两两NQD列的若干收敛性质
Some Convergence Properties of Pairwise NQD Random Sequences
DOI: 10.12677/AAM.2016.51019, PDF, HTML, XML,    国家自然科学基金支持
作者: 林影:宁德师范学院数学系,福建 宁德;施建华:闽南师范大学数学与统计学院,福建 漳州
关键词: 两两NQD列Cesáro一致可积收敛性Pairwise NQD Random Sequences Cesáro Uniform Integrability Convergence Property
摘要: 本文主要研究了行为两两NQD的随机变量阵列加权和的Lr收敛性和弱大数定律,此外,还得到了两两NQD列加权和的一个完全收敛定理。
Abstract: In this paper, Lr convergence and weak law of large numbers for the weighted sums of rowwise and pairwise NQD arrays are studied, moreover, a theorem of complete convergence for the weighted sums of pairwise NQD sequences is obtained.
文章引用:林影, 施建华. 两两NQD列的若干收敛性质[J]. 应用数学进展, 2016, 5(1): 143-149. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2016.51019

1. 引言与引理

定义1 [1] :称r. v.是NQD (Negatively Quadrant Dependent)的,若对

称r. v.列是两两NQD列,若对任意是NQD的。

这一概念是由著名统计学家Lehmann在1966年引入的。从定义可以看出,两两NQD列是包含两两独立列在内的非常广泛的r. v.序列,因此对其极限理论的研究显得更为基本,更为困难。Matula对同分布两两NQD列部分和获得了的Kolmogorov型强大数律[2] ,王岳宝等讨论了两两NQD列的Marcinkiewicz型弱大数律及Jamison型加权和的强稳定性 [3] ,吴群英对同分布两两NQD列部分和获得了与独立情形一样的Baum和Katz型完全收敛定理 [4] ,万成高获得了不同分布两两NQD列的一些大数定律和完全收敛定理 [5] 。本文在Cesáro一致可积等条件下,研究行为两两NQD阵列加权和的收敛性及弱大数定律,作为推论得出一些两两NQD列的收敛性或弱大数定律。此外,还给出了两两NQD列加权和的一个完全收敛定理。本文约定:文中出现的总表示正常数,它在不同的地方可以代表不同的值。

定义2:称是行为两两NQD的零均值r. v.阵列,若都是两两NQD的,且

定义3:称r. v.阵列阶Cesáro一致可积的(),若

定义4:称实数阵列-Toeplitz矩阵(),如果满足:

1);2)为常数。

引理1 [1] :设r. v.是NQD的,则1);2) 对任意都有:

;3) 如同为非降(或非增)函数,则仍为NQD的。

引理2 (推广的Kolmogorov型不等式) [4] :设是两两NQD列,

,则有

引理3 [6] :设,且,若,则对任意,任意,有

2. 两两NQD列的Lr收敛性及弱大数定律

定理1:设是行为两两NQD的零均值r. v.阵列,且为2阶Cesáro一致可积的,-Toeplitz矩阵,若,则

证明:对任意给定的,对,记

,则均为的不降函数,由引理1知仍为两两NQD的。由引理2,有

先令,再令,则有

推论1:设是2阶Cesáro一致可积的零均值两两NQD列,-Toeplitz矩阵,若,则

证明:对每一,取,由定理1立即知推论1成立。

推论2:设是2阶Cesáro一致可积的零均值两两NQD列,,则。特别,满足弱大数定律,即

证明:在推论1中取,取,显然-Toeplitz矩阵且满足推论1的条件,故由推论1知推论2成立。

推论3:设是2阶Cesáro一致可积的零均值两两NQD列,,则

证明:在推论1中取,取,则-Toeplitz矩阵,且,故由推论1知推论3成立。

定理2:设是r. v.阵列,令,若下列条件之一成立,

1)阶Cesáro一致可积的;2)是行为两两NQD的零均值阵列,且为2阶Cesáro一致可积的,则。更有如下形式的弱大数定律成立:

证明:先证(2)。对每一,令,因为有

-Toeplitz矩阵,又,故由定理1立即知定理2的(2)成立。

下面证(1)。对任意给定的,对,记,则。由于,用不等式有

上式中先令,再令,立即知

注:R. Pyke与D. Root (1968)曾证明:若为独立同分布随机变量序列,对,若,则。显然定理2是这一结果的推广与改进。

如果不假定行为两两NQD的阵列有Cesáro一致可积性,则有下面的结果。

定理3:设是行为两两NQD的零均值r. v.阵列,是实数阵列,,若1);2),则

证明:不妨设。令

仍为两两NQD的。对任意给定的,有

由引理2,有

由于,故对一切,有。于是由引理3,对一切,有,从而有

对任意的,存在,当时,有,由的任意性知,于是

由Jensen不等式有

对任意的,存在,当时,若,则有,从而有

的任意性知,于是定理成立。

推论4:设为零均值的两两NQD列,,若,则

证明:在定理3中取,取,则

故由定理3知推论成立。

定理4:设为零均值的两两NQD列,满足条件:存在,存在正数列使有

,则对,有

证明:取使题设条件成立的,对,记

仍为两两NQD的。

由题设条件及Kronecker引理知

3. 两两NQD列加权和的完全收敛性

定理5:设为零均值的两两NQD列,是一列实数,且当时,。若存在,对足够小的,有,则对任意的,有

证明:不失一般性,可设。令

仍为两两NQD的。对任意给定的,有

由引理2,有

由Jensen不等式,有

故定理5成立。

推论5:设为零均值的两两NQD列,,若对足够小的,有

,则对任意的,有

证明:在定理5中取,取即得推论5。

基金项目

国家自然科学基金资助项目(No. 11471153)。

参考文献

[1] Lehmann, E.L. (1966) Some Concepts of Dependent. The Annals of Mathematical Statistics, 43, 1137-1153.
http://dx.doi.org/10.1214/aoms/1177699260
[2] Matula, P. (1992) A Note on the Almost Sure Convergence of Sums of Negatively Dependent Random Variables. Statistics & Probability Letters, 15, 209-213.
http://dx.doi.org/10.1016/0167-7152(92)90191-7
[3] 王岳宝, 苏淳, 刘许国. 关于两两NQD列的若干极限性质[J]. 应用数学学报, 1998, 21(3): 404-414.
[4] 吴群英. 两两NQD列的收敛性质[J]. 数学学报, 2002, 45(3): 617-624.
[5] 万成高. 两两NQD列的大数定律和完全收敛性[J]. 应用数学学报, 2005, 28(2): 253-261.
[6] 甘师信. B值随机元阵列加权和的收敛性与大数定律[J]. 武汉大学学报(自然科学版), 1997, 43(5): 569-574.