1. 引言
稳健性[1] 考虑的是：当实际模型中的分布与假定模型中的分布有少许差异时，统计方法的性能会受到怎样的影响。因此，在粗差不可避免的情况下，选择适当的估计方法，使所估参数尽可能减免粗差的影响，得出正常模式下最佳或接近最佳的估值。
所谓的尺度参数是指满足分布族
，这里a便是尺度参数。
Huber在1981年[2] 就指出，在生产实践和科学实验所采集的数据中，粗差出现的概率为1%~10%，并提到了一些高效稳健的尺度估计，如：四分位距(interquartile range)
，中位数绝对偏差(median absolute deviation) 
(med表示求中位数，下同)。IQR估计非对称分布的尺度，它的崩溃点(breakdown point)最高可达25%。IQR针对的是对称分布，崩溃点最高可达50%，高斯效为37%，对于非对称分布则不适用。
Rousseuw-Croux在1933年[3] 依据四分位间距(0.25 quantile of the distances)
提出了两个更为高效的尺度估计量双中位数两两距离(double median of the pairwise distances)
，其表达式为：
其中c为纠偏因子。
下四分位两两距离(lower quartile of the pairwise distances)
，表达式为：
它们的崩溃点均达到50%，
的高斯效可达到58%，
可达到82%。
Smirnor-Shevlyakov在2014年[4] 针对位置参数为0时，基于
提出了改进的中位数绝对偏差(refinement of the median absolute deviation)，即为
，其表达式为：
其中
其计算速度为
的4~5倍，崩溃点最高可达50%，高斯效可达80%，且更适用于蒙特卡罗模型。
2. 估计量GMAD
基于
是针对刻度参数在均值为0时构造的估计，自然的想法就是将此估计推广至均值未知的场合。为此，我们构造如下的尺度估计量gmad：
其中
为自由参数，
，l取1时
，
，
，
。
l取2时，
，
，
，
。将
和
统称为GMAD。
，用样本均值
，估计μ。而
，用样本中位数，估计μ。这两种估计量均是中位数绝对偏差的一种，在估计尺度参数时，对称分布中后者更稳健，在非对称分布中前者更稳健。
Huber在1981年[2] 提了t为估计量，F为分布函数，t在F处的影响函数为
其中
极限存在。
由于影响函数与得分函数程正相关，本文用得分函数来求。这里引用了参考文献[5] 中的公式作为得分函数
(1)
这里
是满足费希尔一致性条件
的常数，
为自由参数，
是标准正态分布函数。
由泰勒展开式
(2)
这里
为标准正态分布密度函数。
由于
，
，
，并将(2)代入(1)得
(3)
其中
，由费希尔一致性条件
，将(3)代入费希尔一致性条件，
由此得，
其中C为常数
由牛顿–辛普森一步迭代公式
知一步M估计
在
处，其中
为初始估计，所以
将(3)代入上式
(4)
其中
用
作为估计的初始值，
用
估计，代入(4)式，得
其中
用
作为估计的初始值，
用
估计，代入(4)式，得
其中
和
统称为GMAD。
由于
为自由参数，不妨设
，则GMAD可简化为
3. 蒙特卡罗模拟
受污染分布描述为[1] ：
其中
表示标准正态分布函数，
是一个比较小的数，相应于异常观测值在全部观测值中所占的比例，而
可能比
大许多(或小许多)。由于粗差出现的概率为1%~10%，故而实验中
取0.1。
3.1. 蒙特卡罗模拟结果图形
图1~5均为自由参数
，
，重复10,000次的结果。
图1为这几种尺度估计量在没有受到污染，且
时的正态分布中变化情况图。由此图可知在没受到污染的正态分布中，sd最接近1，稳健性最好。其次是
和
，他们几乎是重合的，说明他们的估计尺度的稳健性几乎无差别。再者是IQR和MAD，他们的估计稳健性也差不多。然后是
，虽有所偏离，但也在可承受范围内。我们能明显看出FQ的不同，在均值为0时，FQ估计尺度的稳健性非常好，但在均值非0时，有明显的偏离，均值的绝对值越大，偏离程度越大，且偏离程度是对称的。
图2为各个尺度估计量在受污染的，
，
的正态分布中的变化情况图。由图2可看出，在受污染的正态分布中，
与
估计尺度参数最接近1，且它们几乎重合，说明它们估计尺度参数时的稳健性几乎差不多，且是这几个尺度估计量里估计尺度最好的。
估计尺度参数要比在没受污染的正态分布中要差些，其它的估计几乎与在没受污染的正态分布中估计几乎没什么差别。
由于伽马分布在形状参数
，
，
时，对应的伽马密度曲线形状不同，故而在伽
Figure 1. Scale estimators based on the mean of the standard normal distribution
