一类(p, q)-Monge-Ampère方程解的存在性

The Existence of Solutions for a Class of (p, q)-Monge-Ampere Equations

摘要: 运用一个新的修正的Gustafson-Schmitt型不动点定理，研究一类(p, q)-Monge-Ampère方程在Dirichlet边界条件下解的存在性。当非线性项仅在u = 0处满足适当的增长条件时，得到了径向解的存在性结果。

Abstract: By applying a new and modified Gustafson-Schmitt type the fixed point theorem, the existence of solutions for a class of (p, q)-Monge-Ampère equations under Dirichlet boundary conditions is studied. When the nonlinear term satisfies appropriate growth conditions at u = 0, the existence results of radial solutions are obtained.

1. 引言

近年来，带$\left(p,q\right)$ -Laplace算子的模型在物理学学科中有着广泛的应用。例如，在非牛顿流体力学研究中，$\left(p,q\right)$ -Laplace算子能够更加精细地描述流体变化的复杂情况及特征。同时，在弹性理论中，它也可用于分析具有非标准弹性性质材料的力学性质，这使得带$\left(p,q\right)$ -Laplace问题的研究受到了广泛关注[1]-[6]。

2020年，Das [3]等人基于上下解方法，研究了一类$\left(p,q\right)$ -Laplace问题

$\{\begin{array}{l}-{\Delta }_{p}u-{\Delta }_{q}u=\lambda f\left(u\right),x\in \Omega ,\\ u=0,x\in \partial \Omega \end{array}$ (1.1)

在广义有界域上径向解的存在性。其中$\Omega \subset {ℝ}^n$ ，$p>q\ge 2$ ，$\lambda \in \left(0,\infty \right)$ ，$f:\left[0,\infty \right)\to ℝ$ 上连续，且在0处$f\left(0\right)<0.2021$ 年，Sim [4]等运用Krasnosel’skii不动点定理也对这一问题进行了深入分析，进一步丰富了该类拟线性问题的研究工具。

同时，Monge-Ampère型方程在几何分析、最优传输及气象学、天体物理学等物理模型中具有重要应用。因此，该类问题径向解的存在性得到了诸多学者的关注[7]-[11]。例如，2023年，Feng [10]等人通过特征值理论与锥上的不动点定理的结合，获得了奇异p-Monge-Ampère方程径向解的存在性、参数依赖性结果。2024年，Wang[11]等人通过建立新的最大值原理并系统的运用移动平面法，获得了该方程解的对称性、单调性和渐近行为等。但是，就我们所知，关于$\left(p,q\right)$ -Monge-Ampère问题解的存在性的研究尚未见诸文献。当$p>1$ 时，p-Monge-Ampère算子被定义为$det\left(D\left({\left|Du\right|}^{p-2}Du\right)\right)=\left(p-1\right){\left|Du\right|}^{n\left(p-2\right)}det{D}^{2}u$ (D是Jacobian算子)；当$p=2$ 时，它就退化为常见的Monge-Ampère算子[16]。值得注意的是，在经典的Laplace问题正解以及$\left(p,q\right)$ -Monge-Ampère方程径向负解的绝大部分研究中，为获得正解的存在性，需要非线性项f既满足在0处有增长性条件，也满足在$\infty$ 处有增长性条件，并且也没有获得正解的有界性结果，但本文非线性项f仅在0处满足非线性增长条件即可。

本文试图研究一类$\left(p,q\right)$ -Monge-Ampère方程Dirichlet问题

$\{\begin{array}{l}\det \left(D\left({\left|Du\right|}^{p-2}Du\right)\right)+\det \left(D\left({\left|Du\right|}^{q-2}Du\right)\right)=\lambda f\left(-u\right),x\in B\\ u=0,x\in \partial B\end{array}$ (1.2)

径向负解的存在性。其中$B=\left\{x\in {ℝ}^n:\left|x\right|<1,n\ge 1\right\}$ 是${ℝ}^n$ 中的单位球，$D^{2}u={\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_i\partial x_j}\right)}_{1\le i,j\le n}$ 是u的Hessian矩阵，$p>q>2$ ，$\lambda >0$ ，f在0处满足某种增长性条件如下：

