基于火柴棍模型的煤体迂曲度理论研究

Theoretical Research on Tortuosity of Coal Based on the Matchstick Model

摘要: 为了更好的研究煤体孔裂隙结构特征以及求取相关表征参数，本文基于理想的火柴棍模型，结合达西定律和修正的泊谡叶方程，经过严格的理论推导，得到了适用于煤体的迂曲度理论表达式，并以初始迂曲度为参考推导了迂曲度的修正式，同时结合Klinkenberg系数给出了一种初始迂曲度的计算方法。研究结果为求取表征煤体孔裂隙特征的相关参数提供了可行的方法，具有一定积极意义。

Abstract: In order to research the structure characteristics of pores and fissures and seek the related cha-racterization parameter of coal, this article based on the ideal matchstick model, combined the Darcy equation and the modified Poiseuille equation and deduced the theoretical expression of tortuosity applicable to coal through strict theoretical derivation. Then the modified expression of tortuosity was deduced in reference of the initial tortuosity, at the same time, we got a calculation method of initial tortuosity by combing the Klinkenberg coefficient. The research results provide a feasible method for calculating the related parameters representing the features of pores and fissures, and have positive effect.

1. 引言

迂曲度是研究多孔介质孔隙结构的重要参数之一，本文所述的迂曲度根据Bear, J [1] 的定义，迂曲度为渗流通道的实际长度与渗流介质的表观长度的比值，通常表示为，其中，为弯曲毛细管的实际长度，为毛细管的表观长度。关于多孔介质迂曲度的计算和处理方法已多有研究，Christopher [2] 通过实验得到了迂曲度经验值25/12，Wu [3] 等在处理迂曲度时即采用了数值25/12。Yu [4] 等通过建立几

何模型，推导出了多孔介质平均迂曲度的计算方法，。Plessis [5] 等通过理论推导和实验验证，得到了迂曲度的计算式，。Liu [6] 等基于多孔介质中

稳定不可压缩流推导出了迂曲度的一种计算式，。Tang [7] 在推导多孔介质阻力模型过程中，将迂曲度处理为。彭安兰 [8] 由单根毛细管出发，提出了用毛管压力资料计算迂曲度的方法。李瑞琪 [9] 依据压汞资料和动态资料首先计算出平均孔隙半径，进而计算出了迂曲度。吕道平 [10] 根据水力学迂曲度因子的定义以及迂曲度因子与多孔介质中孔隙半径、孔隙度、渗透率的关系，提出了一种利用气测岩心渗透率求取岩心水利学迂曲度因子的方法。通过分析国内外的研究发现，迂曲度的计算方法大部分是针对广义多孔介质而提出的，部分学者将其引入到岩石，油气藏领域。煤体属于孔裂隙同时发育的多孔介质，煤体迂曲度作为表征煤体内部复杂孔裂隙结构特征的一个基本参数却鲜有研究。笔者基于理想的火柴棍模型，结合流体力学的相关理论，推导了煤体迂曲度的理论计算式，同时提出了修正迂曲度表达式，并在实验室条件下结合Klinkenberg系数给出了初始迂曲度的详细计算方法，最后基于合理假设给出了一种迂曲度的近似处理方法。

2. 理论推导

2.1. 煤体迂曲度理论表达式

煤属于多孔介质，火柴棍模型(图1)是研究煤层瓦斯渗流的经典模型(Ma Q [11] ；Seidle J [12] ；Gu F G [13] )，火柴棍模型假设煤基质完全被节理割裂，彼此不相连。本文的推导过程基于以下假设：(1) 瓦斯在煤层中发生单向流动，不发生逆流现象；(2) 瓦斯在煤层中的流动属于低雷诺数层流运动，符合达西定律；(3) 不考虑煤层瓦斯运移过程中的吸附膨胀和基质收缩效应；(4) 瓦斯流动过程中温度保持不变；(5) 瓦斯运移方向平行于节理面；(6) 煤层均质且各向同性。

根据Reiss [14] ，如裂隙示意图2所示(b，l，L分别定义为裂隙的宽度，高度和长度)，基于修正的Poiseuille方程，

Figure 1. The model of matchstick

图1. 火柴棍模型

Figure 2. Schematic diagram of fracture

图2. 裂隙示意图

(1)

式中：q为煤体瓦斯流量；为压差；为瓦斯的动力粘度；为裂隙的实际长度；为煤样表观长度；为煤体裂隙的迂曲度，且有。

根据煤层瓦斯流动符合达西定律有

(2)

