1. 引言
Hopf代数和量子群在几何和物理学中有广泛应用，而有限维单李代数的量子包络代数是一类特殊的Hopf代数，是研究一般量子代数的基础。继文 [1] 对的等价表示进行研究之后，已有不少学者 [2] - [5] 对进行了推广。文 [2] 引进了量子代数，并对其一些相关理论进行了研究。2000年，王顶国等 [3] 研究了量子群的Hopf代数结构和有限维表示，并进一步得到量子群的有限维表示 [4] 。2008年，潘艳 [5] 对量子群的等价表示进行了研究。基于以上研究方法，可将量子包络代数再次推广，构造量子代数，并讨论其等价表示。
2.的定义及等价表示
设为复数域，不是单位根，是一个正整数。文 [6] 对有限维半单李代数，定义了一类弱量子代数，并构造了其弱Hopf代数结构。当时，可类似地定义一类弱量子代数。
定义1设是一个正整数，代数是由生成子生成，并满足以下关系式：
(1)
，， (2)
，， (3)
其中。 (4)
当是一个正偶数时，是一个弱Hopf代数 [6] ，故在对应双代数结构下也构成一个弱Hopf代数。需要说明的是，当时，同构于。为了不失一般性，下文假设，即都不可逆。
类似于文 [6] 的定理2.2，由定义1易证得性质1成立。
性质1在代数中，且对都成立。
定义2代数是由生成的，且满足以下关系式：
，，， (5)
， (6)
，，(7)
，。 (8)
由定义2可得到以下性质2。
性质2 在代数中，，且对都成立。
引理1 在代数中，如下关系式成立：
，， (9)
，。 (10)
证 由等式可得，等式两边同时左乘得，
，
如此继续可得，
。
由性质2可知，故。
由可得，等式两边同时左乘得，
则等式(9)得证。同理，由等式(8)可证等式(10)成立。
定理1，其中同构映射满足
，，，
，。
的逆映射满足
，，
证 先证明为代数同态映射，即要证保持定义中的关系式。
由性质2可知，由(7)可知，于是
同理可证，，。
下证保持等式(4)成立，由(6)式得，由引理1得，故
因此是到的C-代数满同态。下证与是互逆映射。
由可知，
反之，由及可知，
因此是到的同构映射，于是代数。
定理1中的代数可称为的等价表示，其中为的等价生成子。
基金项目
浙江省教育厅科研项目(Y201327644)；高等学校访问学者专业发展项目(FX2014082)。
NOTES
*通讯作者。
参考文献