1. 引言
本文所有的图都是简单，有限，无向图。是指图中从顶点到的最短路长度。是指在图中顶点到其它所有顶点的距离之和。顶点的离心率是指顶点到其它所有顶点的最大距离。表示图中顶点度数。度为1的点被称为叶点。与叶点相邻的顶点称为支撑点。令和分别表示图的叶点和支撑点的集合。若且，则称是的一条非悬挂边。设，是指在去掉边所得到的子图。是指删去图中的顶点以及所有和相关联的边而得到的子图。指的是不大于的最大整数，为不小于的最小整数。
2. 引理
引理2.1 [1] .设是树的一条最长路，且它的端点满足，，现构造一个新的树(如图1)，令
，则有。
树是通过在路的两个顶点和上分别粘贴上个叶点和个叶点得到的阶树。
引理2.2 [1] .。
设是一个阶树，是的一条非悬挂边，设且，将中顶点与中的顶点粘在一起，并在顶点上粘贴一个叶子，得到一个新树，则称是对中的边做了一次边替换变换得到的。
设是一个阶树，是的一条悬挂边，满足，设边，令。则称是对边的逆边替换变换得到的。
Figure 1. Tree and
图1. 树和
引理2.3 [2] . 设是一个阶树，是一条非悬挂边，是由对边做边替换变换而得到的，那么就有。
3. 主要结论
令表示控制数为的阶树组成的集合。
引理3.1 [1] . 在中，树有最大的离心距离和。
引理3.2 [3] . 在中，树有最大的离心距离和。
引理3.3 [4] . 在中，树有最大的离心距离和。
定理1. 在的阶树中，有最大的离心距离和。
证明：当，，时，分别由引理3.1，引理3.2和引理3.3知，结论成立。
当时，对任意的阶树，设树中最长的路为，且设。若从顶点到顶点中存在度数大于等于3的顶点，则令第一个度大于等于3的点为，即
.
现构造新的树
则由引理2.1得。然后再从中找出最长的路，按照上述方法构造新的树，则由引理2.1得。一直进行下去，直到得到新树，满足对任意非叶点和非支撑点均为二度点。不妨设两个支撑点分别与个叶点相邻，该新树记为，其中。不妨假设。若，则由引理2得，
即有最大的离心距离和。
当树的控制数为，易得。当或时，设顶点是与相邻的叶点，对边及点用逆边替换变换得到，则。由引理2.3得，。因此。
综上所述，在所有顶点数为且控制数为的树中，的离心距离和最大，即定理1成立。
致谢
本论文是在陈老师的悉心指导下完成的。老师渊博的专业知识，严谨的治学态度和精益求精的工作作风都对我影响深远。不仅使我树立了远大的学术目标、掌握了基本的研究方法，还使我明白了许多待人接物与人处事的道理。本论文从选题到完成，每一步都是在陈老师的指导下完成，倾注了老师大量的心血。在此，谨向陈老师表示衷心的感谢!
参考文献