sin(1/x)连续统上每个点都为链回归点的映射

Maps of the sin(1/x) Continuum with Every Point Chain Recurrent

摘要: 设S为sin(1/x)连续统，f:S→S为连续自映射，其中S=L₁∪L₂ ，L₁={(x,y)∈R²|x=0,-1≤y≤1} ，L₂={(x,y)∈R²|sin(1/x),0≤x≤1} 。本文指出：如果f为逐点链回归映射，那么，若Fin(f) 连通，则f为恒等映射；若Fin(f) 不连通，则当Fin(f₁) 或者Fin(f₂) 非退化不连通时， f含湍流，当Fin(f₁)=L₁ ， Fin(f₂)=a,a∈L₂且(L_2-{a})∩P(f₂)=φ 时， f不含湍流。

Abstract: Let S be sin(1/x) continuum and f:S→S is a continuous map, where S=L₁∪L₂ , L₁={(x,y)∈R²|x=0,-1≤y≤1} , L₂={(x,y)∈R²|sin(1/x),0≤x≤1} . It is showed that if f is pointwise chain recurrent, then if Fin(f) is connected, f is identify; if Fin(f) is disconnected, then f is turbulent while Fin(f₁) or Fin(f₂) is nondegenerate disconnected; f  is not turbulent while Fin(f₁)=L₁ , Fin(f₂)=a,a∈L₂ and (L_2-{a})∩P(f₂)=φ.

1. 预备知识

设，，记，我们称为连续统。由 [1] 知，为紧的，类弧连通的，但不是弧连通的，也不是局部连通的。连续统在拓扑学的综合文章中提到的不少，而且也引起了动力系统研究者的兴趣。本文主要研究连续统上逐点链回归的性质。

首先，列举本文的一些符号和定义如下：

设为紧致度量空间，为连续映射。若对任意以及某个正整数，有且当，则称为周期的周期点，其中，特别地，如果，则为的不动点，分别用和来表示的不动点集和周期点集。对于任意到的链就是一个有限序列，其中且对于，一个点被称为链回归的是指存在从到的链。用来表示的链回归点集。如果每个点在映射下都是链回归的，则称这个映射为逐点链回归的。下面关于链回归的事实是明显成立的：

(1) 如果是逐点链回归的，则是上的满射。

(2)为逐点链回归的当且仅当对于任，是逐点链回归的。

(3) [2] 若是连通的且是逐点链回归的，则不存在非空开集使得。

链回归是一个系统的重要动力学性质，近年来，在这方面的研究已取得突破性进展，详情可见 [2] - [7] 。

一个映射称为含湍流，是指如果存在非退化闭的连通子集和且内部不交使得。

下面关于链回归的事实是明显成立的：

(1) 如果含湍流，则对于任意，含湍流。

(2) 如果存在使得，则含湍流。

文献 [3] 中证明了紧致区间上的逐点链回归映射必须满足为恒等映射或者含湍流；文献 [6] 中证明了空间中逐点链回归映射必须满足为恒等映射或者恰有一个不动点或者为恒等映射或者含湍流；文献 [7] 中证明了区间上每个点都为链回归点的映射，若连通，则为恒等映射，若，则含湍流。

本文主要证明了以下定理：

设为连续统，如前所述，为连续映射，如果为逐点链回归映射，则

(1) 若连通，为恒等映射；

(2) 若不连通，则当或者非退化不连通，含湍流，当，且，不含湍流。

2. 主要定理的证明

引理1 [8] ：设为连续统，如前所述，为连续映射，则下列之一成立：

(1)；

(2)；

(3)。

引理2 [9] ：设为连续映射，则存在唯一的一个连续映射使得。

引理3 [7] ：设为连续自映射，如果是逐点链回归的，那么，若是连通的，则是恒等映射；若是不连通的，则含湍流。

定理1：设为连续统，如前所述，为连续映射，为逐点链回归映射，则。

证明：由引理1可知，若为连续统，如前所述，为连续映射，则，或者对于任意。又因为对于任意，不是S上的满射，因此不是逐点链回归映射。因此若为逐点链回归映射，则。

定理2：设为连续统，如前所述，为连续映射，为逐点链回归映射，则

(1) 若连通，为恒等映射；

(2) 若不连通，则当或者非退化不连通，含湍流，当，且，不含湍流。

证明：由定理1可知，。设上连续自映射的不动点集为，上连续自映射的不动点集为，则，

情形1：若连通，即连通。若

，由于连通，则。又不连通，所以不连通，与连通矛盾。故，从而存在使得，因此与连通。又设同胚映射为连续满射，由引理2可知存在连续映射使得。若则且，因此。因为连通，所以连通，又逐点链回归，因此逐点链回归，由引理3可知为恒等映射，则。所以为恒等映射，故为恒等映射。

情形2：若不连通，即不连通。

子情形1：若不连通，即，则含湍流，因此含湍流。

子情形2：若非退化不连通，又设同胚映射为连续满射，由引理2可知存在连续映射使得。若，则且，因此。因为不连通，所以不连通，又逐点链回归，因此逐点链回归，由引理3可知含湍流，则。所以含湍流，故含湍流。

子情形3：若，且，反设含湍流，由于为恒等映射，所以含湍流，则存在闭集使得，所以，因此存在使得，使得，若，因此存在不动点，与矛盾，若，即，则，故存在使得使得，因此存在不动点，与矛盾，故与不含湍流。

基金项目

国家自然科学基金(NO: 11461002; 11401288)；广西自然科学基金(NO: 2016GXNSFAA380317)。