B-代数上无穷小双代数的形变

Deformations of Infinitesimal Bialgebras on B-Algebras

摘要: 本文研究了B-代数上无穷小双代数的形变理论。首先，引入B-代数上无穷小双代数的概念，并说明三角无穷小双代数可以由B-代数上的结合r-矩阵诱导。其次，研究B-代数上无穷小双代数的线性形变，并引入弱同态的概念来刻画形变间的等价关系。最后，证明B-代数上结合r-矩阵的等价形变诱导了无穷小双代数的等价形变。

Abstract: This paper studies the deformation theory of infinitesimal bialgebras on B-algebras. First, we introduce the concept of infinitesimal bialgebras on B-algebras and prove that triangular infinitesimal bialgebras can be induced by associative r-matrices on B-algebras. Second, we study linear deformations and formal deformations of infinitesimal bialgebras on B-algebras, and introduce the notion of weak homomorphisms to characterize the equivalence relation between deformations. Finally, we prove that equivalent deformations of associative r-matrices on B-algebras induce equivalent deformations of infinitesimal bialgebras.

1. 引言

结合代数的Hochschild上同调理论由Hochschild于1945年在其奠基性工作[1]中提出。至20世纪60年代，Gerstenhaber深入探讨了结合代数的形变理论，并在文献[2]中证明了Hochschild上同调能够控制形变。

无穷小双代数的概念由Aguiar [3]在研究结合Yang-Baxter方程和Hopf代数理论时首次提出，它是李双代数在结合代数下的情况。Rota-Baxter算子起源于概率论[4]，后经Rota [5]和Cartier [6]被应用于组合学与量子场论[7]。结合代数上的$\mathcal{O}$ -算子是权为零的Rota-Baxter算子的推广，与dendriform代数、结合Yang-Baxter方程以及结合r-矩阵等概念紧密相连[8]-[10]。2020年，Das [8]系统地建立了结合代数上$\mathcal{O}$ -算子的上同调与形变理论，作为应用得到结合代数上Rota-Baxter算子、结合r-矩阵以及无穷小双代数的形变。

2016年，为了研究A[[t]]上形变的B-代数结构，Staic [11]引入了B-代数上的二次上同调，相关研究见[12] [13]。2023年，黄在[14]中研究了B-代数上$\mathcal{O}$ -算子的二次上同调。在此基础上，刘等人将Das [8]关于结合代数上$\mathcal{O}$ -算子的形变理论推广到B-代数上[15]，研究了B-代数上$\mathcal{O}$ -算子，Rota-Baxter算子和结合r-矩阵的形变。本文旨在进一步研究B-代数上由结合r-矩阵诱导的无穷小双代数的形变理论。

文中所有代数都有单位元，向量空间均为有限维，且所有向量空间，线性映射，张量积在特征为0的域$\mathbb{K}$ 上讨论。

2. 预备知识

本节主要介绍B-代数及其上$\mathcal{O}$ -算子、结合r-矩阵的基本概念与结论。

定义2.1 [11] 设A是一个代数，B是一个带单位元$1_B$ 的交换代数，$\epsilon :B\to A$ 是代数同态，且满足 $\epsilon \left(B\right)\subseteq Z\left(A\right)$ ($Z\left(A\right)$ 是A的中心)，则称A为一个B-代数，$\left(A,B,\epsilon \right)$ 是一个三元组。

注2.2 由文献[11]可知，B-代数等价于存在一簇乘法${\left\{m_b:A\otimes A\to A\right\}}_{b\in B}$ 使得$\left(A,m_{1_B}\right)$ 是一个带单位元$1_A$ 的代数，且对任意$b_1,b_2,b_3\in B$ ，$q\in K$ ，有

$\begin{array}{l}{m}_{b_1+b_2}\left(a_1\otimes a_2\right)=m_{b_1}\left(a_1\otimes a_2\right)+m_{b_2}\left(a_1\otimes a_2\right),\\ m_{q{b}_1}\left(a_1\otimes a_2\right)=q{m}_{b_1}\left(a_1\otimes a_2\right),\\ m_{b_2{b}_3}\left(m_{b_1}\left(a_1\otimes a_2\right)\otimes a_3\right)=m_{b_1{b}_2}\left(a_1\otimes m_{b_3}\left(a_2\otimes a_3\right)\right),\end{array}$

此时，称$\left(A,\left\{m_b\right\}\right)$ 是B-代数。

定义2.3 [15] 设$\left(A,\left\{m_b\right\}\right)$ 是B-代数，M是一个向量空间。若存在两簇线性映射 ${\left\{L_b:A\otimes M\to M\right\}}_{b\in B}$ 和${\left\{R_b:M\otimes A\to M\right\}}_{b\in B}$ ，使得对任意$a,a_1,a_2\in A$ ，$m\in M$ ，$b_1,b_2,b_3\in B$ ，$q\in \mathbb{K}$ ，满足

