一类三阶非线性微分方程两点边值问题的变号解

Sign-Changing Solutions for Two-Point Boundary Value Problems of Three-Order Nonlinear Differential Equations

摘要: 利用Banach格与拓扑度相结合的理论讨论带有边值的三阶微分方程两点边值问题，其中，得到所述问题变号解的存在性结果。进一步，如果f是奇函数，则问题有两个变号解。

Abstract: In this paper, we use the fixed point theorem with Banach lattice structure and topological degree to discuss the three-order two-point boundary value problem for all subject to , where  . If f satisfies certain conditions, then the existence result of the sign-changing solution is obtained. Moreover, if   is odd for all  , then the problem has two sign-changing solutions.

1. 引言

本文主要研究三阶两点边值问题

$\{\begin{array}{l}-u^{‴}\left(t\right)=f\left(u\left(t\right)\right),t\in \left[0,1\right]\\ u\left(0\right)=u^{\prime }\left(0\right)=u^{″}\left(1\right)=0\end{array}$ (1)

变号解的存在性，其中 $f\in C\left(R,R\right)$ 。

三阶微分方程来源于应用数学和物理等各方面的领域，在许多科学领域及工程中具有十分广泛的应用 [1] 。近些年来，有许多文献研究各类边值问题变号解的存在性，所涉及到的理论和方法主要有Leray-Schauder度理论、不动点指数理论、临界群理论、变分法、下降流不变集、特征值等 [2] - [8] 。然而，在格结构下讨论三阶两点边值问题还比较少见。孙经先等人把格理论与拓扑度理论结合在一起，利用格理论研究非锥映射的拓扑度与不动点指数的计算，得出带有格结构的新的不动点存在定理 [9] [10] 。文献 [11] [12] [13] [14] [15] 分别对二阶三点边值问题、三阶两点边值问题、四阶两点边值问题的变号解进行了研究。受这些文献的启发，本文主要利用格结构下的不动点定理，结合所对应的线性问题的特征值以及代数重数，研究问题(1)变号解的存在结果，改进和推广了文 [15] [16] 的结果。

以下我们给出非线性项 $f$ 的假设

(H₁) $f\left(0\right)=0$ 且 $f\left(u\right)$ 关于 $u$ 严格递增；

(H₂) $\underset{\left|u\right|\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(u\right)}{u}={\beta }_1$ 关于 $t$ 在 $\left[0,1\right]$ 上一致，且存在正整数 $n_1$ 使得 ${\lambda }_{2n_1}<{\beta }_1<{\lambda }_{2n_1+1}$ ；其中， $0<{\lambda }_1<{\lambda }_2<\cdots <{\lambda }_n<{\lambda }_{n+1}<\cdots$ 是方程 ${\text{e}}^{-\frac{3}{2}\sqrt[3]{\lambda }}+2\cos \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{\lambda }=0$ 的无穷多个正解；

(H₃) $\underset{u\to 0}{\lim }\frac{f\left(u\right)}{u}={\beta }_0$ 关于 $t$ 在 $\left[0,1\right]$ 一致成立，且 $0<{\beta }_0<{\lambda }_1$ 。

本文的主要结果如下：

定理1：设条件(H₁) (H₂) (H₃)成立，则边值问题(1)至少存在一个变号解

2. 预备知识

设 $P$ 是Banach空间 $E$ 中的锥， $E$ 中的半序由锥 $P$ 导出。若存在常数 $N>0$ ，使得 $\theta \le x\le y\Rightarrow \Vert x\Vert \le N\Vert y\Vert$ ，则称 $P$ 是正规锥。如果 $P$ 含有内点，即 $P$ 的内部 $\mathrm{int}P\ne \varnothing$ ，则称 $P$ 是体锥。

