1. 问题的提出
1.1. 线路构成
对于1条城市轨道交通线路，有n个车站，双线，列车从车辆段出发的方向为上行方向反之为下行方向。从始发站1开始沿上行方向环形逆转到下行方向，依次标记为车站2, 3, ×××, n, n + 1, 2n − 1，直至逆向终点站2n。以下用标记车站。实际上，车站1与2n，2与2n − 1，n与n + 1分别具有相同的名称，但为了方便起见，本文仍按2个不同的车站区分它们[2] 。
1.2. 列车运行特性
根据国内外城市轨道交通运营实践，不失一般性，做如下设定。轨道列车采用2站式的长交路运行，即始发站1为车辆段所在站，车站n为列车折返站；所有列车的编成辆数一致，即列车具有相同的载客能力，用C表示每列车的标准载客人数；列车运行速度恒定，即所有列车在同一区间内运行时间相同，用V表示列车的速度。
2. 符号约定
：上行或下行第j时段第k站上车人数。
：上行或下行第j时段第k站下车人数。
：上行或下行第j时段最大客容量。
：上行或下行时第j段平均载客量。
：日所需总车次。
：上行或下行第j时段的车次。
：上行或下行第j时段平均发车时差。
：上行或下行第j时段平均载客量。
：上行或下行的平均发车时间间隔。
：上行或下行时地铁公司日平均满意度。
：上行或下行时乘客整体日平均满意度。
：上行或下行时地铁公司各时段的满意度。
：上行或下行时乘客各时段的满意度。
：日所需列车数。
当：表示为上行运动；当：表示为下行运动。
3. 问题的分析
轨道列车调度问题的难点是要同时考虑到市民出行状况、提高地铁公司的经济和社会效益等诸多因素。如果仅考虑提高地铁公司的经济效益，则只要提高轨道列车的满载率，运用数据分析法可以方便地给出它的最佳调度方案；如果仅考虑方便乘客出行，只要在保证列车安全的情况下增加列车的发车次数，运用统计方法同样可以方便地给出它的最佳调度方案[3] 。显然这两种方案是对立的。于是我们将这种情况分成两个方面，分别考虑：1) 地铁公司的经济效益，记为；公司的满意度：2) 乘客的等待时间和乘车的舒适度，记为：乘客的满意度。
地铁公司的满意度取决于每一趟列车的满载率[4] ，且满载率越高，地铁公司的满意度越高；乘客的满意度取决于乘客等待的时间和乘车的舒适度，而乘客等待时间取决于列车的发车频率，发车频率越高等待时间越少，满意度越高；乘客的舒适度取决于是否超载，超载人数越少，乘客越满意[5] 。很明显，地铁公司的满意度与乘客的满意度相互矛盾，所以我们需要在这两个因素中找出一个合理的匹配关系，使得双方的满意度达到最好。
4. 基本假设
1) 轨道列车在运营过程中，不考虑天窗修以及因意外情况的发生而影响列车运行的情况。
2) 轨道列车：发车间隔取整分钟，到达终点站后调头变为始发车。
3) 乘客：在每时段内到达车站的人数可看做是负指数分布，乘客乘车时按照先到先乘车的原则，且不用在两列车的间隔内等待太久。
4) “人数统计”通过刷卡记录，数据准确、可信。
模型建立与求解
1) 上下行各时间段内最大客容量，建立模型如下
(1)
2) 车次数：假设列车的满载率在50%~120%之间，即，在满足列车满载率和载完各时段所有乘客前提下，由模型：
(2)
可计算每个时段的详细列车次数，用60分钟除以列车次数，可以得到该时段列车平均发车间隔：。
3) 安排发车时间间隔，计算出的，如有小数出现，而现实中列车时刻表的最小单位为分钟，故间隔应取整数。当取整数时，可直接安排该时段发车次。当某个取小数时，不妨设和是与相邻的两个连续整数且，由模型：
(3)
可求出以为间隔的班次和以为间隔的班次，再分别以发车间隔为和，兼顾发车密度，将此时间段根据情况进行适当划分[6] 。
①满意度的层次分析。根据问题分析，我们在设计两个起点站的发车时刻表时，应着重考虑到此时刻表带给公交公司和乘客两方的利益，即地铁公司和乘客对应的日平均满意度与，各时段的满意度和。为此，我们采用层次分析法来讨论影响总体性能的两个相关因素。
在乘客源一定的情况下，影响的最主要因素是车上的载客量,其中，一般情况。在多个站点位置固定的条件下，影响的最主要因素是乘客的等车时间与车上的平均载客量。设，分别是各时段乘客因与的影响而产生的满意度，则即可表示为：
