调和Bergman空间上大Hankel算子性质的研究

Study on Properties of Big Hankel Operator on Harmonic Bergman Space

摘要: 本篇文章主要讨论了调和Bergman空间上以径向函数为符号的大Hankel算子的一些性质，构造了一个与其符号函数相关的数列{φ_k}，得到了一些有关大Hankel算子的性质的一些结论。其有界性与{φ_k}的有界性等价，其紧性与{φ_k}收敛到0等价，其正定性与{φ_k}为大于0的有界数列等价。

Abstract: This article mainly discusses some of the properties of the Big Hankel operator whose symbol is a radial function on the Bergman space. It constructs a series {φ_k} related to its symbolic function and obtains some conclusions about the nature of the big Hankel operator. The boundedness of the big Hankel operator is equivalent to the boundedness of {φ_k}. The compactness of the big Hankel operator converges to zero with {φ_k} , and the positivity of the big Hankel operator is equivalent to the bounded sequence with {φ_k}greater than zero.

1. 引言

本节中将给出一些基本的概念以及符号，方便后续使用。

设 $ℂ$ 为复平面， $D=\{z\in ℂ:\left|z\right|<1\}$ 为 $ℂ$ 中的单位开圆盘，使用dA定义D上的面积测度，所以规范D的面积是1，按照直角坐标和极坐标，有 $\text{d}A\left(z\right)=\frac{1}{\text{π}}\text{d}x\text{d}y=\frac{r}{\text{π}}\text{d}r\text{d}\theta$ ，其中 $z=x+iy$ 。

定义1.1：设 $L^2\left(D,\text{d}A\right)$ 表示D上所有勒贝格平方可积的函数构成的集合，定义内积

$\langle u,v\rangle ={\displaystyle {\int }_{D}u\bar{v}\text{d}A}$

则 $L^2\left(D,\text{d}A\right)$ 为一个Hilbert空间。

定义1.2： $L^2\left(D,\text{d}A\right)$ 中的全体解析函数构成了Bergman空间 $L_a^2\left(D\right)$ 。

定义1.3：我们设P为 $L^2\left(D,\text{d}A\right)$ 到 $L_a^2\left(D\right)$ 的正交投影，众所周知 $L_a^2\left(D\right)$ 为 $L^2\left(D,\text{d}A\right)$ 的闭子空间。则有 $\left(Pf\right)\left(z\right)=\langle f,K_z\rangle ={\displaystyle {\int }_{D}f\left(w\right)\frac{1}{{\left(1-z\bar{w}\right)}^2}\text{d}A\left(w\right)}$ ，其中 $K_z\left(w\right)=\frac{1}{{\left(1-\bar{z}w\right)}^2}={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left(k+1\right){\bar{z}}^k{w}^k}$ 为Bergman空间的再生核。

定义1.4：调和Bergman空间 $L_h^2\left(D\right)$ 为D上所有调和函数构成的集合。

定义1.5：设Q表示 $L^2\left(D,\text{d}A\right)$ 到 $L_h^2\left(D\right)$ 的正交投影，显然是为 $L^2\left(D,\text{d}A\right)$ 的闭子空间。容易验证对任意的 $z\in D$ ，存在 $L_h^2\left(D\right)$ 中唯一一个函数 $R_z$ ，使得 $f\left(z\right)=\langle f,R_z\rangle$ ， $\forall f\in L_h^2\left(D\right)$ ，通过计算可知 $R_z=K_z+\overline{K_z}-1$ ，因此有

$\left(Qf\right)\left(z\right)=\langle f,R_z\rangle ={\displaystyle {\int }_{D}f\left(w\right)\left(K_z+\overline{K_z}-1\right)\text{d}A\left(w\right)}=Pf+\overline{P\stackrel{¯}{f}}-Pf\left(0\right)$ .

定义1.6：设 $U:L^2\left(D,\text{d}A\right)\to L^2\left(D,\text{d}A\right)$ 为一个酉算子，定义为

$Uf\left(z\right)=\widetilde{f\left(z\right)}=f\left(\bar{z}\right)$ ， $f\in L^2\left(D,\text{d}A\right)$ .

