E₈⊕E₈⊕E₈⊕E₈ 流形上周期为3的自同构

Automorphisms of the E₈⊕E₈⊕E₈⊕E₈ Manifold with Period 3

摘要: 本文对相交形式为E₈⊕E₈⊕E₈⊕E₈ 的四维流形上的周期为3的自同构进行研究，利用G-符号差定理，考察其上周期为3的自同构作用含二维不动分支的情形，给出不可实现为局部线性作用的整表示，并给出同调平凡以及其他整表示的不动点类型的例子。

Abstract: In this essay, we concentrate on the automorphisms on the E₈⊕E₈⊕E₈⊕E₈ 4-manifold with period 3. Using G-signature theorem, we investigate possible integral representations of fixed point set with two-dimensional components under such automorphisms. We eliminate some re-presentations that cannot be realized, and study some examples of the homologically trivial and others cases about the possible datum of fixed point sets.

1. 引言

$E_8$ 格点是李代数和拓扑一个非常特殊和神秘的例子。Edmonds [1] 给出了 $E_8$ 四维流形上自同构的(伪自由)实现的情形。Garibaldi [2] 综述了从Lie代数和代数群的领域关于 $E_8$ 的许多已知发现和最近的结果。本文从相交形式为 $E_8\oplus E_8\oplus E_8\oplus E_8$ 的四维流形出发，讨论其上周期为3的素自同构的整表示，并利用G-符号差定理，考虑不动点集含二维不动分支的情形，对整表示分类，给出不可实现为局部线性作用的整表示，并给出同调平凡的以及其他整表示不动点类型的例子。

2. $M^4\left(E_8\oplus E_8\oplus E_8\oplus E_8\right)$ 上素自同构的表示

2.1. 整表示的直和分解

定理2.1：(Curtis and Reiner [3] )设M为紧致定向闭单连通拓扑流形，G为p阶循环群。G在M上的作用 $\rho :G\to \text{Aut}\left(H^2\left(M\right),\cup \right)$ 对应 $H^2\left(M\right)$ 上的整 $Z_p$ -表示，且可以直和分解为三个不可分表示块：

1) 平凡部分(1维)：Z，G作用平凡；

2) 割圆部分( $p-1$ 维)： $Z\left[{\mu }_p\right]$ ，G在 $Z\left[{\mu }_p\right]$ 任意非零理想J上的作用为 ${\mu }_p$ 的乘法；

3) 正则部分( $p$ 维)： $Z\left[Z_p\right]$ ，G作用为对基向量的置换，即 $Z\left[{\mu }_p\right]$ 中非零理想J的原像， $Z\left[G\right]$ 的 $\tilde{J}$ 上作用为 $Z\left[G\right]\to Z\left[{\mu }_p\right]$ 自然映射 $g\to {\mu }_p$ 。