$\left(H_1\right)f:\left[0,\infty \right)\to \left[0,\infty \right)$ 连续且$f\left(s\right)>0$ ，$s>0$ 。

$\left(H_2\right)f_0:\underset{v\to 0^{+}}{lim}\frac{f\left(v\right)}{v^{n\left(p-1\right)}}=0$ ，$r\in \left(0,1\right)$ 。

2. 预备知识

令$r=\left|x\right|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}$ 。设$u\left(\left|x\right|\right)=u\left(r\right)$ ，则问题(1.2)转化为如下问题

$\{\begin{array}{l}{r}^{1-n}{\left(\varphi \left(u^{\prime }\right)\right)}^{\prime }=\lambda nf\left(-u\right),0<r<1\\ u^{\prime }\left(0\right)=0,u\left(1\right)=0\end{array}$ (2.1)

其中

$\varphi \left(t\right)={\left|t\right|}^{n\left(p-2\right)}{t}^n+{\left|t\right|}^{n\left(q-2\right)}{t}^n$ .

令$v=-u$ ，则(2.1)等价于

$\{\begin{array}{l}{r}^{1-n}{\left(\varphi \left(-v^{\prime }\right)\right)}^{\prime }=\lambda nf\left(v\right),0<r<1\\ v^{\prime }\left(0\right)=0,v\left(1\right)=0\end{array}$ (2.2)

其中

$\varphi \left(t\right)={\left|t\right|}^{n\left(p-2\right)}{t}^n+{\left|t\right|}^{n\left(q-2\right)}{t}^n$

是递增的同胚函数。

令$X:=C\left[0,1\right]$ ，对于任意的$v\in X$ ，定义范数$\Vert v\Vert =\underset{r\in \left[0,1\right]}{\sup }\left|v\left(r\right)\right|$ ，则X在此范数下构成一个Banach空间。

定义

$K:=\left\{v\in X:v\left(r\right)\ge 0,r\in \left(0,1\right),v^{\prime }\left(0\right)=v\left(1\right)=0\right\}$ .

则$K\subset X$ 是一个锥。对$v\in K$ ，定义$T:K\to X$ 为

$\left(Tv\right)\left(r\right)={\displaystyle {\int }_r^1{\varphi }^{-1}\left({\displaystyle {\int }_0^{\tau }{s}^{n-1}\lambda nf\left(v\left(s\right)\right)\text{d}s}\right)\text{d}\tau }$ , $r\in \left(0,1\right)$ .

容易验证(2.2)等价于不动点方程$Tv=v$ 。因此，如果$v\in K$ 是T的不动点，那么u是(1.2)的一个径向解。

本文所用的工具如下：

定理2.1 ([12]) 令X是Banach空间，$K\subset X$ 是一个锥。对于实数$0<z<Z$ ，令

$D=\left\{v\in K:z\le \Vert v\Vert \le Z\right\}$ .

设$A:D\to K$ 为全连续算子，若A满足：

(a) $v\in D$ , $\mu >1$ 和$v=\mu Av$ ，则$\Vert v\Vert \ne Z$ ；

(b) $v\in D$ , $\mu <1$ 和$v=\mu Av$ ，则$\Vert v\Vert \ne z$ ；

(c) $\underset{\Vert v\Vert =Z}{inf}\Vert Av\Vert >0$ 。

则A在D中存在不动点。

引理2.1 ([7]) 对于任意函数$v\in C\left[0,1\right]$ ，其中$v\left(r\right)\ge 0$ 且$v^{\prime }\left(r\right)$ 在$\left[0,1\right]$ 上递减，有

$v\left(r\right)\ge \min \left\{r,1-r\right\}\Vert v\Vert$ , $r\in \left[0,1\right]$ .

特别地，对于任意的$0<\alpha <\frac{1}{2}$ ，有

$\underset{\alpha \le r\le 1-\alpha }{\min }v\left(r\right)\ge \alpha \Vert v\Vert$ .

引理2.2 设$f\left(v\right)>0$ 对所有的$v>0$ 成立。如果$Z>0$ 是一个实数，那么问题(2.2)的任意解v，满足

$\inf \left\{\Vert Tv\Vert :v\in K,\Vert v\Vert =Z\right\}>0$ .

