1. 引言
Orlicz空间是泛函分析的一个重要分支，它深入地研究了比熟知的空间更加广泛的一类空间，Sobolev空间是20世纪初形成的有着重要价值的数学模型，在方程理论有着重要的应用价值，Orlicz-Sobolev空间则是Sobolev空间的重要推广，Orlicz-Sobolev空间的发展不仅完善了Banach空间理论，而且为解决实际问题提供了丰富的模型。空间的严格凸性在最佳逼近和最优化控制等领域有着直接的应用。所以研究Orlicz-Sobolev空间的严格凸性有着深远的意义。本文在Orlicz-Sobolev空间上给出了一种模范数，得到了摸与范数的关系式。给出了了由严格凸N函数生成的Orlicz-Sobolev空间严格凸的充要条件。2001年，陈述涛和胡长英[1] 给出了Orlicz-Sobolev空间关于Luxemburg范数的端点和严格凸的充要条件，但是文章中已经假定满足条件，同年二人 [2] 讨论Orlicz-Sobolev空间关于最大值范数的端点和严格凸的性质，但未对空间严格凸的充要条件进行深入讨论，本文给出了一种新的Luxemburg范数，在此范数形成的Orlicz-Sobolev空间与Orlicz有着很多平行的性质，可以用研究Orlicz空间的方法来研究Orlicz-Sobolev空间。
2. 预备知识
定义 1 [3] ：函数为函数是指满足如下条件：
1)为偶的，连续的，凸函数且；
2) 当时时，；
3)，。
若还有：，有则称是严格凸的。
用表示维Euclid空间中的有界集，是定义在上Lebesgue可测函数，
，是的线性子空间，在上定义如下实值函数：
则为Banach空间。
定义2 [4] ：称在区间仿射是指：使得，。
定义3 [4] ：是指：，满足：
若则有。
定义4 [4] ：设为函数，，若且，则有，就称为的严格凸点，其严格凸点全体记为。
定义5 [5] ：设是Banach空间，是其单位闭球，为单位球面，，若，且，则有就称为的端点，其端点的全体记为，若有，则称是严格凸空间。
定义6 [6] ：设为函数，是中有界连通开集，定义如下集合：
其中为的阶弱导数，则为的线性子空间，在上定义如下两实值函数：
则，均是Banach空间。
3. 主要结果
定理1 设为函数，为中有界连通开集，在上定义如下实值函数：
证明：容易证明是上的范数，记为满足的个数，，下面证明与等价，因为
所以，另一方面
从而有，故两者等价，故为Banach空间。
定理2 设为函数，为中有界连通开集，设则有：
1) 若，则；
2)，则；
3) 若，则；
4) 若，则。
证明：1) 由的定义容易证明。
2) 由的定义知，使得，且有如下三条性质：
①非负可测，
②，
③
由Levy定理可知：，所以有：
即，所以。
3)，则，则3)成立；
，由的凸性可知：
从而。
4) 因为所以，故关于在上连续，于是关于在上连续，对于，有，结合3)可得
定理3 设为函数，为中有界连通开集，若有：
1)
2)
则
证明：设由定理2知
(1)
从而以上不等式中各项均相等，所以
(2)
结合(1) (2)得：
特别地当时
再由得a.e on，所以。
定理4为函数，为中有界连通开集，。若存在以及的仿射区间满足：
证明：记，由于内部非空所以取，使得，，并且。
定义如下两个函数：
则，令：
且，，取。
定义如下函数：
则，，。
令在上为：
则：
所以，同理可得由定理2知，再由可知。
定理5 设为严格凸函数，为中有界连通开方体，则
严格凸的充要条件是。
证明 充分性：结合定理3与定理2的4)可证得。
必要性：假设则存在，使得
令不妨设，取：和满足：，取和使得，依次可取得和满足，，显然有并且当时，令则：
所以
，使得从而：
由的定义可知，由的任意性知，所以。
取，当时，有
令
当时
而
从而有
从而。又因为：
所以，故。
令，
取，使得，，，且
。
则令：
且，，取，定义如下函数：
所以：
即，同理得，所以，而，所以，这与严格凸相矛盾所以假设不成立，故。
推论1 设为严格凸函数，为中有界连通开方体，则
当且仅当。
参考文献