具有幂零奇点三维系统的二次规范型及普适开折

Quadratic Normal Forms and Universal Unfoldings of Three-Dimensional Systems with Nilpotent Singular Points

摘要: 本文对三维动力系统中三类具有幂零奇点的微分方程进行了讨论和分析，通过规范型理论得出了含有二次多项式的规范型，再利用坐标平移得出了它们的普适开折。

Abstract: In this paper, for three-dimensional dynamic systems, we discuss and analyze three classes of eq-uations which have nilpotent singular points. The normal forms of quadratic polynomials are ob-tained by normal formal theory. Then, the universal unfoldings are obtained by using coordinate translation.

1. 引言

规范型理论是通过一系列的近恒同非线性变换化简原有的微分方程，得到奇点附近非线性项的简单形式，其实质是消去起次要作用的非线性项，而且简化后的系统与原系统拓扑等价。规范型理论在提出以后很长一段时间并未得到较快的发展，主要是由于计算量大且计算过程比较复杂。在罗定军等人的著作 [1] 中，对于规范型进行了详细的研究。近几十年来，国内外学者对于规范型理论进行了许多卓有成效的研究，到目前为止，已经提出了可用于规范型的计算矩阵表示法、共轭算子法、李代数表示论法、多重李括号法、多尺度摄动法、谐波平衡法等多种方法。

近年来，许多学者利用MAPLE等计算机软件程序计算出了一些高维非线性系统的规范型，但他们都是在原有的基本理论上，利用计算机进行迭代计算，本文主要利用最基本的规范型理论，利用李代数方法对三维系统中可能出现的情况进行一一分析，并求出他们的规范型形式。

2. 规范型的基本理论

考虑系统

， (2.1)

其中为标准型矩阵，，，表示的元次齐次多项式所组成的空间。作变换

， (2.2)

其中，目标是选取适当的使(2.1)的二次项尽可能地简化。

由(2.2)得：，故

。

从而

， (2.3)

其中表示的三次齐次项，。

引入关于的伴随算子，，则(2.3)可表为

。 (2.4)

设算子在中的值域为，将表为及其补空间的直和。

对于(2.1)中的二次项，有以下两种情况：

1) 如果，则存在，使。这时(2.4)中不再出现二次项。

2) 如果，则对适当的，，，因此可按中的基底

去讨论变换后方程(2.4)中的二次项所可能出现的各种形式。连同线性项在内，把方程(2.3)截止到二次项，所得系统称为原系统的二次规范型。

类似地，对三次项可依同样的过程讨论。设取变换，其中。这一变换不会影响到一次和二次项，故(2.3)化为

， (2.5)

其中，。同样考虑在中的值域以及它在中的补空间。当时，变换后的系统将不含三次项，否则可取适当的，使系统化为

。 (2.6)

在(2.6)中，截断到为止的方程就称为三次规范型，可依中的基底得出它的形式。重复此步骤可进一步确定4次，5次，……规范型。当然，次数越高，形式将越复杂。如果系统(2.1)为解析，则上述步骤可无限地进行下去，可形式地得到幂级数式的规范型。因而需讨论它是否收敛 [1] [2] 。

注：在研究系统的第次规范型时，它与前次无影响。且规范型的表示不是唯一的，它依赖于补空间中基底的选择。

3. 具有幂零奇点三维系统的二次规范型及普适开折

考虑三维系统

， (3.1)

其中，，现求它的二次规范型以及它的普适开折。

因三分量各有六个任意系数，故等同于一个，在其中可取如下一组基底：

，，，，，，，

，，，，，，，

，，，。

因零点是幂零奇点，所以总可以化成以下几种形式：

，，，，，。

而当时，可以经过，，变成。

而当时，可以经过，，变成。

而当时，可以经过，，变成。

所以，下面我们只讨论，，三种情况。

3.1. 情况一

由，。

同样的，，，，，，，，，，，，，，，，，。

即，，，，，，，，，，，，，，，，，。

于是算子相对于的这组基底的矩阵为

。

它的秩等于14，故的值域为，取，，，，，，，，，，，，，。的补空间可取为。于是得到系统的一个二次规范型为

，

即

。 (3.2)

结论3.1.1：在情况一中，(3.1)的一个二次规范型为(3.2)。

对(3.2)加扰动后 [1] [3] ，它为。

再对，移动坐标 [4] ，令，，，得

。 (3.3)

结论3.1.2：(3.2)的一个普适开折为(3.3)。

因(3.1)的一个二次规范型为(3.2)，所以系统(3.1)拓扑等价与(3.2)。而(3.2)的一个普适开折为(3.3)，所以(3.1)拓扑等价系统的一个普适开折为(3.3)。

结论3.1.3：(3.1)拓扑等价系统的一个普适开折为(3.3)。

3.2. 情况二

由，。

类似的，，，，，，，，，，，，，，，，，。

于是算子相对于的这组基底的矩阵为

。

它的秩等于10，故的值域为，取，，，，，，，，，，其补空间可取为。相应地，系统的一个二次规范型为

。

亦即

， (3.4)

结论3.2.1：在情况二中，(3.1)的一个二次规范型为(3.4)。

对(3.4)加扰动后 [1] [3] ，它为

。

再对移动坐标 [4] ，令，，，得

。 (3.5)

结论3.2.2：(3.4)的一个普适开折为(3.5)。

结论3.2.3：(3.1)拓扑等价系统的一个普适开折为(3.5)。

3.3. 情况三

由，。

类似的，，，，，，，，，，，，，，，，，。

于是算子相对于的这组基底的矩阵为

。

它的秩等于10，故的值域为，取，，，，，，，，，，它的补空间取为。相应地，系统的一个二次规范型为

。

亦即

，(3.6)

结论3.3.1：在情况三中，(3.1)的一个二次规范型为(3.6)。

对(3.6)加扰动后 [1] [3] ，它为

。

再对移动坐标 [4] ，令，，，得

。 (3.7)

结论3.3.2：(3.6)的一个普适开折为(3.7)。

结论3.3.3：(3.1)拓扑等价系统的一个普适开折为(3.7)。

致谢

本文是在金银来老师的指导下完成的，借此向金老师致以深深的敬意和衷心地感谢！

基金项目

国家自然科学基金(11601212)、山东省自然科学基金(ZR2015AL005)和山东省高等学校科技计划(J16LI03)资助。