Yamabe流下一类非线性抛物型方程的梯度估计

Gradient Estimates for a Nonlinear Parabolic Equation under the Yamabe Flow

摘要: 本文研究Yamabe曲率流下非线性抛物方程$\left({\Delta }_{\varphi }-{\partial }_t\right)u=au{\left(lnu\right)}^{\alpha }$ 正解的梯度估计，得到了该方程的Hamilton型、Li-Yau型和Souplet-Zhang型三种梯度估计。本文将相关结果系统性地推广至更一般的非线性抛物方程情形。

Abstract: This paper addresses the issue of the limited universality of gradient estimation methods for positive solutions to nonlinear parabolic equations. We establish gradient estimates for positive solutions of the equation $\left({\Delta }_{\varphi }-{\partial }_t\right)u=au{\left(lnu\right)}^{\alpha }$ obtaining three types of estimates: the Hamilton-type, Li-Yau-type, and Souplet-Zhang-type. Our work systematically extends the relevant results to a broader class of nonlinear parabolic equations.

1. 引言

梯度估计是研究几何中抛物型偏微分方程解的重要工具。1986年，Li与Yau [1]对热方程$\left(\Delta -{\partial }_t\right)u=0$ 提出了著名的Li-Yau估计：

$\frac{{\left|\nabla u\right|}^2}{u^2}-\alpha \frac{u_t}{u}\le \frac{n{\alpha }^{2}K}{2\left(\alpha -1\right)}+\frac{n{\alpha }^2}{2t},$

其中$\alpha >1$ 为任意常数。随后，Hamilton [2]于1993年中证明了紧流形上热方程的椭圆型梯度估计：

$\frac{{\left|\nabla u\right|}^2}{u^2}-e^{2Kt}\frac{u_t}{u}\le e^{4Kt}\frac{n}{2t},$

该方法后来被称为Hamilton型梯度估计，并由Kotschwar [3]推广到非紧情形。2006年，Souplet与Zhang [4]发展出适用于热方程的局部化椭圆型梯度估计：

$\begin{array}{l}\frac{{\left|\nabla u\right|}^2}{u^2}-\left(1+\frac{\sinh \left(Kt\right)\cosh \left(Kt\right)-Kt}{{\sinh }^2\left(Kt\right)}\right)\frac{u_t}{u}\le \frac{nK}{2}\left(\coth \left(Kt\right)+1\right),\\ \frac{{\left|\nabla u\right|}^2}{u^2}-\left(1+\frac{2}{3}Kt\right)\frac{u_t}{u}\le \frac{n}{2t}+\frac{nK}{2}\left(1+\frac{1}{3}Kt\right),\end{array}$

形成了Souplet-Zhang型估计方法。

以上成果均立足于固定度量的情形，当背景流形的度量随时间依几何流演化时，相关研究需要进一步拓展。在此框架下，许多学者针对热方程正解，系统性建立了一系列梯度估计与Harnack不等式[5]-[8]。于此同时，Li与Zhu [9]在Ricci流条件下推导了方程$\left({\Delta }_{\varphi }-{\partial }_t\right)u+h{u}^p=0$ 的若干正解估计。2020年，Zhang [10]进一步推进了该研究方向，得到了Yamabe流下方程$\left({\Delta }_{\varphi }-{\partial }_t\right)u=h{u}^q$ 的梯度估计。

在上述成果及相关工作[11]-[16]的启发下，本文研究一类非线性推广后的抛物方程：

$\left({\Delta }_{\varphi }-{\partial }_t\right)u=au{\left(\ln u\right)}^{\alpha },$ (1.1)

并对其正解建立若干梯度估计。其中$\left(M^n,g\left(t\right)\right)$ 为完备Yamabe流的解，满足

${\partial }_{t}g=-Rg,$ (1.2)

这里$a,\alpha >1$ 为任意常数，$R$ 为流形的数量曲率。

本文所研究的$n$ 维光滑测度空间$\left(M^n,g,e^{-\varphi }dv\right)$ 由无边的$n$ 维完备黎曼流形$\left(M^n,g\left(t\right)\right)$ 配备带权测度$e^{-\varphi }dv$ 构成，其中$\varphi \in C^2\left(M\right)$ ，$dv$ 为度量$g$ 的体积元，方程(1.1)中的算子${\Delta }_{\varphi }$ 定义为${\Delta }_{\varphi }:=\Delta -{\nabla }_{\nabla \varphi }$ 。本文所假定的Bakry-Émery-Ricci曲率定义为：