证明 显然，v是(2.2)的一个解当且仅当$Tv=v$ 。设v是(2.2)的任意一个解，因为

$v^{″}=-\frac{{\tau }^{n-1}\lambda nf\left(v\left(\tau \right)\right)}{{\varphi }^{\prime }\left({\varphi }^{-1}\left({\displaystyle {\int }_0^{\tau }{s}^{n-1}\lambda nf\left(v\left(s\right)\right)\text{d}s}\right)\right)}<0$ ,

所以$v^{\prime }\left(r\right)$ 是严格递减的。

令$D^{*}=\left\{v|v\in K,\Vert v\Vert =Z\right\}$ ，由引理2.1可得$v\left(r\right)\ge \alpha \Vert v\Vert$ ，其中$r\in \left(\alpha ,1-\alpha \right)\left(0<\alpha <\frac{1}{2}\right)$ 。则对任意的$v\in D^{*}$ ，有$v\in \left[\alpha Z,Z\right]$ 。令

$p=\inf \left\{f\left(v\right):v\in \left[\alpha Z,Z\right]\right\}>0$ .

由于

$\begin{array}{c}\left(Tv\right)\left(\frac{1}{2}\right)={\displaystyle {\int }_{\frac{1}{2}}^1{\varphi }^{-1}\left({\displaystyle {\int }_0^{\tau }{s}^{n-1}\lambda nf\left(v\left(s\right)\right)\text{d}s}\right)\text{d}\tau }\\ \ge {\displaystyle {\int }_{\frac{1}{2}}^1{\varphi }^{-1}\left({\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{2}}{s}^{n-1}\lambda nf\left(v\left(s\right)\right)\text{d}s}\right)\text{d}\tau }\\ \ge {\displaystyle {\int }_{\frac{1}{2}}^1{\varphi }^{-1}\left[p\lambda \left({\left(\frac{1}{2}\right)}^n-{\alpha }^n\right)\right]\text{d}\tau }\\ \ge \frac{1}{2}{\varphi }^{-1}\left[p\lambda \left({\left(\frac{1}{2}\right)}^n-{\alpha }^n\right)\right]>0,\end{array}$

因此，对于所有的$v\in K$ ，有$\Vert Tv\Vert \ge \frac{1}{2}{\varphi }^{-1}\left[p\lambda \left({\left(\frac{1}{2}\right)}^n-{\alpha }^n\right)\right]>0$ 满足$\Vert v\Vert =Z$ 。

引理2.3 若$\omega >0$ ，$\varphi \left(t\right)=\left|t{|}^{\left(p-2\right)}{t}^n+\right|t{|}^{\left(q-2\right)}{t}^n$ ，则

(1) ${\varphi }^{-1}\left(\sigma \omega \right)\ge {\sigma }^{\frac{1}{n\left(q-1\right)}}{\varphi }^{-1}\left(\omega \right)$ , $\sigma \in \left(0,1\right]$ ；

(2) ${\varphi }^{-1}\left(\sigma \omega \right)\ge {\sigma }^{\frac{1}{n\left(p-1\right)}}{\varphi }^{-1}\left(\omega \right)$ , $\sigma >1$ 。

证明 首先证明${\varphi }^{-1}$ 的基本性质

单调性：由于$\varphi \left(t\right)={\left|t\right|}^{\left(p-2\right)}{t}^n+{\left|t\right|}^{\left(q-2\right)}{t}^n\left(t\ge 0\right)$ 可以看出，当$t>0$ 时，${\varphi }^{-1}\left(t\right)=n\left(p-1\right){\left|t\right|}^{\left(p-1\right)n-1}+n\left(q-1\right){\left|t\right|}^{\left(q-1\right)n-1}>0,$ 因此$\varphi \left(t\right)$ 在$\left[0,\infty \right)$ 上严格单调递增；

连续性：由于$\varphi \left(t\right)$ 是连续的且严格单调，因此反函数${\varphi }^{-1}\left(t\right)$ 在其对应区间上也是严格单调且连续的。