定义1.7：设 $\phi \in L^{\infty }\left(D,\text{d}A\right)$ ， $M_{\phi }$ 是定义在 $L^2\left(D,\text{d}A\right)$ 的乘法算子，即 $M_{\phi }\left(f\right)=\phi f$ 。

定义1.8： $f\in L_h^2\left(D,\text{d}A\right)$ ，以φ为符号的大Hankel算子定义为 ${\Gamma }_{\phi }\left(f\right)=Q{M}_{\phi }Uf$ 。

定义1.9：若函数φ满足 $\phi \left(u\right)=\phi \left(\left|u\right|\right)$ ，则称φ为径向函数。下文中将用 $RF\left(D\right)$ 表示D上全体径向函数构成的集合。

本篇论文主要研究以调和函数φ为符号的大Hankel算子的一些性质， [1] 中给出了调和函数以及调和Bergman空间的一些结论， [2] 中给出了以调和函数φ为符号的Toeplitz算子的一些性质的结论， [3] 研究了正定性的一些结论，本文主要根据 [4] [5] 给出的大小Hankel算子的一些性质结论为研究前提，结合 [2] 中讨论的以调和函数φ为符号Toeplitz算子来研究以调和函数φ为符号的大Hankel算子的一些性质。

2. 主要结论

本文主要讨论以径向函数为符号的大Hankel算子的一些性质。

定理2.1：设函数 $\phi \in L^2\left(D\right)\cap RF\left(D\right)$ ，函数 $f\left(z\right)={\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{f}_k{z}^k+}{\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }\widetilde{f_k}{\bar{z}}^k}\in H^{\infty }+\overline{H^{\infty }}$ 。 $0<\left|w\right|=r<1$ ，令 ${\phi }_k=\left(k+1\right){\displaystyle {\int }_D\phi r^{2k}\text{d}A\left(w\right)}$ ，则有 ${\Gamma }_{\phi }f\left(z\right)={\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{\phi }_k\widetilde{f_k}{z}^k}+{\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{\phi }_k{f}_k{\bar{z}}^k}$ 。

证明：显然 ${\Gamma }_{\phi }f\in L^2$

$\begin{array}{c}{\Gamma }_{\phi }f\left(z\right)=Q{M}_{\phi }\left(Uf\right)\\ ={\displaystyle {\int }_D{M}_{\phi }\left(Uf\left(w\right)\right)R\left(z,w\right)\text{d}A\left(w\right)}\\ ={\displaystyle {\int }_D\phi \left(w\right)f\left(\bar{w}\right)\left(K_z\left(w\right)+\overline{K_z\left(w\right)}-1\right)\text{d}A\left(w\right)}\\ ={\displaystyle {\int }_D\phi \left(w\right)f\left(\bar{w}\right)K_z\left(w\right)\text{d}A\left(w\right)}+{\displaystyle {\int }_D\phi \left(w\right)f\left(\bar{w}\right)\overline{K_z\left(w\right)}\text{d}A\left(w\right)}\\ -{\displaystyle {\int }_D\phi \left(w\right)f\left(\bar{w}\right)\text{d}A(w)}\end{array}$

因为 $\phi \left(\omega \right)$ 为径向函数，故当 $n\ne k$ 时， ${\displaystyle {\int }_D\phi \left(w\right)w^{n-k}\text{d}A\left(w\right)}=0$ 。

又因为 $K\left(z,w\right)={\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{z}^k{\bar{w}}^k\left(k+1\right)}$ ， $f\left(\bar{z}\right)={\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{f}_k{\bar{z}}^k+}{\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }\widetilde{f_k}{z}^k}$

