令F是一个域，Sn(F)是F上所有n*n对称矩阵的集合。如果一个映射f:Sn(F)→Sn(F)被定义如下，∫:B=(bij)|→(fij(bij)), ∀B∈Sn(F)。
其中，{fij|i≤j∈{1,2,...,n}}是关于F的函数集，则称f是Sn(F)的由{fij}诱导的映射。如果对于A,B∈Sn(F)有f(AB)=f(A)f(B)，则f被称为保矩阵乘积。本文我们刻画域上矩阵保乘积的诱导映射。
1. 引言
刻画矩阵集合保持某些性质的映射称为矩阵保持问题研究。近年来，这种研究更感兴趣于映射没有线性和加法假定的情形，例如 [1] - [5] 。本文研究的诱导映射，其实也是这类问题的一种，又如 [6] 及 [7] 。
设是一个域，记上所有阶对称矩阵的集合。设是到自身的映射，是上的函数，其中。如果定义
则称是由诱导的映射。简称的诱导映射。
在本文中令是到自身的诱导映射，如果意味着则称f保乘积。本文目的是刻画的保乘积的诱导映射。
在本文中记为单位矩阵，用记中所有非0元的集合，表示位置是1，其余位置是零的矩阵。记。
容易证明，若，则当且仅当。
2. 主要结果
在的情况下，对于为的保乘积的诱导映射的充要条件，我们有如下的重要结果。
定理1.1. 设为一个域，为整数且。是的诱导映射，则保乘积当且仅当存在一个可逆对角阵及上的单自同态使得
(1)
其中。
证明：充分性显然，下证必要性。假设且互不相等，令，
易见，由保乘积知，看位置得
。 (2)
下面分两种情况讨论。
1) 对于任意不同的及任意均有。由此情形条件可知
， (3)
。 (4)
令，，易见得，
看位置且由(4)得
， (5)
易推出。由得到得或1，易得
， (6)
故由(2)得
， (7)
令，易见
由保乘积知，看位置得，又由
可得
(8)
由易见看
位置得
， (9)
令，由(7)可知，当时，有
，
又对有
因此有
， (10)
由得，又由(10)得
满足(10)。当时，由可推出
仍然满足(10)。总之(10)对所有情形成立。
令，则由(7)计算可得，则有
， (11)
再由，易见
看位置得，由
和(9)可得
， (12)
从而有
， (13)
式意味着，故为的单自同态。
令，则中，时，有，则
， (14)
由(9)得，可推出，
又由(14)可得。
由(4)和(10)，设，易见
注意到由(5)和(6)易得，显然有，这样结论1)被证明。
2) 若存在某及某使，
令，由，看
和位置得
， (15)
， (16)
令，
由，看位置，得
， (17)
由(17)可得即得，又由(15)和(16)可得。由(15)可得，
由可得。由(16)可得，，由，得到。同理，。由(17)易得，由，可得因此，推出，证毕。
定理1.2. 令F为一个域，设为一个由函数导出的映射，满足保乘积当且仅当存在一个可逆对角阵的且为上的单自同态，那么有
。 (18)
证明：下面分两种情况讨论。
1) 对于任意不同的及任意均有。
充分性显然，下证必要性。令，易得，看(1,2)位置且由(6)得到
， (19)
由(4)~(6)可得
， (20)
由(8)，令，在(21)中，令，得到，
又由(20)得到，故
， (21)
又由(12)可得
， (22)
又由(4)，因此得到
，令，
显然有且
。 (23)
2) 对于某有。
令由看(1,1)位置得
， (24)
看其(2,2)位置得
， (25)
由可得即
， (26)
令，由，看(1,1)位置，又由(4)得
， (27)
， (28)
又由(26)得
， (29)
综上所述，由(26)和(29)得到。
参考文献