$Ri{c}_{\varphi }:=Ric+Hess\varphi .$

进一步，对任意整数$m>n$ ，可定义$\left(m-n\right)$ -Bakry-Émery-Ricci曲率：

$Ri{c}_{\varphi }^{m-n}:=Ric+Hess\varphi -\frac{\nabla \varphi \otimes \nabla \varphi }{m-n}.$

该曲率是经典Ricci曲率在光滑测度空间中的自然推广，刻画了带权测度与标准体积测度的偏差程度。从几何意义上看，$\left(m-n\right)$ -Bakry-Émery-Ricci曲率的下界条件，本质上是对带权测度下流形的曲率刚性进行约束，其作用与经典Ricci曲率下界在黎曼流形分析中的作用相呼应，能够保证流形上的函数分析性质(如梯度估计、Harnack不等式)的有效性，是本文推导梯度估计的核心几何假设之一。

本文对于Yamabe流而言，其核心是通过流形的数量曲率调整度量，使流形的标量曲率趋于常数，已有研究表明完备Yamabe流的解在合理的初始条件下，数量曲率及其梯度会保持有界性，这也是本文对数量曲率施加有界假设的合理性所在：一方面，Yamabe流的演化方程本身会对数量曲率的增长进行约束，避免其出现爆破性无界；另一方面，数量曲率及其梯度的有界性是保证流形几何结构稳定性的基本条件，也是后续构造截断函数、推导辅助函数演化估计的必要前提。

设$u=u\left(x,t\right)$ 为定义在抛物柱$Q_{\rho ,T}:\text{=}\overline{B\left(\overline{x},\rho \right)}\times \left[\text{0},T\right]$上满足方程(1.1)的正函数。由于$u$ 在紧集上恒正，存在正常数$D_1$ 与$D_2$ ，使得在$Q_{\rho ,T}$ 上有$D_1\le u\le D_2$ 成立。我们得到方程(1.1)的下列估计：

定理1.1：(Li-Yau型估计)设$\left(M^n,g\left(t\right)\right),t\in \left[\text{0},T\right]$ 为Yamabe流(1.2)下满足方程(1.1)的$n$ 维完备流形，且在$Q_{\rho ,T}$ 上满足

$Ri{c}_{\varphi }^{m,n}\ge -\left(m-1\right)K_1,\left|R\right|\le K_2,\left|\nabla R\right|\le K_3,$

其中$K_1,K_2,K_3>0$ 。则对任意正解$u$ 和给定常数$\beta >1$ 及$0<ϵ<1$ ，存在正常数$C_{1/2}$ 与$\overline{C}$ 使得

$\begin{array}{l}{\left|\nabla f\right|}^2-\beta {\partial }_{t}f-\beta a{f}^{\alpha }\\ \le \sqrt{\frac{m\left(n-2\right)K_3}{4\left(2-ϵ\right)}}{\beta }^{\frac{3}{2}}+\frac{m{\beta }^2}{2-ϵ}[\frac{\overline{C}+1}{t}+\frac{\left(C_{1/2}+3\right)K_2}{2}+\frac{C_{1/2}}{\rho }\left(m-1\right)\left(\sqrt{K_1}+\frac{2}{\rho }\right)\\ +\frac{C_{1/2}}{{\rho }^2}\left(1+2C_{1/2}+\frac{{\beta }^{2}m{C}_{1/2}}{2ϵ\left(\beta -1\right)}\right)+2\left|a\alpha \right|{\left(\ln D_2\right)}^{\alpha -1}+\frac{\left(m-1\right)K_1}{\beta -1}\\ +\frac{\beta \left|a\alpha \left(\alpha -1\right)\right|}{2\left(\beta -1\right)}{\left(\ln D_2\right)}^{\alpha -1}+\frac{\left(m-2\right)K_3}{8\left(\beta -1\right)}\beta ].\end{array}$

其中$f:=\ln u$ 。

定理1.2：(Hamilton型估计)设$\left(M^n,g\left(t\right)\right),t\in \left[\text{0},T\right]$ 为Yamabe流(1.2)下满足方程(1.1)的$n$ 维完备流形，且在$Q_{\rho /2,T}$ 上满足