$\begin{array}{l}{L}_{b_1+b_2}\left(a\otimes m\right)=L_{b_1}\left(a\otimes m\right)+L_{b_2}\left(a\otimes m\right),\\ L_{q{b}_1}\left(a\otimes m\right)=q{L}_{b_1}\left(a\otimes m\right),\\ L_{b_2{b}_3}\left(m_{b_1}\left(a_1\otimes a_2\right)\otimes m\right)=L_{b_1{b}_2}\left(a_1\otimes L_{b_3}\left(a_2\otimes m\right)\right),\end{array}$

以及

$\begin{array}{l}{R}_{b_1+b_2}\left(m\otimes a\right)=R_{b_1}\left(m\otimes a\right)+R_{b_2}\left(m\otimes a\right)\\ R_{q{b}_1}\left(m\otimes a\right)=q{R}_{b_1}\left(m\otimes a\right),\\ R_{b_1{b}_2}\left(m\otimes m_{b_3}\left(a_1\otimes a_2\right)\right)=R_{b_2{b}_3}\left(R_{b_1}\left(m\otimes a_1\right)\otimes a_2\right),\end{array}$

此外，还满足

$L_{b_1{b}_2}\left(a_1\otimes R_{b_3}\left(m\otimes a_2\right)\right)=R_{b_2{b}_3}\left(L_{b_1}\left(a_1\otimes m\right)\otimes a_2\right)，$

且$L_{1_B}\left(1_A\otimes m\right)=R_{1_B}\left(m\otimes 1_A\right)$ ，则称$\left(M,L_{1_B},R_{1_B}\right)$ 为B-代数A的一个双模。

例2.4 [15] 设$\left(A,B,\epsilon \right)$ 是三元组。定义一簇乘法${\left\{m_b:A\otimes A\to A\right\}}_{b\in B}$ 为

$m_b:A\otimes A\to A,a_1\otimes a_2\mapsto \epsilon \left(b\right)\cdot \left(a_1\cdot a_2\right)\triangleq a_1{\cdot }_b{a}_2.$

设$M$ 是B-代数A的双模。对任意$b\in B$ ，定义映射${\left\{L_b:A\otimes M\to M\right\}}_{b\in B}$ ，${\left\{R_b:M\otimes A\to M\right\}}_{b\in B}$ 为

$\begin{array}{l}{L}_b:A\otimes M\to M,a\otimes m\mapsto \epsilon \left(b\right)\left(am\right)\triangleq a{\cdot }_{b,M}m,\\ R_b:M\otimes A\to M,m\otimes a\mapsto \epsilon \left(b\right)\left(ma\right)\triangleq m{\cdot }_{b,M}a.\end{array}$

容易验证$\left(A,\left\{{\cdot }_b\right\}\right)$ 是B-代数，且$\left(M,L_b,R_b\right)$ 是B-代数A的一个双模。

注2.5 [15] 对于每个$a\in A$ ，$b\in B$ ，存在映射$l_{a,b}:M\to M$ ，$m\mapsto L_b\left(a,m\right)$ 以及$r_{a,b}:M\to M$ ，$m\mapsto R_b\left(m,a\right)$ 。特别地，B-代数$\left(A,\left\{{\cdot }_b\right\}\right)$ 自身作为A-双模，其左右模作用$L_b=R_b={\cdot }_b$ 。我们称该双模为B-代数$\left(A,\left\{{\cdot }_b\right\}\right)$ 上的伴随双模，相应地有映射$a{d}_{a,b}^l$ 和$a{d}_{a,b}^r$ ，即对固定的$a\in A$ ，$b\in B$ ，以及任意$x\in A$ ，$a{d}_{a,b}^l\left(x\right)=a{\cdot }_{b}x$ ，$a{d}_{a,b}^r\left(x\right)=x{\cdot }_{b}a$ 。此外，B-代数$\left(A,\left\{{\cdot }_b\right\}\right)$ 的对偶空间$A^{*}$ 也是B-代数的双模(又称B-代数上的余伴随双模结构)，此时$L_b:A\otimes A^{*}\to A^{*},R_b:A^{*}\otimes A\to A^{*}$ ，对于$b\in B$ ，$a_1,a_2\in A$ 以及$f\in A^{*}$ ，有

