1. 引言
CDMA通信系统中广泛存在着MAI [1] 。MAI的存在会直接影响到系统的误码性能和吞吐量，甚至对整个通信系统的容量造成极大影响。
适当的脉冲整形可以改善传输信号的频谱性能 [2] 。这种改善对于CDMA系统非常重要，因为它使得系统可以在一个给定的带宽内使用较长的扩频码，或者在相同的条件下容纳更多的用户。CDMA系统广泛采用相关接收机，这种技术使得MAI的方差既与整形脉冲的能量有关，又与整形脉冲的形状自身相关。因此，研究不同整形脉冲对于CDMA系统性能的影响具有非常重要的意义 [3] [4] 。而PSWF可在时域范围和频域范围内都近似带限。这一优良特点使得它在脉冲整形中的应用成为可能 [5] - [7] 。
本文针对这一问题，提出将PSWF函数引入CDMA系统作为整形脉冲，通过理论分析和Matlab仿真，与常规波形进行对比，研究该函数对CDMA系统检测性能的优化情况。理论分析和仿真结果均证明：在能量有限条件下，具有更大时间带宽积因子的PSWF波形对应的CDMA系统通信性能更优。
2. CDMA系统
直接序列扩频CDMA(Direct sequence CDMA，DS-CDMA)系统利用不同的地址码来区分不同的用户，接收端可以利用这种差别，从接收信号准确地分离出所要传输的有用信息。图1所示为DS-CDMA系统简单框图。
由图1可知，在发射端经过基带调制和直接序列扩频后的不同用户信号进行叠加，相加后的信号经过脉冲整形进行传输。接收端，经过Rake接收，匹配滤波，然后进行解扩，最后经基带解调和抽样判决，恢复出原始信息。
DS-CDMA系统利用不同用户之间的正交性来区分用户，而实际应用中，这种正交性不会那么严格，这种不完全正交产生的干扰叫做多址干扰(MAI)。单个用户时MAI很小，可以忽略不计，但当用户增多时，MAI就会越来越明显，并影响到系统的误码率和吞吐量，对系统容量产生极大影响。
为了克服MAI对CDMA通信系统的影响，进一步优化CDMA数字通信系统的传输性能。我们试图找到更加恰当的脉冲波形，通过脉冲整形改善传输性能，满足系统对传输的更高要求。传统的整形脉冲有：矩形、半正弦、三角波、升余弦等。
3. PSWF波形
PSWF最早由Slepian和H. O. Pollark等人在上世纪60年代提出，其带通形式的积分定义如式(1) [8] ：
(1)
式中，参数
表示PSWF函数
的能量集中度因子，
为阶数；
是角频率带宽；
为时间带宽积因子，且满足
。
PSWF可以在时域持续时间有限的条件下，满足在近似带限的频率范围内最大化集中频域的能量。这一优良特性使得它在脉冲整形中的应用成为可能。
但PSWF函数为积分形式，它的闭式解很难求取。这在实际分析和研究过程中显得十分不方便。在文献 [9] 中，作者通过计算机仿真得到了
、
、
、
时的计算机仿真波形，如图2所示。
在文献 [10] 中，作者给出了图2几种波形的近似解析表达式，用于理论分析和研究，各表达式如式(2)~式(5)。
1) 99%BW，WTc = 1.2：
(2)
2) 99.9%BW，WTc = 1.6：
(3)
3) 99%BW，WTc = 2：
(4)
4) 99%BW，WTc = 3：
(5)
其中，
和
为幅度归一化常数，
，
。
本文引用上述PSWF波形的表达式，用来与常规波形进行比较分析和研究。
4. 波形比较研究
4.1. 误码率比较
假设
个用户的DS-CDMA系统采用QPSK调制，根据文献 [3] ，其系统
可表示为如式(6)：
(6)
其中，
为单位比特能量，
为噪声功率谱密度，
为用户个数，
为单位比特内的chip个数。
是波形的相关性指标，不同波形的相关性不同。
部分相关性指标反映的是不同码片之间的正交性，
越小，反映的是码片之间的正交性越好，即不同码元之间产生的码间干扰就会越低，这对于DS-CDMA系统来说意味着系统误码性能的提升。
整形脉冲的部分相关性指标定义为：
(7)
其中
为整形脉冲的频域表达式。
根据公式(6)可以发现，在相同的
条件下，对于相同的用户数
，
的大小仅与
相关，而
反映的是信号的波形形状。也就是说，不同形状的整形脉冲通过相关函数
对系统的
产生影响，进而影响到系统的误码性能，并且，
的值越小，系统
越大，对应的系统误码率
也就越小。
本文针对能量有限条件，研究不同整形脉冲对系统检测性能的影响。为了保证波形形状，首先要对整形脉冲进行归一化，即满足式(7)和式(8)：
时域：
(8)
频域：
(9)
为了保证能量有限条件，限制不同波形的
均为1。在式(8)和式(9)的条件下，整形脉冲的能量均为1，满足要求。同时，为了公平，要求不同波形对应系统具有相同的比特速率
，即相同的比特周期
。由于
均为1，根据
可知，不同系统的
也相同。因此，不同系统的
将只与系统的
相关。
根据以上分析，只需比较不同整形脉冲的
值，
数值越小，DS-CDMA系统的误码率性能越好。
这里选择六种波形进行对比，其中常规波形两个，PSWF波形四个。
常规波形为：三角波和升余弦波。两种常规波形经过幅度归一化后表达式为：
1) 三角波：
(10)
2) 升余弦：
(11)
PSWF波形选择PSWF_1(
)、PSWF_2(
)、PSWF_3(
)、PSWF_4(
)四种。
表1所示为按照
公式计算得到的各波形
值的大小。由表可知，
的大小顺序由大到小依次为：PSWF_1 > 三角波 > 升余弦(PSWF_2) > PSWF_3 > PSWF_4。根据以上分析，采用相应波形的DS-CDMA系统的
