1. 引言
正轴投影——投影中心轴与地轴一致的条件下的地图投影，即常规地图投影，包括方位投影、伪方位投影、圆锥投影、伪圆锥投影、圆柱投影、伪圆柱投影和多圆锥投影。常规地图投影作为经典的地图投影，在地图投影的教科书中已有较多的论述 [1] [2] [3] [4] [5] 。这七类地图投影，方位和伪方位投影的投影面为平面，具有纬线为同心圆的共性，适用表示具有圆形轮廓的两极地区；圆锥和伪圆锥投影的投影面为圆锥面，具有纬线为同心圆弧的特点，适用于表示沿纬线方向延伸的中纬度地区；圆柱和伪圆柱投影的投影面为圆柱面，纬线为赤道的平行线，适用于表示沿纬线方向延伸的低纬度和赤道地区。多圆锥投影的纬线为同轴圆弧，圆心在中央经线上，中央经线为直线且为投影的对称轴，非中央经线为对称于中央经线的曲线。多圆锥投影常作为世界地图的数学基础。伪方位投影、伪圆锥投影和伪圆柱投影的中央经线也是直线，非中央经线为对称于中央经线的曲线 [1] [2] [3] [4] [5] 。然而，导致这些地图投影之间差异的关键因素，相互关系和演化规律的阐释却鲜有文献论述，有鉴于此，笔者提出了地图投影中基于极点与坐标原点距离函数的常规地图投影的分类体系。
2. 地球椭球面上的经纬网
2.1. 经纬线的定义及其结构特点
测绘学是研究对实体中与地理空间分布有关的各种几何、物理、人文及随时间变化的信息采集、处理、管理、更新和利用的科学与技术。测定地面点的几何位置是指测定以地球椭球面为参考面的地面点位置 [6] 。地面点位置用地理坐标——经纬度来表示，也可用地心直角坐标表示。地理坐标和地心直角坐标之间可以换算。经线被定义为包含地轴的平面与地球椭球面的交线，而地轴与地球椭球面的交点便是地极点，即所用经线都交于北极和南极。纬线被定义为平行于赤道平面的平面与地球椭球面的交线，这一定义使得不同纬度的纬线不会相交。这就是经纬线的结构特点。
2.2. 经纬网
[定义1] 定向集：设是偏序集，如果满足：
则称为定向集。
所谓定向集，是指中任意两个元素都存在比它们大的的第三个元素。
[定义2] 网：设是定向集，则每个映射均称为中的网。用表示在点的值，网又可记作 [7] 。
显然，在地球椭球面上，当时，是定向集，对于，为，都可以构成网。当时，是定向集，对于，同样可以建立不同经线间隔的网。经线网和纬线的并集，即构成地球椭球面上的经纬网。
3. 地图投影是地球椭球面上的经纬网在二维平面上的拓扑变换
3.1. 拓扑变换性质
拓扑学来源于希腊文 (位置)， (科学)，拓扑学在意译时可看成“位置几何”。由于图形的度量性质(长度、角度、面积等)在图形进行变换时，这些性质是不稳定的，因此不能作为深入研究图形特征的依据。拓扑学研究的是图形在连续变形下不变的整体性质，如分离性、可数性、紧性、连通性和多面体的维数、欧拉示性数等都是拓扑性质 [8] 。在拓扑概念下，曲直等价，长短等价。复杂的不规则的地理目标在拓扑概念下可用其拓扑等价物代替，从而简化了地理实体之间的空间关系演算。拓扑关系是指从几何观点看，由点状物体、线状物体和面状物体构成的网结构元素(点、线、面)之间的邻接关系、关联关系、包含关系和连通关系等。其中最重要的是邻接关系与关联关系 [9] 。
3.2. 地图投影的定义
[定义3] 同胚：设与是两个隨意的拓扑空间，并设。如果是连续的双一一函数，并且它的反函数也是连续的，那末，就叫做空间到空间上的一个同胚或拓扑映射或拓扑变換；此时空间与空间叫做同胚的，记作。
设表示单位球面：，令表示它的“北极” ‘则通过球极平面射映(stereographic projection)立即看出“刺孔球面”与平面同胚，从而与坐标平面同胚：。
“刺孔球面”与二维平面同胚原理，是建立以球面坐标(以纬度与经度)的球面二维场与平面二维场(平面直角坐标，) 之间的地图投影的基本原理。“刺孔球面”实际上就是去除“北极”和“南极”的球面，因为这两点在地轴上，地轴上的无限多点在平面上的投影只有一点，不满足拓扑变換的双一一函数关系 [10] 。
[定义4] 地图投影：存在“刺孔球面”，二维平面以及变換，若满足：
(1)
则称满足(1)式的变换为地图投影。不同，便构成不同的地图投影 [11] 。
3.3. 地图的经纬网及坐标原点和极点
[定义5] 地图的经纬网：存在地球椭球面上的经纬网，它在下的拓扑映射便是地图上的经纬网：
(2)
(2) 式中的即地图平面上的经纬网。
拓扑变換必须满足的双一一函数关系，使得地球椭球面上的经线交点(极点)在拓扑变換下变换为经纬网中的极点，而坐标原点则变换为经纬网中的坐标原点。由于方位投影、圆锥投影和圆柱投影都是可展面，因此可以定义平面上两个投影点间的距离。
[定义6] 度量或距离函数：设是集合的元素，如果存在着函数，满足下面两个度量公理(是二维空间，即)：
