1. 引言
设X是d维随机向量，Y是一维随机变量。如果，则回归函数存在。对于来自总体的一组样本，Nadaraya (1964, 1965) [1] [2] 和Watson [3] (1964)提出了如下核回归估计
, (1.1)
其中
, (1.2)
为核函数，为窗宽。这种估计通常称为随机设计的NW核回归估计。
关于随机设计的NW核回归估计的相合性质，有许多学者做过研究。Devroye and Wagner [4] 于1980年在独立样本条件下证明了NW核回归估计的全局矩相合性，并将结果应用于证明相应的判别分析的Bayes风险的相合性。Devroye [5] (1981)进一步讨论了这种核回归估计的逐点矩相合性和全局矩相合性，以及强相合性。Greblicki et al. [6] (1984)证明NW核回归估计的弱相合性，并在Y有界的条件下证明了该估计的强相合性。Nze et al. [7] (2002)在一类弱相依样本下讨论NW核回归估计和相应的Boostrap估计的渐近性质，如渐近方差、渐近正态性、强相合性及其收敛速度。本文将在混合样本下研究NW核回归估计的逐点矩相合性和全局矩相合性，所获结果推广了Devroye [5] (1981)的结论。
2. 主要结论
我们首先明确混合的定义。设是概率空间中的随机变量序列(其中N为全体自然数集)，为σ-域。对F中任意两个子σ-域A和B，令
. (2.1)
Bradley [8] [9] (1990, 1992)引进混合系数：对，令
. (2.2)
如果存在使得，则称随机变量序列是混合的。
我们需要如下假设
(A1)为混合的随机向量序列，且与同分布。
(A2) 存在正常数，使得(当时)，其中d为随机向量X的维数。
(A3) 存在正常数，和r，使得
本文将使用缩写“”表示结论“对关于测度几乎处处”成立，并用表示随机变量X的概率测度。
定理1：设条件(A1)~(A3)成立。如果(其中)，则
. (2.3)
定理2：在定理1的条件下，有
. (2.4)
3. 定理的证明
为了证明定理的结论，我们需要下面几个引理。
引理1([4] , Lemma 1.1)：设表示在中以x为中心r为半径的闭球。如果，即，则当时，有
. (3.1)
引理2([4] , Lemma 2.2)：设表示在中以x为中心r为半径的闭球，则存在关于测度几乎处处有限的非负函数，使得当时
. (3.2)
从而，如果当时且，则
. (3.3)
引理3([10] ，定理2)：设是混合的随机序列，，和，则存在与n无关的常数C > 0，使得当时
, (3.4)
当q > 2时
. (3.5)
引理4：设条件(A1)~(A3)成立。记
. (3.6)
则当n充分大时有
(3.7)
证明：记。显然
. (3.8)
对任意实数，利用条件(A3)，有。选择常数。由于，所以。根据Markov不等式和引理3，有
(3.9)
由条件(A3)和引理2知，。所以当n充分大时，。从而上式变为
. (3.10)
由于，所以。由Borel-Cantelli引理知，
. (3.11)
因此，存在，当时， 证毕。
引理5：设条件(A1)-(A3)成立，且，如果，那么
(3.12)
证明：由条件(A3)和引理4知，当n充分大时
(3.13)
由条件(A3)，有。于是
(3.14)
由引理1知，上式趋向于0。证毕。
定理1的证明：记。显然，是混合，。令
. (3.15)
我们有
. (3.16)
当p > 2时，由引理3
. (3.17)
令。对任意的常实数，有
(3.18)
由于，所以。利用引理1，得。从而
. (3.19)
将此代入(3.17)式，且注意到(引理2)，得
. (3.20)
由此和引理4，得
(3.21)
当时，由(3.16)式和引理3
. (3.22)
因此
(3.23)
联合(3.21)式和(3.23)式得结论。证毕。
定理2的证明：令。由定理1知，对x关于概率测度几乎处处有。也就是，。如果存在可积函数满足，则由控制收敛定理得
, (3.24)
这就是定理的结论。所以余下我们只需证明存在这样的可积函数。
令。显然，，且
(3.25)
利用Holder不等式
(3.26)
而由条件(A3)和引理4
(3.27)
联合上面两式，且利用引理1，有
. (3.28)
从而存在正常数使得。因此
. (3.29)
令。由于，所以。因此，函数满足要求。证毕。
基金项目
国家自然科学基金项目(11461009)，广西自然科学基金项目(2011GXNSFA018133)。
参考文献