Cⁿ上φ-闭正流的Lelong数

The Lelong Number of a φ-Positive Closed Current on Cⁿ

摘要: 本文给出了Cⁿ上φ-闭正流dd^φf的Lelong数，这里φ是特殊Lagrangian calibration，f是L_loc1(Cⁿ)中的φ-多次下调和函数。并且我们应用此Lelong数，将单复变中全纯函数的极小模原理进行了推广，给出了此类φ-多次下调和函数的一个下界估计。

Abstract: In this paper, we give the Lelong number of a φ-positive closed current dd^φf , where φ is the special Lagrangian calibration and f is a φ-plurisubharmonic function in L_loc1(Cⁿ) . Using that Lelong number, we generalize the minimum modulus principle for the holomorphic function of one complex variable, and we get an estimate of the low bound for φ-plurisubharmonic functions.

1. 引言及主要结果

在 [1] - [4] 中，Harvey及Lawson介绍了一些具体的calibrations，以及calibrated几何中的多次下调和函数，闭正流等。这些闭正流是经典的复几何中相应概念的推广，并且拥有一些重要性质。本文给出了一个特殊Lagrangian calibration所对应的闭正流，并给出它的Lelong数的具体表达式。应用此Lelong数，给出-多次下调和函数的一个下界估计。

首先给出 [1] [3] 中的一些定义。如果黎曼流形上的一个闭的形式，对上的所有的单位简单切向量，都有

则称为一个calibration。一个单位简单切向量，如果满足

则称此为一个平面。令表示上平面的全体。如果一个calibration的共变导数为0，则称是平行的。在 [2] 中，Harvey及Lawson给出了一般的calibration对应的多次下调和函数及闭正流。但本文只讨论平行的calibration。下面给出相应的定义。令表示上的形式。对上任何光滑函数f，算子定义为：

其中，i表示对微分形式的内乘，是f在中的梯度。因此，算子

这里，对一个平行的calibration及一个光滑函数f，如果对每个，有

则称f是多次下调和函数。

令表示X上的所有光滑函数构成的空间的对偶。如果一个分布满足对所有的光滑截面及光滑的具有紧支柱非负函数λ，有

则称此分布f是多次下调和的。容易证明，当f是多次下调和函数时，这两个定义是等价的。用表示x上所有的多次下调和函数及多次下调和分布。

令。表示顶点在原点，集合的凸锥。

。这里，表示黎曼流形X的余切空间。一个p维的流t，如果对所有具有紧支柱的p-形式，有

则称t是一个正流。如果还满足，则称t是一个闭正流。关于流的定义，可以参考 [5] 的第104页。

令是上的一个平行的calibration。t是一个p维的正流且。给定一点a，如果极限

存在，则称此极限为t在点a处的Lelong数，记为。这里是中球心为a，半径为r的闭球，是中单位球的体积，参考Demailly [6] 第18页及 [7] 中关于Lelong数的定义。

令表示n维复欧氏空间上点的坐标。闭的形式

是一个平行的calibration，称为特殊Lagrangian calibration。在 [2] 中，附录：The reduced Hessian一节中的定理5.19，告诉我们，如果为特殊Lagrangian calibration，则等价于是一个正流。显然，是闭的。对此闭正流，我们有下面的结论。

定理1.1：令是上的特殊Lagrangian calibration。，则闭正流在点a处的Lelong数存在且

其中，是上的Laplace算子，是上的体积元。是中球心为a，半径为r的开球，是中单位球的体积。

令

(1.1)

函数f在中一个开球B上的Riesz质量定义为：

(1.2)

假设并且是上半连续的，那么可以证明f是下调和的。我们应用闭正流的Lelong数及下调和函数的Poisson-Jensen公式，得到了关于f的一个下界估计式。

定理1.2：令是上的特殊Lagrangian calibration，这里，。f为上的多次下调和函数，并且在上是上半连续的，且有有界的Riesz质量。那么对任何实数，及，存在可数个小球，对，有

