1. 引言
在可靠性研究中，威布尔模型被广泛的应用与寿命数据分析。在众多的删失试验计划中，混合-I型删失计划是比较常见的一种。假设有个相同的试验样品投入相同试验环境的寿命试验，并且它们它们的寿命是独立同分布的随机变量。寿命试验选择在一个指定的看到个失效得试验个体时或是在某一个指定的实效时刻时终止，即终止时刻为：，这里的r和T由试验人员在试验之前预先设定。因此在这种删失计划下，试验者可以得到以下两种类型的观测数据。第一种：当时，试验者看到如下数据：，表示第r个失效寿命数据。第二种：当而且时，试验者看到如下数据：，这里的表示在之前观测到的失效个体数目。
Epstein [1] 首先提出这一删失计划，并且研究了指数分布失效率的置信区间。Fairbanks等[2] 改进了Epstein的相关结论。Chen和Bhattacharya [3] 获得了指数分布参数MLE的精确分布函数以及在混合删失条件下参数的置信区间。在Chen和Bhattacharya的研究基础上，Gupta和Kundu [4] 获得了参数的精确置信区间。在混合-I型和混合-II型情形下，Childs等[5] 得到了参数MLE精确分布更为简洁的表达形式。上述文献的研究结果都是基于指数分布参数MLE的分布函数是单调递增函数得到的，相关证明都只是通过数值模拟加以验证。随后，Balakrishnan和Iliopoulos [6] 对于这一假设给出了严格的证明。
可接受抽样计划是删失数据条件下寿命试验的一个重要研究问题。一个可接受抽样计划包含寿命试验规则以及基于这些规则，在试验数据条件下，试验者必须决定是接受试验结果还是拒绝接受相关结果。完整的寿命测试计划(LTP)是在生产者风险和消费者风险都必须可控的条件下进行。大量的文献对此进行了研究，Epstein考虑了在指数情形下的试验设计问题。Jeong等[7] 研究了混合抽样计划指数分布的抽样问题。Fertig和Mann [8] 考虑了混合计划下威布尔分布的LTP问题。Chen等[9] 等利用贝叶斯方法讨论了混合计划下威布尔分布的LTP问题。Kim和Yum [10] 讨论了了加速寿命试验下的混合删失去威布尔分布的LTP问题。利用似然比方法，Tsai和Lin [11] 提出了在循序区间删失计划下的LTP问题。更大LTP问题的研究文献可参考：Tse和Yang [12] ，Ng等[13] ，Balasooriya和Low等[14] 以及Tsai和Wu [15] 。本文中，我们首先得到了威布尔分布尺度参数MLE的精确分布。利用精确分布函数，我们在文章中构造了一个枢轴量。进而在消费者与生产者风险都可控的条件下，我们设计了一个可接受抽样计划试验步骤。
2. 尺度参数的精确分布
一个随机变量被称为服从威布尔分布，若其概率密度函数(pdf)和分布函数(cdf)分别为：
。
这里的和分别是形状参数和尺度参数。一个具有形状参数和尺度参数的威布尔分布一般简记为：。在混合-I型删失计划下，寿命试验在一个随机时刻处终止，这里的及预先给定。我们记在之前观测到的失效个体数是，显然是一个具有如下分布律的离散型随机变量：
为了获得参数和的MLE以及精确分布函数，我们必须假定是。以下分不同观测数据类型讨论。
情形1：当和时，我们可以得到观测数据：。基于这些观测数据的似然函数为：
情形2：当时，我们可以得到观测数据：。基于这些观测数据的似然函数为：
使用一个简单的迭代数值算法，我们可以得到参数和的近似MLE，分别记为和。且有
(1)
这里的是以下(2)和(3)两个方程的解。
(2)
(3)
众所周知，如果随机变量X服从威布尔分布。则随机变量服从具有概率密度函
数函数的指数分布，这里。为了获得尺度参数的精确分布，我们利用了威布
尔分布与指数分布的转换。在以后的推断中我们假定形状参数是已知的。因此我们可以获得两种不同的观测数据：当时及当时。这些新数
据服从具有失效率参数的指数分布，由于关于是单调递增函数，因此可以得到混合删失时刻
为：。利用Chen和Bhattacharyya [4] 的结论，基于这些转换数据，尺度参数的MLE为
(4)