这里 ${\mu }_p\equiv \exp \left(2\text{π}i/p\right)$ 为 $p$ 重单位根。

定理2.1源于Curtis 和Reiner 的论述(见 [3] 729页)。特别地，当 $p=2$ 时，有一个漂亮的初等证明。如果定理2.1中2)和3)的理想J正好是主理想，那么对应的不可分解的表示是标准的，即等价于对 $Z\left[{\mu }_p\right]$ 或 $Z\left[G\right]$ 是一个 $Z\left[G\right]$ -模。必须含有一个非主理想的J的不可分表示则是伪的。Reiner的工作指出，G的一个整表示可以如定理2.1中直和分解，且至多有一个伪的直和部分。注意到，由G-模恒等式 $J_1\oplus J_2\approx J_1{J}_2\oplus Z\left[{\mu }_p\right]$ 以及含有扭扩张的类似等式可知这样的分解并不是唯一的。在这种情形下，理想J其实决定了 $Z\left[{\mu }_p\right]$ 理想类群中表示的理想类不变量。事实上，理想类不变量可以由所有出现的理想J的乘积给出。Swan [4] 指出，紧致多面体上分段线性作用不可能出现非平凡的理想类不变量(亦可参见Weintraub [5] )。值得注意的是，Ruberman和Weinberger 发现了如何构造四维流形上有伪理想类的拓扑作用的例子。于是自然的有一个问题：四维流形上局部线性作用可不可能出现伪理想类；可不可以精确描述出在四维流形上的一个一般拓扑作用可能出现的理想类。已经知道，当p < 23时，理想类群 $Z\left[{\mu }_p\right]$ 消失，没有伪类出现。当第二Betti数 $b_2\left(M\right)<22$ 时，也没有伪类出现。以及当系数群取有理数时，也没有伪类存在。事实上， $J\otimes Q\approx Q\left[{\mu }_p\right]$ ， $\tilde{J}\otimes Q\approx Q\left[G\right]$ 。特别的，由 $Q\left[Z_p\right]\approx Q\left[{\mu }_p\right]\oplus Q$ ，有理系数表示可以表述成若干个Q与 $Q\left[{\mu }_p\right]$ 的和。

简言之，G在M上的作用对应的二阶上同调整表示可以直和分解为：

$H^{\text{2}}\left(M\right)=Z{\left[Z_p\right]}^r\oplus Z{\left[{\mu }_p\right]}^c\oplus Z^t$ ( $r,c,t$ 为非负整数)。

2.2. $M^4\left(E_8\oplus E_8\oplus E_8\oplus E_8\right)$ 上周期为3的整表示

定理2.2：当 $p=3$ 时， $M^4\left(E_8\oplus E_8\oplus E_8\oplus E_8\right)$ 上所有可能的素自同构的表示为：

$Z\left[Z_3\right]\oplus Z^{29}$ ， $Z{\left[Z_3\right]}^2\oplus Z^{26}$ ， $Z{\left[Z_3\right]}^3\oplus Z^{23}$ ， $Z{\left[Z_3\right]}^4\oplus Z^{20}$ ， $Z{\left[Z_3\right]}^5\oplus Z^{17}$ ， $Z{\left[Z_3\right]}^6\oplus Z^{14}$ ， $Z{\left[Z_3\right]}^7\oplus Z^{11}$ ，

$Z{\left[Z_3\right]}^8\oplus Z^8$ ； $Z{\left[{\mu }_3\right]}^2\oplus Z^{28}$ ， $Z\left[Z_3\right]\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^2\oplus Z^{25}$ ， $Z{\left[Z_3\right]}^2\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^2\oplus Z^{22}$ ， $Z{\left[Z_3\right]}^3\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^2\oplus Z^{19}$ ，

$Z{\left[Z_3\right]}^4\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^2\oplus Z^{16}$ ， $Z{\left[Z_3\right]}^5\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^2\oplus Z^{13}$ ， $Z{\left[Z_3\right]}^6\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^2\oplus Z^{10}$ ， $Z{\left[Z_3\right]}^7\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^2\oplus Z^7$ ，

$Z{\left[Z_3\right]}^8\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^2\oplus Z^4$ ； $Z{\left[{\mu }_3\right]}^4\oplus Z^{24}$ ， $Z\left[Z_3\right]\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^4\oplus Z^{21}$ ， $Z{\left[Z_3\right]}^2\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^4\oplus Z^{18}$ ，

$Z{\left[Z_3\right]}^3\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^4\oplus Z^{15}$ ， $Z{\left[Z_3\right]}^4\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^4\oplus Z^{12}$ ， $Z{\left[Z_3\right]}^5\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^4\oplus Z^9$ ， $Z{\left[Z_3\right]}^6\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^4\oplus Z^6$ ，

$Z{\left[Z_3\right]}^7\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^4\oplus Z^3$ ， $Z{\left[Z_3\right]}^8\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^4$ ； $Z{\left[{\mu }_3\right]}^6\oplus Z^{20}$ ， $Z\left[Z_3\right]\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^6\oplus Z^{17}$ ， $Z{\left[Z_3\right]}^2\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^6\oplus Z^{14}$ ，