$E$ 在半序 $\le$ 下成为一个格，即对任意的 $x,y\in E$ ， $\sup \left\{x,y\right\}$ 和 $\inf \left\{x,y\right\}$ 都存在。对 $x\in E$ ， $x^{+}=\sup \left\{x,\theta \right\}$ ， $x^{-}=\sup \left\{-x,\theta \right\}$ ，分别称为 $x$ 的正部和负部， $\left|x\right|=x^{+}+x^{-}$ 称为 $x$ 的模。显然， $x^{+}\in P$ ， $x^{-}\in \left(-P\right)$ ， $\left|x\right|\in P$ ， $x=x^{+}-x^{-}$ 。

为了文中叙述方便，使用下列符号： $x_{+}=x^{+},x_{-}=-x^{-}$ 。于是 $x=x_{+}+x_{-},\left|x\right|=x_{+}-x_{-}$ 。

设 $E=C\left[0,1\right]$ ，范数 $\Vert u\Vert ={\max }_{t\in \left[0,1\right]}\left|u\left(t\right)\right|$ ， $P=\left\{u\in E:u\left(t\right)\ge 0,t\in \left[0,1\right]\right\}$ 。显然 $E$ 是Banach空间。 $P$ 是 $E$ 的一个正规体锥，且 $E$ 在锥 $P$ 导出的半序“ $\le$ ”下成为一个格。

分别定义算子 $K,F$ 和 $A$ 如下：

$Ku\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(t,s\right)u\left(s\right)\text{d}s},t\in \left[0,1\right],\forall u\in E$

$Fu\left(t\right)=f\left(u\left(t\right)\right),t\in \left[0,1\right],\forall u\in E$

$A=KF$

其中

$G\left(t,s\right)=\{\begin{array}{l}s\left(t-\frac{s}{2}\right),0\le s\le t\le 1,\\ \frac{1}{2}{t}^2,0\le t\le s\le 1\end{array}$

是问题(1)所对应的Green函数。利用Green函数的性质，容易证明 $A:E\to E$ 是全连续算子，并且 $u\in C^3\left[0,1\right]$ 是问题(1)的解当且仅当 $u\in E$ 是算子 $A$ 在 $E$ 中的不动点。

引理1： [7] 算子 $F$ 与 $A=KF$ 在格 $E=C\left[0,1\right]$ 上都是拟可加的。

引理2：设 $0<{\lambda }_1<{\lambda }_2<\cdots <{\lambda }_n<{\lambda }_{n+1}<\cdots$ 是方程 ${\text{e}}^{-\frac{3}{2}\sqrt[3]{\lambda }}+2\cos \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{\lambda }=0$ 的正解，则

$\frac{1}{{\lambda }_1}>\frac{1}{{\lambda }_2}>\cdots >\frac{1}{{\lambda }_n}>\frac{1}{{\lambda }_{n+1}}>\cdots >0$ 分别为线性算子 $K$ 的特征值，且每个特征值 $\frac{1}{{\lambda }_i}\left(i=1,2,\cdots \right)$ 的代数重数为1。

证明：先考虑特征值问题

$\{\begin{array}{l}-u^{‴}\left(t\right)=\lambda u\left(t\right),t\in \left[0,1\right]\\ u\left(0\right)=u^{\prime }\left(0\right)=u^{″}\left(1\right)=0\end{array}$ (2)

当 $\lambda >0$ 时，记 $\sqrt[3]{\lambda }=a$ ，则(2)的通解为

$u\left(t\right)=C_1{\text{e}}^{-at}+C_2{\text{e}}^{\frac{1}{2}at}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}at+C_3{\text{e}}^{\frac{1}{2}at}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}at,t\in \left[0,1\right]$ 。

其中 $C_i\left(i=1,2,3\right)$ 是任意常数，由 $u\left(0\right)=u^{\prime }\left(0\right)=0$ ，可得 $C_2=-C_1,C_3=\sqrt{3}{C}_1$ ，所以

$u\left(t\right)=C_1\left({\text{e}}^{-at}-{\text{e}}^{\frac{1}{2}at}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}at+\sqrt{3}{\text{e}}^{\frac{1}{2}at}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}at\right),t\in \left[0,1\right]$