$Ri{c}_{\varphi }\ge -\left(n-1\right)K_4,\left|R\right|\le K_2,$

其中$K_2,K_4>0$ 。则对任意正解$u$ ，存在依赖于$n$ 的正常数$c$ ，使得在$Q_{\rho /2,T}$ 上成立

$\begin{array}{c}\frac{\left|\nabla u\right|}{\sqrt{u}}\le c\{\frac{C_{1/2}}{\rho }\left[\left|\beta \right|+\left(n-1\right)K_4\left(\rho -1\right)\right]+\frac{C_{1/2}}{{\rho }^2}+\frac{C}{t}+\frac{C_{1/2}{K}_2}{2}+\frac{\sqrt{5C_{1/2}^2}}{{\rho }^2}\\ {+2\left(n-1\right)K_4+K_2+\left|a\right|{\left(\ln D_2\right)}^{\alpha }+2\left|a\alpha \right|{\left(\ln D_2\right)}^{\alpha -1}\}}^{\frac{1}{2}},\end{array}$

$\beta :={\max }_{(x,t)\in \partial B(\widehat{x},1)\times [0,T]}{\Delta }_{\varphi }r\left(x,t\right)$ 。

定理1.3：(Souplet-Zhang型估计)设$\left(M^n,g\left(t\right)\right),t\in \left[\text{0},T\right]$ 为Yamabe流(1.2)下满足方程(1.1)的$n$ 维完备流形，且在$Q_{\rho ,T}$ 上满足

$Ri{c}_{\varphi }\ge -\left(n-1\right)K_4,\left|R\right|\le K_2,$

其中$K_2,K_4>0$ 。则对任意正解$u$ ，存在依赖于$n$ 的正常数$c$ ，使得在$Q_{\rho /2,T}$ 上成立

$\begin{array}{c}\frac{\left|\nabla u\right|}{u}\le c(\frac{C_{1/2}^2\ln {\left(\frac{D_2}{D_1}\right)}^2+C_{1/2}}{{\rho }^2}+\frac{C_{1/2}\left[\left|\beta \right|+\left(n-1\right)K_4\left(\rho -1\right)+1\right]}{\rho }+\frac{\overline{C}}{t}+\frac{C_{1/2}{K}_2}{2}\\ {\underset{}{\overset{\underset{}{\overset{}{{\displaystyle }}}}{{\displaystyle }}}+2\left|a\alpha \right|{\left(\ln D_2\right)}^{\alpha -1}+2\left(n-1\right)K_4+K_2+{\left(\ln D_2\right)}^{2\alpha })}^{\frac{1}{2}}\left(1+\ln \frac{D_2}{u}\right)\end{array},$

其中$f:=\ln u$ ，$\beta :={\max }_{(x,t)\in \partial B(\widehat{x},1)\times [0,T]}{\Delta }_{\varphi }r\left(x,t\right)$ 。里$a,\alpha >1$ 为任意常数，$R$ 为流形的数量曲率。

为证明上述定理，我们首先引入阶段函数并介绍下属引理：

引理1.4。给定$\tau \in \left(0,T\right]$ ，存在光滑截断函数$\Psi \left(x,t\right)<1$ 满足下列估计[17] [18]：

1) $Ri{c}_{\varphi }^{m,n}\ge -\left(m-1\right)K_1$ ，$\left(K_1>0\right)$ ，在该点处有

${\Delta }_{\varphi }\Psi \ge -\frac{C_{1/2}}{\rho }\left(m-1\right)\left(\sqrt{K_1}+\frac{2}{\rho }\right)-\frac{C_{1/2}}{{\rho }^2}.$

2) 若$Ri{c}_{\varphi }\ge -\left(n-\text{1}\right)K_4$ 在开球$B\left(\overline{x},\rho \right)$ 上成立，且存在点$\left(x_0,t_0\right)\in \overline{B\left(\overline{x},\rho \right)}\times \left[0,\rho \right]$ 满足$d_{g(t_0)}r\left(x_0,\overline{x}\right)\ge 1$ ，则在该点处有

${\text{Δ}}_{\varphi }\Psi \ge -\frac{C_{1/2}}{\rho }\left[\left|\beta \right|+\left(n-1\right)K_4\left(\rho -1\right)\right]-\frac{C_{1/2}}{{\rho }^2}.$

3) 若数量曲率满足$\left|R\right|\le K_2$ ，则

${\partial }_t\Psi \le \frac{\overline{C}}{\tau }+\frac{C_{1/2}{K}_2}{2}.$

2. 主要定理证明

定理1.1的证明：证明过程可分为以下两步进行：构造辅助函数$F$ ，得到辅助函数$F$ 的上界估计，利用截断函数$\Psi$ 对$\Psi F$ 的极大值点进行估计。