$Z{\left[Z_3\right]}^3\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^6\oplus Z^{11}$ ， $Z{\left[Z_3\right]}^4\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^6\oplus Z^8$ ， $Z{\left[Z_3\right]}^5\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^6\oplus Z^5$ ， $Z{\left[Z_3\right]}^6\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^6\oplus Z^2$ ；

$Z{\left[{\mu }_3\right]}^8\oplus Z^{16}$ ， $Z\left[Z_3\right]\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^8\oplus Z^{13}$ ， $Z{\left[Z_3\right]}^2\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^8\oplus Z^{10}$ ， $Z{\left[Z_3\right]}^3\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^8\oplus Z^7$ ，

$Z{\left[Z_3\right]}^4\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^8\oplus Z^4$ ， $Z{\left[Z_3\right]}^5\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^8\oplus Z$ ； $Z{\left[{\mu }_3\right]}^{10}\oplus Z^{12}$ ， $Z\left[Z_3\right]\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^{10}\oplus Z^9$ ，

$Z{\left[Z_3\right]}^2\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^{10}\oplus Z^6$ ， $Z{\left[Z_3\right]}^3\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^{10}\oplus Z^3$ ， $Z{\left[Z_3\right]}^4\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^{10}$ ； $Z{\left[{\mu }_3\right]}^{12}\oplus Z^8$ ，

$Z\left[Z_3\right]\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^{12}\oplus Z^5$ ， $Z{\left[Z_3\right]}^2\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^{12}\oplus Z^2$ ； $Z{\left[{\mu }_3\right]}^{14}\oplus Z^4$ ， $Z\left[Z_3\right]\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^{14}\oplus Z$ ； $Z{\left[{\mu }_3\right]}^{16}$ 。

证明：由整表示的直和分解，设 $H^{\text{2}}\left(E_8\oplus E_8\oplus E_8\oplus E_8\right)=Z{\left[Z_3\right]}^r\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^c\oplus Z^t$ ，有 $3r+2c+t=32$ 。又由 $E_8$ 不可分，排除 $Z{\left[Z_3\right]}^9\oplus Z^5$ ， $Z{\left[Z_3\right]}^{10}\oplus Z^2$ ， $Z{\left[Z_3\right]}^9\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^2\oplus Z$ 的情形即证。

2.3. 伪自由情形

定理2.3：(Edmonds 和Ewing) [6] 令 $\Phi$ 为 $Z\left[Z_3\right]$ -模 $V=Z{\left[Z_p\right]}^r\oplus Z^t$ 上 $Z_3$ -不变的正定对称幺模双线性型，则当且仅当 $t\le 1$ 时 $\Phi$ 可以实现为一个其上有局部线性的伪自由 $Z_3$ 作用的单连通的闭四维流形的相交形式。

由定理2.2，观察 $E_8\oplus E_8\oplus E_8\oplus E_8$ 的素自同构，整表示为 $Z{\left[Z_{\text{3}}\right]}^r\oplus Z^t$ 型的情形皆不满足上述定理的条件。由此， $E_8\oplus E_8\oplus E_8\oplus E_8$ 上 $Z{\left[Z_{\text{3}}\right]}^r\oplus Z^t$ 型的整表示不可以由局部线性伪自由的周期为 $p=3$ 的同构实现。以下重点考虑不动点集 $M^G$ 含二维不动分支的整表示的情形。

3. 不动点集含二维不动分支的情形

3.1. 主要工具

Edmonds [1] 描述了不动点集 $M^G$ 的结构与 $Z_p$ 作用诱导的二阶上同调上的表示之间的关系。特别的，对于2.1节中阐述的直和分解 $H^{\text{2}}\left(M\right)=Z{\left[Z_p\right]}^r\oplus Z{\left[{\mu }_p\right]}^c\oplus Z^t$ ，有以下式子成立：

