一类交换p-群的自同构群

The Automorphism Group of A Class of Abelian p-Group

摘要: 设C_pβi 是_p^βi 阶的循环群，其中p 为素数，1≤i≤4 。J. N. S. Bidwell利用矩阵表示方法得到了没有共同直因子的直积C_pm× C_pn和C_pβ1× C_pβ2× C_pβ3 的自同构群。本文采用同样的方法得到了直积C_pβ1× C_pβ2× C_pβ3×Cpβ4 的自同构群的生成元和生成关系。 Let C_pβi be the cyclic group of order _p^βi where p is a prime number, and 1≤i≤4 . Using matrix representation, J. N. S. Bidwell got the automorphisms of direct products C_pm× C_pn , and C_pβ1× C_pβ2× C_pβ3 which have no common direct factor. In this paper, the generators of the automorphism of direct product C_pβ1× C_pβ2× C_pβ3×Cpβ4 and the relations between them are obtained.

1. 引言

设群，其中为素数，互不相同，为阶的循环群。J. N. S. Bidwell在文献 [1] [2] [3] 给出了没有共同直因子直积的自同构群的结构，并通过矩阵表示方法得到了直积，的自同构群，其中互不相同，并通过GAP软件计算了直积的自同构群，周芳等人在文献 [4] 中利用该方法得到了给定半直积的稳定自同构群可分解为若干结构简单的特殊子群乘积的充要条件。本文中我们用矩阵表示的方法计算了的自同构群，得到了该自同构群的生成元和生成关系。本文的符号是标准的，见 [1] 。

2. 主要内容

设，其中为素数，互不相同，不失一般性，设，由 [1] 可得，其中

且，分别为模的原根，即有，其中，于是生成，进而是阶为的循环群；进一步，，于是。

另若，有；若，有，则生成，进而是阶为的循环群，其中。

令

有。

于是。

通过对计算，当，有；当，有。

根据矩阵主对角线元素的顺序，首先计算的共轭关系，

由于，于是。

类似计算结果有，。

由于，于是。

类似计算结果有，。

我们得到的共轭关系如下：

，，，

，，，，

，，，，

，，，。

接下来计算的共轭关系，

由于，于是。

类似计算结果有。

由于，于是。

类似计算结果有。

我们得到的共轭关系如下：

，，

，，，，

，，，。

重复类似的计算过程，我们得到的共轭关系：

，，

，，。

对于形如较复杂的共轭关系，计算如下：

由于，于是。

在接下来的计算中为方便书写，需定义参数，其中，此时。

对于的共轭关系，

由于，于是。

类似计算结果有。

由于，于是。

类似计算结果有。

我们得到的共轭关系如下：

，，

，，，

，，，，

，，，。

对于的共轭关系，

由于，于是。

类似计算结果有。

由于，于是。

类似计算结果有。

由于，于是。

我们得到的共轭关系如下：

，，，，，，

，，，，，。

接下来计算的共轭关系，

由于，于是。

类似计算结果有。

由于，于是。

类似计算结果有。

由于，于是。

我们得到的共轭关系如下：

，，，，，

，，，，，。

对于的共轭关系，

由于，于是。

由于，于是。

类似计算结果有。

我们得到的共轭关系如下：

，，，，，，

，，，，。

重复类似的计算过程，我们得到生成元的共轭关系，整理如下，

，，，，，，，；

，，，，，，；

，，，，，，；

，，，，，；

，，；

，，；，，。

最后计算更为复杂的转置共轭，其中，

此时，第一个矩阵和最后一个矩阵可分别记作，这是由于，有，为对应的结果；同样由于，有，为对应的结果。而第二个矩阵可分解为

其中，。

将记作，其中是对应的结果，而，，于是得到。

通过计算我们得到其余生成元的转置共轭：

其中分别为，，对应的结果；

其中分别为，，对应的结果；

其中分别为，，对应的结果；

其中分别为，，对应的结果；

其中分别为，，对应的结果。

至此，我们得到16个生成元的136种生成关系，

基金项目

国家自然科学基金(11401424)和山西省自然科学基金(2013011001-3)资助项目资助。