带限制倒向随机微分方程在停时对策中的应用

Constraint BSDE for Stopping Game

摘要: 本文我们研究了由倒向随机微分方程诱导的非线性g-期望下的Dynkin停时对策问题。在我们的假设之下，我们获得了一组鞍点并由此得出了对策解的存在性。除此之外，我们还讨论了存在限制的情况。我们的结果可以应用到非常一般情形下的美式期权定价问题之中。

Abstract: In this paper, we investigate some kind of Dynkin’s game under n on-linear g-expectation induced by Backward Stochastic Differential Equation (shortly BSDE). Under regular assumptions, a pair of a saddle point is obtained and the existence of the value function follows. The constrained case is also treated in this paper. As an application, we study American game options in very general framework.

1. 简介

Dynkin对策问题一般是如下叙述的。分别定义下价值和上价值函数为

${\underset{\_}{V}}_t:=\text{ess}\underset{\tau \in {\Pi }_t}{\sup }\text{ess}\underset{\sigma \in {\Pi }_t}{\inf }E\left[R_t\left(\tau ,\sigma \right)|{\Gamma }_t\right],$ (1.1)

和

${\bar{V}}_t:=\text{ess}\underset{\tau \in {\Pi }_t}{\inf }\text{ess}\underset{\sigma \in {\Pi }_t}{\sup }E\left[R_t\left(\tau ,\sigma \right)|{\Gamma }_t\right],$ (1.2)

其中 $R_t\left(\tau ,\sigma \right)$ 是满足一定条件的关于停时 $\tau$ 和 $\sigma$ 的一个函数，那么通常是要寻找充分条件使得 ${\bar{V}}_t={\underset{\_}{V}}_t$ 成立.

很容易看出， ${\bar{V}}_t\ge {\underset{\_}{V}}_t$ ，为了得到相反的不等式，我们通常去寻找一对停时 $\left({\tau }_t^{*},{\sigma }_t^{*}\right)$

使得

$E\left[R_t\left(\tau ,{\sigma }_t^{*}\right)|{\Gamma }_t\right]\le E\left[R_t\left({\tau }_t^{*},{\sigma }_t^{*}\right)|{\Gamma }_t\right]\le E\left[R_t\left({\tau }_t^{*},\sigma \right)|{\Gamma }_t\right]$ (1.3)

对任意取值于t和T之间的停时

$\tau$ 和 $\sigma$ 成立。

事实上，如果(1.3)成立，那么由$1.1)和(1.2)的定义有 ${\bar{V}}_t={\underset{\_}{V}}_t$ 。这时V(t)称为Dynkin对策的价值函数。

研究这类问题的方法有很多。首先，停时对策是最优停时问题的推广，因此可以用鞅方法来寻找一组鞍点并由此得到价值函数。这是比较经典的一种方法，详细研究可以参考E. B. Dynkin [1] ，N. V. Krylov [2] 等。其次，因为带下反射的反射倒向随机微分方程(简称RBSDE) 是解决最优停时的有力工具，有些文章比如J. Cvitanic；I. Karatzas [3] ，S. Hamadene；J. -P. Lepeltier [4] 等，便通过对带上下反射的双边反射BSDE的研究来讨论Dynkin对策问题。再次，特殊地，在马尔科夫情形下，A. Bensoussan，A. Friedman [5] 和A. Friedman [6] 则使用分析的方法来解决微分对策问题。他们通过相应的偏微分方程、变分不等式、自由边界问题的研究来讨论对策问题的鞍点和价值函数。当然，仍然还有其它的方法来解决这个问题，比如I. Karatzas [7] 中的依路径方法和I. Karatzas；H. Wang [8] 中的奇异控制方法。

受J. Cvitanic；I. Karatzas [3] 的启发，在本文中，我们研究存在限制条件情形下的停时对策，既用 $g_{\Gamma }$ 期望来计量回报过程。我们分别定义下价值和上价值函数为

${\bar{V}}_t=\text{ess}\underset{\tau \in {\Pi }_t}{\sup }\text{ess}\underset{\sigma \in {\Pi }_t}{\inf }{E}_t^g\left[R\left(\tau ,\sigma \right)\right]$ (1.4)