步骤1. 辅助函数$F$ 的上界估计

针对Li-Yau型估计的抛物型特征，需要构造同时包含解的梯度平方、解的对数导数以匹配非线性抛物方程的结构。此处定义$F:=t\left({\left|\nabla f\right|}^2-\beta {\partial }_{t}f-\beta a{f}^{\alpha }\right)$ ，这里$f=\ln u$ ，$\beta >1$ 为任意常数，利用方程，可得$F$ 对应的演化方程如下：

${\partial }_{t}F=\frac{F}{t}+t{\partial }_t\left({\left|\nabla f\right|}^2-\beta {\partial }_{t}f-\beta a{f}^{\alpha }\right),$ (2.1)

$\begin{array}{l}{\Delta }_{\varphi }F=\Delta F-\langle \nabla F,\nabla \varphi \rangle \\ =t\left[2{\left|Hessf\right|}^2+2{\nabla }_i{\nabla }_i{\nabla }_{j}f\cdot {\nabla }_{j}f-2{\nabla }_i{\nabla }_{j}f\cdot {\nabla }_{j}f\cdot {\nabla }_i\varphi -\beta a\alpha f^{\alpha -1}{\Delta }_{\varphi }f\right]\\ -t\beta a\alpha \left(\alpha -1\right)f^{\alpha -2}{\left|\nabla f\right|}^2-t\beta {\Delta }_{\varphi }{\partial }_{t}f\\ =t\left[2{\left|Hessf\right|}^2+2\langle \nabla f,\nabla {\Delta }_{\varphi }f\rangle +2Hess\varphi \left(\nabla f,\nabla f\right)+2Ric\left(\nabla f,\nabla f\right)-\beta a\alpha f^{\alpha -1}{\Delta }_{\varphi }f\right]\\ -t\beta a\alpha \left(\alpha -1\right)f^{\alpha -2}{\left|\nabla f\right|}^2-t\beta {\Delta }_{\varphi }{\partial }_{t}f\\ =2t{\left|Hessf\right|}^2+2t\langle \nabla f,\nabla {\Delta }_{\varphi }f\rangle +2tRi{c}_{\varphi }^{m,n}\left(\nabla f,\nabla f\right)+\frac{2t{\langle \nabla \varphi ,\nabla f\rangle }^2}{m-n}-\beta a\alpha t{f}^{\alpha -1}{\Delta }_{\varphi }f\\ -t\beta a\alpha \left(\alpha -1\right)f^{\alpha -2}{\left|\nabla f\right|}^2-t\beta {\partial }_t{\Delta }_{\varphi }f+t\beta R{\Delta }_{\varphi }f-\frac{n-2}{2}t\beta \langle \nabla f,\nabla R\rangle .\end{array}$ (2.2)

利用柯西不等式，可得

$\begin{array}{l}0\le {\left(\sqrt{\frac{m-n}{mn}}\Delta f+\sqrt{\frac{n}{m(m-n)}}\langle \nabla f,\nabla \varphi \rangle \right)}^2\\ =\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\right){\left(\Delta f\right)}^2+\frac{2}{m}\Delta f\langle \nabla f,\nabla \varphi \rangle +\left(\frac{1}{m-n}-\frac{1}{m}\right){\langle \nabla f,\nabla \varphi \rangle }^2\\ \le {\left|Hessf\right|}^2-\frac{1}{m}{\left(\Delta f\right)}^2-2\Delta f\langle \nabla f,\nabla \varphi \rangle +{\langle \nabla f,\nabla \varphi \rangle }^2+\frac{1}{m-n}{\langle \nabla f,\nabla \varphi \rangle }^2\\ ={\left|Hessf\right|}^2-\frac{{\left({\Delta }_{\varphi }f\right)}^2}{m}+\frac{1}{m-n}{\langle \nabla f,\nabla \varphi \rangle }^2.\end{array}$ (2.3)

