摘要: 本文给出关于二阶变系数线性微分方程的求解，转变以往降阶的常规思维，利用其标准型进行求解。在标准型的求解中，通过对原微分方程的化简，利用余函数和特积分，分别求出其标准型齐次和非齐次的解，最后构造出原方程通解。
Abstract:
This paper discusses the solution of the two order variable coefficient linear differential equation with standard type, which transforms the traditional method of reducing order. Through simpli-fying the original differential equation and using means of cofunction and particular integral, we can get the homogeneous and non-homogeneous solution of the standard type. Finally we can construct the general solution of the original equation.
1. 引言
常微分方程作为数学领域的重要分支，在实际生产生活中有着广泛的应用，特别是在许多工程问题中。二阶微分方程是工程问题中比较常见的，由参考文献[1] 、 [2] 对于二阶微分方程的解法有一些研究，例如：参考文献 [3] 中比较常用的降阶方法。而对于工程中出现较多的二阶变系数线性微分方程，在目前工程问题中，仅仅依靠文献 [4] 中一些数学方法求解还不能达到满意的效果，从而需要进一步探求新的解决问题的方法，而在文献 [5] 中提到的化为标准型求解就是一种比较基础的解法。探求标准型的解法不仅有助于我们解决一些工程问题，也进一步拓展和深化二阶微分方程的数学解法，对于丰富二阶微分方程的数学解法很有意义。
2. 标准型
二阶变系数线性微分方程
(1-1)
其中
均为x的连续函数。
设
(1-2)
其中
(1-3)
则
(1-4)
将(1-2)~(1-4)代入(1-1)式中得
(1-5)
或
(1-6)
令
的系数等于0，即
(1-7)
(1-8)
(1-9)
由(1-7)式可解得
(1-10)
再由(1-7)~(1-9)式可得
(1-11)
(1-12)
(1-13)
(1-14)
再将(1-8)~(1-14)代入(1-6)式得
(1-15)
整理后可得
(1-16)
上式两边同时除以u后得
(1-17)
即
(1-18)
令
则
(1-19)
其中
(1-20)
称(1-19)式为二阶微分方程(1-1)式的标准型。
3. 标准型的求解
1) 余函数的求解
现在求解标准型(1-19)式的通解
(2-1)
首先求解余函数
。
由特征方程：
(2-2)
得
所以
(2-3)
下面继续求解其特积分
。
2) n阶微分方程特积分的求解
关于特积分由参考文献[5] 我们知道
对于非齐次线性微分方程
(2-4)
设其通解为
(2-5)
其中，对于
(2-6)
的求法(齐次方程的通解)——特征方程，特征根。
假设已知
，现在求
。
设待定函数
，满足
(2-7)
其中：
是对应于(2-4)式的齐次微分方程的n个线性无关的解。下面要求(2-7)式满足(2-4)式和其它n−1个方程。为选择这n−1个方程，应使得(2-7)式的各阶导数尽可能有
为常数时所具有的形式。
所以，对(2-7)式求导可得
(2-8)
令
则
(2-9)
即
具有
为常数时所具有的形式。
对
继续求二阶导数
(2-10)
令
则
(2-11)
即
也具有
为常数时所具有的形式。
同理可求得
的三阶导数为
(2-12)
依次求导至
阶的导数，且每一次的导数满足
(2-13)
其中
。
(2-14)
(2-15)
所以
(2-16)
在(2-16)式最后一个等式中，因为函数
已经满足n−1个方程(2-13)，且还需满足原方程式(2-4)，则要求
将
及其各阶导数代入式(2-4)中得
(2-17)
整理后得
(2-18)
因为所有的
都是相对应的齐次微分方程的特解，所以在式(2-18)中的
(2-19)
因此，式(2-18)可以改写为
(2-20)
则
(2-21)
由以上方程组可以确定函数
。
由于朗斯基行列式
，所以存在唯一一组解
，解方程组(2-21)可得
对以上各式积分后可得
(2-22)
将式(2-22)代入式(2-7)得
(2-23)
即式(2-23)为原方程的特积分表达式。
所以原方程的通解为
(2-24)
3) 二阶微分方程特积分
对于二阶非齐次微分方程
(2-25)
其特积分表达式为
(2-26)
由题可得方程组
(2-27)
解方程组得
(2-28)
其中
则关于方程
的特积分，根据式(2-26)可得
(2-29)
再根据式(2-27)得方程组
(2-30)
由此来确定
，解此方程组得
(2-31)
其中
由(2-3)式得
所以
所以
由(2-31)式得
(2-32)
(2-33)
所以标准型方程(1-19)式的特积分为
(2-34)
该标准型的通解为
(2-35)
则原二阶微分方程的通解解为
(2-36)
4. 例题
对于以上的求解方法，下面我们通过两个例子来进行说明，以验证化标准型解法的基础性和适用性。
例1. 求微分方程
的通解。
解：由题可知
化成标准型
由此得该微分方程的标准型为
先求其标准型的余函数
。
其特征方程为
由参考文献[6] 定理8：如果方程
的所有系数
都是实值函数，而
是方程的复值解，则
的实部，虚部以及其共轭复值
也都是方程的解。
所以
则
再解标准型的特积分
。
由以上特征根得
所以
则
由式(2-34)得标准型的特积分为
所以原微分方程的标准型的通解为
则原微分方程的通解为
例2. 求二阶微分方程
的通解。
解：由题可得
其化为标准型为
即
所以特征方程为
所以
则
所以
由以上得该标准型的特积分为
通解为
所以原微分方程的通解为
致谢
感谢编辑和审稿专家对本文所付出的劳动，本文受到海南省自然科学基金(项目名称：Gronwall不等式的推广及其在微分方程中的应用；项目编号：20151011)的资助，在此一并表示感谢。
*通讯作者。