$\begin{array}{r}\hfill L_b\left(a_1,f\right)\left(a_2\right)=f\left(a_2{\cdot }_b{a}_1\right),R_b\left(f,a_1\right)\left(a_2\right)=f\left(a_1{\cdot }_b{a}_2\right),\end{array}$

对应的映射记为$a{d}_{a,b}^{*l}$ 和$a{d}_{a,b}^{*r}$ ，

$\begin{array}{r}\hfill a{d}_{a,b}^{*l}:A^{*}\to A^{*},f\mapsto L_b\left(a,f\right),\\ \hfill a{d}_{a,b}^{*r}:A^{*}\to A^{*},f\mapsto R_b\left(a,f\right).\end{array}$

B-代数上的伴随双模和余伴随双模在本文第4节研究无穷小双代数的形变理论中起着核心作用。

定义2.6 [15] 设$\left(A,\left\{{\cdot }_b\right\}\right)$ 是B-代数，M是B-代数A的双模。若对任意$b\in B$ ，$u,v\in M$ ，线性映射$T:M\to A$ 满足

$T\left(u\right){\cdot }_{b}T\left(v\right)=T\left(T\left(u\right){\cdot }_{b,M}v+u{\cdot }_{b,M}T\left(v\right)\right).$

则称其为B-代数上关于M的$\mathcal{O}$ -算子。

定义2.7 [15] 设$\left(A,\left\{{\cdot }_b\right\}\right)$ 是B-代数，$r={\displaystyle {\sum }_i{x}_i\otimes y_i\in A\otimes A}$ 。定义

$A_b\left(r\right)=r_{13}{r}_{12}+r_{23}{r}_{13}-r_{12}{r}_{23}\in A\otimes A\otimes A,$

其中

$r_{13}{r}_{12}={\displaystyle \sum }_{i,j}{x}_i{\cdot }_b{x}_j\otimes y_j\otimes y_i,$

$r_{23}{r}_{13}={\displaystyle \sum }_{i,j}{x}_i\otimes x_j\otimes y_j{\cdot }_b{y}_i,$

$r_{12}{r}_{23}={\displaystyle \sum }_{i,j}{x}_i\otimes y_i{\cdot }_b{x}_j\otimes y_j.$

若对任意$b\in B,A_b\left(r\right)=0$ ，则称r为B-代数A上的结合r-矩阵。

定义反对称线性映射$r^{♯}:A^{*}\to A:\langle \beta ,r^{♯}\left(\alpha \right)\rangle =r\left(\alpha ,\beta \right),\forall \alpha ,\beta \in A^{*}$ 。

命题2.8 [15] $r\in A\otimes A$ 是B-代数A上的结合r-矩阵当且仅当$r^{♯}$ 是B-代数A上关于余伴随双模$A^{*}$ 的$\mathcal{O}$ -算子。

下面介绍B-代数上两个结合r-矩阵之间的弱同态。

定义2.9 [15] 设$r_1,r_2\in A\otimes A$ 是B-代数A上的两个结合r-矩阵，$\varphi :A\to A$ 是一个B-代数同态，$\psi :A\to A$ 是一个线性映射。若对于任意$a_1,a_2\in A,b\in B$ ，满足以下等式：

$\begin{array}{l}\left(\psi \otimes {\text{id}}_A\right)\left(r_2\right)=\left({\text{id}}_A\otimes \varphi \right)\left(r_1\right),\\ \psi \left(\varphi \left(a_1\right){\cdot }_{\text{b}}{a}_2\right)=a_1{\cdot }_{\text{b}}\psi \left(a_2\right),\\ \psi \left(a_1{\cdot }_{\text{b}}\varphi \left(a_2\right)\right)=\psi \left(a_1\right){\cdot }_{\text{b}}{a}_2.\end{array}$

则称$\left(\varphi ,\psi \right)$ 是从$r_1$ 到$r_2$ 的弱同态。若$\varphi$ 和$\psi$ 都是同构，则称$\left(\varphi ,\psi \right)$ 为弱同构。

以下结果描述了B-代数上结合r-矩阵的弱同态(同构)与相应的$\mathcal{O}$ -算子之间的同态(同构)关系。

定理2.10 [15] 设$r_1,r_2\in A\otimes A$ 是B-代数上的两个结合r-矩阵，则$\left(\varphi ,\psi \right)$ 是从$r_1$ 到$r_2$ 的弱同态(同构)当且仅当$\left(\varphi ,{\psi }^{*}\right)$ 是从到的$\mathcal{O}$ -算子同态(同构)。

定理2.11 [15] B-代数A上的两个结合r-矩阵$r_1$ 和$r_2$ 等价当且仅当存在B-代数同构$\varphi :A\to A$ 使得$\left(\varphi ,{\varphi }^{-1}\right)$ 是从$r_1$ 到$r_2$ 的弱同构。