${\underset{\_}{V}}_t=\text{ess}\underset{\tau \in {\Pi }_t}{\inf }\text{ess}\underset{\sigma \in {\Pi }_t}{\sup }{E}_t^g\left[R\left(\tau ,\sigma \right)\right]$ (1.5)

其中 $R\left(\tau ,\sigma \right)=L\left(\tau \right)1_{\left(\tau \le \sigma \right)}+U\left(\sigma \right)1_{\left(\sigma <\tau \right)}$ ${\Pi }_t$ 为取值于t和 T之间的停时集合，T为终端时刻。在 $L(t)$ 和 $U\left(t\right)$ 满足适当假设的前提下，我们想去寻找一对鞍点 $\left({\tau }_t^{*},{\sigma }_t^{*}\right)$ 使得

$E_t^g\left[R\left(\tau ,{\sigma }_t^{*}\right)\right]\le E_t^g\left[R\left({\tau }_t^{*},{\sigma }_t^{*}\right)\right]\le E_t^g\left[R\left({\tau }_t^{*},\sigma \right)\right]$ (1.6)

对任意 $\tau ,\sigma \in {\Pi }_t$ 成立，因而由(1.4)和(1.5)的定义，相应地价值函数存在。

这个问题看起来和J. Cvitanic；I. Karatzas [3] 中叙述的非常相似，然而它们之间还是由区别的，尽管我们将证明它们的结果看起来也很相似。为了说明我们的问题的意义，我们将在以后指出它们的不同之处，并研究带限制的情形，即我们用 $g_{\Gamma }$ 期望来计量回报过程。

2. 双边反射BSDE及相关结果

给定某个函数 $g:\Omega \times \left[0,T\right]\times R\times R^d\to R$ ，本文中我们始终需要如下条件

$\left|g\left(\omega ,t,x_1,y_1\right)-g\left(\omega ,t,x_2,y_2\right)\right|\le M\left(\left|x_1-x_2\right|+\left|y_1-y_2\right|\right)$ (A1)

对某个M > 0以及任意 $\left(x_1,y_1\right),\left(x_2,y_2\right)$ 成立

$g\left(\cdot ,x,y\right)\in H_T^2\left(R\right),\forall x\in R,y\in R^d$ (A2)

在适当的概率空间中，我们定义双边反射BSDE，详情可参考J. Cvitanic，I. Karatzas [3] 。

定义1 [带上下反射壁的倒向随机微分方程]

设 $\xi$ 为 $L^2\left({\Gamma }_T\right)$ 中的一个随机变量， $g:\Omega \times \left[0,T\right]\times R\times R^d\to R$ 满足条件(A1)和(A2)的 $P\otimes B\left(R\right)\otimes B\left(R^d\right)$ 可测的函数。考虑 $S_1^2$ 中的满足

$L\left(t\right)\le U\left(t\right),\forall 0\le t\le T,L\left(T\right)\le \xi \le U\left(T\right)$ a.s

的连续过程。

我们称 $\Gamma$ 循序可测的三元组 $\left(X,Y,K\right)$ ， $X:\left[0,T\right]\times \Omega \to R,Y:\left[0,T\right]\times \Omega \to R^d$ 和 $K:\left[0,T\right]\times \Omega \to R$ 为以 $\xi$ 为终端，系数为g，以 $U,L$ (分别从上和从下方反射)为反射壁的BSDE 的解，如果下式成立

i) $K=K^{+}-K^{-},K^{\pm }\in S_1^2$

ii) $Y\in H_d^2$

并且

$X\left(t\right)=\xi +{\displaystyle {\int }_t^{T}g\left(s,X\left(s\right),Y\left(s\right)\right)\text{d}s}+K^{+}\left(T\right)-K^{+}\left(t\right)-\left[K^{-}\left(T\right)-K^{-}\left(t\right)\right]-{\displaystyle {\int }_t^T{Y}^{\prime }\left(s\right)\text{d}W\left(s\right)}$ (2.1)

$L\left(t\right)\le X\left(t\right)\le U\left(t\right)$ (2.2)