综合(2.1)~(2.3)可得关于$F$ 的演化方程：

$\begin{array}{l}\left({\Delta }_{\varphi }-{\partial }_t\right)F\ge \frac{2t}{m}{\left(-{\left|\nabla f\right|}^2+{\partial }_{t}f+a{f}^{\alpha }\right)}^2-2t\langle \nabla f,\nabla \left[\frac{F}{t}+\left(\beta -1\right)\left(a{f}^{\alpha }+{\partial }_{t}f\right)\right]\rangle \\ +2tRi{c}_{\varphi }^{m,n}\left(\nabla f,\nabla f\right)-\beta a\alpha t{f}^{\alpha -1}\left(-{\left|\nabla f\right|}^2+{\partial }_{t}f+a{f}^{\alpha }\right)\\ -\beta a\alpha \left(\alpha -1\right)f^{\alpha -2}{\left|\nabla f\right|}^2+\beta Rt\left(-{\left|\nabla f\right|}^2+{\partial }_{t}f+a{f}^{\alpha }\right)\\ -\frac{n-2}{2}\beta t\langle \nabla f,\nabla R\rangle -\beta t{\partial }_t\left(-{\left|\nabla f\right|}^2+{\partial }_{t}f+a{f}^{\alpha }\right)\\ -\frac{F}{t}-t{\partial }_t\left({\left|\nabla f\right|}^2-\beta {\partial }_{t}f-\beta a{f}^{\alpha }\right).\end{array}$

再次利用$F$ 的定义可得

$\begin{array}{l}\langle \nabla f,\nabla \left[\frac{F}{t}+\left(\beta -1\right)\left(\alpha f^{\alpha }+{\partial }_{t}f\right)\right]\rangle =\frac{1}{t}\langle \nabla f,\nabla F\rangle +\left(\beta -1\right)\alpha \alpha f^{\alpha -1}{\left|\nabla f\right|}^2\\ +\frac{\beta -1}{2}{\partial }_t{\left|\nabla f\right|}^2-\frac{\beta -1}{2}R{\left|\nabla f\right|}^2,\end{array}$

从而最终得到

$\begin{array}{l}\left({\Delta }_{\varphi }-{\partial }_t\right)F\ge \frac{2t}{m}{\left(-{\left|\nabla f\right|}^2+{\partial }_{t}f+a{f}^{\alpha }\right)}^2-2\langle \nabla f,\nabla F\rangle +2tRi{c}_{\varphi }^{m,n}\left(\nabla f,\nabla f\right)\\ -2\left(\beta -1\right)a\alpha f^{\alpha -1}t{\left|\nabla f\right|}^2+\left(\beta Rt-\beta a\alpha t{f}^{\alpha -1}\right)\left(-{\left|\nabla f\right|}^2+{\partial }_{t}f+a{f}^{\alpha }\right)\\ -\beta a\alpha \left(\alpha -1\right)f^{\alpha -2}t{\left|\nabla f\right|}^2+\left(\beta -1\right)Rt{\left|\nabla f\right|}^2\\ -\frac{F}{t}-\frac{n-2}{2}\beta t\langle \nabla f,\nabla R\rangle .\end{array}$ (2.4)

步骤2. 对$\Psi F$ 利用极值原理

设$\left(x_1,t_1\right)$ 为函数$\Psi F$ 在区间$Q_{\rho ,T}$ 的极大值点，由(2.4)可得$\Psi F$ 的演化方程为

$\begin{array}{l}\left({\Delta }_{\varphi }-{\partial }_t\right)\left(\Psi F\right)=F\left({\Delta }_{\varphi }-{\partial }_t\right)\Psi +2\langle \nabla \Psi ,\nabla F\rangle +\Psi \left({\Delta }_{\varphi }-{\partial }_t\right)F\\ \ge F\left({\Delta }_{\varphi }-{\partial }_t\right)\Psi +\frac{2}{\Psi }\langle \nabla \Psi ,\nabla \left(\Psi F\right)\rangle -\frac{2|\nabla \Psi {|}^2}{\Psi }F\\ -2\langle \nabla f,\nabla \left(\Psi F\right)\rangle +2F\langle \nabla f,\nabla \Psi \rangle +\Psi {\left[\frac{2t}{m}\left(-{\left|\nabla f\right|}^2+{\partial }_{t}f+a{f}^{\alpha }\right)\right]}^2\\ +2tRi{c}_{\varphi }^{m,n}\left(\nabla f,\nabla f\right)-2\left(\beta -1\right)a\alpha f^{\alpha -1}t{\left|\nabla f\right|}^2\\ +\left(\beta Rt-\beta a\alpha t{f}^{\alpha -1}\right)\left(-{\left|\nabla f\right|}^2+{\partial }_{t}f+a{f}^{\alpha }\right)\\ -\beta a\alpha \left(\alpha -1\right)f^{\alpha -2}t{\left|\nabla f\right|}^2+(\beta -1)Rt{\left|\nabla f\right|}^2\\ -\frac{F}{t}-\frac{n-2}{2}\beta t\langle \nabla f,\nabla R\rangle .\end{array}$