又由 $u^{″}\left(1\right)=0$ ，可得 $C_1\left(a^2{\text{e}}^{-a}+2a^2{\text{e}}^{\frac{1}{2}a}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}a\right)=0$ ，由于 $C_1\ne 0$ ，故 $a^2{\text{e}}^{-a}+2a^2{\text{e}}^{\frac{1}{2}a}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}a=0$ ，即 ${\text{e}}^{-\frac{3}{2}a}+2\cos \frac{\sqrt{3}}{2}a=0$ 。

又因为 ${\text{e}}^{-\frac{3}{2}a}+2\cos \frac{\sqrt{3}}{2}a=0$ 有无穷多个正解，记为 $0<a_1<a_2<\cdots <a_n<a_{n+1}<\cdots$ ，所以

${\text{e}}^{-\frac{3}{2}\sqrt[3]{\lambda }}+2\cos \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{\lambda }=0$ 有无穷多个正解 $0<{\lambda }_1<{\lambda }_2<\cdots <{\lambda }_n<{\lambda }_{n+1}<\cdots$ ，其中 ${\lambda }_n=a_n^3$ ， $n=1,2,\cdots$ ，所以问

题(2)有无穷多个正特征值 ${\left\{{\lambda }_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 。

设 $\mu$ 是线性算子 $K$ 的特征值， $u\in E\backslash \left\{0\right\}$ 是对应的特征函数。则

$\{\begin{array}{l}-u^{‴}\left(t\right)=\frac{1}{\mu }u\left(t\right),t\in \left[0,1\right]\\ u\left(0\right)=u^{\prime }\left(0\right)=u^{″}\left(1\right)=0\end{array}$

所以 $\frac{1}{{\lambda }_1}>\frac{1}{{\lambda }_2}>\cdots >\frac{1}{{\lambda }_n}>\frac{1}{{\lambda }_{n+1}}>\cdots$ 是线性算子 $K$ 的正特征值。

记 $\sqrt[3]{\frac{1}{{\mu }_n}}=\sqrt[3]{{\lambda }_n}=a$ ，则对应于特征值 $\frac{1}{{\lambda }_n}$ 的特征函数为

$u\left(t\right)=C\left({\text{e}}^{-at}-{\text{e}}^{\frac{1}{2}at}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}at+\sqrt{3}{\text{e}}^{\frac{1}{2}at}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}at\right),t\in \left[0,1\right]$ ，

其中 $C$ 是非零常数，所以

$\dim \ker \left(\frac{1}{{\lambda }_n}I-K\right)=\dim \ker \left(I-{\lambda }_{n}K\right)=1$ (3)

下面我们证明

$\ker \left(I-{\lambda }_{n}K\right)=\ker {\left(I-{\lambda }_{n}K\right)}^2$ (4)

显然 $\ker \left(I-{\lambda }_{n}K\right)\subset \ker {\left(I-{\lambda }_{n}K\right)}^2$ ，从而只需要证明 $\ker {\left(I-{\lambda }_{n}K\right)}^2\subset \ker \left(I-{\lambda }_{n}K\right)$ 。

设 $u\in \ker {\left(I-{\lambda }_{n}K\right)}^2$ ，如果 $\left(I-{\lambda }_{n}K\right)u\ne \theta$ ，那么 $\left(I-{\lambda }_{n}K\right)u$ 是线性算子 $K$ 对应于特征值 $\frac{1}{{\lambda }_n}$ 的特征函

数，故存在 $\gamma \ne 0$ ，使得

$\left(I-{\lambda }_{n}K\right)u=\gamma \left({\text{e}}^{-at}-{\text{e}}^{\frac{1}{2}at}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}at+\sqrt{3}{\text{e}}^{\frac{1}{2}at}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}at\right),t\in \left[0,1\right]$

