1. 引言
为了同时处理不相容，不准确和不完整的信息，Smarandache [1] 提出了较区间模糊集、直觉模糊集等更广的中性集合(NS)。基于中性集在科学或工程中的实际应用，有必要对其作出一定的限定，随之许多弱化中性集合被逐渐提出，如间隔中性集合(INS) [2] ，单值中性集合(SVNS) [3] 以及简单中性集合(SNS) [4] 。这里，探讨简单中性集合的一些理论及应用。Ye [4] 定义了简单的中性值(SNVs)的运算法则，提出了一种比对方法和一些简单中性集的聚集算子。对简单中性值还建立了余弦相似性测度 [4] 和基于对数的交叉熵测度 [5] 。Peng等 [6] 对简单的中性值定义了一些新的运算法则和比较方法，克服了现有简单中性值运算法则的一些问题，并提出了一些新的简单的中性值的聚集算子。显然，在文献 [4] [6] 中所有的聚集算子都只能用来单独研究聚集参数，并且无法互相建立联系。众所周知，Choquet积分型算子、Bonferroni平均型算子、Heronian平均型算子可以解决上述问题。在本文中，将使用另一种更强大的算子来解决上述问题，那就是麦克劳林平均(MM)，它最初是由Maclaurin [7] 提出，再由Detemple和Robertson [8] 进行发展。但在过去，麦克劳林平均只被运用到不等式的理论和应用研究中 [9] [10] [11] ，近两年，J. D. Qin和X. W. Liu [12] [13] 用其来聚集直觉模糊信息和语言模糊信息。在麦克劳林平均中包含一个重要的参数
，即
(见下面公式(6))。从而，麦克劳林对称平均能够反映多输入参数之间的相互关系(
)，而其他三种算子只能反映每两个参数之间的相互关系。因此，对于信息融合来说，麦克劳林平均更加的灵活高效。
2. 预备知识
本节，介绍简单的中性集合的一些定义及其运算法则。给出麦克劳林平均及其运算法则。首先，给出Ye [4] 定义的以下简单的中性集。
定义2.1：设
为点(对象)组成的空间，令
为
中的一般元素，
中的一个简单中性集能用一个实隶属函数
，一个不确定性隶属函数
和一个虚隶属函数
来描述。如果函数
，
和
是真实标准
中的单区间或单子集，则
, 
, 
然后，定义简单的中性集
为：
。
为简单，下面只考虑简单的中性集中
，
和
的值在真实标准
中为一个单点。根据Ye [4] 定义的简单中性集的运算法则和次序关系。
定义2.2：令
为两个简单中性集且
，则
(1)
(2)
(3)
(4)
当
，称
为一个简单中性值(SNV)，表示为
。
定义2.3：令
为一个简单中性值，则记分函数
和精度函数
定义如下：
(5)
(6)
其中
由决策者决定的。特别的，分别令
，
，
，则有三个选择方案：模糊，精确和标准。显然，
值越大，简单的中性集
越精确。根据记分函数
和精确函数
，给出两个简单中性值之间的次序关系。
定义2.4：令
和
为两个简单中性值，则
如果
，则
小于
，记为
。
如果
，则(1)如果
，则
和
相同，表示为
。(2)如果
，则
小于
，表示为
。
下面，给出麦克劳林平均，最初由Maclaurin提出，是一个重要的集结算子。
定义2.5： [7] 令
为一个非负实数集合，且
。如果
(7)
则
称为麦克劳林平均(MM)，其中
取遍
，
为二项式系数。
显然，麦克劳林平均忽略了聚合参数的权重向量。为此，Qin和Liu [12] 定义了一个加权的麦克劳林平均(WMM)。
定义2.6：设
为一个非负实数集，
，
为
的权向量，其中
表示
的重要程度，并满足
和
。若
(8)
则
称为加权麦克劳林平均(WMM)。
3. 简单中性加权麦克劳林平均
本节，给出一种新的简单中性加权平均算子，用以聚集简单的中性信息。首先，定义以下聚合算子。
定义3.1：设
为一个简单中性集合，
。简单中性加权麦克劳林平均定义为
(9)
其中
是
的权向量，
且
。
基于定义2.2中对简单中性集的运算法则，可推导出简单中性加权麦克劳林平均(NWMM)的计算公式。
定理3.1：对于简单的中性集的集合
，有
(10)
其中
。
证明：由(1)~(3)，有
因此
再由(9)和(3)得
基于以上讨论，由(4)可得(10)。
现在，由(9)~(10)，容易证明下面的一些简单中性加权麦克劳林对称平均性质。
定理3.2：(幂等性)如果
则
。
定理3.3：(单调性)如果
，则
。
定理3.4：(有界性)令
为简单中性集合，
, 
,
则
。
4. 简单中性加权麦克劳林对称平均在电子商务中的应用
本节，介绍一项评估电子商务网站客户满意度的研究项目 [14] 。目的是从不同的电商网站中筛选出最佳电商网站，这能够提供企业对电商网站的选择。对五家电商网站
的顾客满意度进行评估。假设一家企业近期想投资电商并期望利润最大，需要确定五家电商网站的客户满意度，以选择最佳一家。投资企业须根据以下四种特性作出决定：
是电商网站的平台特性，
是电商网站的储存特性，
是电商网站的售前和售后服务，
是电商网站的交易支付与物流配送，五种选择方案
要基于以上四种特性并通过SNV进行评估。该决策矩阵
列出如下：
关于特性权重，由决策者决定为
。下面，利用简单中性加权麦克劳林对称平均(k = 2)来得到最理想的电子商务网站。
步1：基于决策矩阵，由公式(9)能计算出
的聚合值
：
, 
, 
,
,
。
步2：由公式(4) (p = 0.5)计算出分值
：
, 
,
, 
,
。
步3：依据分值
对所有的方案
进行排序：
。
因此，最佳方案为
。
下面，利用加权算术平均算子
[4] 来解决以上问题，主要步骤如下：
步1：运用
，可以获得
的加权算术平均值
：
然后，得到
, 
, 
,
,
。
步2：由公式(4)计算分值
：
, 
,
, 
,
。
步3：依据分值
对所有方案
进行排序：
。
得出的结果与我们所提出方法的结果一致，最佳方案仍为
。
基金项目
中国物流学会与中国物流与采购联合会计划项目(2015CSLKT3-199)；全国高校物流教研课题(JZW2014048, JZW2014049)和国家级大学生创新创业训练计划项目(2016)。