3. B-代数上的无穷小双代数

本节首先定义B-代数上的无穷小双代数，并证明三角无穷小B-双代数可由B-代数上的结合r-矩阵诱导得出。在此基础上，我们将引入B-代数上弱同态的概念来刻画B-代数上无穷小双代数之间的同态。

定义3.1 设$\left(A,\left\{{\cdot }_b\right\}\right)$ 是一个B-代数。若存在一簇余乘法${\left\{{\Delta }_b:A\to A\otimes A\right\}}_{b\in B}$ 使得对每个$b\in B$ ， $\left(A,\left\{{\Delta }_b\right\}\right)$ 是一个B-余代数(即满足B-余结合律)，且对任意$b_1,b_2\in B$ 及$a_1,a_2\in A$ ，成立

${\Delta }_{b_2}\left(a_1{\cdot }_{b_1}{a}_2\right)=a_1{\cdot }_{b_1}{\Delta }_{b_2}\left(a_2\right)+{\Delta }_{b_2}\left(a_1\right){\cdot }_{b_1}{a}_2,$

其中右模作用和左模作用分别定义为

$a{\cdot }_b\left(\sum a\text{'}\otimes a″\right)=\sum \left(a{\cdot }_{b}a\text{'}\right)\otimes a″,\left(\sum a\text{'}\otimes a″\right){\cdot }_{b}a=\sum a\text{'}\otimes \left(a″{\cdot }_{b}a\right),$

则称$\left(A,\left\{{\cdot }_{b,A}\right\},\left\{{\Delta }_{b,A}\right\}\right)$ 为一个B-代数上的无穷小双代数。

注3.2 当$B=\mathbb{K}$ 时，上述定义退化为经典的无穷小双代数[1]，此时$\Delta \left(a_1\cdot a_2\right)=a_1\cdot \Delta \left(a_2\right)+\Delta \left(a_1\right)\cdot a_2$ 。

设$\left(A,\left\{{\cdot }_{b,A}\right\},\left\{{\Delta }_{b,A}\right\}\right)$ 和$\left(R,\left\{{\cdot }_{b,R}\right\},\left\{{\Delta }_{b,R}\right\}\right)$ 是两个B-代数上的无穷小双代数。若存在B-代数同态$\varphi :A\to R$ ，且该同态与余积相容，即$\left(\varphi \otimes \varphi \right)\circ {\Delta }_{b,A}={\Delta }_{b,R}\circ \varphi$ ，则称其为B-代数上无穷小双代数的同态。在有限维向量空间上，结合余代数结构等价于其对偶空间上的结合代数结构。从对偶等价的角度来说，若存在B-代数同态$\varphi :A\to R$ 满足其对偶态射${\varphi }^{*}:R^{*}\to A^{*}$ 是B-代数同态，则称其为B-代数上无穷小双代数的同态。若$\varphi$ 是线性同构，则称其为B-代数上无穷小双代数的同构。

由文献[15]可知，B-代数A上的结合r-矩阵$r\in A\otimes A$ 诱导了$\mathcal{O}$ -算子

。在对偶空间$A^{*}$ 上可以定义B-代数结构：

其中

和

是B-代数A上的右余伴随和左余伴随作用，具体作用见注2.5。对偶地，该B-代数结构对应了A上的一个B-余代数结构${\Delta }_{b,r}$ ，定义为

$\langle {\Delta }_{b,r}\left(a\right),\alpha \otimes \beta \rangle =\langle a,\alpha {\star }_{\text{b}}\beta \rangle ,\forall a\in A,\alpha ,\beta \in A^{*}.$

此时，A上的B-代数结构和上述B-余代数结构构成一个B-代数上的无穷小双代数，称 $\left(A,\left\{{\cdot }_b\right\},\left\{{\Delta }_{b,r}\right\}\right)$ 为由r诱导的B-代数上的三角无穷小双代数。

接下来，我们引入B-代数A上两个无穷小双代数之间的弱同态概念。

定义3.3 设$\left(A,\left\{{\cdot }_b\right\},\left\{{\Delta }_b\right\}\right)$ 和$\left(A,\left\{{\cdot }_b\right\},\left\{{{\Delta }^{\prime }}_b\right\}\right)$ 是B-代数A上的两个无穷小双代数。若存在一对$\left(\varphi ,\psi \right)$ ，其中$\varphi :A\to A$ 是B-代数同态，$\psi :A\to A$ 是B-余代数同态(即对每个$b\in B$ ，${{\Delta }^{\prime }}_b\circ \psi =\left(\psi \otimes \psi \right)\circ {\Delta }_b$ )，使得对任意$a_1,a_2\in A,b\in B$ ，