1) ${\beta }_1\left(M^G\right)=c$ ；

2) ${\beta }_0\left(M^G\right)+{\beta }_2\left(M^G\right)=t+2$ ；

3) $\chi \left(M^G\right)=t-c+2$ ；

4) 若 $c=0$ ，则 $M^G$ 中所有的2-维分支皆为2-球面；

5) 若 $M^G$ 不是纯2-维的，那么 $M^G$ 中的2-维分支代表 $H^2\left(M;Z_p\right)$ 上的无关元。若 $M^G$ 是纯2-维的，且有k个2-维分支，则2-维分支可以张成 $H^2\left(M;Z_p\right)$ 一个维数不低于k − 1的子空间，其中任意k − 1个分支都代表无关元。

由上5)可知，本节考虑的情形中，不动点集中的所有的2-维分支都代表非零的同调类，使得它们都有偶的非负的标准欧拉类。

主要工具有G-符号差公式和Lefchetz不动点定理。

G-符号差公式 [1]

$\begin{array}{c}\text{sign}\left(T,\left(V,\Phi \right)\right)=\text{trace}\left[T_{\ast }:H_2\left(M\right)\to H_2\left(M\right)\right]\\ ={\displaystyle \underset{i}{\sum }\frac{\left({\mu }^{a_i}+1\right)\left({\mu }^{b_i}+1\right)}{\left({\mu }^{a_i}-1\right)\left({\mu }^{b_i}-1\right)}-{\displaystyle \underset{j}{\sum }\frac{4{\eta }_i{\mu }^{e_j}}{{\left({\mu }^{e_j}-1\right)}^2}}}\end{array}$

三角形式为：

$\text{sign}\left(T,\left(V,\Phi \right)\right)={\displaystyle \underset{i}{\sum }-\cot \left(\frac{a_i\text{π}}{p}\right)\cot \left(\frac{b_i\text{π}}{p}\right)}+{\displaystyle \underset{Y}{\sum }{\csc }^2\left(\frac{c_Y\text{π}}{p}\right)\left(Y\cdot Y\right)}$

一个较弱版本的G-符号差公式 [7]

$\left|G\right|\cdot \text{sign}\left(M/G\right)=\text{sign}\left(M\right)+{\displaystyle \underset{m\in M^G}{\sum }{\text{def}}_m}+{\displaystyle \underset{Y\in M^G}{\sum }{\text{def}}_Y}$

这里，符号差的亏值def_m和def_Y为：

${\text{def}}_m={\displaystyle \underset{i}{\sum }\frac{\left(1+{\mu }_p^{a_i}\right)\left(1+{\mu }_p^{b_i}\right)}{\left(1-{\mu }_p^{a_i}\right)\left(1-{\mu }_p^{b_i}\right)}},{\text{def}}_Y=\frac{p^2-1}{3}\left(Y\cdot Y\right)$

其中， $\left(a_i,b_i\right)$ 为m处的不动点类型， $\left(Y\cdot Y\right)$ 为二维不动分支Y的自相交数。

定理3.1：(Lefschetz不动点定理 [8] )若 $T:M\to M$ 生成一个 $Z_p$ 在单连通的闭四维流形M上的群作用，有 $L\left(T;M\right)=\chi \left(M^G\right)$ ，这里 $\chi \left(M^G\right)$ 为不动点集 $M^G$ 的Eule示性数， $L\left(T;M\right)$ 为映射T的Lefschetz数：

$L\left(T;M\right)={\displaystyle \underset{0}{\overset{4}{\sum }}{{\left(-1\right)}^k\text{tr}\left(\text{g}\right)|}_{H^k\left(M;Z\right)}}$