M1. 恒等定律：；
M2. 三角形不等式：；
那么，叫做一个度量空间，叫做上的度量或距离函数，的所有元素叫做度量空间的点，叫做两点与之间的距离，的任何子集都叫做空间的点集。
根据距离函数的定义，可以定义投影网络中极点和坐标原点的距离函数。
由于常规地图投影与距离函数密切相关，从而可推出常规地图投影的一般定义，并在一般定义的基础上，通过约束条件的不同，分别推出各类常规地图投影的具体定义，从而建立基于极点和坐标原点的距离函数的常规地图投影定义体系。
4. 常规地图投影的定义体系
4.1. 常规地图投影的一般定义
常规地图投影的类型与投影网络中极点到坐标原点的距离大小密切相关，两者具有等价关系，因此，得常规地图投影的一般定义：
[定义7] 常规地图投影：在投影中心轴与地轴一致的条件下，设为极点的投影，为坐标原点的投影，具有距离函数的投影：
(3)
称为常规地图投影，即方位投影、伪方位投影、圆锥投影、伪圆锥投影、圆柱投影、伪圆柱投影和多圆锥投影。
4.2. 方位投影
[定义8] 方位投影：设经线的曲率为，为极点的投影，为坐标原点的投影，若距离函数满足：
(4)
则称为方位投影。
1) 当为正方位投影(见图1)；
2)时，为伪方位投影(见图2)。
第二个条件表明，伪方位投影只有作为对称轴的中央经线是直线，其余经线皆为曲线，而正方位投影的所有经线皆为直线。
4.3. 圆锥投影
[定义9] 圆锥投影：设经线的曲率为，为极点的投影，为坐标原点的投影，若距离函数满足：
Figure 1. Azimuthal projection
图1. 方位投影
Figure 2. Pseudo-azimuthal projection
图2. 伪方位投影
(5)
则称为圆锥投影。
1) 当为正圆锥投影(见图3)；
2)时，为伪圆锥投影(见图4)。
第二个条件表明，伪圆锥投影只有作为对称轴的中央经线是直线，其余经线皆为曲线，而正圆锥投影的所有经线皆为直线。
4.4. 圆柱投影
从中心射影引进无穷远元素，可拓广欧氏平面。在拓广的欧氏平面上，无穷远点是二维空间中平行直线的交点 [12] 。
[定义10] 圆柱投影：设经线的曲率为，为极点的投影，为坐标原点的投影，若距离函数满足：
(6)
则称为圆柱投影。
1) 当为正圆柱投影(见图5)；
Figure 3. Conic projection
图3. 圆锥投影
Figure 4. Pseudo-conic projection
图4. 伪圆锥投影
2)时，为伪圆柱投影(见图6)。
第二个条件表明，伪圆柱投影只有作为对称轴的中央经线是直线，其余经线皆为曲线，而正圆柱投影的所有经线皆为直线。
4.5. 多圆锥投影
[定义11] 多圆锥投影：设为极点的投影，为坐标原点的投影，若距离函数和经线满足：
(7)
则称为多圆锥投影 [13] (见图7)。
5. 结论
地球椭球面上的经线交于极点，而纬线则相互平行。经纬线在地球椭球面上的空间结构和关系是
Figure 5. Cylindrical projection
图5. 圆柱投影
Figure 6. Pseudo-cylindrical projection
图6. 伪圆柱投影
Figure 7. Polyconic projection
图7. 多圆锥投影
地图投影的原型。地图投影本质上是刺孔球面在二维平面上的拓扑影射。拓扑影射必须满足的双一一函数关系，使得地球椭球面的经线交点和坐标点，在地图投影中必有对应的象和。在投影中心轴与地轴一致的正轴条件下，正方位投影、伪方位投影、正圆锥投影、伪圆锥投影、正圆柱投影、伪圆柱投影和多圆锥投影可用其极点投影到坐标原点的投影的距离函数来确定。的取值，对应着地图投影的类型。所有正常投影的经线均为直线。伪方位投影、伪圆锥投影和伪圆柱投影等“伪”字型投影的共同点是，都存在一条作为投影对称轴的中央直经线，其余经线均为中央经线的轴对称曲线，其曲率随着与中央经线经差的大小而变化。非中央经线的曲率是否为零，是正、伪型投影的主要区别。多圆锥投影的经线也具有以中央经线的轴对称曲线的特点。本文的创新意义及其与传统的地图投影分类的主要特点是：本文揭示了常规地图投影的类型与投影网络中极点和坐标原点的距离大小密切相关性，给出了以极点和坐标原点的距离函数为变量的包括正方位投影、伪方位投影、正圆锥投影、伪圆锥投影、正圆柱投影、伪圆柱投影和多圆锥投影等七类常规地图投影的一般定义，从而使其获得高度的概括。
基金项目
本文得到国家自然科学基金项目(41671459; 41361022; 41571441)；广西科技开发项目(2014DD29090)；广西北部湾重大基础项目子课题(2012GXNSFEA053001)的资助，谨致感谢。
参考文献