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_D\phi \left(w\right)f\left(\bar{w}\right)K_z\left(w\right)\text{d}A\left(w\right)}\\ ={\displaystyle {\int }_D\phi \left(w\right)f\left(\bar{w}\right)}\left({\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }\left(k+1\right)z^k{\bar{w}}^k}\right)\text{d}A\left(w\right)\\ ={\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{z}^k}{\displaystyle {\int }_D\phi \left(w\right){\bar{w}}^k\left(k+1\right)\left({\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{f}_k{\bar{w}}^k}+{\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }\widetilde{f_k}{w}^k}\right)\text{d}A\left(w\right)}\\ ={\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{z}^k}{\displaystyle {\int }_D\left[\phi \left(w\right)\left(k+1\right){\bar{w}}^k{\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{f}_k{\bar{w}}^k}+\phi \left(w\right)\left(k+1\right){\bar{w}}^k{\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }\widetilde{f_k}{w}^k}\right]\text{d}A\left(w\right)}\\ ={\phi }_0{f}_0+{\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{\phi }_k\widetilde{f_k}{z}^k}\end{array}$

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_D\phi \left(w\right)f\left(\bar{w}\right)\overline{K_z\left(w\right)}\text{d}A\left(w\right)}\\ ={\displaystyle {\int }_D\phi \left(w\right)f\left(\bar{w}\right)\left({\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }\left(k+1\right){\bar{z}}^k{w}^k}\right)\text{d}A\left(w\right)}\\ ={\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{z}^k}{\displaystyle {\int }_D\phi \left(w\right)w^k\left(k+1\right)}\left({\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{f}_k{\bar{w}}^k}+{\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }\widetilde{f_k}{w}^k}\right)\text{d}A\left(w\right)\\ ={\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{z}^k}{\displaystyle {\int }_D\left[\phi \left(w\right)\left(k+1\right)w^k{\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{f}_k{\bar{w}}^k}+\phi \left(w\right)\left(k+1\right){\bar{w}}^k{\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }\widetilde{f_k}{w}^k}\right]\text{d}A\left(w\right)}\\ ={\phi }_0\widetilde{f_k}+{\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{\phi }_k}{f}_k{\bar{z}}^k\end{array}$

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_D\phi \left(w\right)f\left(\bar{w}\right)\overline{K_z\left(w\right)}\text{d}A\left(w\right)}\\ ={\displaystyle {\int }_D\phi \left(w\right)}\left({\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{f}_k{\bar{w}}^k+}{\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }\widetilde{f_k}{w}^k}\right)\text{d}A\left(w\right)={\phi }_0{f}_0+{\phi }_0\widetilde{f_0}\end{array}$

因此得到 ${\Gamma }_{\phi }f\left(z\right)={\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{\phi }_k\widetilde{f_k}{z}^k}+{\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{\phi }_k{f}_k{\bar{z}}^k}$ 。

引理2.1 [1] ：设 $e_k=z^k\sqrt{k+1}$ ， $\widetilde{e_n}=z^n\sqrt{n+1}$ ， $k\in Z$ ， $k\ge 0$ ； $n\in Z$ ， $n\ge 0$ ，则为的正规正交基。

2.1. 大Hankel算子的有界性

定理2.2：设函数，则有界当且仅当有界。

证明：先证明必要性：假设为有界线性算子。

由引理2.1我们知，

且，同理，故有即有界。

接下来证明充分性：假设有界，且，由定理2.1

设

则

而

又因为在中稠密，故为有界算子。

2.2. 大Hankel算子的紧性

定理2.3：设函数，则有为紧算子当且仅当，。

证明：先证明必要性：假设为紧算子，而正规正交基弱收敛于0，；且弱收敛于0，。因此有。

下面证明充分性：，，有为紧算子。

若有，可以证明。

因为在中稠密，因此存在序列，使

因此，。由定理2.1我们知道

因此，。

故。

对于正整数K，定义上算子，对。

令。

显然为一个有限秩算子，因此为一个紧算子。

而。

而，且，时，故，因此为紧算子。

2.3. 大Hankel算子的正定性

定理2.4：设函数，则为正定的当且仅当为正项数列，即，都有。

证明：先证明必要性：设为正定的，由正定的定义我们知道，对于，我们有；则对于有即则一定有。

下面证明充分性：为正项数列，即，都有；

任意，

故为正定。