${\displaystyle {\int }_0^T\left(X\left(t\right)-L\left(t\right)\right)\text{d}{K}^{+}\left(t\right)}={\displaystyle {\int }_0^T\left(U\left(t\right)-X\left(t\right)\right)\text{d}{K}^{-}\left(t\right)}=0$ (2.3)

对 $0\le t\le T$ 几乎处处成立。

过程 $L,U$ 是一对随机的与时间有关的反射壁，状态过程X在到达终端 $\xi$ 的过程中始终不穿越它们。

J. Cvitanic；I. Karatzas [3] 通过求解停时对策问题，既Dynkin对策问题，来求解这种形式的双边反射BSDE，S. G. Peng and M. Y. Xu [9] 则讨论了反射壁更一般的情形下的双边反射问题。我们仍将在本章中讨论受限的情形下的停时对策问题。

3. 限制情形下的Dynkin对策

在这一节中，我们回顾一些与反射BSDE和Dykin对策问题相关的一些结果。

在J. Cvitanic；I. Karatzas [3] 中，作者证明了如果(X,Y,Z)是反射BSDE的解，那么X(t)和由(1.1)，(1.2)定义的Dynkin对策问题的价值函数相等，其中

$R_t\left(\tau ,\sigma \right)={\displaystyle {\int }_t^{\tau \wedge \sigma }g\left(s,X\left(s\right),Y\left(s\right)\right)\text{d}s}+L\left(\tau \right)1_{\left(\tau <T,\tau \le \sigma \right)}+U\left(\sigma \right)1_{\left(\sigma <\tau \right)}+\xi 1_{\left(\tau \wedge \sigma =T\right)}$ (I)

更一般地，在S. Hamadene，J. -P. Lepeltier [4] 中，作者讨论了以

$R_t\left(\tau ,\sigma \right)=E^{\left(u,v\right)}{\displaystyle {\int }_t^{\tau \wedge \sigma }g\left(s,X\left(s\right),u(\left(s\right),v\left(s\right)\right)\text{d}s}+L\left(\tau \right)1_{\left(\tau <T,\tau \le \sigma \right)}+U\left(\sigma \right)1_{\left(\sigma <\tau \right)}+\xi 1_{\left(\tau \wedge \sigma =T\right)}$ (II)

为支付函数的混合零和微分对策问题。

在本文中，当 $g\left(\omega ,t,x,0\right)=0$ 时，我们可以把 $E_t^g\left[L\left(\tau \right)1_{\left(\tau \le \sigma \right)}+U\left(\sigma \right)1_{\left(\sigma <\tau \right)}\right]$ 展开为

$E\left[{\displaystyle {\int }_t^{\tau \wedge \sigma }g\left(s,X^{\tau ,\sigma }\left(s\right),Y^{\tau ,\sigma }\left(s\right)\right)\text{d}s+L\left(\tau \right)1_{\left(\tau <T,\tau \le \sigma \right)}}+U\left(\sigma \right)1_{\left(\sigma <\tau \right)}+\xi 1_{\left(\tau \wedge \sigma =T\right)}|{\Gamma }_t\right]$ (III)

其中 $\left(X^{\tau ,\sigma }\left(t\right),Y^{\tau ,\sigma }\left(t\right)\right)$ 是以 $\eta =L\left(\tau \right)1_{\left(\tau <T,\tau \le \sigma \right)}+U\left(\sigma \right)1_{\left(\sigma <\tau \right)}+\xi 1_{\left(\tau \wedge \sigma =T\right)}$ 为终端的BSDE的解， $\xi =L\left(T\right)$ 。

上述停时对策问题看起来很相似，但有本质的区别。

从上面(I)，(II)和(III)的表达式中，我们比较容易看出它们积分项中被积函数的区别。

在(I)中， $\left(X\left(s\right),Y\left(s\right)\right)$ 是事先确定的；在(II)中，X(s)只依赖于 $\left(u,v\right)$ ；但是在我们的问题(III)中， $\left(X^{\tau ,\sigma }\left(t\right),Y^{\tau ,\sigma }\left(t\right)\right)$ 依赖于停时 $\left(\tau ,\sigma \right)$