(1.3)

其中，表示f在单位球的边界上的最小值，

这些小球的半径，，并且，

(1.4)

令

(1.5)

则e是一个Borel集，且满足

这里，一个集合e的p维的Hausdorff content定义为

(1.6)

其中，是指e的覆盖的全体，其中，每个覆盖是由可数个小球并起来，每个小球的半径，。

注：在 [8] 中，作者给出了极小模原理在中的经典的多次下调和函数中的推广。

2.的Lelong数

令为上一个平行的calibration且，t为一个闭正流。在 [1] 中的第2.5节，Harvey及Lawson已经证明，

是关于变量r单调递增的函数，这里，是中球心为a，半径为r的闭球，是中单位球的体积。因此，

存在。

令且f为上一个光滑的多次下调和函数，则我们有下面命题成立。

命题2.1：(参见 [9] ，命题2.1)

这里，表示一个-形式，它是在中，用替代。

下面给出定理1.1的证明。

定理1.1的证明：令。上的特殊Lagrangian calibration，它是一个形式。令，我们已经知道，是一个n维的闭正流。令*表示Hodge星算子。当f为上光滑的多次下调和函数，由命题2.1知，

那么，

(2.1)

这里，，都是常数，根据Hodge星算子的定义，它们分别满足，。由于，。

因此，(2.1)中最后一个等式成立。

如果f不是光滑的，我们可以先将f光滑化，即将f与光滑核做卷积，记为。那么，可以证明随着，收敛到。现选取一个函数，则有

因此，当f为多次下调和分布时，也有

则有，

证毕。

3.多次下调和函数的下界估计

在 [8] 中，作者给出了极小模原理在中的经典的多次下调和函数中的推广。本节参考 [8] 中的一些方法，给出了多次下调和函数的一个下界估计。

定理1.2的证明：因为f为定义在上的多次下调和函数，那么，对所有的，有。

令，，这里，是切空间的一组基。则显然，且

(3.1)

又因为f在上是上半连续的，从而f在上是下调和的。由Poisson-Jensen公式(参考 [5] ，p. 138)，对，有

这里，是中单位球的表面积。再由Lelong数的定义(1.1)知，

(3.2)

因为，所以，

(3.3)

注意到，

如果上式等号右边的第二项不为零，则由于，只能是

从而，，这与(3.3)矛盾，故

(3.4)

现在固定实数及。任取实数，与t无关，但可以与有关。

由(3.4)知，是当时的高阶无穷小量，故我们可以定义集合

(3.5)

那么，对于中的每一点，都有，这意味着集合与f的极集没有交点。

令为在上的最小值。固定一点，则，由(3.2)可得

由于，由(3.5)知，从而

(3.6)

并且，由于关于t是单调递增的及(1.1)知，对，。因此，

(3.7)

由(1.1)及(1.2)知，。由于，，故由(3.1)知，

(3.8)

从而，由(3.2)得，

这里，第二，三，四个不等式分别由(3.6)，(3.7)，(3.8)所得。

取

(3.9)

则有，。

令及，则公式(1.3)成立。

令。由(3.5)知，对任意一点，都会相应的存在一个实数，满足，使得

(3.10)

从而，由(1.1)及(1.2)知，

这些小球构成集合的一个覆盖，由Vitalli覆盖引理知，在中，存在可数个互不相交的小球，记作，并且满足也能够覆盖集合。并且，由(3.9)及(3.10)知，

仍然取a为(3.9)中所定义的。由于

可得，

令，及，可得，

即(1.4)成立。故我们找到了可数个小球，对，有(1.3)成立，而且这些小球的半径满足(1.4)。由(1.5)知，，则(1.6)成立。

证毕。

基金项目

浙江省教育厅基金(No. Y201328697)，浙江省自然科学基金(No. LQ14A010003)。