,q$ 为素数。设$A=Aut\Gamma$ 。取$\alpha \in V\Gamma$ 。根据引理2.2，$\left|A_{\alpha }\right||2^{24}\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7$ ，因此$\left|A\right||2^{26}\cdot 3^5\cdot 5^2\cdot 7\cdot p\cdot q$ 。

根据文献[22]定理1.1，可知$4n$ 阶7度对称图满足下列情形所述：1) 三元组$\left(\Gamma ,n,Aut\Gamma \right)$ 位于文献[22]中表1；2) $A\cong PSL\left(2,r\right)$ ，$PGL\left(2,r\right)$ ，$PSL\left(2,r\right)\times Z_2$ ，$PGL\left(2,r\right)\times Z_2$ ，其中$r\equiv \pm 1\left(\mathrm{mod}7\right)$ ，$n$ 是一个无平方因子的奇数。特别地，如果$\left|V\Gamma \right|>12540$ ，那么图Γ满足情形(2)。对于前一种情形，我们有Γ同构于${\mathcal{C}}_{660}$ ，${\mathcal{C}}_{1716}$ 。对于后一种情形，我们断言$r=q$ (和引理3.1中的情形类似，同理可证)。

接下来引理处理$A\cong PSL\left(2,q\right)\times Z_2$ 或$PGL\left(2,q\right)\times Z_2$ 的情况。

引理3.2 假设$A\cong PSL\left(2,q\right)\times Z_2$ 或$PGL\left(2,q\right)\times Z_2$ 。那么$A\cong PSL\left(2,83\right)\times Z_2$ ，$PGL\left(2,83\right)\times Z_2$ ， $PSL\left(2,167\right)\times Z_2$ 或$PGL\left(2,167\right)\times Z_2$ 。

证明：如果$A\cong PSL\left(2,q\right)\times Z_2$ 或$PGL\left(2,q\right)\times Z_2$ ，那么$A$ 有一个正规子群$N\cong Z_2$ 。则${\Gamma }_N$ 是一个阶为$6pq$ 的7度对称图，并且$A/N\le {\Gamma }_N$ 。根据引理3.1和$\left|V\text{Γ}\right|>12540$ ，我们有$q\in \left\{83,167\right\}$ 。

假设$q=83$ 或167。图Γ的自同构群同构于以下群之一：$Aut\text{Γ}\cong PSL\left(2,83\right)\times Z_2$ ，$PGL\left(2,83\right)\times Z_2$ ，$PSL\left(2,167\right)\times Z_2$ 或$PGL\left(2,167\right)\times Z_2$ 。

因此，我们完成了引理3.2的证明。

以下引理处理$A\cong PSL\left(2,q\right)$ 或$PGL\left(2,q\right)$ 的情况。

引理3.3 假设$A\cong PSL\left(2,q\right)$ 或$PGL\left(2,q\right)$ 。那么Γ同构于图${\mathcal{C}}_{25764}^1$ ，或$Aut\Gamma \cong PSL\left(2,83\right)$ ，$PGL\left(2,83\right)$ ，$PSL\left(2,167\right)$ 或$PGL\left(2,167\right)$ 。

证明：如果$A\cong PSL\left(2,q\right)$ 或$PGL\left(2,q\right)$ ，那么$A$ 有一个正规子群$N\cong PSL\left(2,q\right)$ 。假设$N$ 在$V\Gamma$ 上有超过2个轨道。那么根据引理2.1，$N_{\alpha }=1$ ，从而$\left|N\right||12pq$ 。因为是不可解的，所以$\left|N\right|=12p$ ，$12q$ ，$4pq$ 或$12pq$ 。注意到$q>p\ge 5$ ，根据文献[23]，对于以$\left|N\right|=12p$ ，$12q$ ，和$4pq$ 是不可能的。所以$N$ 在$V\Gamma$ 上至多有两个轨道且$N_{\alpha }\ne 1$ ，由此可得$6pq|\left|N\right|$ 。因为是Γ连通的，$N⊴A$ ，且$N_{\alpha }\ne 1$ ，所以$1\ne N_{\alpha }^{\text{Γ}\left(\alpha \right)}⊴A_{\alpha }^{\text{Γ}\left(\alpha \right)}$ ，由此可知7整除$\left|N_{\alpha }\right|$ ，因此有$42pq|\left|N\right|$ 。并且因为$\left|N\right||\left|A\right|$ ，所以$\left|N\right||2^{26}\cdot 3^5\cdot 5^2\cdot 7\cdot p\cdot q$ 。由于$\left|A:N\right|\le 2$ ，我们有$\left|A_{\alpha }:N_{\alpha }\right|\le 2$ 。如果$A_{\alpha }$ 是不可解的，那么因为$\left|A_{\alpha }:N_{\alpha }\right|\le 2$ ，所以$N_{\alpha }$ 也是不可解的。根据引理2.4，$N_{\alpha }=A_5$ ，这与7整除$\left|N_{\alpha }\right|$ 矛盾。因此$A_{\alpha }$ 是可解的，并且根据引理2.2，$A_{\alpha }$ 的阶整除252。注意$N_{\alpha }$ 是$A_{\alpha }$ 的子群，所以$\left|N_{\alpha }\right||252$ 。这意味着$N$ 的阶整除$3024pq$ 。