利用反射BSDE和BSDE的比较性质或g-鞅理论，我们可以找到非线性g-期望下的Dynkin对策的一组鞍点。

其中的主要原因是g-期望拥有很多和线性期望一样的性质，我们可以从以后的证明中看出，线性在反射BSDE和Dynkin对策的联系中不是关键的。

按照J. Cvitanic；I. Karatzas [3] 的思路，利用g期望理论，我们可以很容易证明下面在非受限情形下的结果。

定理1 假设 $L\left(t\right),U\left(t\right)\in S_1^2$ 并且 $L\left(t\right)\le U\left(t\right),0\le t\le T$ 。生成元 $g\left(t,x,y\right)$ 满足条件(A1)，(A2)并且 $g\left(t,x,0\right)=0,\forall t,x$ 。假定 $\left(X\left(t\right),Y\left(t\right),K\left(t\right)\right)$ 是以 $L\left(T\right)$ 为终端的反射倒向随机微分方程(2.1)的解，那么由 (1.4)，(1.5)确定的Dynkin对策有一组鞍点 $\left({\tau }_t^{*},{\sigma }_t^{*}\right)$ ，从而价值函数存在。更进一步，这组鞍点为

${\tau }_t^{*}=\inf \left\{s\ge t:L\left(s\right)=X\left(s\right)\right\}\wedge T$ (3.1)

和

${\sigma }_t^{*}=\inf \left\{s\ge t:U\left(s\right)=X\left(s\right)\right\}\wedge T$ (3.2)

并且

$\underset{\_}{V}\left(t\right)=\bar{V}\left(t\right)=X(t)$

证明：我们只要证明(1.6)。

先固定 ${\sigma }_t^{*}$ ，对任意取值于 $\left[t,T\right]$ 的一个停时 $\tau$ ，因为 $L\le X$ 和 $X\left({\sigma }_t^{*}\right)=U\left({\sigma }_t^{*}\right)$ ，

所以我们有

$\begin{array}{c}{E}_t^g\left[R_t\left(\tau ,{\sigma }_t^{*}\right)\right]=E_t^g\left[L\left(\tau \right)1_{\left(\tau \le {\sigma }_t^{*}\right)}+U\left({\sigma }_t^{*}\right)1_{\left({\sigma }_t^{*}<t\right)}\right]\\ \le E_t^g\left[X\left(\tau \right)1_{\left(\tau \le {\sigma }_t^{*}\right)}+U\left({\sigma }_t^{*}\right)1_{\left({\sigma }_t^{*}<t\right)}\right]\\ =E_t^g\left[X\left(\tau \wedge {\sigma }_t^{*}\right)\right]\end{array}$

至此，我们将要证明

$E_t^g\left[X\left(\tau \wedge {\sigma }_t^{*}\right)\right]\le E_t^g\left[X\left({\tau }_t^{*}\wedge {\sigma }_t^{*}\right)\right]$ (3.3)

对任意取值于 $\left[t,T\right]$ 的停时 $\tau$ 成立。

由(2.3)和(3.1)，(3.2)，我们有当 $\tau \le {\tau }_t^{*}$ 时，；当 $\sigma \le {\sigma }_t^{*}$ 时， $A^{-}\left(\sigma \right)=A^{-}\left(t\right)$ 。

因此在集合 $\left(\tau \le {\tau }_t^{*}\right)$ 上，由方程(2.1)，我们有

$X\left(\tau \wedge {\sigma }_t^{*}\right)=X\left({\tau }_t^{*}\wedge {\sigma }_t^{*}\right)+{\displaystyle {\int }_{\tau \wedge {\sigma }_t^{*}}^{{\tau }_t^{*}\wedge {\sigma }_t^{*}}g\left(s,X\left(s\right),Y\left(s\right)\right)\text{d}s}-{\displaystyle {\int }_{\tau \wedge {\sigma }_t^{*}}^{{\tau }_t^{*}\wedge {\sigma }_t^{*}}{Y}^{\prime }\left(s\right)\text{d}W(s)}$