3.2. 不可实现为局部线性作用的整表示

以下我们对相交形式为 $E_8\oplus E_8\oplus E_8\oplus E_8$ 的四维流形上周期为3的自同构作用的整表示类型进行讨论。

定理3.2： $M^4\left(E_8\oplus E_8\oplus E_8\oplus E_8\right)$ 上没有周期为3的自同构，整表示为

$Z{\left[Z_3\right]}^7\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^4\oplus Z^3$ ， $Z{\left[Z_3\right]}^8\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^4$ ， $Z{\left[Z_3\right]}^4\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^6\oplus Z^8$ ， $Z{\left[Z_3\right]}^5\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^6\oplus Z^5$ ，

$Z{\left[Z_3\right]}^6\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^6\oplus Z^2$ ， $Z{\left[Z_3\right]}^3\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^8\oplus Z^7$ ， $Z{\left[Z_3\right]}^4\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^8\oplus Z^4$ ， $Z{\left[Z_3\right]}^5\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^8\oplus Z$ ，

$Z\left[Z_3\right]\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^{10}\oplus Z^9$ ， $Z{\left[Z_3\right]}^2\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^{10}\oplus Z^6$ ， $Z{\left[Z_3\right]}^3\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^{10}\oplus Z^3$ ， $Z{\left[{\mu }_3\right]}^{12}\oplus Z^8$ ，

$Z\left[Z_3\right]\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^{12}\oplus Z^5$ ， $Z{\left[Z_3\right]}^2\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^{12}\oplus Z^2$ ， $Z{\left[{\mu }_3\right]}^{14}\oplus Z^4$ ， $Z\left[Z_3\right]\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^{14}\oplus Z$ 。

证明： $$ ，选择适当的生成元，记符号差为 $\sigma$ ， $\chi$ 为欧拉数。设(1,1)型的不动点有 $x$ 个，每个贡献亏值为−1/3；(1,2)型的不动点有 $y$ 个，每个贡献亏值为1/3；2维不动分支的欧拉数总和为 $e$ ，个数为 $k$ 。

由G-符号差公式和Lefschetz不动点定理，有

$\{\begin{array}{l}\sigma =-\frac{\text{1}}{\text{3}}x+\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}e\\ \chi =x+y+2k\end{array}$

$\sigma ,\chi$ 在每组整表示中对应的情形不同，则可能的不动点集的情形也不同，以 $\sigma ,\chi$ 为变量，得到导出组的基础解系为 ${\left(-1,-1,0,1\right)}^{\text{T}},{\left(2-2,1,0\right)}^{\text{T}}$ ，特解为

${\left(-2\sigma +\frac{\chi }{2},2\sigma +\frac{\chi }{2},0,0\right)}^{\text{T}}$

在通解为

$k_1\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 0\\ 1\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-2\sigma +\frac{\chi }{2}\\ 2\sigma +\frac{\chi }{2}\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

整表示中 $e$ 正定，且 $e\ge 2k$ ，考察定理2.2的所有整表示类型，得到所有无解的情形，如定理3.2所述。故以上整表示不可实现 $M^4\left(E_8\oplus E_8\oplus E_8\oplus E_8\right)$ 上周期为3的局部线性作用。

3.3. 同调平凡的情形

特别的，我们给出同调平凡的例子。

当作用是同调平凡的时候， $M^4\left(E_8\oplus E_8\oplus E_8\oplus E_8\right)$ 上的周期为3的自同构的情形下，适当选取生成元，由符号差定理和不动点公式，有：

$\{\begin{array}{l}\text{32}=-\frac{\text{1}}{\text{3}}x+\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}e\\ \text{34}=x+y+2k\end{array}$

寻找 $e\ge 2k>0$ ，且 $e,k$ 为整数解， $e$ 为偶数，得到所有的整数解对 $\left\{e,k\right\}$ 如下：

可以看出，这并不是一个同调平凡作用刚性的例子。

3.4. 其他例子

以 $Z{\left[{\mu }_3\right]}^{10}\oplus Z^{12}$ 和 $Z{\left[Z_3\right]}^8\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^2\oplus Z^4$ 为例，给出不动点类型。