注意$\left|N\right|=\frac{q\left(q-1\right)\left(q+1\right)}{2}$ ，$\left(\frac{p-1}{2},\frac{p+1}{2}\right)=1$ 且$\left|N\right||3024pq$ 。如果$p|\frac{q-1}{2}$ ，则$q+1|3024$ ，由此可得$q=5$ ，7，11，13，17，23，41，47，53，71，83，107，167，251，431，503，1511或3023。如果$p|\frac{q+1}{2}$ ，则

$q-1|3024$ ，由此可得$q=5$ ，7，13，17，19，29，37，43，73，109，113，127，337，379，433，757或1009。再由$42pq|\left|N\right|$ 且$\left|N\right||2^{26}\cdot 3^5\cdot 5^2\cdot 7\cdot p\cdot q$ ，其中$q>p\ge 5$ ，可以得到$q=29$ ，41，43，71，83，113，167，251，379，433，503，757，1009，1511或3023。因此，$N$ 是表6中的群之一。

Table 6. Some possible simple group

表6. 一些可能的单群

$N$	Order	$N$	Order
$PSL\left(2,29\right)$	$2^2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 29$	$PSL\left(2,379\right)$	$2^2\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7\cdot 19\cdot 379$
$PSL\left(2,41\right)$	$2^3\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 41$	$PSL\left(2,433\right)$	$2^4\cdot 3^3\cdot 7\cdot 31\cdot 433$
$PSL\left(2,43\right)$	$2^2\cdot 3\cdot 7\cdot 11\cdot 43$	$PSL\left(2,503\right)$	$2^3\cdot 3^2\cdot 7\cdot 251\cdot 503$
$PSL\left(2,71\right)$	$2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 71$	$PSL\left(2,757\right)$	$2^2\cdot 3^3\cdot 7\cdot 379\cdot 757$
$PSL\left(2,83\right)$	$2^2\cdot 3\cdot 7\cdot 41\cdot 83$	$PSL\left(2,1009\right)$	$2^4\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 101\cdot 1009$
$PSL\left(2,113\right)$	$2^4\cdot 3\cdot 7\cdot 19\cdot 113$	$PSL\left(2,1511\right)$	$2^3\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7\cdot 151\cdot 1511$
$PSL\left(2,167\right)$	$2^3\cdot 3\cdot 7\cdot 83\cdot 167$	$PSL\left(2,3023\right)$	$2^4\cdot 3^3\cdot 7\cdot 1511\cdot 3023$
$PSL\left(2,251\right)$	$2^2\cdot 3^2\cdot 5^3\cdot 7\cdot 251$

注意$\left|V\Gamma \right|>12540$ ，我们有$q\in \left\{83,113,167,251,379,433,503,757,1009,1511,3023\right\}$ 。

假设$q=251$ ，那么$N=PSL\left(2,251\right)$ 且$\left(p,q\right)=\left(2,251\right)$ 。注意$\left|N:N_{\alpha }\right|=6pq$ 或$12pq$ 。根据根据引理2.4，$N$ 没有指数为$6pq$ 或$12pq$ 的子群，这产生矛盾。类似地，$q\ne 379$ ，433，1009或1511。

假设$q=113$ 。那么$N=PSL\left(2,113\right)$ 且$\left(p,q\right)=\left(19,113\right)$ 。如果$N$ 在$V\Gamma$ 上有两个轨道，那么根据引理2.2，$A=PGL\left(2,113\right)$ 且$\left|A_{\alpha }\right|=56$ ，这产生矛盾。我们可知$N$ 在$V\Gamma$ 上是传递的且$\left|N_{\alpha }\right|=28$ 。根据Magma [21]，存在一个图，记为${\mathcal{C}}_{25764}^1$ 。

假设$q=503$ 。那么$N=PSL\left(2,503\right)$ 且$\left(p,q\right)=\left(251,503\right)$ 。若$N$ 在$V\Gamma$ 上有两个轨道，则 $A=PGL\left(2,503\right)$ ，因此$\left|A_{\alpha }\right|=84$ 且$A_{\alpha }=F_{42}\times Z_2$ ，根据引理2.2。这是不可能的，因为$PGL\left(2,503\right)$ 没有与$A_{\alpha }=F_{42}\times Z_2$ 同构的子群。若$N$ 在$V\Gamma$ 上是传递的，则$\left|N_{\alpha }\right|=42$ 。根据引理2.2，$N_{\alpha }=F_{42}$ 。这是不可能的，因为$PSL\left(2,503\right)$ 没有与$F_{42}$ 同构的子群，矛盾。类似地，$q\ne 757$ 。

假设$q=3023$ 。那么$N=PSL\left(2,3023\right)$ 且$\left(p,q\right)=\left(1511,3023\right)$ 。若$N$ 在$V\Gamma$ 上有两个轨道，则$A=PGL\left(2,3023\right)$ 且$\left|A_{\alpha }\right|=2^3\cdot 3^2\cdot 7$ ，根据引理2.2，矛盾。若$N$ 在$V\Gamma$ 上是传递的，则$\left|N_{\alpha }\right|=252$ 。根据引理2.2，$N_{\alpha }=F_{42}\times Z_6$ 。这是不可能的，因为$PSL\left(2,3023\right)$ 没有与$F_{42}\times Z_6$ 同构的子群，矛盾。

假设$q=83$ 或167。那么$Aut\text{Γ}\cong PSL\left(2,83\right),PGL\left(2,83\right),PSL\left(2,167\right)$ 或$PGL\left(2,167\right)$ 。

因此，完成了引理3.3的证明。

通过结合引理3.1、3.2和3.3，完成了定理1的证明。

NOTES

^*通讯作者。