这意味着

$X\left(\tau \wedge {\sigma }_t^{*}\right)=E_{t\wedge {\sigma }_t^{*}}^g\left[X\left({\tau }_t^{*}\wedge {\sigma }_t^{*}\right)\right]$ (3.4)

在另一方面，当 $\tau >{\tau }_t^{*}$ ，类似地，我们有

$\begin{array}{c}X\left({\tau }_t^{*}\wedge {\sigma }_t^{*}\right)=X\left(\tau \wedge {\sigma }_t^{*}\right)+{\displaystyle {\int }_{{\tau }_t^{*}\wedge {\sigma }_t^{*}}^{\tau \wedge {\sigma }_t^{*}}g\left(s,X\left(s\right),Y\left(s\right)\right)\text{d}s}+A^{+}\left(\tau \wedge {\sigma }_t^{*}\right)\\ -A^{+}\left({\tau }_t^{*}\wedge {\sigma }_t^{*}\right)-{\displaystyle {\int }_{{\tau }_t^{*}\wedge {\sigma }_t^{*}}^{\tau \wedge {\sigma }_t^{*}}{Y}^{\prime }\left(s\right)\text{d}W(s)}\end{array}$

由此意味着

$E_{t_t^{*}\wedge {\sigma }_t^{*}}^g\left[X\left(\tau \wedge {\sigma }_t^{*}\right)\right]\le X\left({\tau }_t^{*}\wedge {\sigma }_t^{*}\right)$ (3.5)

在(3.4)和(3.5)中取条件g-期望，由g-解的相容性，参考Shige Peng [10] ，我们得到(3.3)。

现在，我们确定 ${\tau }_t^{*}$ ，对任意取值于 $\left[t,T\right]$ 的停时 $\sigma$ ，我们将证明

$E_t^g\left[X\left({\tau }_t^{*}\wedge {\sigma }_t^{*}\right)\right]\le E_t^g\left[X\left({\tau }_t^{*}\wedge \sigma \right)\right]$ (3.6)

类似地，当 $\sigma \le {\sigma }_t^{*}$ 时，我们有

$X\left({\tau }_t^{*}\wedge \sigma \right)=X\left({\tau }_t^{*}\wedge {\sigma }_t^{*}\right)+{\displaystyle {\int }_{\tau \wedge \sigma }^{{\tau }_t^{*}\wedge {\sigma }_t^{*}}g\left(s,X\left(s\right),Y\left(s\right)\right)\text{d}s}-{\displaystyle {\int }_{\tau \wedge \sigma }^{{\tau }_t^{*}\wedge {\sigma }_t^{*}}{Y}^{\prime }\left(s\right)\text{d}W(s)}$

因此

$X\left({\tau }_t^{*}\wedge \sigma \right)=E_{t_t^{*}\wedge \sigma }^g\left[X\left({\tau }_t^{*}\wedge {\sigma }_t^{*}\right)\right]$ (3.7)

成立。

当 $\sigma >{\sigma }_t^{*}$ 时，(2.1)成为

$\begin{array}{c}X\left({\tau }_t^{*}\wedge {\sigma }_t^{*}\right)=X\left({\tau }_t^{*}\wedge \sigma \right)+{\displaystyle {\int }_{{\tau }_t^{*}\wedge {\sigma }_t^{*}}^{{\tau }_t^{*}\wedge \sigma }g\left(s,X\left(s\right),Y\left(s\right)\right)\text{d}s}\\ -\left(A^{-}\left({\tau }_t^{*}\wedge \sigma \right)-A^{-}(\left({\tau }_t^{*}\wedge {\sigma }_t^{*}\right)\right)-{\displaystyle {\int }_{{\tau }_t^{*}\wedge {\sigma }_t^{*}}^{{\tau }_t^{*}\wedge \sigma }{Y}^{\prime }\left(s\right)\text{d}W(s)}\end{array}$

而这就意味着

$E_{t_t^{*}\wedge {\sigma }_t^{*}}^g\left[X\left({\tau }_t^{*}\wedge \sigma \right)\right]\ge X\left({\tau }_t^{*}\wedge {\sigma }_t^{*}\right)$ (3.8)