式中：为煤体端面瓦斯流量；为煤体渗透率；为压差；为煤体端面面积；为瓦斯的动力粘度；为煤样长度。

联立式(1) (2)，可得

(3)

根据面孔隙率定义有，

(4)

由(3)和(4)可得

(5)

将方程(5)变形可得

(6)

式(6)即为煤体迂曲度的理论计算式，为无量纲量。

2.2. 煤体迂曲度修正式

分析煤体迂曲度的理论计算式可知，煤体迂曲度受裂隙宽度，煤体渗透率和孔隙率的影响。瓦斯渗流过程中，煤体孔隙率和渗透率均是动态变化的量 [15] - [19] ，因此，煤体迂曲度也应是动态变化的。为了更好的分析煤体迂曲度的变化规律，以初始迂曲度为基准，通过某个状态下的迂曲度与初始迂曲度的比值来修正煤体的迂曲度。首先定义初始迂曲度为：

(7)

，，分别是初始条件(通常初始条件下有效应力为0)下煤体的裂隙宽度，孔隙率和渗透率。

根据上节所得的煤体迂曲度理论计算式(6)，可将修正迂曲度表示为，

(8)

基于常用假设，在有效应力变化过程中，煤体的裂隙高度可近似处理为，

因此式(8)可变形为

(9)

根据Palmer [20] 有

(10)

将式(4)(10)代入式(9)

则式(9)可化简为

(11)

式中为初始条件下的煤体端面面积，且。

从而得到了迂曲度基于初始迂曲度的修正式(11)，不同状态下迂曲度的变化可通过煤体截面积的变化来表征。因此，煤体在某个状态下的迂曲度可以通过初始迂曲度和煤体截面积的变化率求取。

2.3. 初始迂曲度计算方法

基于修正迂曲度，为得到某个状态下的煤体迂曲度，需要知道初始迂曲度的大小。回归到初始迂曲度的理论计算式(7)，实验室条件下煤体的渗透率和孔隙率较易测得，煤体裂隙宽度不易测得，但裂隙宽度可以通过Klinkenberg系数间接求出。大量研究发现 [21] - [26] ，低孔隙压力条件下，瓦斯渗流过程中将会出现Klinkenberg效应，即有Klinkenberg方程 [27]

(12)

式中：为考虑克氏效应的渗透率；为瓦斯的绝对渗透率；为Klinkenberg系数；为平均气体压力，通常取为，、分别为进出口气体压力。

学者Randolph D J [28] ，Ertekin T [29] 给出了Klinkenberg系数的计算式

(13)

式中：为常数(通常取为0.9)；为裂隙宽度；为瓦斯的动力粘度；为理想气体常数；为绝对温度；为瓦斯的分子质量。

根据式(12)，在不同的平均气体压力条件下，克氏渗透率和平均气体压力导数之间存在线性关系，如图3。实验室条件下，可将实验中测得的渗透率，进出口压力数据处理后进行线性回归分析，并通过拟合直线的截距和斜率计算出Klinkenberg系数。求得Klinkenberg系数后，可根据式(13)得到裂隙宽度的计算式

(14)

将(14)代入(7)，有

Figure 3. Scheme of solving slip factor

图3. Klinkenberg系数求解示意图

(15)

式(15)即为初始迂曲度的计算方法，计算所需参数均可通过常规的渗流实验设备得到。

3. 结论与认识

本文基于理想的火柴棍模型，结合达西定律和修正的泊谡叶方程，经过严格的理论推导，得到了适用于煤体的迂曲度理论表达式。鉴于实验室条件有限，同时瓦斯运移过程中伴有吸附膨胀和基质收缩效应，笔者仅在理论上推导和分析了所得结论，并引用前人的实验数据加以证实，得到了如下结论：

(1) 基于修正的泊谡叶方程和达西定律，得到了煤体迂曲度理论表达式，煤体迂曲度受裂隙宽度，孔隙率和渗透率的影响。

(2) 煤体迂曲度在实际条件下是一个动态变化的量，以初始迂曲度为标准，得到了修正迂曲度的表达式，分析得到修正迂曲度与煤体的截面积存在一定的比例关系。

(3) 在实验室条件下，通过线性拟合计算得到了Klinkenberg系数，从而间接的计算出了裂隙宽度，进而得到了一种初始迂曲度的计算方法。