Hom-李Color代数的广义导子

Generalized Derivations of Hom-Lie Color Algebra

摘要: 首先回忆与Hom-李color代数相关的概念，并且给出它的广义导子、拟导子、中心导子、型心和拟型心的定义。进一步地，研究这些导子之间的性质和联系。最后得到广义导子可以写成拟导子与拟型心之和。

Abstract: Firstly, we recall some concepts associated with a Hom-Lie color algebra. Moreover, we give the definitions of the generalized derivations, quasi-derivations, center derivations, centroids and quasi-centroids. Furthermore, we investigate some properties and connections between these de-rivations. Finally, we obtain that the generalized derivations are equal to the sum of quasi-deriva- tions and quasi-centroids.

1. 引言

众所周知，Hom-李代数和李color代数都是李代数的重要推广。和这两类代数相关的结构理论和表示理论已被广泛研究。Hom-李color代数是Hom-李代数及李color代数的进一步推广。然而到目前为止，对于Hom-李color代数的研究还是非常少。文献 [1] 介绍了Hom-李color代数的概念，并且构造了几类新的Hom-李color代数。

导子和广义导子在李理论的发展过程中起着非常重要的作用，文献 [2] - [7] 研究了李代数，李超代数，Hom-李代数，李color代数等各类代数的广义导子。文献 [8] 研究了Hom-李color代数的表示理论并且给出了广义导子的定义，但没有考虑广义导子的性质。本文主要研究了Hom-李color代数的广义导子，拟导子，中心导子，型心和拟型心的性质，并且研究了它们之间的联系。

本文的主要结论归结为引理3.1，3.2和定理3.4，3.5，3.7。

本文总假定F是特征为0的代数闭域，，是Abelian群，文中出现的均属于。

2. 预备知识

首先来回忆一些与Hom-李代数，李color代数以及Hom-李color代数相关的概念和定义。详见文献 [1] [8] [9] 。

定义2.1 Hom-李代数是一个三元组，其中L为数域F上的线性空间，二元运算满足双线性性，是线性映射，且满足

1)，

2)。

对于任意。

线性空间V称为-阶化的，如果存在V的一簇子空间，满足。V中的一个元素

称为次齐次元，如果。在这种情况下，称为a的color。通常用表示a的color，这样V中的每个齐次元素a都有唯一的群中的元素与之对应。为了方便，常省掉“-”。在本文中，用hg(V)表示V中所有齐次元素。

若，是两个-阶化线性空间，线性映射称为次，如果。进一步，f是0次，即，则称f是偶的。

代数A称为-阶化的，若A是-阶化线性空间，即且。

若A，B都是-阶化代数，称同态是偶的，如果。

定义2.2 称为上的双特征映射，，若满足

1)，

2)，

3)，

对于任意。

定义2.3 李color代数是一个三元组，其中L为-阶化代数，即，二元运算满足双线性性，为上的双特征映射，且满足

1)，

2)，

对于任意。

定义2.4 Hom-李color代数是一个四元组，其中L是-阶化代数，为上的双特征映射，偶的双线性映射，偶的同态，且满足

1)，

2)，

对于任意。

注记2.5 如果是一个Hom-李color代数，当取时，此时变成了一个李color代数。若对于任意，都有，则是一个Hom-李代数。因此，可以看出Hom-李color代数是Hom-李代数和李color代数的进一步推广。

是一个Hom-李color代数，若对任意，都有，则称L为保积的Hom-李color代数。

下面给出Hom-李color代数的各类导子和型心的概念。

命题2.6，，则是一个Hom-李color代数，其中李color括积为

。

对于任意，且同态是偶的，满足，对于任意。

证明直接计算易知。

定义2.7 设L为保积的Hom-李color代数，称为L的次-导子，如果

，

，

对于任意。

我们把L的次-导子的全体记为，则，其中是-阶化的，即。

定义2.8称为L的次-广义导子，如果存在使得

，

，

对于任意。

我们把L的次-广义导子的全体记为，则

，其中。

定义2.9称为L的次-拟导子，如果存在使得

，

，

对于任意。

我们把L的次-拟导子的全体记作，则

，其中。

定义2.10 设L为Hom-李color代数，若，且满足

，

，

对于任意，则称D为L的次-型心。

代表L的所有次-型心，则

，其中。

定义2.11 设L为Hom-李color代数，若，且满足

，

，

对于任意，则称D为L的次-拟型心。

代表L的所有次-型心，则

，其中。

定义2.12 设L为Hom-李color代数，若，且满足

，

对于任意，则称D为L的次-中心导子。

代表L的所有次-型心，则

，其中。

根据以上定义，我们可得如下结论：

。

定义2.13 若，则称为L的中心。

3. 各类导子和型心的性质

引理3.1是一个保积的Hom-李color代数，则

1)，和是的子代数；

2)是的理想。

证明 1) 设，，则，，可得

类似地，可得

因而

即

又因为，，可得，即证是的子代数。

同理，是的子代数。

设，，则，，可得

同理可证。

可得，从而是的子代数。

2) 设，，则，，可得

因此，从而是的理想。

引理3.2是一个保积的Hom-李color代数，则有如下两个结论：

1)；

2)；

证明 1) 设，，则，

一方面，可得

因而。

另一方面，可得

由于，可得

因而

从而，因此。

2) 同1)的证明。

根据文献 [8] 中的命题5.2和5.3，可得如下引理：

引理3.3是一个保积的Hom-李color代数，则

1)；

2)。

定理3.4 设是一个保积的Hom-李color代数，则

，即任一广义导子可以写成拟导子与拟型心之和。

证明：设，，则存在，使得

由于，

由的性质，得，

类似可得，

即，可得，且，有

，

，

从而有，，因此

，即。

故。

定理3.5设是一个保积的Hom-李color代数，其中是满射，是L的中心，则。特别地，若，则。

证明：设，，。因为是满射，所以

，，使得，则

从而，即，

故。

特别地，若，易知。

注3.6 由文献 [2] 的定理2.6可得，设是Hom-李color代数，是L的中心。若，则。

定理3.7 设是保积的Hom-李color代数，是满射。若，则是Hom-李color代数当且仅当。

证明：充分性显然成立，下证必要性。

设，，。因为是满射，所以，，使得，因为是Hom-李color代数，则，即

由引理3.3 (1)的证明易知

从而，

即，故。

基金项目

国家自然科学基金资助项目(No. 11431010)。