$\psi \left(\varphi \left(a_1\right){\cdot }_b{a}_2\right)=a_1{\cdot }_b\psi \left(a_2\right)，$

$\psi \left(a_1{\cdot }_b\varphi \left(a_2\right)\right)=\psi \left(a_1\right){\cdot }_b{a}_2，$

则称其为B-代数A上两个无穷小双代数之间的弱同态。若$\varphi$ 和$\psi$ 都是线性同构，则称$\left(\varphi ,\psi \right)$ 为弱同构。

命题3.4 设$\left(A,\left\{{\cdot }_b\right\},\left\{{\Delta }_b\right\}\right)$ 和$\left(A,\left\{{\cdot }_b\right\},\left\{{{\Delta }^{\prime }}_b\right\}\right)$ 是B-代数A上的两个无穷小双代数。它们作为B-代数A上的无穷小双代数同构当且仅当存在B-代数同构$\varphi :A\to A$ 使得$\left(\varphi ,{\varphi }^{-1}\right)$ 是B-代数A上从$\left(A,\left\{{\cdot }_b\right\},\left\{{\Delta }_b\right\}\right)$ 到$\left(A,\left\{{\cdot }_b\right\},\left\{{{\Delta }^{\prime }}_b\right\}\right)$ 的弱同构。

下面我们说明，B-代数A上结合r-矩阵的弱同态会诱导相应无穷小双代数之间的弱同态。

定理3.5 设$\left(A,\left\{{\cdot }_b\right\}\right)$ 是一个B-代数，$r_1,r_2\in A\otimes A$ 是两个B-代数上的结合r-矩阵。若$\left(\varphi ,\psi \right)$ 是B-代数上从$r_1$ 到$r_2$ 的弱同态(弱同构)，则$\left(\varphi ,\psi \right)$ 也是B-代数上从无穷小双代数$\left(A,\left\{{\cdot }_b\right\},\left\{{\Delta }_{b,r_1}\right\}\right)$ 到$\left(A,\left\{{\cdot }_b\right\},\left\{{\Delta }_{b,r_2}\right\}\right)$ 的弱同态(弱同构)。

证明：由于$\left(\varphi ,\psi \right)$ 是从$r_1$ 到$r_2$ 的弱同态，由定义3.3知$\psi \left(\varphi \left(a_1\right){\cdot }_b{a}_2\right)=a_1{\cdot }_b\psi \left(a_2\right)$ 和 $\psi \left(a_1{\cdot }_b\varphi \left(a_2\right)\right)=\psi \left(a_1\right){\cdot }_b{a}_2$ 。因此只需证明$\psi :A\to A$ 是B-余代数同态，即等价于证明${\psi }^{*}:A^{*}\to A^{*}$ 是B-代数同态。对任意$\alpha ,\beta \in A^{*},x\in A$ ，$b\in B$ ，我们有

这表明${\psi }^{*}\left(\alpha {\star }_{b,r_1}\beta \right)={\psi }^{*}\left(\alpha \right){\star }_{b,r_2}{\psi }^{*}\left(\beta \right)$ 。证毕。

结合定理2.11，命题3.4，定理3.5可得如下推论。

推论3.6 设$r_1,r_2\in A\otimes A$ 是B-代数$\left(A,\left\{{\cdot }_b\right\}\right)$ 上的两个结合r-矩阵。若$r_1$ 与$r_2$ 等价，则无穷小双代数$\left(A,\left\{{\cdot }_b\right\},\left\{{\Delta }_{b,r_1}\right\}\right)$ 与$\left(A,\left\{{\cdot }_b\right\},\left\{{\Delta }_{b,r_2}\right\}\right)$ 同构。

在本节末尾，我们给出一个具体的低维B-代数及其结合r-矩阵的例子。

例3.7 取一个2维交换代数$A=\mathbb{K}\left[x\right]/\left(x^2\right)$ ，基为$\left\{1,x\right\}$ ，乘法满足$1\cdot 1=1$ ，$1\cdot x=x$ ，$x\cdot x=0$ 。取另一2维交换代数$B=\mathbb{K}\left[\epsilon \right]/\left({\epsilon }^2\right)$ ，基为$\left\{1,\epsilon \right\}$ 。定义$\epsilon :B\to A$ 为$\epsilon \left(1\right)=1$ ，$\epsilon \left(\epsilon \right)=x$ 。由于A交换，$\epsilon \left(b\right)$ 自然在A的中心，因此$\left(A,B,\epsilon \right)$ 构成一个B-代数。相应的乘法族为：对$b=b_0+b_1\epsilon$ ， $a_1{\cdot }_b{a}_2=\epsilon \left(b\right)a_1{a}_2=b_0{a}_1{a}_2+b_{1}x{a}_1{a}_2$ 。取$r=1\otimes x\in A\otimes A$ ，易知$A_b\left(r\right)=0$ 对任意$b\in B$ 成立，即r是一个结合r-矩阵。计算

