1. 引言
n阶一般线性群是由n阶可逆矩阵组成的群，矩阵的元素取自R群运算，为通常的矩阵乘法，记为
；特殊线性群是
中行列式为1的全体矩阵，它们对于矩阵乘法构成
的一个子群，记为
。一般线性群
和特殊线性群
都是经典的李群，它们与群论和几何的研究有着密切的联系，在几何分析中有如下深刻的结果：特殊线性群
的有限Abelian子群是紧黎曼曲面的微分同胚不变量。这一结论将几何和代数(群理论)紧密联系起来，本文以此为出发点，结合群理论中对有限Abel群结构的完整刻画，如：有限Abel群可以分解成阶为素数的方幂的循环群(循环p-群)的直积 [1] 等，对特殊线性群
的有限Abelian子群进行研究，从而进一步加深对紧黎曼曲面的认识。
2. 基本概念、定理和方法
2.1. 基本概念和定理
下面列出一些与群和矩阵相关的概念和定理(可参考文献 [1] [2] )，方便后面章节使用。
定义2.1.1 [1] 设G为非空集合，“
”为G上的一个代数运算，若G的运算满足：
1) “
”满足结合律，即
，都有
；
2) G中有元素e，使对每个元
，有
；
3) 对G中每个元素A，存在元素
，使得
。
则G关于运算“
”构成一个群(Group)，记为
，在不产生混淆的前提下，简记为G。
定义2.1.2 [1] 如果对群
中任两个元素A，b均有
,
即G的代数运算满足交换律，则称G为交换群(commutative Group)或Abel群(Abelian Group)。
定义2.1.3 [1] 群
中的元素个数叫做群G的阶(order)，记为
。如果
有限，称G为有限群(Finite Group)，特别地，当
时，称G为n阶群，否则称G为无限群(infinite Group)。
定义2.1.4 [1] 设G为群，H是G的一个非空子集，如果H关于G的运算也构成群，则称H为G的一个子群(subgroup)，记作
。
定义2.1.5 [1] 元素在实数域r中全体n阶可逆矩阵对于矩阵的乘法构成一个群，这个群记为
，称为n阶一般线性群，
中全体行列式为1的矩阵对于矩阵的乘法也构成一个群，这个群记为
，称为n阶特殊线性群。特别地，当n = 2时有
.
定义2.1.6 [1] 设G为群，如果存在
时
,
则称G为循环群，并称A是群G的一个生成元(Generator)。习惯上记为
，当G中的元素个数是无限时，称G为无限循环群；当G中元素的个数为n时，称G为n阶循环群。
定义2.1.7 [1] 一般地，我们称下列形式矩阵为多项式矩阵，或l-矩阵：
其中
是以
为未定元的数域k上的多项式。l-矩阵的加法、数乘及乘法与数域上的矩阵运算一样，只需在运算过程中将数的运算代之以多项式运算即可。
定义2.1.8 [2] 设
是一个n阶l-矩阵，k是小于等于n的某个自然数。如果
的所有k阶子式的最大公因子(它是首一多项式)不等于零，则称这个多项式为
的k阶行列式因子，记为
，若
的所有k阶子式都等于零，则规定
的k阶行列式因子等于零。
定义2.1.9 [2] 设
是l-矩阵
的非零行列式因子，则
称为
的不变因子。
定义2.1.10 [2] 若
，
都是
矩阵且
经过初等变换后可变为
，则称
矩阵
与
相抵。
定理2.1.1 [2] 设A是数域k上的n阶矩阵，则A的特征矩阵
必相抵于
其中
。
定理2.1.2 [2] 下列r阶矩阵
的行列式因子等于
,
其中共有r − 1个1，
，F的不变因子组也由
给出。
定理2.1.3 [2] 设A是数域k上的n阶方阵，A的不变因子组为
,
其中
，则A相似于下列分块对角矩阵：
其中
的阶等于
，且
是形如定理2.1.2的矩阵，
的最后一行由
系数(除最高次项)的负值组成。
2.2. 常系数线性齐次递归关系的求解方法 [3]
本节我们介绍常系数线性齐次递归关系的求解，相关内容请参考文献 [3] 。
常系数线性齐次递归关系，其形如
或
(2.2.1)
这里
全部是常系数。例如
就是一个常系数线性齐次递归方程。假定
，则递归关系(2.2.1)称为是r阶的。为了不失一般性，如果序列中r个相邻的H值
对某一k已知，则可用(2.2.1)算出
的值，于是
的值也可递归地算出。这就推出，(2.2.1)的解唯一地由r个相邻的H值(边界条件)所决定。因此，(2.2.1)的解的一般形式包含有r个待定常数，这些常数可由序列中相邻的r个H值来决定。我们把(2.2.1)改写成如下形式
(2.2.2)
这里
。
我们把与递归关系(2.2.1)或(2.2.2)相联系的方程
(2.2.3)
称为(2.2.1)或(2.2.2)的特征方程。方程(2.2.3)有r个根
，这些根称为方程(2.2.1)的特征根。因为
，这些特征根必定全不为零。这些根可能是互异的，也可能有重根，还有可能是复根。关于常系数线性齐次递归关系的求解如下：
1) 若特征方程有r个不同的特征根
定理设递归关系
的特征根
互不相同，则
是一般解。
2) 若特征方程有重根
定理设
是递归关系
的特征方程互异的根。
是特征方程的
重根
，那么这个递归关系对应
部分的一般解是
而这个递归关系的一般解是
.