两边求导可得

$\{\begin{array}{l}{u}^{‴}\left(t\right)+a^{3}u\left(t\right)=\gamma \left(-a^3{\text{e}}^{-at}+a^3{\text{e}}^{\frac{1}{2}at}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}at-a^3\sqrt{3}{\text{e}}^{\frac{1}{2}at}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}at\right),t\in \left[0,1\right]\\ u\left(0\right)=u^{\prime }\left(0\right)=u^{″}\left(1\right)=0\end{array}$

于是

$\begin{array}{c}u\left(t\right)=C_1{\text{e}}^{-at}+C_2{\text{e}}^{\frac{1}{2}at}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}at+C_3{\text{e}}^{\frac{1}{2}at}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}at\\ -\frac{1}{3}\gamma at{\text{e}}^{-at}+\frac{1}{3}\gamma at{\text{e}}^{\frac{1}{2}at}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}at+\frac{\sqrt{3}}{3}\gamma at{\text{e}}^{\frac{1}{2}at}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}at\end{array}$

代入边界条件 $u\left(0\right)=u^{\prime }\left(0\right)=0$ ，得 $u\left(0\right)=C_1+C_2=0$ ， $u^{\prime }\left(0\right)=-a{C}_1-\frac{1}{2}a{C}_1+\frac{\sqrt{3}}{2}a{C}_3-\frac{1}{3}\gamma a+\frac{1}{3}\gamma a=0$ ，

故 $C_2=-C_1,C_3=\sqrt{3}{C}_1$ ，从而

$\begin{array}{c}u\left(t\right)=C_1\left({\text{e}}^{-at}-{\text{e}}^{\frac{1}{2}at}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}at+\sqrt{3}{\text{e}}^{\frac{1}{2}at}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}at\right)\\ -\frac{1}{3}\gamma at{\text{e}}^{-at}+\frac{1}{3}\gamma at{\text{e}}^{\frac{1}{2}at}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}at+\frac{\sqrt{3}}{3}\gamma at{\text{e}}^{\frac{1}{2}at}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}at\end{array}$

再代入边界条件 $u^{″}\left(1\right)=0$ ，得

$\begin{array}{l}{u}^{″}\left(1\right)=C_1\left(a^2{\text{e}}^{-a}+\frac{1}{2}{a}^2{\text{e}}^{\frac{1}{2}a}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}a+\frac{3}{2}{a}^2{\text{e}}^{\frac{1}{2}a}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}a\right)-\frac{1}{3}\gamma a\left(-2a{\text{e}}^{-a}+a^2{\text{e}}^{-a}\right)\\ +\frac{1}{3}\gamma a\left(a{\text{e}}^{\frac{1}{2}a}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}a-\sqrt{3}a{\text{e}}^{\frac{1}{2}a}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}a-\frac{1}{2}{a}^2{\text{e}}^{\frac{1}{2}a}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}a-\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^2{\text{e}}^{\frac{1}{2}a}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}a\right)\\ +\frac{\sqrt{3}}{3}\gamma a\left(a{\text{e}}^{\frac{1}{2}a}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}a+\sqrt{3}a{\text{e}}^{\frac{1}{2}a}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}a-\frac{1}{2}{a}^2{\text{e}}^{\frac{1}{2}a}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}a+\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^2{\text{e}}^{\frac{1}{2}a}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}a\right)=0\end{array}$

因为 ${\text{e}}^{-\frac{3}{2}a}+2\cos \frac{\sqrt{3}}{2}a=0$ ，所以 $\cos \frac{\sqrt{3}}{2}a=-\frac{1}{2}{\text{e}}^{-\frac{3}{2}a}$ ，代入化简为 $\frac{\gamma }{3}a\left(-\frac{3}{2}{a}^2{\text{e}}^{-a}-\sqrt{3}{a}^2{\text{e}}^{\frac{1}{2}a}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}a\right)=0$ 。因为 $\gamma \ne 0$ ，若 $a\ne 0$ ，则 $-\frac{3}{2}{a}^2{\text{e}}^{-a}-\sqrt{3}{a}^2{\text{e}}^{\frac{1}{2}a}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}a=0$ ，从而可知 $\sin \frac{\sqrt{3}}{2}a=-\frac{\sqrt{3}}{2}{\text{e}}^{-\frac{3}{2}a}$ 。又 $\cos \frac{\sqrt{3}}{2}a=-\frac{1}{2}{\text{e}}^{-\frac{3}{2}a}$ ，所以

