1. 引言
一个复杂网络是由一组互相连接的节点组成的,每个节点在不同的研究体系下的意义是不同的。现在,复杂网络的研究已经成为科学界的一个热点,引起了很多领域的科学家的关注。随着Internet的发展,复杂网络已经走进了我们的生活,许多自然和人工系统都可以用网络来表达,如神经网络 [1] 、计算机网络 [2] 、万维网 [3] 、社会网络 [4] 等。
时滞在现实生活中十分常见,因而在复杂网络系统中,时滞的影响是不可避免的 [5] [6] 。如病毒的传播,病毒会占用时间,传播的广度和深度会影响网络的拓扑结构和耦合结构。虽然系统引入时滞会变得更复杂,但考虑时滞是十分必要的。近十几年来,许多学者对具有时滞的复杂网络进行了大量的研究,得到了很多优秀的成果。李等 [7] 在已有的复杂网络的模型中引入耦合时滞,对含有耦合时滞的复杂网络的稳定定性进行了研究;徐等 [8] 进一步的对含有耦合时滞的复杂网络进行了研究,并且给出了同步准则。张等 [9] 研究了节点含有时滞的复杂网络稳定性问题。孙等 [10] 在非线性耦合系统中引入节点时滞,考虑了节点时滞对网络稳定性的影响,对其进行了稳定性研究。
人们首先注意到同步是观察两个时钟的同步运动:两个时钟不管从初始位置是什么,一段时间后它们会同步摆动。同步现在被认为是一种集体活动,研究发现许多现实世界中的问题在网络中有着密切的关系 [11] [12] 。例如,因特网同步,哺乳动物大脑中神经元的同步 [13] 。研究网络同步有许多优点,对于一些有害的同步效应,如网络同步,周期性路由信息同步,我们希望这些同步消除。现在,这种非常普遍而又重要的现象引起了许多科学家的关注。萧帆望和关蓉晨 [14] [15] 研究了耦合振荡器的网络同步问题,是一个连续系统的稳定性问题。吴等 [16] 研究了随机有向网络的同步问题。李等 [17] 研究了一类具有时变时滞的复杂网络的局部和全局同步问题。
本文的主要内容安排如下。第1节给出问题的描述及本文用到的预备知识;第2节采用Lyapunov直接法给出了复杂网络实现局部同步的充分条件,并且进行证明;第3节通过一个算例来验证所得结论的有效性;第4节为本文的小结。
2. 预备知识
考虑一个由m个相同时滞节点组成的复杂动态网络,每个节点都是一个n维非自治动力系统。其描如下:
(1)
其中
是第i个节点的状态,
,
表示常时滞,
为网络节点间的耦合矩阵,
表示节点j对节点i的耦合权重
,
表示内连耦合矩阵,
是一个连续可微函数。
首先给出本文所需的一些定义、假设和引理。
假设:对于时滞微分方程
,其中
,
是一个连续函数,则对于任意初始条件
都存在一个唯一的连续解。
定义1: [18] 令
是网络(1)的一个解,其中
。假设
和
是连续的。若存在一个非空子集
和
,使得对所有的
都有
,并且
其中
,则称复杂网络(1)实现了渐进同步,
称为复杂网络同步的同步区域。
定义2: [19] 矩阵
称为属于
类的,若
1)
。
2) A的特征值均具有负实部,除了单特征值0。
定义3: [19] 矩阵
称为属于
类的,若
1)
;
2) A是不可约的。
引理1: [20] 若
,则有
1) 若λ是A的特征值,
,则
。
2) A必有一个单特征值
,且其对应的右特征向量为
。
3) 假设
(不失一般性,假设
)是A对应于特征值0的左特征向量,则对所有的
,均有
。
4) 若
,则对所有的
,当且仅当
成立。
5) 若A是可约的,当且仅当存在某些下标i,有
。此时,经过适当的置换变换,可假设
,其中
满足
,且
满足
,
。则A可分解成
,其中
是不可约的,且
。
3. 主要结果
对于复杂网络(1),假设
,则有:
(2)
邻接矩阵A对应的Laplacian矩阵
定义为
,则(2)可以化为:
(3)
引入记号
,其中
为矩阵L的0特征值对应的左特征向量,满足
。由于
,则
的动态方程可以描述为
(4)
定义误差向量
,利用线性化方法,可得
满足的变分方程:
其中
是函数
在
处的雅克比矩阵。
是函数
在
处的雅克比阵。
记
,则(5)的矩阵形式为
(5)
令矩阵L的Jordan分解为
,其中
是对角阵,
是矩阵L的特征值。令
,则
的变分方程为
(6)
定理1:由于S第一列是A对应特征值0的特征向量,由前面分析可知,因此只需考虑
,
个变分方程。若
,则变分方程
(7)
是渐进稳定的,则复杂网络(1)是局部同步稳定的。
定理2:设L的特征值全为实数,
来记雅克比矩阵
,
来记雅克比矩阵
对于
,都存在正常数
,其中
,使得
(8)
成立,则复杂网络(1)是局部稳定的。
证明:设
,由条件(8)可知,存在
,当
时,有
(9)
对于任意的
,定义Lyapunov泛函
(10)
对
求导得
对充分大的t都成立。进一步,对
成立,必然对
都成立。因此,复杂网络(1)对
都是稳定的,由定理1,可知本定理得证。
4. 算例
在本小节,给出一个具体的算例来验证上一节的主要结论。
考虑一个由50个节点组成的复杂网络,每个节点的时滞
,每个节点的动力学方程可以描述为
(11)
其中
。
假设内部耦合矩阵
,网络是完全联通的。网络的Laplacian矩阵为
矩阵L的特征值为
。
图1~图3描述了复杂网络第i个节点的三个分量
的同步误差
,由图

Figure 1. Synchronization error for the first component xi1 of the i-th node
图1. 第i个节点的第1个分量xi1的同步误差

Figure 2. Synchronization error for the second component xi2 of the i-th node
图2. 第i个节点的第2个分量xi2的同步误差

Figure 3. Synchronization error for the third component xi3 of the i-th node
图3. 第i个节点的第3个分量xi3的同步误差
可知所有的同步误差均能快速的收敛到0,从而可以得到复杂网络(11)最终会随时间趋于同步。
5. 结论
本文研究了具有节点时滞的复杂网络的局部同步。首先,采用Lyapunov直接法给出了保证复杂网络局部同步的充分条件;其次,通过一个具体的算例说明了这种方法的有效性。具有节点时滞的复杂网络的同步问题的研究仍然具有很大的挑战性,下一步,我们将对具有节点时滞的时变网络的局部同步问题进行研究。