令$x={\varphi }^{-1}\left(w\right)$ ，则$x>0$ ，且$x^{n\left(p-1\right)}+x^{n\left(q-1\right)}=\omega$ 。当$\sigma \in \left(0,1\right]$ ，有

$\begin{array}{c}\varphi \left({\sigma }^{\frac{1}{n\left(q-1\right)}}x\right)={\left({\sigma }^{\frac{1}{n\left(q-1\right)}}x\right)}^{n\left(p-1\right)}+{\left({\sigma }^{\frac{1}{n\left(q-1\right)}}x\right)}^{n\left(q-1\right)}\\ ={\sigma }^{\frac{p-1}{q-1}}{x}^{n\left(p-1\right)}+\sigma x^{n\left(q-1\right)}\\ \le \sigma \left(x^{n\left(p-1\right)}+x^{n\left(q-1\right)}\right)\\ =\sigma \omega ,\end{array}$

故${\varphi }^{-1}\left(\sigma \omega \right)\ge {\sigma }^{\frac{1}{n\left(q-1\right)}}{\varphi }^{-1}\left(\omega \right)$ 。当$\sigma >1$ 时，有

$\begin{array}{c}\varphi \left({\sigma }^{\frac{1}{n\left(p-1\right)}}x\right)={\left({\sigma }^{\frac{1}{n\left(p-1\right)}}x\right)}^{n\left(p-1\right)}+{\left({\sigma }^{\frac{1}{n\left(p-1\right)}}x\right)}^{n\left(q-1\right)}\\ =\sigma x^{n\left(p-1\right)}+{\sigma }^{\frac{q-1}{p-1}}{x}^{n\left(p-1\right)}\\ \le \sigma \left(x^{n\left(p-1\right)}+x^{n\left(q-1\right)}\right)\\ =\sigma \omega ,\end{array}$

故${\varphi }^{-1}\left(\sigma \omega \right)\ge {\sigma }^{\frac{1}{n\left(p-1\right)}}{\varphi }^{-1}\left(\omega \right)$ 。

引理2.4 $T:K\to K$ 是全连续算子。

证明 对于任意的$v\in K$ 。由$T:K\to X$ 可得$Tv\in X$ 且$Tv\ge 0$ 。则由锥K的定义可得$Tv\in K$ ，所以$T:K\to K$ 。设S是K中的有界集。存在一个常数$M>0$ ，使得对于任意的$v\in S$ ，有$\Vert v\Vert \le M$ 。因为f在S上连续，所以存在$M_1>0$ ，使得对于任意的$v\in S$ ，有$\left|f\left(v\left(r\right)\right)\right|\le M_1$ 。记$H={\varphi }^{-1}\left(\lambda M_1\right)$ ，则

$\begin{array}{c}\left|Tv\left(r\right)\right|=\left|{\displaystyle {\int }_r^1{\varphi }^{-1}\left({\displaystyle {\int }_0^{\tau }{s}^{n-1}\lambda nf\left(v\left(s\right)\right)\text{d}s}\right)\text{d}\tau }\right|\\ \le {\displaystyle {\int }_r^1\left|{\varphi }^{-1}\left({\displaystyle {\int }_0^{\tau }{s}^{n-1}\lambda nf\left(v\left(s\right)\right)\text{d}s}\right)\right|\text{d}\tau }\\ \le {\displaystyle {\int }_r^1\left|{\varphi }^{-1}\left({\displaystyle {\int }_0^1{s}^{n-1}\lambda n{M}_1\text{d}s}\right)\right|\text{d}\tau }\\ ={\displaystyle {\int }_r^1\left|{\varphi }^{-1}\left(\lambda M_1\right)\right|\text{d}\tau }\\ \le H\left(1-r\right).\end{array}$

故$T:K\to K$ 是一致有界的。

对任意的$\epsilon >0$ ，取$\delta =\frac{\epsilon }{H}$ ，则对任意的$0\le r^{\prime }<r^{″}\le 1$ ，当$\left|r^{″}-r^{\prime }\right|<\delta$ 时，对任意的$v\in S$ ，有