${\left(\sin \frac{\sqrt{3}}{2}a\right)}^2+{\left(\cos \frac{\sqrt{3}}{2}a\right)}^2={\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}{\text{e}}^{-\frac{3}{2}a}\right)}^2+{\left(-\frac{1}{2}{\text{e}}^{-\frac{3}{2}a}\right)}^2={\left({\text{e}}^{-\frac{3}{2}a}\right)}^2=1$ ，

解得 $a=0$ 与 $a\ne 0$ 矛盾，即(3)式成立，由(3)和(4)可知特征值 $\frac{1}{{\lambda }_n}$ 的代数重数是1。

下面的引理是本文主要结果的理论依据。

引理3： [7] 设 $E$ 为带有格结构的Banach序空间， $P$ 为 $E$ 的一个正规体锥，全连续算子 $A$ 在 $E$ 上拟可加。如果

1) $A$ 在 $P,-P$ 上严格递增；

2) ${A^{\prime }}_P,{A^{\prime }}_{-P}$ 存在且 $r\left({A^{\prime }}_P\right)>1,r\left({A^{\prime }}_{-P}\right)>1$ ，1不是算子 ${A^{\prime }}_P$ 或者 ${A^{\prime }}_{-P}$ 的对应于正固有元的固有值；

3) $A\theta =\theta$ ， $A$ 在 $\theta$ 处的导算子 ${A^{\prime }}_{\theta }$ 是强正的，且 $r\left({A^{\prime }}_{\theta }\right)<1$ ；

4) $A$ 在 $\infty$ 点的导数 ${A^{\prime }}_{\infty }$ 存在，1不是算子 ${A^{\prime }}_{\infty }$ 的固有值， ${A^{\prime }}_{\infty }$ 在区间 $\left(1,+\infty \right)$ 所有固有值代数重数之和为偶数。

那么 $A$ 至少存在三个非零不动点，其中包含一个变号不动点。

3. 结果的证明

定理1的证明设 $u_1,u_2\in P$ ， $u_1<u_2$ ，由( $H_1$ )， $K\left(P\backslash \left\{\theta \right\}\right)\subseteq \stackrel{°}{P}$ ，得

$A{u}_2-A{u}_1={\displaystyle {\int }_0^{1}G\left(t,s\right)\left[f\left(u_2\left(s\right)\right)-f\left(u_1\left(s\right)\right)\right]\text{d}s}>0,t\in \left[0,1\right]$ 。

因此， $A$ 在 $P$ 上严格递增；类似的， $A$ 在 $-P$ 上严格递增。

由( $H_2$ ) $\underset{\left|u\right|\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(u\right)}{u}={\beta }_1$ 关于 $t$ 在 $\left[0,1\right]$ 上一致，即对任意 $\epsilon >0$ ，存在 $R>0$ 使得 $\forall t\in \left[0,1\right],\left|u\right|>R$ 时，

有 $\left|f\left(u\right)-{\beta }_{1}u\right|\le \epsilon \left|u\right|$ 。令 $C={\max }_{0\le \left|u\right|\le R}\left|f\left(u\right)\right|$ ，则对 $t\in \left[0,1\right]$ ，有

$\left|Fu\left(t\right)-{\beta }_{1}u\left(t\right)\right|=\left|f\left(u\left(t\right)\right)-{\beta }_{1}u\left(t\right)\right|\le C+{\beta }_{1}R+\epsilon \Vert u\Vert$ 。

因此

$\left|Au\left(t\right)-{\beta }_{1}Ku\left(t\right)\right|=\left|K\left(Fu-{\beta }_{1}u\right)\left(t\right)\right|\le \Vert K\Vert \left(C+{\beta }_{1}R+\epsilon \Vert u\Vert \right)$ 。

