1. 引言
近几年来，带稀疏约束的最优化问题得到了学者们广泛的关注，这是因为它在信号处理、图像恢复等领域有着重要的应用 [1] - [4] 。不论是在理论、算法还是在应用方面，已经有了大量的研究。
大多数的理论研究都是关于带稀疏约束的一般连续可微函数，问题形式如下：
使得 (1.1)
其中，是一个连续可微的函数，是一个小于的整数。代表零范数(是向量中非零分量的个数)。目前，问题(1.1)已经引起了大量学者的研究，并提出了许多算法，但大多数的算法产生的点列都只是收敛到问题(1.1)的稳定点。在 [5] 中，作者引用了一种叫IHT的算法用来解问题(1.1)，并证明由该算法产生的点列的任意聚点都为问题(1.1)的L-稳定点。
关于问题(1.1)的特殊形式，其中，，也得到了广大学者的广泛关注 [6] - [8] 。
本文，我们主要研究的是带稀疏约束的分裂可行问题，分裂可行问题就是下述形式的问题，最早被Censor在 [9] 中提出：
找向量
, (1.2)
其中，分别为和中的非空闭凸集，为一个的实矩阵。
本文研究的是带稀疏约束的分裂可行问题，问题形式如下：
, , 使得 (1.3)
受到 [5] 的启发，我们通过求解下述最优问题得到(1.3)的近似解
(1.4)
注1：在本文中我们取。
2. 预备知识
2.1. 支撑映射
定义：对任意的非空闭集，称为到的投影。称由往稀疏集上的投影为支撑映射。
显然，往稀疏集上的投影的分量包括个绝对值最大的分量和个零。即：设为的指标集，且
,
则
。
因为非凸的，所以一般不是一个单点集。为使为单点集，我们这样定义：设代表的第大的分量，则有。记。当时，取，如果有多于一个的时，随机从中选一个；否则，取。即：
2.2. L-稳定点
定义：如果对任意的，，满足如下：
(2.1)
则称为(1.4)的稳定点.其中，为(1.4)的可行域，
2.3. 导集
定义：记集合的所有的聚点组成的集合为,称为的导集。
注2：导集的一些性质：1) 若为闭集，则；2) 记为的闭包，则。
引理2.1：对任意的，满足(2.1)当且仅当，且
引理2.2：(1.4)式中，目标函数的梯度函数在上是Lipschitz连续的，且Lipschitz常数为，即：
证明：对任意的，有
即：。
证毕。
引理2.3 (the descent lemma [10] )：假设是一个连续可微的函数，且其梯度函数是Lipschtz连续的，并记其Lipschtz常数为，则对任意，有
其中。
引理2.4：对于任意的，则对任意的，满足于
(2.2)
则有。
其中，，。
证明：我们知(2.2)式可以写成如下形式：
(2.3)
又因为。
又关于为常数，故(2.3)式等价于。
即：
(2.4)
由引理2.4可得。
(2.5)
联立(2.4)，(2.5)可得。
定理2.1：对于任意的，设为(1.4)式的最优解，则
(1)是一个-稳定点。
(2)为一个单点集。
证明：我们同时证明(a)和(b)，假设存在向量，且有
在引理2.4中取，有
这与为最优解矛盾。
3. IHT算法
在本文我们引用求解带稀疏约束的一般连续可微函数的IHT算法来求解带稀疏约束的分裂可行问题。
算法过程如下：
步骤1：任取；
步骤2：；
步骤3：若有，则停止；否则令，转步骤2。
其中，，稀疏集。
引理3.1：设为由IHT算法产生的点列，则
(1)；
(2)是一个不增数列；
(3)。
证明：在引理2.4中，取，从而由(1)成立。又由(1)可直接得出(2)，(3)成立。
定理3.1：设为由IHT算法产生的点列，则的任一聚点都为L-稳定点。
证明：该证明与 [5] 中定理3.1类似，证明过程如下：
设为的任意聚点，则存在子列收敛到。由引理3.1的(1)可得：
(2.6)
因为为正数列，结合引理3.1中(2)，可以得出和收敛到同一极限。从而有时，，联立(2.6)式可以得出：
当时，。
又
取。因为和都收敛到，所以存在使得当时，有：
从而对所有的：
取可得。
再取。如果存在有限个且。则
取极限可得。特别地，。另一方面，如果存在，使得对所有的都有，则
再取，利用函数的连续性可得：
从而结论得证。
引理3.2：设为由IHT算法产生的点列，且为包含的所有聚点的集合，，则①；或②，其中为的导集。
证明：假设①不成立，则证②成立。因为为闭集，所以我们只需要证明。
设，故存在的子列使得：
(2.7)
因为①不成立，故存在和的一个邻域，记作使得：
(2.8)
取，由引理3.1的(3)和(2.7)式知，使得：
(2.9)
(2.10)
不失一般性，对于我们可以假设对，使得且有对于，由(2.8)式和(2.9)式可得，，所以，存在使得：
(2.11)
(2.12)
由(2.10)和(2.11)式可得，当时有：
即点列，故存在聚点，设为，则，由(2.12)式可得，由的任意性，得。
定理3.2：设为IHT算法产生的点列，若为(1.4)的严格局部最小解，则有。
证明：由于为的一个聚点，故(2.7)式成立，又，结合引理3.2的(2)知，由IHT算法产生的点列满足，所以
(2.13)
由引理3.1的(3)知。
由引理3.2知，若，则对于任意的，存在，都有，而由(2.13)式知对所有成立。故与为(1.4)的严格局部最小解矛盾。
4. 总结
本文在带稀疏约束的一般连续可微函数的已有结论的基础上，对带稀疏约束的分裂可行问题进行求解分析。由引理3.2我们可以得出，由IHT算法产生的点列，要么满足，此时，有收敛到(1.4)的一个-稳定点；要么有 (包含的所有聚点)。并且我们给出了在局部收敛性分析中起到了重要作用的结论。
参考文献