$\begin{array}{c}\left|Tv\left(r^{″}\right)-Tv\left(r^{\prime }\right)\right|=\left|{\displaystyle {\int }_{r^{″}}^1{\varphi }^{-1}\left({\displaystyle {\int }_0^{\tau }{s}^{n-1}\lambda nf\left(v\right)\text{d}s}\right)\text{d}\tau -{\displaystyle {\int }_{r^{\prime }}^1{\varphi }^{-1}\left({\displaystyle {\int }_0^{\tau }{s}^{n-1}\lambda nf\left(v\right)\text{d}s}\right)\text{d}\tau }}\right|\\ \le {\displaystyle {\int }_{r^{\prime }}^{r^{″}}\left|{\varphi }^{-1}\left({\displaystyle {\int }_0^{\tau }{s}^{n-1}\lambda nf\left(v\right)\text{d}s}\right)\right|\text{d}\tau }\\ \le H\left|r^{″}-r^{\prime }\right|<H\cdot \frac{\epsilon }{H}=\epsilon .\end{array}$

故$T:K\to K$ 是等度连续的。由此可知，T是映K入K中的紧算子。

下证T的连续性。设$v_m,v_0\in K$ ，${\Vert v_m-v_0\Vert }_{\infty }\to 0\left(m\to \infty \right)$ 。由f和${\varphi }^{-1}$ 的连续性可知

$\begin{array}{c}T{v}_m\left(r\right)=\underset{r}{\overset{1}{{\displaystyle \int }}}{\varphi }^{-1}\left(\underset{0}{\overset{\tau }{{\displaystyle \int }}}{s}^{n-1}\lambda nf\left(v_m\left(s\right)\right)\text{d}s\right)\text{d}\tau \\ \to \underset{r}{\overset{1}{{\displaystyle \int }}}{\varphi }^{-1}\left(\underset{0}{\overset{\tau }{{\displaystyle \int }}}{s}^{n-1}\lambda nf\left(v_0\left(s\right)\right)\text{d}s\right)\text{d}\tau =T{v}_0\left(r\right).\end{array}$

从而${\Vert T{v}_m-T{v}_0\Vert }_{\infty }\to 0\left(m\to \infty \right)$ 。故$T:K\to K$ 是连续的。

综上，运用Arzelà-Ascoli定理，得到$T:K\to K$ 是全连续的。

3. 主要结果

定理3.1 若(H₂)成立。那么存在充分大的$Z>0$ ，常数${\lambda }_Z>0$ ，使得对于任意的$\lambda >{\lambda }_Z$ ，问题(1.2)存在径向解$u\left(r\right)$ ，满足$\underset{r\in \left[0,1\right]}{\inf }u\left(r\right)\ge -Z$ 。

证明 根据$v=-u$ ，对$Z>0$ ，定义

$D=\left\{v\in K:0\le v\left(r\right)\le Z,r\in \left(0,1\right)\right\}$ .

下证T在D中有不动点。

首先证明定理2.1中的条件(a)成立。对于常数$z_1>0$ ，令

$D_1=\left\{v\in K:z_1\le \Vert v\Vert \le Z,r\in \left(0,1\right)\right\}$ .

下证$\Vert v_0\Vert \ne Z$ 。反设存在$v_0\in D_1$ ，${\mu }_0>1$ 且$\Vert v_0\Vert =Z$ 满足$v_0={\mu }_{0}T{v}_0$ ，即

$v_0\left(r\right)={\mu }_0{\displaystyle {\int }_r^1{\varphi }^{-1}\left({\displaystyle {\int }_0^{\tau }{s}^{n-1}\lambda nf\left(v_0\right)\text{d}s}\right)\text{d}\tau }$ . (3.1)

则${v^{\prime }}_0$ 是单调递减的，由引理2.1，可得

$v_0\left(r\right)\ge \alpha \Vert v_0\Vert$ 且$\alpha \Vert v_0\Vert \le v_0\left(r\right)\le \Vert v_0\Vert$ , $r\in \left[\alpha ,1-\alpha \right]$ . (3.2)

令

$m_Z=\underset{r\in \left[\alpha ,1-\alpha \right]}{\min }\frac{f\left(v\right)}{v^{n\left(p-1\right)}}$ . (3.3)

选取足够大的${\lambda }_Z>0$ ，当$\sigma >1$ 时，可得

${\lambda }_Z>\frac{\varphi \left(\frac{1}{{\alpha }^2}\right)}{m_Z\left[{\left(1-\alpha \right)}^n-{\alpha }^n\right]}$ ,

当$\sigma \in \left(0,1\right]$ 时，可得

${\lambda }_Z>\frac{\varphi \left({\alpha }^{-\frac{p+q-2}{q-1}}\right)}{m_Z\left[{\left(1-\alpha \right)}^n-{\alpha }^n\right]}$ .