其中，是关于因素，的权重集。
考虑到，对于乘客，，对的影响是不相等的。上下车的乘客都在动态地变化着，担对列车而言，列车的满载率达120%时，最大超载的20%由于缺少座位，而注重舒适度的影响，无暇过分顾忌等待时间的影响；100%的乘客因为有座，而无需过分考虑舒适，更多的是考虑等车时间的影响[7] [8] 。
又设，其中，，分别是因素，的重要程度，用层次分析中的成对比较法，可知：，同时，应满足归一性和非负性条件，即：
可解得，因此
(4)
②模糊解优化设计的了解。模糊优化设计问题的一般模型是：
其中是关于的维设计变量的目标函数；是包括各种约束的模糊约束集，即
(5)
其中和分别是约束的容许上下限。在求模糊目标优化设计问题时，必须确定出目标函数：的模糊优化解集的上确界和下确界，即
5. 实例分析
以下数据来自我国一大城市某条地铁线上的客流调查和运营资料。该条地铁运营线路共设14个站，表1给出的是典型的一个工作日5:00~23:00上行方向各站上下车的乘客数量统计。地铁公司给该线路同一型号的动车组，每列标准载客1860人，据统计动车组在该线路上运行的平均速度为40公里/小时。运营调度要求，乘客候车时间一般不要超过10分钟，早高峰时一般不要超过5分钟，车辆满载率不应超过120%，一般也不低于50%。
Table 1. Statistics of the passengers’ number getting on and getting off in upstream direction
表1. 上行方向各站上下车乘客数量统计表
我们取各个时段的平均载客量的满意度的平均数，为地铁公司日载客量的平均满意度。不妨设，则，而且，通过模型对表中的数据的分析，可得出日平均载客量，日平均发车时差，日平均载客量的标准差
，日平均发车时差的标准差。根据检验法，可发现模型中时，不满足，故可看做是奇异值，不予一起考虑。
此时，可求得地铁公司的日平均满意度，我们可以把,满意度函数看作是常见的降半梯形分布。
(6)
(7)
对于乘客，,对的影响是不相等的。用成对比较法，当在早高峰时，上下车的乘客都在动态地变化着。但对于车辆而言，车辆的满载率达120%时，最大超载的20%，注重舒适度的影响，不会过分估计等待时间的影响；100%的乘客因为有座，而无需过分考虑舒适，更多的是考虑等车时间的影响，故
(8)
此时，利用公式(6)，(7)，(8)可分别求得各个时段的。
当列车平均满载率最大限度地接近于50%时，所需的车次最多，地铁公司的满意度达到最小。相应的，起始站的平均发车时间间隔最短，即乘客的平均等待时间达到最小，故此时乘客的满意度达到最大。
同理，设，第18个时段数据看做是特殊值。则，此时，。
因此，对于上行方向，地铁公司的满意度一般在。乘客的满意度能满足。
根据和，我们可利用插值函数画出其曲线的大致走向。
用二次函数拟合曲线为函数：
若要求能最大限度地照顾到乘客与地铁公司双方的利益，就要求能尽可能取大，令。通过对拟合曲线的分析，可知当平行线与相切，如图1所示。
此刻，,即：。解得上行行驶时乘客和地铁公司双方的匹配问题的最优满意度为：。可计算这种情形下，各时段车次与平均发车时间间隔：
。
按照时间间隔从5:00开始计算，可以得到该市上行区段的列车开行时刻表。
6. 结论
模型不仅解得了较优的调度方案，而且还得出了该方案照顾到乘客和地铁公司双方利益的程度(即灵
Figure 1. Fitting curve of up trian
图1. 上行的拟合曲线
敏度)。该模型较稳定，不随某一控制量的微小变化而导致方案的较大改变。该模型计算出的方案易操作，一方面地铁公司的时刻表比较合理可行，另一方面乘务人员能容易记住自己的上班时间，以避免时刻表混乱。不足之处是用光滑曲线拟合的方法无法模拟真实的客流量曲线。
根据该模型所建立的调度系统，可以很好地解决地铁列车的调度问题。然而在建模过程中，简化了许多因素，因而与实际问题有偏差，因此，要想建立更好的调度方案，可以对实际运营当中的运行过程进行计算机模拟，将调查得到的实际数据输入计算机程序，便可以得出更优的调度方案。
参考文献