命题3.3：当表示为 $Z{\left[{\mu }_3\right]}^{10}\oplus Z^{12}$ 时， $M^4\left(E_8\oplus E_8\oplus E_8\oplus E_8\right)$ 上的周期为3的自同构的不动点可能为：

1) 一个欧拉数为2的环面，5个(1,1)型不动点，7个(1,2)型不动点；

2) 一个欧拉数为4的环面，11个(1,1)型不动点，1个(1,2)型不动点；

3) 一个环面和一个球面，欧拉数之和为4，10个(1,1)型不动点。

证明：适当选择生成元，符号差为2，设(1,1)型的不动点有 $x$ 个，每个贡献亏值为−1/3；(1,2)型的不动点有 $y$ 个，每个贡献亏值为1/3；2维不动分支的欧拉数总和为 $e$ ，个数为 $k$ 。由不动点定理， $x+y+2k=14$ 。由G-符号差定理，有

$\text{2}=-\frac{\text{1}}{\text{3}}x+\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}e$

考察 $e\ge 2k>0$ ，且 $e,k$ 为整数的所有解，如下

$\left\{e=2,k=1\right\},\left\{e=3,k=1\right\},\left\{e=4,k=1\right\},\left\{e=4,k=2\right\},\left\{e=5,k=1\right\}$

注意到 $e$ 为偶数，去掉 $e=\text{3,5}$ 的情形，得到所有的整数解为

$e=2,k=1,x=5,y=7$ ； $e=4,k=1,x=11,y=1$ ； $e=4,k=2,x=10,y=0$

即当表示为 $Z{\left[{\mu }_3\right]}^{10}\oplus Z^{12}$ 的情形时， $M^4\left(E_8\oplus E_8\oplus E_8\oplus E_8\right)$ 上的周期为3的自同构的所有不动点可能为：

1) 一个欧拉数为2的环面，5个(1,1)型不动点，7个(1,2)型不动点；

2) 一个欧拉数为4的环面，11个(1,1)型不动点，1个(1,2)型不动点；

3) 一个环面和一个球面，欧拉数之和为4，10个(1,1)型不动点。

命题3.4：当表示为 $Z{\left[Z_3\right]}^8\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^2\oplus Z^4$ 时， $M^4\left(E_8\oplus E_8\oplus E_8\oplus E_8\right)$ 上的周期为3的自同构的所有不动点可能为：

一个欧拉数为2的环面，亏格为1，以及3个(1,1)型不动点，1个(1,2)型不动点。

证明：适当选择生成元，有符号差为2，由设(1,1)型的不动点有 $x$ 个，每个贡献亏值为−1/3；(1,2)型的不动点有 $y$ 个，每个贡献亏值为1/3；2维不动分支的欧拉数总和为 $e$ ，个数为 $k$ 。且由不动点定理， $x+y+2k=6$ 。由G-符号差定理，有

$\text{2}=-\frac{\text{1}}{\text{3}}x+\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}e$

得到 $e\ge 2k>0$ ，且 $e,k$ 为整数的所有解，如下

$\left\{e=2,k=1\right\},\left\{e=3,k=1\right\}$

注意到 $e$ 为偶数，去掉 $e=\text{3}$ 的情形，得到所有的整数解为 $e=2,k=1,x=3,y=1$ ，即当表示为 $Z{\left[Z_3\right]}^8\oplus Z{\left[{\mu }_3\right]}^2\oplus Z^4$ 的情形时， $M^4\left(E_8\oplus E_8\oplus E_8\oplus E_8\right)$ 上的周期为3的自同构的所有不动点可能为：

一个欧拉数为2的环面，亏格为1，以及3个(1,1)型不动点，1个(1,2)型不动点。

其他表示的不动点集情形亦可类似给出。

基金项目

国家自然科学基金天元专项(No.11526066)；海南省自然科学基金(No.20151001)。