1. 引言
Schrödinger方程是量子力学中的基本方程，经典的Schrödinger方程[1] 是基于布朗型的积分路径得到的，将布朗型的积分路径替换为Lévy型的量子力学路径时，则得到分数阶的Schrödinger方程[2] 。
本文主要考虑如下具有周期边界条件的分数阶非线性Schrödinger方程：
(1.1)
其中是中的一组标准正交基，为虚数单位，且为实数。记。
当时，方程(1.1)为经典的非线性Schrödinger方程，并在近几十年得到了大量广泛的研究[3] 。文献[4] 证明了其初边值问题弱解的存在唯一性，其光滑解的整体存在性则可以参考文献[5] 。郭柏灵、韩永前和辛杰证明了分数阶非线性Schrödinger方程(1.1)的光滑解的存在唯一性[6] ，而其中且，满足如下条件“若为偶数，当时，；当，则；若不是偶数时，当时，；当时，”。本文，在满足更弱的条件下，得到了解的存在性。
2. 记号及主要结果
我们先给出一些符号和说明。由于是周期函数，此时可以将利用傅里叶级数展开：
其中，是的傅里叶系数。从而
此时可以将分数阶拉普拉斯算子表示为
令表示如下集合：
令表示集合在如下范数下的完备化，
显然，为Banach空间。
下面，函数空间的范数常记为，其内积用表示；的范数记为。显然。令表示的对偶空间。为了研究问题(1.1)，引入如下Banach空间，其范数为
令为具有范数的Banach空间。
定义：记为所有可测函数的集合，其范数表示为
且当时，
记为所有连续函数的集合，其范数表示为
令是一个正常数，为依赖的任意正常数，表示任意的正常数，在不同的地方具体的值不一样。
本文的主要结果是：
定理2.1. 令且当时，；当时，，则对任意的，则方程(1.1)存在唯一的整体解使得
3. 主要工作
下面将用到如下的引理：
引理3.1. [3] 如果，则
其中，，且表示在表达式中去掉这一项。
引理3.2. [7] 设都具有阶导数，那么，也具有阶导数且有公式如下：
其中，是个非负整数，求和是对所有适合的进行的。
引理3.3. [6] 设，，如果为方程(1.1)的解，则
(3.1)
引理3.4. [6] 令。当时，设；当时，设，则方程的解满足如下的先验估计：
引理3.5. [6] 令，当时，设；当时，设，则满足
(3.2)
下面证明我们在满足比文献[6] 中更弱条件下对应的先验估计。
引理3.6. 设，，则方程的解满足先验估计：
证明：将方程(1.1)关于时间微分，乘以，关于空间变量在积分并取其实部可知
由于
从而
由此可知
(3.3)
令，则。由Gagliardo-Nirenberg不等式以及不等式(3.2)可知
(3.4)
利用不等式(3.3)和(3.4)得
(3.5)
由引理3.5可得，
(3.6)
与
(3.7)
而对于(3.5)式右边第一项，先由方程(1.1)得
从而可知
由引理3.1和引理3.2可得到
又因为当时，，有，所以有。进而可知
(3.8)
综合(3.5)~(3.8)式，并利用Gronwall不等式可得
故引理3.6得证。
引理3.7. 设，。则方程(1.1)的解满足估计：
证明：将方程(1.1)关于时间二次微分，乘以，并关于空间变量在积分取其虚部可知
(3.9)
(3.10)
(3.10)式右端第一项可以估计为
同理，(3.10)式右端第二项和第三项可以估计为
(3.10)式最后一项可以估计为
因此
(3.11)
由(3.9)~(3.11)式可得
(3.12)
令，则，由此利用Gagliardo-Nirenberg不等式以及引理3.5和引理3.6可得
利用方程(1.1)以及引理3.5可知
(3.13)
而由引理3.1和引理3.2，
(3.14)
又因为当时，，有，所以有。则由(3.14)式可知
从而(3.13)式变为
利用(3.12)式及Gronwall不等式进而推知
又由于
利用方程(1.1)，进一步可得估计
故而
证毕。
引理3.8. 设，。则方程(1.1)的解满足先验估计：
证明：利用方程(1.1)以及引理3.7可知
(3.15)
现在分两种情况来考虑(3.15)式右端第二项的估计。
先考虑的情形。由引理3.1和引理3.2可推知
(3.16)
因为当时，，有，所以由Gagliardo-Nirenberg不等式和引理3.3得
其中满足
联合(3.15)~(3.16)式及上式得
(3.17)
当的情形，
(3.18)
令，则，由此利用Gagliardo-Nirenberg不等式及引理3.3可得
(3.19)
令，则。再由Gagliardo-Nirenberg不等式和引理3.5推得
(3.20)
综合(3.18)~(3.20)及(3.15)式知
(3.21)
从而由(3.17)式和(3.21)式可知引理成立。
定理2.1的证明：
根据引理3.1~3.8，采用Galerkin近似逼近方法(参见文献[6] )可完成定理2.1的证明。
4. 结论
在本文中，我们主要讨论了分数阶薛定谔方程，在参数满足比前人更弱的条件假设下，我们得到了解的存在性。文章主要采用能量方法，利用插值不等式得到解的先验估计，采用Galerkin方法得到解的存在性。下一步我们将对带耗散性方程的分数阶薛定谔方程解的渐近行为进行研究。
基金项目
国家自然科学基金资助项目(No. 11101160, No. 11271141)。
参考文献