从而 $\underset{\Vert u\Vert \to +\infty }{\lim }\frac{\Vert Au-{\beta }_{1}Ku\Vert }{\Vert u\Vert }\le \epsilon \Vert K\Vert$ ，即 ${A^{\prime }}_{\infty }={\beta }_{1}K$ 。再由 ${\lambda }_{2n_1}<{\beta }_1<{\lambda }_{2n_1+1}$ ，可知1不是算子 ${A^{\prime }}_{\infty }$ 的固有值， ${A^{\prime }}_{\infty }$

在区间 $\left(1,+\infty \right)$ 所有固有值代数重数之和为偶数。

类似地，有

$\underset{u\in P,\Vert u\Vert \to +\infty }{\lim }\frac{\Vert Au-{\beta }_{1}Ku\Vert }{\Vert u\Vert }\le \epsilon \Vert K\Vert$ ，

$\underset{u\in -P,\Vert u\Vert \to +\infty }{\lim }\frac{\Vert Au-{\beta }_{1}Ku\Vert }{\Vert u\Vert }\le \epsilon \Vert K\Vert$ ，

因此 ${A^{\prime }}_P={A^{\prime }}_{-P}={\beta }_{1}K$ 。再由引理2， ${\lambda }_{2n_1}<{\beta }_1<{\lambda }_{2n_1+1}$ ，可得1不是算子 ${A^{\prime }}_P$ 或者 ${A^{\prime }}_{-P}$ 的固有值，且

$r\left({A^{\prime }}_P\right)=r\left({A^{\prime }}_{-P}\right)=\frac{{\beta }_1}{{\lambda }_1}>1$ 。

由( $H_3$ ) $\underset{u\to 0}{\lim }\frac{f\left(u\right)}{u}={\beta }_0$ ，即对任意 $\epsilon >0$ ，存在 $\delta >0$ 使得 $\forall t\in \left[0,1\right],0<\left|u\right|<\delta$ 时，有 $\left|f\left(u\right)-{\beta }_{0}u\right|\le \epsilon \left|u\right|$ 。

注意到 $f\left(0\right)=0$ ，从而 $A\theta =\theta$ ，因此，对于 $u\in E$ ，当 $\Vert u\Vert <\delta$ 时，有

$\left|Au\left(t\right)-A\theta -Ku\left(t\right)\right|=\left|K\left(Fu-{\beta }_{0}u\right)\left(t\right)\right|\le \Vert K\Vert \underset{t\in \left[0,1\right]}{\max }\left|f\left(u\left(t\right)\right)-{\beta }_{0}u\left(t\right)\right|\le \Vert K\Vert \Vert u\Vert \epsilon$ 。

从而 $\Vert Au-A\theta -{\beta }_{0}Ku\Vert \le \Vert K\Vert \Vert u\Vert \epsilon$ 。故 $\underset{\Vert u\Vert \to 0}{\lim }\frac{\Vert Au-A\theta -{\beta }_{0}Ku\Vert }{\Vert u\Vert }=0$ ，即 ${A^{\prime }}_{\theta }={\beta }_{0}K$ ，不难得出 $K\left(P\backslash \left\{\theta \right\}\right)\subseteq \stackrel{°}{P}$ ，可得 ${A^{\prime }}_{\theta }$ 强正且由 $0<{\beta }_0<{\lambda }_1$ 得 $r\left({A^{\prime }}_{\theta }\right)=\frac{{\beta }_0}{{\lambda }_1}<1$ 。

至此引理3的所有条件满足，故算子 $A$ 至少存在三个非零不动点，其中包含一个变号不动点。从而边值问题(1)至少存在三个非零解，其中包含一个变号解。

注：此结果的创新之处在于得到了变号解的存在性。

推论：若定理1的条件满足，且 $f\left(u\right)$ 是奇函数，则边值问题(1)至少存在四个非零解，其中包含两个变号解。

基金项目

江苏省高校青蓝工程基金(2014)。