在(3.7)和(3.8)中取g-期望，我们有(3.6)证完。

注记1：比较J. Cvitanic；I. Karatzas [3] 中证明4.1的方法和我们证明定理3.1的方法，尽管它们非常类似，但是我们的好处在于直接利用了g-鞅理论，这样方便我们以后处理带限制的情形。

下面我们讨论带限制的情形，也就是我们用带限制的g-期望，既S. G. Peng；M. Y. Xu [9] 中定义的 $g_{\Gamma }$ 期望来计量回报过程。

与没有限制的情形相似，我们分别定义下价值和上价值过程如下

${\bar{V}}_t=\text{ess}\underset{\tau \in {\Pi }_t}{\sup }\text{ess}\underset{\sigma \in {\Pi }_t}{\inf }{E}_t^{g,\varphi }\left[R\left(\tau ,\sigma \right)\right]$ (3.9)

和

${\underset{\_}{V}}_t=\text{ess}\underset{\tau \in {\Pi }_t}{\inf }\text{ess}\underset{\sigma \in {\Pi }_t}{\sup }{E}_t^{g,\varphi }\left[R\left(\tau ,\sigma \right)\right]$ (3.10)

其中 $R\left(\tau ,\sigma \right)=L\left(\tau \right)1_{\left(\tau \le \sigma \right)}+U\left(\sigma \right)1_{\left(\sigma <\tau \right)}$ 。

对任意整数m，令 $g_m=g+m\varphi$ ，我们用 $\left(X^m,Y^m,K^m\right),m=1,2,\cdots$ ，表示分别以U和L为上下反射壁的 $g_m$ 反射BSDE的解。因为 $X^m$ 能由惩罚方法得到，由比较定理， $X^m$ 是一列递增过程。

利用这一列过程，我们得到如下的一列停时

${\tau }_t^{*}\left(m\right)=\inf \left\{s\ge t:L\left(s\right)=X^m\left(s\right)\right\}\wedge T$ (3.11)

和

${\sigma }_t^{*}\left(m\right)=\inf \left\{s\ge t:U\left(s\right)=X^m\left(s\right)\right\}\wedge T$ (3.12)

容易看出 ${\tau }_t^{*}\left(m\right)$ 递增并且递减。

令 $X\left(t\right):=\underset{m\to \infty }{\lim }{X}^m\left(t\right)$ 。为了后面的证明，我们希望 $X\left(t\right)$ 是右连续的，为此我们证明 $X^m\left(t\right)$ 的右连续性。我们有下面引理

引理1 在函数 $g,\varphi$ ，障碍满足和定理1一样的条件下， $X^m\left(t\right),m=1,2,\cdots$ 以及其极限 $X\left(t\right)$ 均为右连续。

证明：事实上，令 $g_m=g+m\varphi$ ， $\left(X^m,Y^m,K^m\right),m=1,2,\cdots$ 是以U和L为上下反射壁的反射BSDE的解，那么由惩罚方法， $X^m\left(t\right)$ 是下列 $X^{n,m}(t)$

$\begin{array}{c}{X}^{n,m}\left(t\right)=\xi +{\displaystyle {\int }_t^T{g}_m\left(s,X^{n,m}\left(s\right),Y^{n,m}\left(s\right)\right)\text{d}s}+n{\displaystyle {\int }_t^T{\left(X^{n,m}\left(s\right)-L\right)}^{-}\text{d}s}\\ -n{\displaystyle {\int }_t^T{\left(X^{n,m}\left(s\right)-U\right)}^{+}\text{d}s}-{\displaystyle {\int }_t^T{Y}^{n,m}\left(s\right)\text{d}W(s)}\end{array}$

当 $n\to \infty$ 的极限，其中 ${\left(K^m\right)}^{+}$ 和 ${\left(K^m\right)}^{-}$ 分别是 $n{\displaystyle {\int }_t^T{\left(X^{n,m}\left(s\right)-L\right)}^{-}\text{d}s}$ 和 $n{\displaystyle {\int }_t^T{\left(X^{n,m}\left(s\right)-L\right)}^{-}\text{d}s}$