不失一般性假设$\Psi F$ 的极大值大于等于0，否则定理1.1显然成立，从而根据引理及假设条件可知在$(x_1,t_1)$ 满足

$\begin{array}{c}\frac{2t^2{\Psi }^2}{m}{\left(-{\left|\nabla f\right|}^2+{\partial }_{t}f+a{f}^{\alpha }\right)}^2\\ \le t\Psi F\left({\partial }_t-{\Delta }_{\varphi }\right)\Psi +2t{\left|\nabla \Psi \right|}^{2}F+2t\Psi F\left|\nabla f\right|\left|\nabla \Psi \right|\\ \le +2t^2{\Psi }^2\left(\beta -1\right)a\alpha f^{\alpha -1}{\left|\nabla f\right|}^2+2\left(m-1\right)K_1{t}^2{\Psi }^2{\left|\nabla f\right|}^2\\ -\left(\beta Rt-\beta a\alpha t{f}^{\alpha -1}\right)t{\Psi }^2\left(-{\left|\nabla f\right|}^2+{\partial }_{t}f+a{f}^{\alpha }\right)\\ +\beta a\alpha \left(\alpha -1\right)f^{\alpha -2}{t}^2{\Psi }^2{\left|\nabla f\right|}^2+F{\Psi }^2\\ +\left(\beta -1\right)t^2{\Psi }^{2}R{\left|\nabla f\right|}^2+\frac{n-2}{2}\beta t^2{\Psi }^2\langle \nabla f,\nabla R\rangle .\end{array}$ (2.5)

为估计$\Psi F$ 的上界，参考Chen [16]的方法，在$\left(x_1,t_1\right)$ 处定义

$H:=\frac{{\left|\nabla f\right|}^2}{F}\ge 0.$

由此可得

$\left|\nabla f\right|=\sqrt{FH},{\left|\nabla f\right|}^2-{\partial }_{t}f-\alpha f^{\alpha }=\frac{F}{\beta t}\left[\left(\beta -1\right)Ht+1\right],$

从而由(2.5)可得

$\begin{array}{l}\frac{2{\left(\Psi F\right)}^2}{m{\beta }^2}{\left[\left(\beta -1\right)Ht+1\right]}^2\\ \le t\Psi F\left({\partial }_t-{\Delta }_{\varphi }\right)\Psi +2t{\left|\nabla \Psi \right|}^{2}F+2t\Psi F\sqrt{FH}\left|\nabla \Psi \right|\\ +2a\alpha \left(\beta -1\right)f^{\alpha -1}{t}^2{\Psi }^{2}FH+2\left(m-1\right)K_1{t}^2{\Psi }^{2}FH\\ +\left[R-a\alpha f^{\alpha -1}\right]t{\Psi }^{2}F\left[\left(\beta -1\right)Ht+1\right]\\ +\beta a\alpha \left(\alpha -1\right)t^2{\Psi }^2{f}^{\alpha -2}FH+F{\Psi }^2\\ +\left(\beta -1\right)R{t}^2{\Psi }^{2}FH+\frac{n-2}{2}\beta t^2{\Psi }^2\nabla R\sqrt{FH}.\end{array}$

利用柯西不等式

$2t\Psi F\sqrt{FH}\left|\nabla \Psi \right|\le \frac{ϵ{\left(\Psi F\right)}^2}{{\beta }^{2}m}{\left[\left(\beta -1\right)Ht+1\right]}^2+\frac{{\beta }^{2}mHF{\left|\nabla \Psi \right|}^2{t}^2}{ϵ{\left[\left(\beta -1\right)Ht+1\right]}^2},2\sqrt{FH}\le 1+FH.$

上式可化为

$\begin{array}{l}\frac{\left(2-ϵ\right){\left(\Psi F\right)}^2}{m{\beta }^2}{\left[\left(\beta -1\right)Ht+1\right]}^2\\ \le t\Psi F\left({\partial }_t-{\Delta }_{\varphi }\right)\Psi +2t{\left|\nabla \Psi \right|}^{2}F+\frac{{\beta }^{2}mHF{\left|\nabla \Psi \right|}^2{t}^2}{ϵ{\left[\left(\beta -1\right)Ht+1\right]}^2}\\ +2a\alpha \left(\beta -1\right)f^{\alpha -1}{t}^2{\Psi }^{2}FH+2\left(m-1\right)K_1{t}^2{\Psi }^{2}FH\\ +\left[R-a\alpha f^{\alpha -1}\right]t{\Psi }^{2}F\left[\left(\beta -1\right)Ht+1\right]\\ +\beta a\alpha \left(\alpha -1\right)t^2{\Psi }^2{f}^{\alpha -2}FH+F{\Psi }^2\\ +\left(\beta -1\right)R{t}^2{\Psi }^{2}FH+\frac{n-2}{4}\beta t^2{\Psi }^2\nabla R\left(1+FH\right).\end{array}$