的大小顺序依次为：PSWF_4 > PSWF_3 > PSWF_2(升余弦) > 三角波 > PSWF_1，对应的系统误码性能优劣顺序从优到劣依次应为：PSWF_4、PSWF_3、PSWF_2(升余弦)、三角波、PSWF_1。由于升余弦波形是常规波形中性能最优的波形，也就是说PSWF_3和PSWF_4波形具有比上述常规波形更好的误码率性能。
4.2. 吞吐量比较
对于DS-CDMA系统，当用户的数量
超过DS-CDMA的系统容量
时，由于过载，数据包就会发生丢失。为了考量系统发送数据的能力，在DS-CDMA系统中，定义系统的吞吐量(Throughput)为：单位时间段内成功接收到的平均数据块个数。如果用系统容量进行归一化，则可得到归一化吞吐量。其定义式如式(12)：
(12)
Table 1. Mc value of wave forms under the condition of limited energy
表1. 能量有限条件下各波形的Mc值
其中，
为包含
个数据比特的数据块传输成功的接收概率，定义为：
,
为
个用户同时出现时的平均误比特率，
是每个传输成功的数据块所包含的比特数目。同时，
为在传输的数据块中包含
个用户的概率，若给定通信速率
服从泊松分布，则其定义为：
(13)
若给定通信速率
服从二项分布，则其定义为：
(14)
其中，
是系统容量，即系统所能容纳的最大用户数。本文仅对通信速率
服从二项分布的情况讨论研究。
由DS-CDMA系统的归一化误码率定义式可以看出，在系统容量
和通信速率
都给定的情况下，
相当于已经给定，对某个特定DS-CDMA系统，
也是给定的，因此只需要求得系统中同时存在不同个用户时的误比特率
，根据以上公式便可通过计算得出DS-CDMA系统的归一化吞吐量。
5. 仿真结果和分析
为了验证第3节关于误码率的比较结果，并进一步研究Throughput性能，本节在能量有限条件下，通过对不同整形脉冲对应的DS-CDMA系统进行Matlab仿真，研究系统误码率和吞吐量性能的变化情况。
5.1. 误码率仿真
仿真主要参数为：DS-CDMA系统，QPSK调制，Gold码(码长为31)扩频，用户数选择user = 1，user = 10，user = 30三种情况，信道选择AWGN信道和Rayleigh信道两种，采用Rake接收机。
由图3可知，在AWGN信道下，对于单用户情况，采用四种不同整形脉冲的DS-CDMA系统的误码率性能几乎一样。对于多用户情况，无论是user = 20还是user = 30，系统误码率性能的优劣顺序从优到劣均为：PSWF_4、PSWF_3、PSWF_2(升余弦)、三角波、PSWF_1，并且，随着user个数的增加，各波形之间的误码率差距越来越大，也就是说，系统的检测性能差别越来越大，这与多用户下MAI对DS-CDMA系统误码率影响的理论分析是吻合的。另外，对于PSWF波形，时间带宽积因子越大，对应的系统误码率性能越好。
由图3可知，在Rayleigh信道条件下，无论单用户情况还是多用户情况，采用不同整形波形的系统误码率性能顺序和AWGN信道情况完全一致。不同的是，同等条件下，Rayleigh信道情况的误码率更大，
不同波形之间的误码率性能差距更小。
5.2. Throughput仿真
仿真参数为：DS-CDMA系统，Gold码扩频，
，
，
，Rayleigh信道，Rake接收，接收分集数分别为2和3。仿真结果如图4。
由图4可知，在Rayleigh信道下的DS-CDMA系统，无论接收分集数M = 2还是M = 3时，系统吞吐量的大小顺序从大到小均为：PSWF_4、PSWF_3、PSWF_2 (升余弦)、三角波、PSWF_1。并且，随着M值的增大，相同整形脉冲情况下，系统的吞吐量变大。由此可见，在Rayleigh信道下的DS-CDMA系统吞吐量性能与误码率性能的顺序完全相同，且当接收分集数越多时，系统吞吐量性能更好。对于PSWF波形，由仿真结果可知，时间带宽积因子越大，系统吞吐量性能越好。
6. 结束语
本文针对CDMA系统面临的多址干扰问题，首先从理论上分析了能量有限情况下整形脉冲对DS-CDMA系统性能的影响，提出了将椭圆球面波函数PSWF作为整形脉冲。与其他常规波形进行比较，分析得出了PSWF_4、PSWF_3波形比其他常规波形对DS-CDMA系统性能的提升更大的结论。进一步通过Matlab仿真验证了如下结论：在AWGN信道和Rayleigh信道环境中，不同用户数情况下，PSWF_4、PSWF_3波形比其他常规波形具有更优的误码率性能，在Rayleigh信道环境中，不同分集数条件下，PSWF_4、PSWF_3具有比其他常规波形更优的Throughput性能。
Figure 4. BER simulation results (a) (b) (c) is under AWGN channel, (d) (e) (f) is under Rayleigh channel
图4. 误码率性能仿真结果(a) (b) (c) 为AWGN信道环境，(d) (e) (f) 为Rayleigh信道环境
综上所述，在CDMA多用户通信中，在能量有限情况下，PSWF_4、PSWF_3具有比其他常规波形更优的检测性能，可以有效降低多址干扰的影响。
基金项目
天津市应用基础及前沿研究计划项目BE026011。