关于推广型矩阵秩等式的注记

Notes for the Generalization of the Matrix’s Rank Equalities

摘要:

在本文中，我们运用分块矩阵及其初等变换将一类矩阵秩的等式进行再推广。

Abstract: In this paper, by using the block matrixes and their elementary transformation, we generalize the rank equalities of a class of matrix.

1. 引言

分块矩阵是线性代数中的重要内容，在线性代数中具有重要的地位。分块矩阵的初等变换是处理矩阵问题的一种重要方法，在运算中，把这些小矩阵当作数一样处理，从而把一个高阶矩阵分成若干个低阶矩阵来运算，再运用其初等变换做进一步的处理，常常能达到迅速解决问题的目的。分块矩阵的初等变换在线性代数中有广泛的应用，尤其是在计算矩阵的秩时，能提高解题的速度，减少一些不必要的计算。以下两个结论见于文献[1] ：

结论1：设为矩阵且，则秩+秩。

结论2：设为矩阵且，则秩秩。

文献[2] 已经将这两个结论作了推广，即

结论3：设为矩阵且，则秩+秩,其中是任意自然数。

结论4：设为矩阵且，则秩+秩，其中是任意自然数。

问题的提出：当对条件进行进一步的推广时，是否也有类似的结论？

问题一：当时，有秩+秩这个结论，若把推广到或会不会也有类似的结论呢？如果有，中的应该满足什么条件？

问题二：前面已经证明了条件在实数域上结论成立，那么，如果把条件推广至复数域会不会也成立呢？

本文的主要内容是利用分块矩阵的初等变换将一类矩阵秩的等式进行再推广。我们首先列举出相关的性质和定义，参见文献[1] -[7] ：

定义1 矩阵与成为等价的，如果可以由经过一系列初等变换得到。

定义2 相似矩阵：设，为阶矩阵，如果有阶可逆矩阵存在，使得成立，则称矩阵与相似，记为。

定义3 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

设是一个分块单位阵：，其中是一个阶单位阵。

定义4 分块单位阵经过一次初等变换所得到的分块阵称为分块初等阵。

分块初等阵有三种，它们分别对应着三种初等变换：

1) 对换的第两行(列)所得的分块初等阵记为；

2) 用可逆阵左(右)乘的第行(列)所得的分块初等阵记为；

3) 用矩阵左乘的第行再加到第行所得到的分块初等阵记为，它同时也表示用右乘的第列再加到列所得的分块初等阵。

设是由行列子矩阵所构成的分块矩阵：，其中是一个矩阵。

定义5 初等变换：分块矩阵的行变换和列变换称为分块矩阵的初等变换。

分块矩阵的下列三种变换称为初等行(列)变换：

1) 对进行行(列)对换；(用表示对换两行(列))；

2) 用一个可逆阵左(右)乘的某一行(列)的所有子矩阵；

3) 分块矩阵的某一行(列)的所有子矩阵左(右)乘一个矩阵再加到另一行(列)的对应子矩阵上。

性质1 对分块矩阵进行一次初等矩阵行(列)变换，相当于对原矩阵进行一系列初等行(列)变换。

性质2 分块初等变换不改变分块阵的秩，如果分块矩阵经过有限次分块矩阵的初等变换化为，则的秩等于的秩。

性质3 每一类分块矩阵的初等变换都是有限次普通初等变换的连续叠加。

性质4 设是一个分块矩阵，对施行一次初等行变换相当于在的左边乘以相应的分块初等阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的分块初等阵。

下面将在前人的基础上对这类矩阵秩的等式进行再推广。

2. 主要结果及其证明

为得出即将证明的定理，我们首先给出相关引理及其证明过程：

引理 1设为数域上的一个阶方阵，且满足。则与对角矩阵相似，其中为任意给定的实数。

证：由，所以，设，由性质2知秩= 秩。因此在中存在阶子式，即矩阵可逆，设的前列所组成的子块在中，后列所组成的子块在中，即，，

由于，知，所以

(1)

由于，知。所以

(2)

由(1)减去(2)得，

注意到把看成分块矩阵，将的第二列右乘以一个零矩阵0就等于，利用分块性质4，知

即

所以与对角矩阵相似。

定理1 设为矩阵，且，那么秩+秩，其中为任意给定的实数，均为任意自然数。

证：由引理1知

。

所以，

。

将进行与同样的分类，

。

于是

秩+ 秩= 秩+ 秩=。

引理2设为数域上的一个阶方阵，且满足，此时，那么与对角矩

阵相似。

证：由，此时，则，即

，

所以。

设，由性质2知

秩= 秩=。

因此在中存在阶子式，即矩阵可逆，设的前列所组成的子块在中，后列所组成的子块在中，即，

由于，知。

所以

(3)

由于，知，

所以

(4)

由(3)减去(4)得

两边同乘以得

由乘以(4)再加上(3)得

两边同乘以得

注意到把看成分块矩阵，将的第二列右乘就等于，利用分块性质4，知

即

.

所以与对角矩阵相似。

定理2 设为矩阵，且，此时，那么秩+ 秩=，其中为任意给定的实数，均为任意自然数。

证：由引理2知

将进行与同样的分类得，

则

.

.

因此

.

.

于是秩+ 秩= 秩+ 秩=。

引理3 设为数域上的一个阶方阵，且满足，那么与对角矩阵相似。

证：由，有。

设，由性质2知秩= 秩。

因此在中存在阶子式，即矩阵可逆。设的前列所组成的子块在子块中，后列所组成的子块在中，即。

由，知，

所以

(5)

同理

(6)

由(5)式加(6)式再同乘以得

由(5)式减(6)式再同乘以得

因此

从而

这意味着

由此可知与相似。

定理3 设为矩阵，且，那么秩+ 秩，其中均为任意自然数。

证：由引理3 知。

将进行与同样的分类，

.

则

.

.

因此

.

.

于是

秩+ 秩= 秩+ 秩。

综合上述三种讨论可知，当对条件进行适当的推广时，能得到类似的结论。

基金项目

国家自然科学基金项目(11226167，11361020)；海南省自然科学基金项目(111005)。