由(H₂)可得，对于任意的

$0<\epsilon <{\left(\frac{p}{p-1}\right)}^{n\left(p-1\right)}\cdot \frac{1}{\lambda }$ .

存在$z>0$ ，使得当$0\le v\le z$ ，有$f\left(v\right)\le \epsilon v^{n\left(p-1\right)}$ 。

由(3.2)，$\alpha Z\le v_0\left(r\right)\le Z$ ，$r\in \left(\alpha ,1-\alpha \right)$ ，于是当$\lambda >{\lambda }_Z$ 时，得

$\begin{array}{c}\Vert v_0\Vert ={\mu }_0{\displaystyle {\int }_0^1{\varphi }^{-1}\left({\displaystyle {\int }_0^{\tau }{s}^{n-1}\lambda nf\left(v_0\left(s\right)\right)\text{d}s}\right)\text{d}\tau }\\ \ge {\mu }_0{\displaystyle {\int }_{1-\alpha }^1{\varphi }^{-1}}\left({\displaystyle {\int }_{\alpha }^{1-\alpha }{s}^{n-1}\lambda nf\left(v_0\left(s\right)\right)\text{d}s}\right)\text{d}\tau \\ \ge {\mu }_0{\displaystyle {\int }_{1-\alpha }^1{\varphi }^{-1}}\left({\displaystyle {\int }_{\alpha }^{1-\alpha }{s}^{n-1}\lambda nmz{v}_0^{n\left(p-1\right)}\left(s\right)\text{d}s}\right)\text{d}\tau .\end{array}$

令$\sigma ={\left(\alpha \Vert v_0\Vert \right)}^{n\left(p-1\right)}$ 且$\omega ={\lambda }_Z{m}_Z\left[{\left(1-\alpha \right)}^n-{\alpha }^n\right]$ 。当$\sigma >1$ 时，根据引理2.3及(3.2)式，得

$\begin{array}{c}Z=\Vert v_0\Vert \ge {\mu }_0{\displaystyle {\int }_{1-\alpha }^1{\varphi }^{-1}\left({\displaystyle {\int }_{\alpha }^{1-\alpha }n{s}^{n-1}}\lambda m_Z{\alpha }^{n\left(p-1\right)}{\Vert v_0\Vert }^{n\left(p-1\right)}\text{d}s\right)\text{d}\tau }\\ \ge {\mu }_0{\displaystyle {\int }_{1-\alpha }^1{\varphi }^{-1}\left({\lambda }_Z{m}_Z{\alpha }^{n\left(p-1\right)}{\Vert v_0\Vert }^{n\left(p-1\right)}\left[{\left(1-\alpha \right)}^n-{\alpha }^n\right]\right)\text{d}\tau }\\ \ge {\mu }_0{\displaystyle {\int }_{1-\alpha }^1{\left(\alpha \Vert v_0\Vert \right)}^{\frac{n\left(p-1\right)}{n\left(p-1\right)}}{\varphi }^{-1}\left({\lambda }_Z{m}_Z\left[{\left(1-\alpha \right)}^n-{\alpha }^n\right]\right)\text{d}\tau }\\ ={\mu }_0{\alpha }^2\Vert v_0\Vert {\varphi }^{-1}\left({\lambda }_Z{m}_Z\left[{\left(1-\alpha \right)}^n-{\alpha }^n\right]\right)\\ >{\mu }_0\Vert v_0\Vert ={\mu }_{0}Z>Z,\end{array}$