3) 若特征方程出现复根
当特征方程的诸系数是实数，但某些特征根是复数时，齐次解则写成另一种形式。因为复数根总是成对出现的，故设
, 
是一对共轭复根，则对应的齐次解为
其中，
注意，这里的
和
是由边界条件决定的常数。
3. SL(2, R)的有限Abelian子群的结构
由群理论相关的结论我们有：有限循环群一定是有限Abelian群，故我们可以先寻找到特殊线性群
的有限循环子群，即对任意的
，我们需要找到所有满足条件
的矩阵。
3.1. 特殊例子的讨论
由
，知A的特征根满足
，其特征根集为
. [4]
(此处A的特征根解集参考文献 [4] )
特别地，就
我们有如下的结论：
1) 当n=1时，若要
，则A为单位阵；
2) 当n=2时，若要
，
且
，则此时无解。分析如下：
① 考虑特征值
，A特征多项式为
，
的2阶行列式因子就是矩阵A的特征多项式
，由定理2.1.1可以得到
相抵于
，矩阵A的不变因子为
.
于是，由定理2.1.3，矩阵A的有理标准型为
，即
，此时
，不符合
之要求。
② 考虑特征值
，其特征多项式为
，
的2阶行列式因子就是矩阵A的特征多项式
，于是由定理2.1.1可以得到
相抵于
，矩阵A的不变因子为
.
由定理2.1.3，矩阵A的有理标准型为
，即
，此时
，也不符合要求。
③ 考虑特征值
，其特征多项式为
，
的2阶行列式因子就是矩阵A的特征多项式为
，由定理2.1.1可以得到
相抵于
，矩阵A的不变因子为
.
由定理2.1.3，矩阵
的有理标准型为
，即
，此时
，也不符合要求。
3) 当n = 3时，要求
，此时有解
。分析如下：
由
知矩阵A的特征值为
① 当
时，讨论的情况与
相同，可知此时无解。
② 当
时(复根成对出现，相互共轭)，A的特征多项式为
，
的2阶行列式因子就是矩阵A的特征多项式
，由定理2.1.1可以得到
相抵于
，矩阵A的不变因子为
由定理2.1.3，矩阵A的有理标准型为
，即
，满足条件
，为我们所求的解。
3.2. 一般形式的归纳和证明
3.2.1. 一般情形的讨论
下面考虑
的情形。通过对
的特殊情形进行的讨论，我们发现一般情形下的讨论可以类似的进行，主要从特征根(复根成共轭对)入手，结合相关的定理(定理2.1.1、定理2.1.3)，通过解常系数线性齐次递归方程最终给出一般情形下的结果。
考虑
(
)，此时若A存在一组共轭特征根
和
，这里 
(若
为偶数，则
)，则A的特征多项式为
，
的2阶行列式因子就是A的特征多项式
，于是由定理2.1.1可以得到
相抵于
，A的不变因子为
.
由定理2.1.3，A的有理标准型为
，即
，此时有
，由前面的讨论我们知道，若能证明F满足
，则可以得到
。
3.2.2.
的证明
证明：由于矩阵A的特征多项式为
，而
，故
，即
，不妨令
，则：
(1)
, (2)
, (3)
, (4)
, (5)
经过观察我们发现，等式(2)中F的系数
，等式(3)中F的系数
，等式(4)中F的系数
，等式(5)中F的系数
，我们把每一等式中F的系数看成数列
中的元素则有：
。这是一个常系数线性齐次递归方程，故根据相应的常系数线性齐次递归关系的求解方法，我们可以解得
，过程如下：
由
可以得到它的特征方程为
,
因为
，
，所以
，由常系数线性齐次递归关系可知，特征方程存在2个复根
，
则
，其中
，
,
所以
，把
代入
得：
,
解之得：
,
故
，(
且若
为偶数，则
)，
从而
，即有
,
由和差化积公式得：
,
又
,
所以
.
即
,
,
又
,
所以
,
故
,
从而
，证毕。
3.2.3. SL(2, R)的有限循环子群的结构
由前面的讨论，我们已经找到了满足
且
的所有矩阵，即：
，进一步为了在这些矩阵中找出符合条件
的矩阵，我们需要确定符合条件
的
。
例如，当
时，
的取值为
，其中
，
，
，解得
和
，此时这两组解均满足
且
，但对
而言，有
，即
为
时的一个解，重复出现。下面我们找出符合条件
的所有
(
)，使得最后的结果不会重复，也不会遗漏。
对任意的
，
，当k取
中不同的值时，
总会出现一对相同的值(仅有一对)，如
，这是因为，若
，则
。由此我
们可以缩小
的取值范围。
当
为奇数时，
，
可取
个值中，且首尾的值相加恰好等于
，故我们只需取前
面
个值即可，即
。由于n是奇数，而2k是偶数，所以
一定是一个最简分数，此时
，
互不相等。
当
为偶数时，
，与前面的讨论类似，我们可以将
的取值范围限定在前面
个值，即
。进一步，由于2k是偶数时，而n也是偶数(不妨设
)，则有
，当k为奇数时，
是一个最简分数，不会导致解的重复；而当k为偶数时，由于
，
一定在前面的取值中出现过，从而导致解的重复，此时k只取
中奇数的那一部分值。
综上所述，
的有限Abelian子群中所有满足条件
的矩阵如下：
当n = 1时，则A为单位阵；
当n = 2时，则此时无解；
当
时，
，
；
当
时，
，
。
4. 进一步的问题
特殊线性群
的3阶有限循环子群的生成元是
，4阶有限循环子群的生成元是
，5阶有限循环子群的生成元是
和
，……，n阶有限循环子群的生成元是
(
，
取
中的奇数)，这些生成元所构成的循环子群能否做成特殊线性群
的子群的直积，目前本人还没有好的方法去解答，值得进一步探讨。