In this paper, a new proof is given for the result that if n≥3, there are no non-constant entire so-lutions of the functional equation fn(z)+gn(z)=1.
1. 引言及主要结果
1637年法国数学家费马提出了如下猜想：当时，丢番图方程没有非平凡的整数解。1994年这个猜想被英国数学A. Wiles完全证明。要寻找方程在整数环上的非平凡解，可以转化为求代数曲线上的有理点。
然而早在1965年，当时，关于Fermat型函数方程
(1)
在整函数环，或是亚纯函数域上的非平凡解的状况已经完全清楚了。容易证明：当时，函数方程(1)不存在非常数的整函数解；当时，函数方程(1)不存在非常数亚纯函数解。
类似地，研究丢番图方程整数解的存在性问题可以转化为研究方程的有理数解的存在性问题。然而，当时，方程整数解的状况不是十分清楚。
相应地，不妨先考虑当时，Fermat型函数方程
(2)
在整函数环，或是亚纯函数域上的非平凡解。对于该问题的研究已有如下结论：
1985年W. K. Hayman [1] 证明了：当时，方程(2)不存在非常数亚纯解；当时，方程(2)不存在非常数整函数解。此外，当时，G. G. Gundersen [2] - [4] 等人找到了满足方程(2)的非常数整函数解；当时，G. G. Gundersen [5] 构造了满足方程(2)的非常数亚纯解。
近期，苏敏 [6] 等人证明了：当时，方程(2)不存在级小于1的非常数整函数解；当时，方程(2)不存在级小于1的非常数亚纯函数解。
本文主要利用正规族理论的知识对时，函数方程(1)没有非常数整函数解的结果给出新的证明。
对于探究函数方程整函数解的存在性，运用本文的方法，利用正规族理论的Zalcman引理对特殊情况的整函数解作降级处理，具有一定的可行性。
定理1：当时，函数方程(1)没有级小于等于1的非常数整函数解。
定理2：当时，函数方程(1)没有非常数整函数解。
2. 几个概念与引理
在定理1的证明之前，先介绍本文中常用的几个概念与引理：
定义1 [7] ：设为区域内的一族亚纯函数，如果从该族中的每一个函数序列可以选出一个子序列满足下列两个条件之一：
1)在内闭一致收敛；
2)在内闭一致趋于，
则称此函数族在内是正规的。
定义2 [7] ：设，我们称一非负实数为与之间的球面距离，记作：
定义3 [7] ：设在内亚纯，我们称为的球面导数。
定义4 [7] ：设为上的亚纯函数，的级定义为。
引理1 [8] ：设为上的非常数亚纯函数，其级有穷，则对于，存在，使得，且
.
引理2 [7] ：(Marty定则)设为区域内的一族亚纯函数。在内正规的充要条件是：对于内的任一有界闭区域，存在相应的正数 (与有关)，使得对于中的每一个函数，有
即。
引理3 [7] ：设为区域内的一族亚纯函数。如果在内不正规，则存在中的点列，中的函数列，正数列及上的非常数亚纯函数，使得当时，且
(按球面距离在上内闭一致收敛)，
并且。特别地，的级不超过2。
引理4 [7] ：设为整函数。若的球面导数有界，则的级至多为1。
引理5 [7] ：若是无穷级亚纯函数，则存在一个序列，使得当时，有。
3. 定理的证明
3.1. 定理1的证明
假设函数方程(1)存在级小于等于1的非常数整函数解，则一定线性无关，故。
由(1)式可得方程组
令，则，显然。
另一方面，由克莱姆法则得
从而
(3)
故。
由题设和(1)式知：，
故由引理1知：对任意，存在，使，且
，
从而，
又由于为整函数，所以为常数，设。下面证明：。
我们断言：为非常数整函数。事实上，若，则，所以不取0，1，这与至多有一个有穷picard例外值矛盾。
由于为非常数整函数，故存在，使当时，
(4)
又由(3)、(4)式及引理1知：对上述的及，存在，使，且
,
由于，令，，故即，矛盾，定理1得证。
3.2. 定理2的证明
假设函数方程(1)存在非常数的整函数解，那么由的任意性可以得到一组无穷级的整函数解。
由于是无穷级整函数，由引理5知存在一个序列，使得当时，有
(5)
记，，由于
结合(5)式知，所以。于是由引理2知：在原点的某邻域内不正规，从而由引理3知：存在点列，正数列，中的函数列不妨仍记为以及中的非常数整函数，使得当时，，且
即
并且，再由引理4知，的级，
此时必存在函数列，
使得当时， (按球面距离在上内闭一致收敛)，
故存在非常数的整函数使得，
即，故，与定理1矛盾，定理2得证。
参考文献