当$\sigma \in \left(0,1\right]$ 时，得

$\begin{array}{c}Z=\Vert v_0\Vert \ge {\mu }_0{\displaystyle {\int }_{1-\alpha }^1{\varphi }^{-1}}\left({\displaystyle {\int }_{\alpha }^{1-\alpha }n{s}^{n-1}\lambda m_Z{\alpha }^{n\left(p-1\right)}{\Vert v_0\Vert }^{n\left(p-1\right)}\text{d}s}\right)\text{d}\tau \\ \ge {\mu }_0{\displaystyle {\int }_{1-\alpha }^1{\varphi }^{-1}\left({\lambda }_Z{m}_Z{\alpha }^{n\left(p-1\right)}{\Vert v_0\Vert }^{n\left(p-1\right)}\left[{\left(1-\alpha \right)}^n-{\alpha }^n\right]\right)\text{d}\tau }\\ \ge {\mu }_0{\displaystyle {\int }_{1-\alpha }^1{\left(\alpha \Vert v_0\Vert \right)}^{\frac{n\left(p-1\right)}{n\left(q-1\right)}}{\varphi }^{-1}\left({\lambda }_Z{m}_Z\left[{\left(1-\alpha \right)}^n-{\alpha }^n\right]\right)\text{d}\tau }\\ ={\mu }_0{\alpha }^{\frac{p+q-2}{q-1}}{\Vert v_0\Vert }^{\frac{p-1}{q-1}}{\varphi }^{-1}\left({\lambda }_Z{m}_Z\left[{\left(1-\alpha \right)}^n-{\alpha }^n\right]\right)\\ >{\mu }_0{\Vert v_0\Vert }^{\frac{p-1}{q-1}}={\mu }_0{Z}^{\frac{p-1}{q-1}}>Z.\end{array}$

矛盾。因此，$\Vert v\Vert \ne Z$ 。

其次证明定理2.1中的条件(b)成立。下证$\Vert v_1\Vert \ne z$ 。反设存在$v_1\in D$ ，${\mu }_1\in \left(0,1\right)$ 且$\Vert v_1\Vert =z$ 满足$v_1={\mu }_{1}T{v}_1$ ，则

$\begin{array}{c}{v}_1={\mu }_1{\displaystyle {\int }_r^1{\varphi }^{-1}}\left({\displaystyle {\int }_0^{\tau }{s}^{n-1}\lambda nf\left(v_1\left(s\right)\right)\text{d}s}\right)\text{d}\tau \\ \le {\mu }_1{\displaystyle {\int }_r^1{\varphi }^{-1}}\left({\displaystyle {\int }_0^{\tau }{s}^{n-1}\lambda n\epsilon v_1^{n\left(p-1\right)}\left(s\right)\text{d}s}\right)\text{d}\tau ,\end{array}$

当$t>0$ 时，$\varphi \left(t\right)=t^{n\left(p-1\right)}+t^{n\left(q-1\right)}\ge t^{n\left(p-1\right)}$ ，则${\varphi }^{-1}\left(t\right)\le t^{\frac{1}{{}^{n\left(p-1\right)}}}\left(t>0\right)$ 。有

$\begin{array}{c}z=\Vert v_1\Vert \le {\mu }_1{\displaystyle {\int }_0^1{\varphi }^{-1}\left({\displaystyle {\int }_0^{\tau }{s}^{n-1}\lambda n\epsilon {\Vert v_1\Vert }^{n\left(p-1\right)}\text{d}s}\right)\text{d}\tau }\\ \le {\mu }_1{\displaystyle {\int }_0^1{\varphi }^{-1}}\left(\epsilon \lambda {\Vert v_1\Vert }^{n\left(p-1\right)}{\tau }^n\right)\text{d}\tau \\ \le {\mu }_1{\displaystyle {\int }_0^1{\left(\epsilon \lambda {\Vert v_1\Vert }^{n\left(p-1\right)}{\tau }^n\right)}^{\frac{1}{n\left(p-1\right)}}\text{d}\tau }\\ \le {\mu }_1{\left(\epsilon \lambda \right)}^{\frac{1}{n\left(p-1\right)}}\Vert v_1\Vert {\displaystyle {\int }_0^1{\tau }^{\frac{1}{p-1}}\text{d}\tau }\\ ={\mu }_1{\left(\epsilon \lambda \right)}^{\frac{1}{n\left(p-1\right)}}\Vert v_1\Vert \frac{p-1}{p}\\ \le {\mu }_1\Vert v_1\Vert ={\mu }_{1}z<z.\end{array}$