：设对偶基$\left\{1^{*},x^{*}\right\}$ ，则

，

。于是$A^{*}$ 上的B-代数结构$\left\{{\star }_b\right\}$ 为：对$\alpha ,\beta \in A^{*}$ ，

具体计算得：

$\begin{array}{l}{1}^{*}{\star }_b{1}^{*}=a{d}_{x,b}^{*r}{1}^{*}+a{d}_{1,b}^{*l}{1}^{*},\\ \langle a{d}_{x,b}^{*l}{1}^{*},a\rangle =1^{*}\left(a{\cdot }_{b}x\right),\\ \langle a{d}_{1,b}^{*r}{1}^{*},a\rangle =1^{*}\left(1{\cdot }_{b}a\right),\end{array}$

通过基计算可得$A^{*}$ 上的乘法，进而对偶得到A上的余乘法${\Delta }_{b,r}$ 。例如，${\Delta }_{b,r}\left(x\right)=0$ 。于是得到了一个由r诱导的B-代数上非平凡的三角无穷小双代数$\left(A,\left\{{\cdot }_b\right\},\left\{{\Delta }_{b,r}\right\}\right)$ 。

4. B-代数上的无穷小双代数线性形变

本节研究B-代数$\left(A,\left\{{\cdot }_b\right\}\right)$ 上无穷小双代数的线性形变。

定义4.1 设$\left(A,\left\{{\cdot }_b\right\},\left\{{\Delta }_b\right\}\right)$ 是一个B-代数上的无穷小双代数。考虑一簇线性映射${\left\{{{\Delta }^{\prime }}_b:A\to A\otimes A\right\}}_{b\in B}$ ，如果对每个参数$t\in \mathbb{K}$ ，$b\in B,\left(A,\left\{{\cdot }_b\right\},\left\{{\Delta }_b+t{{\Delta }^{\prime }}_b\right\}\right)$ 仍定义了一个B-代数A上的无穷小双代数结构，则称对于每个$b\in B$ ，$\left\{{{\Delta }^{\prime }}_b\right\}$ 生成了B-代数上无穷小双代数$\left(A,\left\{{\cdot }_b\right\},\left\{{\Delta }_b\right\}\right)$ 的一个线性形变。

令$\kappa \in A\otimes A$ 是B-代数$\left(A,\left\{{\cdot }_b\right\}\right)$ 上的结合r-矩阵，对于每个$b\in B$ ，定义映射$\left\{{\star }_{b,\kappa }:A^{*}\otimes A^{*}\to A^{*}\right\}$ ，

，其对偶映射为$\left\{{\Delta }_{b,\kappa }\right\}$ 。由于B-代数A上的结合r-矩阵$r\in A\otimes A$ 可以诱导$\mathcal{O}$ -算子$r^{♯}:A^{*}\to A$ ，我们可以得到以下结果。

命题4.2 设r是B-代数$\left(A,\left\{{\cdot }_b\right\}\right)$ 上的一个结合r-矩阵，对于每个$b\in B$ ，相应的无穷小双代数为$\left(A,\left\{{\cdot }_b\right\},\left\{{\Delta }_{b,r}\right\}\right)$ 。若$\kappa$ 生成了B-代数A上结合r-矩阵r的线性形变，则$\left\{{\Delta }_{b,\kappa }\right\}$ 生成了B-代数A上无穷小双代数$\left(A,\left\{{\cdot }_b\right\},\left\{{\Delta }_{b,r}\right\}\right)$ 的一个线性形变。

证明：由假设，$\kappa$ 生成r的线性形变，即对每个$t\in \mathbb{K}$ ，$r_t=r+t\kappa$ 仍是B-代数A上的结合r-矩阵。由命题2.8知，对任意$b\in B$ ，

