1. 引言
从20世纪30年代以来，生产自动化技术取得巨大成就，工业自动化涉及范围很广，过程控制是其中最重要的一个分支，工业生产对过程控制的要求是稳定性、安全性和经济性。过程控制的任务是在了解、掌握工艺流程和生产过程的静态和动态特性的基础上，根据上述三项要求，应用理论对控制系统进行分析和综合，最后采用合适的技术手段加以实现。在很多情况下，只需采用商品化的常规调节器进行PID控制就可以实现其控制任务。尽管在控制领域，不断涌现出各种新型控制器，但PID控制器还是以其结构简单、易实现、鲁棒性强等优点，在控制领域中处于主导地位，是工业过程控制的基础。根据日本有关调查资料显示，现今使用的各种控制技术中，PID技术站84.5%，优化PID控制技术占6.8%，现代控制技术占1.6%，人工智能技术占0.6%。如果把优化PID控制技术和PID控制技术加起来，那么PID技术占到整个控制技术的90%以上，有资料也指出，工业过程控制中，95%以上的回路具有PID结构[1] 。所以，可以毫不夸张地说，随着现代工业化和其他各种先进控制技术的发展，PID控制技术仍然不过时，而且还站着主导地位。
本文介绍了基于Microsoft Visual Studio 2010平台的VC的PID控制模块设计。可用于控制系统的仿真，控制器代码可以直接移植于目标系统。
2. 使用须知
纸型
PID控制器由比例单元(P)、积分单元(I)和微分单元(D)组成，是具有比例–积分–微分控制规律的控制器[2] 。当系统是连续控制时，其输入
与输出
的关系为
(1)
相应的传递函数为
(2)
其中
为比例系数；
为积分时间常数；
为微分时间常数。
使用中只需设定三个参数(
，
和
)即可。在很多情况下，并不一定需要全部三个单元，可以取其中的一到两个单元，但比例控制单元是必不可少的。各种控制作用(即比例作用、微分作用和积分作用)的实现在表达式(1)、(2)中表达得很清楚，相应的控制器参数包括比例系数
，积分时间常数
，微分时间常数
。
1) 比例控制
比例控制是一种最简单的控制方式，可以及时地反应控制系统的偏差信号，一旦系统出现了偏差，比例调节作用即产生调节作用，减小系统偏差的变化。具有比例控制规律的控制器，称为P控制器[3] 。P控制器实质上是一个具有可调增益的放大器，在信号变换过程中，P控制器只改变信号增益而不影响其相位。在串联校正中，加大控制器增益，可以提高系统的开环增益，减小系统稳态误差，从而提高系统的控制精度，但会降低系统的相对稳定性，甚至可能造成闭环系统不稳定。因此，在系统校正设计中，很少单独使用比例控制规律[4] 。
2) 积分控制
具有积分控制规律的控制器，称为I控制。I控制器的输出信号
与其输入信号
的积分成正比，即
(3)
其中，
为可调系数。由于I控制器的积分作用，当其输入
消失后，输出信号
有可能是一个不为零的常量。
在串联校正时，采用I控制器可以提高系统的型别，有利于系统稳定性的提高，但积分控制使系统增加了一个位于原点的开环极点，使信号产生
的相角滞后，不利于系统的稳定性[5] 。如果I控制器和之前提到的P控制器结合起来，便构成了具有比例–积分控制规律的控制器，称PI控制器，其输出信号
同时成比例的反应输入信号
及其积分：
(4)
其中，
为可调比例系数；
为可调积分时间常数。在串联校正时，PI控制器相当于在系统中增加了一个位于原点的开环极点，同时也增加了一个位于s左半平面的开环零点。位于原点的极点可以提高系统的型别，以消除或减小系统的稳态误差，改善系统的稳态性能；而增加的负实零点则用来减小系统的阻尼程度，缓和PI控制器极点对系统稳定性及动态过程产生的不利影响[6] 。只要积分时间常数
足够大，PI控制器对系统稳定性的不利影响可大为减弱。在控制工程实践中，PI控制器主要用来改善控制系统的稳态性能。
3) 微分控制
微分控制器的输出与输入误差信号的微分(即误差的变化率)成正比关系，可以改善控制系统的响应速度和稳定性，微分作用能预见偏差变化的趋势，并能在偏差信号变得太大之前，在系统中引入一个有效的早期修正信号，反应系统偏差变化的规律，能产生超前的控制作用，从而加快系统的动作速度，减少调节时间。简单来说，微分作用能在偏差还没有形成之前，就可以消除误差，改善系统的动态性能[7] 。
微分作用取决于微分时间常数
，
越大，控制器的微分作用表现得就越强，
偏大时，超调量会较大，调节时间也会较长；
越小，控制器的微分作用越弱，
偏小时，超调量也较大，相应调节时间也会较长；