因$\beta >1$ ，故有$\left(\beta -1\right)Ht+1>1$ ，且$\frac{H}{{\left[\left(\beta -1\right)Ht+1\right]}^2}\le \frac{1}{2\left(\beta -1\right)t}$ 。在点$\left(x_1,t_1\right)$ 处可推出

$\begin{array}{l}\frac{\left(2-ϵ\right){\left(\Psi F\right)}^2}{m{\beta }^2}{\left[\left(\beta -1\right)Ht+1\right]}^2\le \frac{t\Psi F\left({\partial }_t-{\Delta }_{\varphi }\right)\Psi }{{\left[\left(\beta -1\right)Ht+1\right]}^2}+2t{\left|\nabla \Psi \right|}^{2}F+\frac{{\beta }^{2}mF{\left|\nabla \Psi \right|}^2{t}^2}{2\left(\beta -1\right)}\\ +\left|a\alpha f^{\alpha -1}\right|t{\Psi }^{2}F+\frac{\left(m-1\right)K_1{\Psi }^{2}Ft}{\beta -1}+\left[R-a\alpha f^{\alpha -1}\right]t{\Psi }^{2}F\\ +\frac{\beta \left|a\alpha \left(\alpha -1\right)\right|\left|f^{\alpha -2}\right|}{2\left(\beta -1\right)}t{\Psi }^{2}F+{\Psi }^{2}F+\frac{1}{2}t{\Psi }^2\left|R\right|F\\ +\frac{n-2}{4}\beta t^2{\Psi }^2\nabla R\left(1+\frac{F}{2\left(\beta -1\right)t}\right)\\ \le \tau \Psi F\frac{\left({\partial }_t-{\Delta }_{\varphi }\right)\Psi }{{\left[\left(\beta -1\right)Ht+1\right]}^2}+2\tau \Psi F\frac{{\left|\nabla \Psi \right|}^2}{\Psi }+\tau \Psi F\frac{{\beta }^{2}m{\left|\nabla \Psi \right|}^2}{2ϵ\left(\beta -1\right)\Psi }+R\tau \Psi F\\ +2\tau \Psi F\left|a\alpha \right|{\left(\ln D_2\right)}^{\alpha -1}+\tau \Psi F\frac{\left(m-1\right)K_1}{\beta -1}+\tau \Psi F\frac{\beta \left|a\alpha \left(\alpha -1\right)\right|\left({\left(\ln D_2\right)}^{\alpha -1}\right)}{2\left(\beta -1\right)}\\ +\Psi F+\tau \Psi F\frac{K_2}{2}+\tau \Psi F\frac{\left(n-2\right)K_3}{8\left(\beta -1\right)}\beta +\frac{n-2}{4}\beta {\tau }^2{K}_3,\end{array}$ (2.6)

这里$\tau$ 为最大时间，由引理可知$\Psi$ 及其导数均有界，从而由极值点的必要条件，在极大值点$(x_1,t_1)$ 处(2.6)可得。

$\begin{array}{c}{\left(\Psi F\right)}^2\left(x_1,t_1\right)\\ \le \frac{m{\beta }^2\tau \Psi F}{2-ϵ}[\frac{\overline{C}}{\tau }+\frac{C_{1/2}{K}_2}{2}+\frac{C_{1/2}}{\rho }\left(m-1\right)\left(\sqrt{K_1}+\frac{2}{\rho }\right)+\frac{C_{1/2}+2C_{1/2}^2}{{\rho }^2}\\ +\frac{m{\beta }^2{C}_{1/2}^2}{2ϵ\left(\beta -1\right){\rho }^2}+K_2+2\left|a\alpha \right|{\left(\ln D_2\right)}^{\alpha -1}+\frac{\left(m-1\right)K_1}{\beta -1}+\frac{\beta \left|a\alpha \left(\alpha -1\right)\right|}{2\left(\beta -1\right)}{\left(\ln D_2\right)}^{\alpha -1}\\ +\frac{1}{\tau }+\frac{K_2}{2}+\frac{\left(n-2\right)K_3}{8\left(\beta -1\right)}\beta ]+\frac{n-2}{4\left(2-ϵ\right)}m{\beta }^3{\tau }^2{K}_3.\end{array}$