那么由S. G. Peng，M. Y. Xu [9] 中的定理A.1或定理3.1， $$ 右连续从而 $X\left(t\right)$ 右连续。

在以上结果的基础上，我们得到下面带限制的Dynkin对策的结果。

定理2若g和 $\varphi$ 满足假设(A1)和(A2)， $L\left(t\right)$ 和 $U\left(t\right)$ 是非负连续过程，并且存在 $B>0$ ，使得对 $\forall t\in \left[0,T\right]$ ， $L\left(t\right)\le B,U\left(t\right)\le B$ 。我们考虑由(3.9)和(3.10)定义的下价值和上价值函数的Dynkin对策。如果 $L\left(t\right)$ 关于时间递增，那么由(3.13)定义的一对停时是一组鞍点。

证明：如引理1所证明， $X\left(t\right):=\underset{m\to \infty }{\lim }{X}^m\left(t\right)$ 是右连续的，我们可以定义停时

${\tau }_t^{*}=\inf \left\{s\ge t:L\left(s\right)=X\left(s\right)\right\}\wedge T,{\sigma }_t^{*}=\inf \left\{s\ge t:U\left(s\right)=X\left(s\right)\right\}\wedge T$ (3.13)

并且对任意m， $L\left({\tau }_t^{*}\right)=X\left({\tau }_t^{*}\right),U\left({\sigma }_t^{*}\right)=X\left({\sigma }_t^{*}\right),{\tau }_t^{*}\ge {\tau }_t^{*}\left(m\right),{\sigma }_t^{*}\le {\sigma }_t^{*}\left(m\right)$ ，

对任意 $n\le m$ ，由BSDE的比较定理和在非受限的情形下的定理3.1，我们有

$E_t^{g_n}\left[X^m\left(\tau \wedge {\sigma }_t^{*}\right)\right]\le E_t^{g_m}\left[X^m\left(\tau \wedge {\sigma }_t^{*}\right)\right]\le E_t^{g_m}\left[X^m\left({\tau }_t^{*}\left(m\right)\wedge {\sigma }_t^{*}\left(m\right)\right)\right]=X^m\left(t\right)$ (3.14)

对任意 $\tau$ 和由(3.11)与(3.12)定义的停时 ${\tau }_t^{*}\left(m\right),{\sigma }_t^{*}\left(m\right)$ 成立。

在另一方面，我们有

$X^m\left(t\right)=E_t^{g_m}\left[X^m\left({\tau }_t^{*}\left(m\right)\wedge {\sigma }_t^{*}\left(m\right)\right)\right]\le E_t^{g_m}\left[X^m\left({\tau }_t^{*}\left(m\right)\wedge \sigma \right)\right]\le E_t^{g,\varphi }\left[X^m\left({\tau }_t^{*}\left(m\right)\wedge \sigma \right)\right]$ (3.15)

对任意取值于 $\left[t,T\right]$ 的停时 $\tau$ 成立。

在(3.15)中，我们将要证明

$E_t^{g,\varphi }\left[X^m\left({\tau }_t^{*}\left(m\right)\wedge \sigma \right)\right]\le E_t^{g,\varphi }\left[X^m\left({\tau }_t^{*}\wedge \sigma \right)\right]$ (3.16)

由 ${\tau }_t^{*}\left(m\right),m=1,2,\cdots$ 和 ${\tau }_t^{*}$ 的定义，我们有

$X^m\left({\tau }_t^{*}\left(m\right)\wedge \sigma \right)=L\left({\tau }_t^{*}\left(m\right)\right)1_{\left({\tau }_t^{*}\left(m\right)\le \sigma \right)}+X^m\left(\sigma \right)1_{(\sigma <{\tau }_t^{*}(m))}$

和

$X\left({\tau }_t^{*}\wedge \sigma \right)=L\left({\tau }_t^{*}\right)1_{\left({\tau }_t^{*}\le \sigma \right)}+X\left(\sigma \right)1_{\left(\sigma <{\tau }_t^{*}\right)}$