是由B-代数A上结合r-矩阵$r_t=r+t\kappa$ 诱导的$\mathcal{O}$ -算子。因此，诱导了$A^{*}$ 上的B-代数结构${\star }_{b,r_t}$ ，其对偶即为A上的B-余代数结构${\Delta }_{b,r_t}$ 。由定义3.1知，$\left(A,\left\{{\cdot }_b\right\},\left\{{\Delta }_{b,r_t}\right\}\right)$ 是无穷小双代数。又${\Delta }_{b,r_t}={\Delta }_{b,r}+t{\Delta }_{b,\kappa }$ ，由定义4.1知，$\left\{{\Delta }_{b,\kappa }\right\}$ 生成了$\left(A,\left\{{\cdot }_b\right\},\left\{{\Delta }_{b,r}\right\}\right)$ 的一个线性形变。

定义4.3 设B-代数A上无穷小双代数$\left(A,\left\{{\cdot }_b\right\},\left\{{\Delta }_b\right\}\right)$ 的两个线性形变为${\Delta }_{b,t}^1={\Delta }_b+t{{\Delta }^{\prime }}_b$ 和 ${\Delta }_{b,t}^2={\Delta }_b+t{{\Delta }^{″}}_b$ ，如果存在$a\in A$ 使得

${\varphi }_{t,b}=i{d}_A+t\left(a{d}_{a,b}^l-a{d}_{a,b}^r\right),{\psi }_{t,b}=i{d}_A-t\left(a{d}_{a,b}^l-a{d}_{a,b}^r\right)$

是B-代数A上从$\left(A,\left\{{\cdot }_b\right\},{\Delta }_{b,t}^1\right)$ 到$\left(A,\left\{{\cdot }_b\right\},{\Delta }_{b,t}^2\right)$ 的弱同态，即对每个$b\in B$ 和任意$x,y\in A$ 有

${\psi }_{t,b}\left({\varphi }_{t,b}\left(x\right){\cdot }_{b}y\right)=x{\cdot }_b{\psi }_{t,b}\left(y\right),{\psi }_{t,b}\left(x{\cdot }_b{\varphi }_{t,b}\left(y\right)\right)={\psi }_{t,b}\left(x\right){\cdot }_{b}y,$

且${\psi }_{t,b}$ 是余代数同态：$\left({\psi }_{t,b}\otimes {\psi }_{t,b}\right)\circ {\Delta }_{b,t}^1={\Delta }_{b,t}^2\circ {\psi }_{t,b}$ ，则称这两个线性形变是等价的。

关于B-代数A上结合r-矩阵的形变与相应无穷小双代数的形变之间的等价关系，我们有如下结论。

定理4.4 设$r_{b,t}^1=r+t{\kappa }_1$ 和$r_{b,t}^2=r+t{\kappa }_2$ 是B-代数A上结合r-矩阵$r\in A\otimes A$ 的两个线性形变。考虑B-代数A上相应无穷小双代数$\left(A,\left\{{\cdot }_b\right\},\left\{{\Delta }_{b,r}+t{\Delta }_{{\kappa }_1}\right\}\right)$ 和$\left(A,\left\{{\cdot }_b\right\},\left\{{\Delta }_{b,r}+t{\Delta }_{{\kappa }_2}\right\}\right)$ 的线性形变，则$r_{b,t}^1$ 与$r_{b,t}^2$ 等价当且仅当${\Delta }_{b.t}^{{\kappa }_1}={\Delta }_{b,r}+t{\Delta }_{{\kappa }_1}$ 与${\Delta }_{b,t}^{{\kappa }_2}={\Delta }_{b,r}+t{\Delta }_{{\kappa }_2}$ 等价。

证明：设$r_{b,t}^1=r+t{\kappa }_1$ 与$r_{b,t}^2=r+t{\kappa }_2$ 是B-代数A上结合r-矩阵r的两个线性形变。由定理2.11，$r_{b,t}^1$ 与$r_{b,t}^2$ 等价当且仅当存在依赖于参数t的B-代数同构${\varphi }_t:A\to A$ ，使得$\left({\varphi }_t,{\varphi }_t^{-1}\right)$ 是从$r_{b,t}^1$ 到$r_{b,t}^2$ 的弱同构。将${\varphi }_t$ 展开为形式幂级数${\varphi }_t=id+t\varphi +O\left(t^2\right)$ ，则${\varphi }_t^{-1}=id-t\varphi +O\left(t^2\right)$ ，其中$\varphi :A\to A$ 是线性映射。将$\left({\varphi }_{\text{t}},{\varphi }_{\text{t}}^{-1}\right)$ 代入弱同构条件(定义2.9)，比较t的一次项，得到：

$\left(\varphi \otimes id\right)\left(r\right)+{\kappa }_2=\left(id\otimes \varphi \right)\left(r\right)+{\kappa }_1\left(模t\right),$