从而

$\begin{array}{l}\Psi F\left(x_1,t_1\right)\\ \le \frac{m{\beta }^2\tau }{2-ϵ}[\frac{\overline{C}+1}{\tau }+\frac{\left(C_{1/2}+3\right)K_2}{2}+\frac{C_{1/2}}{\rho }\left(m-1\right)\left(\sqrt{K_1}+\frac{2}{\rho }\right)\\ +\frac{C_{1/2}}{{\rho }^2}\left(1+2C_{1/2}+\frac{m{\beta }^2{C}_{1/2}}{2ϵ\left(\beta -1\right)}\right)+2\left|a\alpha \right|{\left(\ln D_2\right)}^{\alpha -1}\\ +\frac{\left(m-1\right)K_1}{\beta -1}+\frac{\beta \left|a\alpha \left(\alpha -1\right)\right|}{2\left(\beta -1\right)}{\left(\ln D_2\right)}^{\alpha -1}+\frac{\left(n-2\right)K_3}{8\left(\beta -1\right)}\beta ]\\ +\sqrt{\frac{m\left(n-2\right)K_3}{4\left(2-ϵ\right)}}{\beta }^{3/2}\tau ,\end{array}$

定理1.1得证。

定理1.2的证明

Hamilton型为椭圆估计，舍弃时间因子简化构造，定义$\omega =h{\left|\nabla h\right|}^2$ ，这里$h=u^{\frac{1}{3}}$ ，适配椭圆型估计的局部性，结合曲率条件约束梯度项上界。由上述类似计算可知

$\begin{array}{l}\left({\Delta }_{\varphi }-{\partial }_t\right)\omega \ge 4h^{-3}{\omega }^2-4h^{-1}\langle \nabla h,\nabla \omega \rangle +2hRi{c}_{\varphi }\left(\nabla h,\nabla h\right)\\ -R\omega +3^{\alpha }a{\left(\ln h\right)}^{\alpha }\omega +2a\alpha 3^{\alpha -1}{\left(\ln h\right)}^{\alpha -1}\omega .\end{array}$

从而考虑函数$\Psi \omega$ ，利用极值原理定理1.1同理可得。

定理1.3的证明

类似Hamilton型证明过程中辅助函数的定义，匹配Souplet-Zhang型估计的局部化特征和Yamabe流下的几何背景，定义$\Omega :=|\nabla \left(B-f\right){|}^2=\frac{{\left|\nabla f\right|}^2}{{\left(B-f\right)}^2}$ ，这里$B:=1+\ln D_2$ ，$f:=\ln u$ ，同理可得

$\begin{array}{l}\left({\Delta }_{\varphi }-{\partial }_t\right)\Omega \ge \frac{2\left(f-\ln D_2\right)}{B-f}\langle \nabla \Omega ,\nabla f\rangle +2\left(B-f\right){\Omega }^2\\ +\left[2a\alpha f^{\alpha -1}-2\left(n-1\right)K_4-R\right]\Omega +\frac{2a{f}^{\alpha }}{B-f}\Omega .\end{array}$

对$\Psi \Omega$ 利用极值原理同理可得。

3. 总结与展望

本文通过构造新型辅助函数并运用极值原理，建立了非线性抛物方程正解的三种梯度估计，将线性热源项的抛物方程梯度估计结果推广至非线性项，进一步完善了该领域的理论体系。此外，本文假定度量随时间满足Yamabe流方程进行演化，在几何及物理领域有着重要的理论前景。研究成果为非线性抛物型方程的正解性态分析提供了有效工具，具有一定的理论意义与应用价值。

Li-Yau型估计常数与时间参数、非线性适配参数及$\left(m-n\right)$ -Bakry-Émery-Ricci曲率下界相关，时间衰减因子使其结果随时间指数衰减，适配抛物方程的时间演化性；Hamilton型估计常数依赖曲率下界、非线性参数和流形维数相关常数，无时间项，体现椭圆型估计的时空一致性；Souplet-Zhang型估计常数还受截断函数选取和数量曲率界影响，反映局部化估计对区域特征的依赖性。三类估计的参数依赖关系与自身类型、方程结构及Yamabe流几何背景高度契合，参数可调性为后续精细化估计提供了基础。

在后续研究中，可进一步探讨其他类型非线性项或更一般几何流背景下的梯度估计问题，发展更多类型的估计形式，拓展该方法的适用范围并深化其在几何分析与物理中的应用。

NOTES

^*通讯作者。