1. 背景介绍
尽管分数阶微积分的概念几乎是与整数阶微积分同时出现的，但在过去很长时间内，由于缺乏实际应用背景的促进而发展缓慢。直至近年，由于在物理，化学，生物等领域的广泛应用(参看[1] -[4] )，分数阶微分方程已成为数学领域中值得深入研究的重要方程之一。许多学者(参看 [5] - [8] )都研究过分数阶微分方程的性质，并取得了可观的收获。例如，Delbosco和Rodino [7] 以及El-Sayed [8] 证明了下面这个非线性分数阶微分方程的解的存在性和唯一性定理：
这里的是黎曼–刘维尔分数阶微分。
Diethelm和Ford [6] 深入研究过下面的分数阶微分方程：
同样的，这里的表示黎曼–刘维尔分数阶微分。
Kosmatov [9] 进一步证明了
这里是指Caputo分数阶微分算子(参看 [10] )，这也是本文所用到的微分算子。
本文主要讨论的是一个分数阶非线性微分方程解的存在性和唯一性，研究方法主要是首先证明这个方程的可解性是与一个Volterra型的积分方程的可解性等价。文中用到的主要定理和Caputo微分算子的运算规则将在第2部分给出。第3部分和第4部分是关于方程的解的存在性和唯一性。
2. 预备知识和记号
首先给出本文用到的一个主要定理：
定理2.1. (Schauder不动点定理)设X是赋范线性空间，是非空的有界闭凸集。映射是连续的紧映射，那么在中有一个不动点。
设函数。如果，这里，那么阶的Caputo分数阶微分定义为
(2.1)
的逆算子定义为
(2.2)
本文的目的是考察非线性微分方程
(2.3)
其中，此方程满足初值条件
(2.4)
我们的目标为研究分数阶的问题，因此的情况不在我们的考虑范围内。
在下面的定理中，我们给出了(2.1)和(2.2)这两个算子的关系和它们的一些性质。
定理2.2. 设，那么对于，成立
(a)；
(b)；
(c)；
(d) 如果，满足，并且对于任一，存在满足，则下面的复合法则成立：
.
证明：(a) 令，将(2.1)，(2.2)代入中得
设，在上式中我们首先计算。由
因此
所以
不妨设。则，即，结论得证。(b)，(c)，(d)可类似证明，过程略。
分数阶微分的降阶可以通过以下定理实现，这也是下文将微分方程转化为积分方程时的主要技巧。
定理2.3. 设函数。那么对于所有的及任意成立
， (2.5)
. (2.6)
3. 解的存在性
这里我们主要为了在中找到初值问题(2.3)和(2.4)的解。
设满足下面的条件：
(H1)是连续可微函数；
(H2) 存在非负函数，使得
(H3)，存在的一个紧子区间，使得。
以下引理表明初值问题(2.3)和(2.4)解的存在性与Volterra型积分方程(3.2)解的存在性是等价的。
引理3.1.，满足(H1)和(H3)。函数是初值问题(2.3)和(2.4)的解的充要条件是
(3.1)
这里是下面这个积分方程的解
(3.2)
证明：(必要性)首先利用(2.5)式来对微分方程进行降阶。
作代换，在等式两边同时作用算子。由定理2.2(b)可得
由于，则上面的方程即为(3.2)。注意到，再应用积分公式即可得到(3.1)式。
(充分性)设是(3.2)的一个解。因为，函数
在上连续，因此
也在上连续。故，因此。而对(3.1)两边同求阶导，再考虑(3.2)可得
注意到，上边两式同时作用算子，由定理(2.2)和(2.3)可得
因此我们证得了是(2.3)的解。又因为(3.2)式中的第二项在时趋于0，因此。故。
综上所述，满足(2.3)和(2.4)，充分性得证。
定理3.1. 设(H1)，(H2)，(H3)成立，如果下面两式成立：
，
那么积分方程(3.2)在中有解。
证明：在带有上确界范数的赋范线性空间中，我们定义映射为
容易验证有定义并且。
定义，其中。则是中有界闭凸集。
对于，我们有
因此，即。另外容易验证映射是连续的紧映射。
根据定理2.1，在中有一个不动点，此即积分方程(3.2)的解，证毕。
注：定理3.1中，要求满足不等式，即要求关于的增长不高于线性，这样满足解的存在性的方程就被限制在了一个很小的范围内。通过以下的定理我们将会看到，当关于满足任意的多项式估计时，解的存在性仍然成立。
(H4) 存在非负函数，使得
定理3.2. 设(H1)，(H3)，(H4)成立，定义
如果成立，并且，那么积分方程(3.2)在中有解。
定义，这里待定。对于有
由幂平均不等式，也即。
类似定理3.1的证明，需要求得合适的，使得成立。
考查函数，令，则，由于时；时，因此在时取到最小值，只需要，方程就有正根，也即时存在，使得。因此时，，即。
另外容易验证映射是连续的紧映射。根据定理2.1，在中有一个不动点，此即积分方程(3.2)的解，证毕。
注：定理3.2成功地把定理3.1的结论推广到了关于满足任意多次的多项式估计的情形。但是定理3.2中对于，的限制比定理3.1严格，并且随着多项式次数的提高，这个限制条件就越严格。因此在实际应用中，要根据具体情况选择这两个定理。
4. 解的唯一性
首先提出假设
(H5) 对于任意的，存在非负函数，使得
定理4.1. 如果(H1)，(H3)，(H5)成立，并且有
那么积分方程(3.2)有唯一解。
证明：在Banach空间中，我们定义为
其中半径
定义映射为
如果，那么有
因此是到上的映射。
设，那么
由于，因此是一个压缩映射。根据压缩映像原理，有唯一的不动点，此即积分方程(3.2)的解。
注：定理4.1在证明唯一性的时候用到了压缩映像原理，事实上同时能够得到解的存在性，因此原方程在满足条件(H5)时，解的存在性仍然成立。
致谢
感谢编辑和审稿专家对本文所付出的劳动，本文受到海南省自然科学基金(项目名称：Gronwall不等式的推广及其在微分方程中的应用；项目编号：20151011)的资助，在此一并表示感谢。
参考文献