$\varphi \left(a_1\underset{b}{\cdot }{a}_2\right)=\varphi \left(a_1\right)\underset{b}{\cdot }{a}_2+a_1\underset{b}{\cdot }\varphi \left(a_2\right),\forall a_1,a_2\in A,b\in B,$

即$\varphi$ 是B-代数A上的导子。根据结合r-矩阵的形变理论(参见文献[15])，满足上述条件的导子$\varphi$ 必为内导子，即存在某个$a\in A$ 使得$\varphi =a{d}_{a,b}^l-a{d}_{a,b}^r$ 。于是构造映射

${\overline{\varphi }}_{t,b}=id+t\left(a{d}_{a,b}^l-a{d}_{a,b}^r\right),{\overline{\psi }}_{t,b}=id-t\left(a{d}_{a,b}^l-a{d}_{a,b}^r\right).$

由于${\varphi }_t$ 与${\overline{\varphi }}_{t,b}$ 相差$O\left(t^2\right)$ ，${\varphi }_t^{-1}$ 与${\overline{\psi }}_{t,b}$ 相差$O\left(t^2\right)$ ，且$\left({\varphi }_{\text{t}},{\varphi }_{\text{t}}^{-1}\right)$ 满足弱同构条件，故$\left({\overline{\varphi }}_{t,b},{\overline{\psi }}_{t,b}\right)$ 满足弱同态条件至t的一阶。因为形变是线性的(仅含t的一次项)，所以$\left({\overline{\varphi }}_{t,b},{\overline{\psi }}_{t,b}\right)$ 构成定义4.3中的弱同态。进而由定理3.5知，${\Delta }_{b,t}^{{\kappa }_1}={\Delta }_{b,r}+t{\Delta }_{{\kappa }_1}$ 与${\Delta }_{b,t}^{{\kappa }_2}={\Delta }_{b,r}+t{\Delta }_{{\kappa }_2}$ 等价。

反之，若存在$a\in A$ 使得$\left({\overline{\varphi }}_{t,b},{\overline{\psi }}_{t,b}\right)$ 是定义4.3中的弱同态，则比较t的一次项可得$\varphi =a{d}_{a,b}^l-a{d}_{a,b}^r$ 满足上述导子条件及第一个等式，因此由定理2.10和2.11可知$r_{b,t}^1$ 与${\text{r}}_{\text{b},\text{t}}^2$ 等价。证毕。

例4.5 例3.7中的B-代数$A=\mathbb{K}\left[x\right]/\left(x^2\right)$ 和$r=1\otimes x$ ，取$\kappa =x\otimes 1$ ，则$r_t=r+t\kappa =1\otimes x+tx\otimes 1$ ，计算$A_b\left(r_t\right)$ 可知其为零，故$\kappa$ 生成了r的一个线性形变。对应的${\Delta }_{b,\kappa }$ 由对偶得到：${\Delta }_{b,\kappa }\left(1\right)=\epsilon \left(b\right)\left(x\otimes 1-1\otimes x\right)$ ，${\Delta }_{b,\kappa }\left(x\right)=0$ 。于是${\Delta }_{b,t}^{\kappa }={\Delta }_{b,r}+t{\Delta }_{b,\kappa }$ 给出${\Delta }_{b,r}$ 的线性形变。若取另一形变${\kappa }^{\prime }=-\kappa$ ，则${r^{\prime }}_t=r-t\kappa$ ，易知 $\left(id-t\left(a{d}_{a,b}^l-a{d}_{a,b}^r\right),id+t\left(a{d}_{a,b}^l-a{d}_{a,b}^r\right)\right)$ 等价，其中$a=1$ ，易知这两个形变等价，符合定理4.4。

5. 总结与展望

本文将Das [8]中关于无穷小双代数的形变理论推广到了B-代数框架下。我们首先定义了B-代数上的无穷小双代数，并证明了三角无穷小B-双代数可由B-代数上的结合r-矩阵自然诱导得出。在此基础上，我们引入了弱同态的概念，并系统研究了这类双代数的线性形变。本文的核心结论是建立了B-代数上结合r-矩阵的形变与其诱导的三角无穷小B-双代数形变之间的一一对应。这一工作不仅完善了B-代数上$\mathcal{O}$ -算子形变理论的应用，也为进一步研究B-代数上更一般的双代数结构提供了基础。

然而，在本文所研究的B-代数上无穷小双代数的形变中，我们只对B-余代数结构进行了线性形变，这与结合r-矩阵的形变以及$\mathcal{O}$ -算子的形变是一致的，即只形变r-矩阵或$\mathcal{O}$ -算子，而保持基代数不变。因此，考虑更一般的形变，即允许B-代数结构也发生形变，值得进一步研究。