矛盾。因此，$\Vert v\Vert \ne z$ 。

结合引理2.2和定理2.1可知，问题(1.2)在D中存在径向解且满足$\underset{r\in \left[0,1\right]}{\inf }u\left(r\right)\ge -Z$ 。

4. 数值例子

考虑如下$\left(p,q\right)$ -Monge-Ampère方程边值问题

$\{\begin{array}{l}\det \left(D\left({\left|Du\right|}^{p-2}Du\right)\right)+\det \left(D\left({\left|Du\right|}^{p-2}Du\right)\right)=\lambda f\left(-u\right),x\in B\\ u=0,x\in \partial B\end{array}$ (4.1)

其中$B=\left\{x\in {ℝ}^n:\left|x\right|<1,n\ge 1\right\}$ ，$n=3$ ，$p=4$ ，$q=3$ ，$\lambda >0$ ，$f\in C\left(\left[0,\infty \right),\left[0,\infty \right)\right)$ 且$f\left(v\right)=v^{10}$ 。

原问题转化为

$\{\begin{array}{l}{r}^{-2}{\left(\varphi \left(-v^{\prime }\right)\right)}^{\prime }=3\lambda v^{10},0<r<1\hfill \\ v^{\prime }\left(0\right)=0,v\left(1\right)=0\hfill \end{array}$ (4.2)

取$Z=2$ ，$\alpha =0.3$ ，由(3.4)式，得

$m_Z=\underset{r\in \left[0.3,0.6\right]}{\min }\frac{f\left(v\right)}{v^{3\left(p-1\right)}}=\underset{v\in \left[0.6,2\right]}{\min }\frac{v^{10}}{v^9}=\underset{v\in \left[0.6,2\right]}{\min }v$ .

由于$\sigma ={\left(\alpha Z\right)}^{n\left(p-1\right)}={\left(0.6\right)}^{3\times 3}={0.6}^9\approx 0.0101<1$ ，使用第二种情况：

${\lambda }_Z>\frac{\varphi \left({\alpha }^{-\frac{p+q-2}{q-1}}\right)}{m_Z\left[{\left(1-\alpha \right)}^n-{\alpha }^n\right]}=\frac{\varphi \left({0.3}^{-\frac{5}{2}}\right)}{0.6\times \left[0.343-0.027\right]}\approx 1.303\times {10}^{15}$ .

假设存在$v_0$ 满足$v_0=\mu T{v}_0$ ，$\mu >1$ ，且$\Vert v_0\Vert =Z=2$ ，由上述证明过程可得

$2=\Vert v_0\Vert \ge \mu {\alpha }^{\frac{p+q-2}{q-1}}\Vert v_0\Vert {|}^{\frac{p-1}{q-1}}{\varphi }^{-1}\left({\lambda }_z{m}_z\left[0.343-0.027\right]\right)\ge \mu \times 0.0493\times 2.8284\times 20.35\approx 2.8376\mu$ .

当$\mu >1$ 时产生矛盾。

取$z=0.1$ ，对于$0\le v\le 0.1$ ，有

$f\left(v\right)=v^{10}\approx 0.01$ , ${\nu }^{n\left(p-1\right)}={\nu }^9\ge 0$ .

选择$\epsilon \approx \frac{0.01}{{0.1}^9}=\frac{0.01}{1\times {10}^{-9}}=1\times {10}^7$ 。由上述证明可得

$0<\epsilon <{\left(\frac{p}{p-1}\right)}^{\lambda \left(p-1\right)}\cdot \frac{1}{\lambda }$ .

带入数值验证产生矛盾。

因此，当$\lambda >1.303\times {10}^{15}$ ，问题(4.1)存在径向解$u\left(r\right)$ 满足$\underset{r\in \left[0,1\right]}{\sup }u\left(r\right)\ge -2$ 。

基金项目

国家自然科学基金资助项目(12461039)；西北师范大学研究生科研资助项目(2021KYZZ01032)。