1. 引言
设和t是给定的正整数，G-设计(记为)是一个三元组(X, A, B)，其中X是一个元点集，A构成X的一个划分，B是X的一些子集组成的一个子集族，X的元素叫点，A的元素叫组，B的元素叫区组，满足(1)对任意，都有；(2)对任意，都有；(3)对任意与任意，都有；(4)对于X中每个t元子集T与任意，如果，则T恰好包含于B中个区组。时，记为。
当时，G-设计就是大家熟知的可分组设计或GD设计(参见[1] )。当时，G-设计是柄为0的烛台型四元系，而烛台型四元系在四元系中起到相当重要的作用(参见[2] )。Mills [3] [4] ，Hartman [5] [6] 研究了，得到了一些结论。当时，易知存在的充分必要条件是： (参见[4] )。本文讨论当时，的存在性。我们给出存在的充分必要条件是：。
文中用到的组合设计及图论方面的名词术语均参照著作[1] 和[7] 。
2. 预备知识
定理2.1存在的必要条件是：。
证明：中有个点，不同的三元点集共有个，其中能出现在区组中的有，而一个区组含有四个三元集，一个三元集可出现在个区组中，所以，中的区组数为，因而，。再设是设计中给定的点，能和组成三元集的点对共有个，其中能出现在区组中的有个，且每个三元集可出现在个区组中，而一个区组中能和组成三元集的点对有三个，所以，。综上两点，可得存在的必要条件是。
上述存在的必要条件可分类等价于以下四种情形
1)且或
2)且或
3)且或
4)且。
为证存在的充分性，我们需要图1-因子分解的有关知识。记G是具有个g点的图，其点集为。设，图G的边的差定义为和中小的一个。我们记图G的边的差为或，也即是
。
对于任何一个子集(表示不大于的最大整数)，我们定义是一个图，其点集为，边集为，即包含所有差属于的边。
图的一个子图如果包含了的全部点，则为的生成子图。如果图的一个生成子图是1-正则的，则称是的1-因子。如果图的边集可表示为它的某些1-因子的并，则称存在的1-因子分解，或称可1-因子化。下面的引理来自Stern和Lenz [8] ，我们在第3节的证明中将会用到，其中表示和的最大公约数。
引理2.2 (Stern和Lenz)如果包含一个元素使得是偶数，则图存在1-因子分解。
3. 主要结论
引理3.1如果存在，则对于任意正整数，存在。
证明：将的每个区组重复s倍，即得。
由引理2.1结合引理3.1，为证主要结论，我们只需考虑以下四种情形
1)且；
2)且；
3)且；
引理3.2当时，存在。
证明：设，记所需设计的点集，组A：{： }。
区组B：{，，， }
(，，，)；
{，，， }
(由引理2.2，图存在1-因子分解，记是的1-因子分解，，)。
引理3.3当时，存在。
(，，，)重复4次；
(，，)重复2次；
{，，， }(，)；
{，，， }(，，)。
引理3.4当时，存在。
区组B：{，，， } (，，，)；
{，，， } (，，)；
{，，， } (，)。
引理3.5当时，存在。
(，，，)重复2次；
{，，， }(，，)；
{，，， }(，，)
{，，， }(，)
定理3.6当时，存在。
证明：由引理3.2~3.5，结合引理3.1，可得存在的充分条件。
结合引理2.1和定理3.6，我们得到本文的主要结论。
定理3.7存在的充分必要条件是。
基金项目
国家自然科学基金项目(11171248和11371207)。
参考文献