图1. 尺度估计量在标准正态分布中随均值变化图
马分布中的尺度估计量分这三种情况进行讨论，即图3、图4、图5。
由图3可明显看出，这几种估计在形状参数
时，都不可行。
由图4可知，在形状参数
时，除了估计量
的估计效果不佳外，其它的几个估计稳健性都挺好。SD最接近
，稳健性最强，其次估计量IQR与新的估计量
稳健性也非常好，估计量fq估计尺度时虽不如
，但也相对不错了，
与MAD在此种情况下用来估计尺度也是可行的。
由图5可明显看出在形状参数
时，估计量fq明显偏离准确尺度参数
许多，说明此种估计根本不可行。估计量iqr也偏离准确尺度2倍，所以也不可行。其他的估计量都在允许范围内，且在这几种估计量估计尺度参数时，MAD最为稳健，其次是
，然后是
与
，最后是sd。
Figure 2. Scale estimators based on the mean of the contaminated normal distribution
图2. 尺度估计量在受污染正态分布中随均值变化图
Figure 3. Scale estimation based on the gamma distribution of the shape parameter is from 0 to 1
图3. 尺度估计量在形状参数为0~1的伽马分布中变化图
Figure 4. Scale estimators based on the Gamma distribution of the shape parameter is from 1 to 2
图4. 尺度估计量在形状参数为1~2的伽马分布中变化图
Figure 5. Scale estimators based on the gamma distribution of the shape parameter is greater than 2
图5. 尺度估计量在形状参数大于2的伽马分布中变化图
由图我们可知，无论是在没有受到污染的正态分布中，还是在受到污染的正态分布中，新估计量
与
在估计尺度参数
时，都非常稳健，而估计量fq只有在均值为0时稳健。在伽马分布中，这几种估计量在形状参数
的情形下均不稳健；在形状参数
的情形下，除了估计量
的稳健性不佳外，其它的几个估计量估计尺度参数时的稳健性都挺好；在形状参数
的情形下，估计量fq与IQR非常不稳健，不能用来估计尺度参数，其它几个估计量均比较稳健。
3.2. 蒙特卡罗模拟结果表
表1~3均是自由参数
，每个
都重复试验10,000次的结果。
由表1可知，在均值为0的受污染的正态分布中，估计量FQ、
、
估计尺度参数时的稳健性几乎没什么差别，都很好。其它四中估计量估计尺度的偏差也都在可承受范围内。
表2为形状参数
，尺度参数
时的情况，此时估计量FQ、
、
估计尺度参数时的稳健性都很好。其中
比FQ好些，FQ比
好些。
超出了可承受范围。
表3说明在指数分布中，估计量FQ非常稳健，估计量
虽不如FQ，但也很稳健。估计量
估计尺度参数的稳健性虽差些，但也在可承受范围内。
由表可知，对于均值为0时，在受污染的正态分布模型的情况下，FQ与gmda的稳健性差不多。在非正态分布下的情形，如在形状参数为2时的伽马分布中，FQ与gmda均可用，稳健性FQ虽不如
好，但比
要好。在指数分布中，估计量FQ非常稳健，估计量
虽不如FQ，但也很稳健。估计量
估计尺度参数的稳健性虽差些，但也在可承受范围内。
Table 1. The mean of contaminated normal distribution is 0 (ε = 10%, σ = 1, σ* = 3σ)
表1. 均值为0的受污染正态分布(ε = 10%, σ = 1, σ* = 3σ)
Table 2. Gamma distribution (α = 2, λ = 1)
表2. 伽马分布(α = 2, λ = 1)
Table 3. Exponential distribution (λ = 1)
表3. 指数分布(λ = 1)
4. 结论
由以上分析可知，正态分布模型无论有没有受到污染，新的估计量
与
在估计尺度参数
时，都非常稳健，且它们的差异性不大，而估计量FQ只有在均值为0时才稳健。均值为正或负对估计的稳健性并没有影响，而均值的绝对值的大小对估计量FQ影响较大，对其它估计量也没什么影响。
在非正态分布下的情形，如伽马分布、指数分布等估计量
与新的估计量
也是可用的。在线性模型中是否可用还有待研究。
致谢
本文是在我的导师李再兴老师的指导完成的。此外，本文得到中央高校基本科研业务费以及北京市青年英才计划的资助。