1. 引言
非线性现象是自然界中普遍存在的一种重要现象，进而非线性科学是随着研究非线性现象问题而形成的一门科学，它的研究主体是孤立子、混沌和分形。在非线性系统中，非线性波动方程的精确求解及解法研究是非线性科学中的前沿研究课题和热点问题。到目前为止，已经有很多不同类型的非线性发展方程出现在数学和物理科学领域。在此期间, 已经有很多专家学者在如何求解非线性方程的精确解方面做了大量有效的工作，构造出多种有效的求解方法如齐次平衡法，反散射法，Tanh函数法，指数函数法，Lie群方法等[1] -[7] 。但由于求解非线性波动方程没有也不可能有统一而普遍适用的方法，因此继续寻找一些有效可行的方法依然是一项十分重要和极有价值的工作。
1895年，荷兰的特韦格(Korteweg)和德弗里斯(de Vries)在研究浅水中小振幅长波运动时，共同得出了一种单向运动浅水波偏微分方程，即KdV Equation
本文主要研究如下KdV型方程的精确解
(1.1)
方程(1.1)在量子场论、等离子物理和固态物理中有着广泛的应用。在文献[8] [9] 中，作者研究了方程(1.1)的扭状孤波解。本文利用指数函数的方法探索方程(1.1)的精确解。针对求解的过程中所产生的超定的代数确定方程组，我们利用符号计算软件Mathematica来处理，得到方程(1.1)丰富的精确解。
本文的内容安排如下：第二节介绍指数方法的主要思想。第三节利用指数函数方法研究方程(1.1)，得到了6种指数函数形式的解，并画出对应的图像，观察波的传播状况。最后一节是对本文内容的一个总结.
2. 方法概述
本节以如下的非线性偏微分方程
(2.1)
为例来阐述一下指数函数方法的主要思想，详细内容参考[6] 。在方程(2.1)中，
为其变元的多项式，并包含非线性项和高阶偏导项,该方法的实施可分为以下几步：
1) 假设方程(2.1)具有行波解
则方程(2.1)转化为自变量为
的非线性常微分方程
(2.2)
2) 假设(2.2)的方程具有如下形式：
(2.3)
其中
和
为待定正整数，
和
为待定常数.
3) 将(2.3)代入到(2.2)中，然后平衡(2.2)中的非线性项和最高阶导数项的最高次数可以得到
和
的关系。同理，平衡非线性项和最高阶导数项的最低次数可以得到
和
的关系。
4) 对
和
赋特殊值，并将(2.3)代入(2.2)中可以得到关于
的方程组，之后，令
的系数为零，可得到一系列关于
和
的代数方程，求解这些代数方程并将结果代入(2.3)中，即可求得(2.1)的解.
3. 方程(1.1)求解
本节利用上述的指数函数方法来求解方程(1.1)。对于该方程，把
代入到方程(1.1)中，可得
(3.1)
假设方程(3.1)具有(2.3)形式的解，即：
(3.2)
为了确定
和
之间的关系，将(3.2)代入(3.1)后计算可得
平衡
和
的最高次数可得
。同理，通过平衡
和
的最低次数可得
。特别的，令
，
。此时，方程(3.2)可表示为
(3.3)
然后将(3.3)代入到方程(1.1)中，然后令
的系数为零，即得关于待定系数
的代数方程组，借助Mathematica软件求解这个方程组，得到如下几种情形的解。
情形1：得到如下形式的解：
特别的，取
，方程的解简化为
，其图形见图1。
情形2：得到如下形式的解：
特别的，当
，方程的解为
，其图形见图2。
情形3：方程的解为
特别的：当
，方程的解简化为
，其图形见图3。
情形4：方程的解为
特别的：当
，方程的解简化为
，其图形见图4。
情形5：方程的解为
特别的：当
，方程的解为
，其图像见图5。
情形6：方程的解为
特别的，当
，方程的解简化为
其图像见图6。
4. 总结
本文利用指数函数方法深入系统的分析了KdV型方程(1.1)的精确解，给出新的指数函数形式解，这些解能够加深对该方程的理解，从而促进该方程在物理学等领域中的分析应用，因此本文的工作具有一定的理论意义和应用价值。
致谢
本文得到北京市本科生培养——大学生科研训练(市级)项目，北方工业大学优秀青年教师计划和科研创新团队建设计划项目支持。感谢项目指导教师张智勇老师的悉心指导。