1. 引言与引理
定义1 [1] :称r. v.和是NQD (Negatively Quadrant Dependent)的,若对有
。
称r. v.列是两两NQD列,若对任意,与是NQD的。
这一概念是由著名统计学家Lehmann在1966年引入的。从定义可以看出,两两NQD列是包含两两独立列在内的非常广泛的r. v.序列,因此对其极限理论的研究显得更为基本,更为困难。Matula对同分布两两NQD列部分和获得了的Kolmogorov型强大数律[2] ,王岳宝等讨论了两两NQD列的Marcinkiewicz型弱大数律及Jamison型加权和的强稳定性 [3] ,吴群英对同分布两两NQD列部分和获得了与独立情形一样的Baum和Katz型完全收敛定理 [4] ,万成高获得了不同分布两两NQD列的一些大数定律和完全收敛定理 [5] 。本文在Cesáro一致可积等条件下,研究行为两两NQD阵列加权和的收敛性及弱大数定律,作为推论得出一些两两NQD列的收敛性或弱大数定律。此外,还给出了两两NQD列加权和的一个完全收敛定理。本文约定:文中出现的总表示正常数,它在不同的地方可以代表不同的值。
定义2:称是行为两两NQD的零均值r. v.阵列,若,都是两两NQD的,且,,。
定义3:称r. v.阵列是阶Cesáro一致可积的(),若
定义4:称实数阵列为-Toeplitz矩阵(),如果满足:
1);2),为常数。
引理1 [1] :设r. v.和是NQD的,则1);2) 对任意都有:
;3) 如同为非降(或非增)函数,则与仍为NQD的。
引理2 (推广的Kolmogorov型不等式) [4] :设是两两NQD列,,,
,,则有,。
引理3 [6] :设,且,若,则对任意,任意,有。
2. 两两NQD列的Lr收敛性及弱大数定律
定理1:设是行为两两NQD的零均值r. v.阵列,且为2阶Cesáro一致可积的,,是-Toeplitz矩阵,若,则。
证明:对任意给定的,对,,记,
,则,均为的不降函数,由引理1知,仍为两两NQD的。由引理2,有
先令,再令,则有。
推论1:设是2阶Cesáro一致可积的零均值两两NQD列,,是-Toeplitz矩阵,若,则。
证明:对每一,取,,由定理1立即知推论1成立。
推论2:设是2阶Cesáro一致可积的零均值两两NQD列,,则。特别,满足弱大数定律,即。
证明:在推论1中取,,取,,显然是-Toeplitz矩阵且满足推论1的条件,故由推论1知推论2成立。
推论3:设是2阶Cesáro一致可积的零均值两两NQD列,,则。
证明:在推论1中取,,取,,则是-Toeplitz矩阵,且,故由推论1知推论3成立。
定理2:设是r. v.阵列,令,,若下列条件之一成立,
1),为阶Cesáro一致可积的;2),是行为两两NQD的零均值阵列,且为2阶Cesáro一致可积的,则。更有如下形式的弱大数定律成立:。
证明:先证(2)。对每一,令,,因为有
且,
故为-Toeplitz矩阵,又,故由定理1立即知定理2的(2)成立。
下面证(1)。对任意给定的,对,,记,,则。由于,用不等式有
,
上式中先令,再令,立即知。
注:R. Pyke与D. Root (1968)曾证明:若为独立同分布随机变量序列,对,若,则。显然定理2是这一结果的推广与改进。
如果不假定行为两两NQD的阵列有Cesáro一致可积性,则有下面的结果。
定理3:设是行为两两NQD的零均值r. v.阵列,是实数阵列,,若1);2)且,,则。
证明:不妨设,,。令
则,仍为两两NQD的。对任意给定的,有
由引理2,有
由于,故对一切,有。于是由引理3,对一切,有,从而有。
对任意的,存在,当时,有,由的任意性知,于是。
由Jensen不等式有
对任意的,存在,当时,若,则有,从而有
由的任意性知,于是定理成立。
推论4:设为零均值的两两NQD列,,若,则
证明:在定理3中取,,取,,,则
故由定理3知推论成立。
定理4:设为零均值的两两NQD列,满足条件:存在,存在正数列使有
及,则对,有。
证明:取使题设条件成立的和,对,记
则,仍为两两NQD的。
由题设条件及Kronecker引理知。
3. 两两NQD列加权和的完全收敛性
定理5:设为零均值的两两NQD列,是一列实数,且当时,,。若存在,对足够小的,有,则对任意的,有。
证明:不失一般性,可设,,。令
由Jensen不等式,有
故定理5成立。
推论5:设为零均值的两两NQD列,,若对足够小的,有
,则对任意的,有。
证明:在定理5中取,,,取即得推论5。
基金项目
国家自然科学基金资助项目(No. 11471153)。
参考文献