调节合适时，系统的超调量和调节时间可以有效的减小。微分作用反映的是输入信号的变化率，当偏差没有变化时，微分作用的输出为零。此外，从滤波器角度来说，微分控制器相当于一个高通滤波器，对噪声干扰有放大作用，这对系统是非常不利的，因此我们就不能过多的增加微分调节[8] [9] 。
3. 数字PID控制器
PID控制器是控制系统中应用最为广泛的一种控制器，广泛应用于工业过程控制中。随着微型计算机，特别是现代嵌入式位处理器的普及应用，原先由硬件实现的PID控制器的功能都可以用软件来代替实现，形成数值PID算法，实现由模拟PID控制器到数字PID控制器的转变。
在实际应用中，数字PID控制器分为两种：位置式PID控制器和增量式PID控制器。
3.1. 位置式PID控制器
计算机实际上是采样控制，它根据采样时刻的偏差值计算控制量。所以式(1)中的积分项和微分项不能直接使用，需要进行离散化处理。具体实现方法是：以K作为采样信号，T作为采样周期，则连续时间对应离散化的采样时间KT，用求和的形式代替积分，用增量的形式代替微分，则可作如下的近似变换：
(5)
将式(5)代入式(2)中，则得到离散的PID控制器表达式为：
(6)
或：
(7)
式中：
——采样序列号，
；
——第
次采样时刻计算机输出值；
——第
次采样时刻的输入偏差值；
——第
次采样时刻的输入偏差值；
——积分系数，
；
——微分系数，
；
——开始进行PID控制时的计算机的输出值。
因此，如果采样周期足够小的话，那么由式(6)和(7)得到的近似结果可获得足够的精确度，此时连续的和离散的PID控制过程会十分接近。由于式(6)和(7)的控制算法是直接按式(1)给出的PID控制规律进行计算的，所以给出了全部控制量的大小，被称为全量式或位置式PID控制算法[10] 。
由于位置式PID控制器每次输出全部控制量，因此它可以直接作用于执行机构。另一方面，由于这种算法全量输出，每次输出均与过去的状态有关，计算时要对
进行累加，容易造成积分饱和，计算机运算工作量很大；此外，因为计算机输出的
对应的是实际的执行机构的位置，如果计算机出现故障，
大幅度变化，这将会引起执行机构位置的大幅度变化，可能造成重大生产安全事故。这就导致这种算法不适用于生产实践中，催生了增量式PID控制器算法。
3.2. 增量式PID控制器
增量式PID控制器是指PID控制器每次输出的只是控制量的增量，当例如步进电机等执行机构，需要的是增量而不是位置量的绝对数值时，就可以使用增量式PID控制器进行控制。
由式(7)，根据递推原理可得：
(8)
用式(8)减去式(7)可得：
(9)
式中，
。
式(9)称为增量式PID控制算法。将该式整理合并得到：
(10)
式中，
它们都是与采样周期、比例增益、积分时间常数和微分时间常数有关的常系数。
根据增量式PID算法可以推导出位置式PID算法的递推形式，其表达式为：
(11)
其中
为系统的输入，
为控制对象的测量量。
位置式PID控制器实质上与增量式PID控制器是一样的，但是增量式PID控制器比位置式PID控制器有许多优越之处[11] ：
a)
只与
，
，
时刻的偏差有关，节省运算时间和内存。
b) 每次只做
计算，则计算误差影响很小。
c) 由于每次只输出增量
，因此误动作产生的误差很小，并便于实现无扰动切换。
鉴于增量式PID控制的种种优点，本论文采用增量式PID控制来进行仿真。
3.3. 增量式PID控制的算法实现
应用中，增量式PID控制器的算法实现如图1所示。
4. Stehfest算法
对于函数
定义其拉普拉斯变换为：
Figure 1. Block diagram of incremental PID
图1. 增量式PID实现框图
(12)
称
为函数
的拉普拉斯变换像函数。在VC中要实现对控制系统的输出值的计算，需要将S 域的拉普拉斯表达式
转换为时域的函数表达式
，则需要拉普拉斯反变换。
目前经常使用的反变换法有部分分式展开法和围线积分法。当
表达式比较复杂时，这两种方法都很难实现反变换。这时就需要采用一种新的算法来实现拉普拉斯反变换。Stehfest算法就是这样的一种拉普拉斯反变换的近似算法。
采用围线积分法实现反变换时，需要计算被积表达式在各极点上的留数。但当表达式比较复杂或存在多重极点时，微分运算用手工实现比较困难；借助计算机运算时，由于数值微分算法具有天生的数值不稳定性，又使运算误差不易控制。Stehfest算法用一个全新的表达式代替围线积分法中的积分式，可在计算机辅助下近似实现拉普拉斯反变换，其形式如下：
(13)
其中
(14)
(15)
(16)