一个很有意思的结论是，我们看到利用转换数据得到的参数MLE (1)式与直接利用威布尔分布数据得到的MLE (4)是完全相同的。从(4)式可以看到参数的MLE的精确表达式依赖于参数。由于转换
数据来自具有失效率的指数总体，因此尺度参数的MLE的精确分布可以得到。我们得到以下的定理。
定理1：在的条件下，的pdf由下式给出
*
其中，是通常的gamma分布的概率密度函数。
证明：这里的证明与Childs等[6] 相似，可以参考相关细节，此处略。
定理2：在的条件下，的生存函数由下式给出
这里的及是不完全gamma函数。
证明：由定理1的概率密度函数直接积分，便可以获得结论，此处略。
在混合-I型删失条件下，利用随机序关系，Balakrishnan和Iliopoulos [7] 证明了指数分布期望寿命的MLE是关于参数是随机递增函数。利用这一随机单调性，我们可以设计满足生产者风险与消费者风险都可控的可接受抽样计划。
3. 可接受抽样计划
在这一部分，我们主要讨论基于试验样品的可接受抽样计划。利用参数的精确分布，我们可以找到试验需要的样品数目。
3.1. 可接受抽样计划步骤
一个众所周知的结果是服从威布尔分布的试验样品的平均寿命时间是
，这里的是通常的Gammm函数。为了设计可接受抽样计划步骤，假定形状参数
是已知的。试验的决策原则是：在混合-I型删失情形下，如果大于等于，我们就接受这一批试验样品；反之，我们就拒绝这批试验样品，如果小于，这里的参数是两个有试验人员设定的常数。这样导致这一试验问题等价于假设检验：
或是等价检验
其中，。
从(7)式可知，参数的MLE为：
假定C是一个正实数，生产者的风险(PR)是在条件下，这些试验样品被拒绝的概率。消费的风险(CR)是在条件下，这些试验样品被接受的概率。这两种风险由下式给出：
则试验设计参数LTP(n，C)是试验样品数目n以及试验判断的临界值C构成。它们的取值，可有以下两个方程决定。
(5)
(6)
这里的和分别是事先指定的生产者风险参数和消费者风险参数。由于样本容量参数是整数，上诉方程可能无法得到满足条件(5)式和(6)式的整数解(n，C)。因此最小满足风险可控的n和C由以下两个不等式决定：
或是等价于以下不等式
(7)
(8)
这里的。
这个选择最小的试验参数满足(7)式和(8)式n和C的具体算法是：
第一步：指定参数和
第二步：令。
第三步：在满足(7式的条件下，选择满足条件的最大的C。如果(n，C)还同时满足(8)式，则最优的试验参数就找到了。否则进入第四步。
第四步：令同时回到第三步。
3.2. 数值试验
为了演绎本文的方法，我们给出了相关数值试验。假定试验样品的寿命服从威布尔分布其中形状参数已知，尺度参数未知。当时，失效率函数关于t是递增函数，这一情况与真实的试验情形不太一致。在数值试验时，我们只讨论了参数的情形。同时我们设计了试验参数。令和。设定生产者风险参数和消费者风险参数相关数值试验结果在表1中给出，从试验结果，我们可以得到以下结论：
1) 当增大和的差距时，需要的试验样品数目有递减的趋势。
2) 当增大删失时刻时，需要的试验样品数目有递减的趋势。
3) 一般说来，当增大观测的试验样品数目才终止试验时，需要的试验样品数目有递增的趋势。
4) 在相同的生产者风险参数条件下，随着消费者风险参数的增加，需要的试验样品数目有递减的趋势。
4. 结论
在本文中，我们讨论了基于混合-I型删失数据情形下的威布尔分布的统计推断问题。在生产者风险与消费者风险都可控的条件下，利用参数的MLE的精确分布，我们设计了一个可接受抽样的试验步骤。对于不同的试验参数，我们给出了相关数值试验结果来演绎本文的方法。通过数值试验，我们看到在不同的试验参数条件下，试验所叙述为样品数目都是比较适中的，这表明这一方法是可行的。在不同的试验删失计划下，我们可以考虑将这一方法推广到寿命试验更为广泛的模型，比如gamma分布，Pareto分布，log-normal模型等等。这些推广的研究结果是值得期待和研究的。
Table 1. The simulation results of acceptance sampling plans with α = 2
表1. 可接受抽样计划模拟结果(α = 2)
参考文献