因此由 $L\left(t\right)$ 关于时间的单调性，我们得

i) 当 $\sigma <{\tau }_t^{*}\left(m\right)\le {\tau }_t^{*}$ 时

$X^m\left({\tau }_t^{*}\left(m\right)\wedge \sigma \right)=X^m\left(\sigma \right)=X^m\left({\tau }_t^{*}\wedge \sigma \right)\le X\left({\tau }_t^{*}\wedge \sigma \right)$

ii) 当 ${\tau }_t^{*}\left(m\right)\le \sigma <{\tau }_t^{*}$ 时

$X^m\left({\tau }_t^{*}\left(m\right)\wedge \sigma \right)=X^m\left({\tau }_t^{*}\left(m\right)\right)=L^m\left({\tau }_t^{*}\left(m\right)\right)\le L\left(\sigma \right)\le X\left(\sigma \right)=X\left({\tau }_t^{*}\wedge \sigma \right)$

iii) 当时

$X^m\left({\tau }_t^{*}\left(m\right)\wedge \sigma \right)=X^m\left({\tau }_t^{*}\left(m\right)\right)=L^m\left({\tau }_t^{*}\left(m\right)\right)\le L\left({\tau }_t^{*}\right)\le X\left({\tau }_t^{*}\right)=X\left({\tau }_t^{*}\wedge \sigma \right)$

首先我们在(3.14)和(3.15)中取 $m\to \infty$ 时的极限，由(3.16)和 $g_{\Gamma }$ -解的比较定理，我们有

$E_t^{g_n}\left[X\left(\tau \wedge {\sigma }_t^{*}\right)\right]\le X\left(t\right)$ (3.17)

和

$X\left(t\right)\le E_t^{g,\varphi }\left[X\left({\tau }_t^{*}\wedge \sigma \right)\right]$ (3.18)

然后，我们在(3.17)中取 $n\to \infty$ 时的极限。由惩罚方法， $g_{\Gamma }$ -期望由一列单增的 $g_n$ -期望取极限而得，我们有

$E_t^{g,\varphi }\left[X\left(\tau \wedge {\sigma }_t^{*}\right)\right]\le X\left(t\right)$ (3.19)

把(3.18)和(3.19)放在一起，注意到

$R\left(\tau \wedge {\sigma }_t^{*}\right)=L\left(\tau \right)1_{\left(\tau \le {\sigma }_t^{*}\right)}+U\left({\sigma }_t^{*}\right)1_{\left({\sigma }_t^{*}<\tau \right)}\le X\left(\tau \wedge {\sigma }_t^{*}\right)$

和

$R\left({\tau }_t^{*}\wedge \sigma \right)=L\left({\tau }_t^{*}\right)1_{\left({\tau }_t^{*}\le \sigma \right)}+U\left(\sigma \right)1_{\left(\sigma <{\tau }_t^{*}\right)}\le X\left({\tau }_t^{*}\wedge \sigma \right)$

那么由 $g_{\Gamma }$ -期望的比较性质，我们知道Dynkin对策(3.9)和(3.10)有价值函数 $X\left(t\right)$ 。

更进一步，我们容易看出 $\left({\tau }_t^{*},{\sigma }_t^{*}\right)$ 是一组鞍点，既如果我们分别在(3.18)和(3.19)令 $\tau ={\tau }_t^{*},\sigma ={\sigma }_t^{*}$ ，则有

$E_t^{g,\varphi }\left[R\left({\tau }_t^{*}\wedge {\sigma }_t^{*}\right)\right]=E_t^{g,\varphi }\left[X\left({\tau }_t^{*}\wedge {\sigma }_t^{*}\right)\right]=X\left(t\right)$ (3.20)

证完。

注记 2注意到当 $g\left(t,x,0\right)=0$ 和 $\varphi \left(t,x,0\right)=0$ 时，那么 $g_{\Gamma }$ -解在 $L_T^{\infty }\left(P\right)$ 上有定义。

事实上，对任意 $\xi \in L_T^{\infty }\left(P\right)$ ，假设 $\xi \le D,a.s$ 对某个实数 $D$ 成立，那么 $(X\left(t\right),Y\left(t\right),C(t))$

是满足限制条件 $\varphi \left(X\left(t\right),Y\left(t\right)\right)=0,a.s,a.e$ 和终端条件 $X\left(T\right)=\xi$ 的g-上解，其中

$X\left(t\right)=\{\begin{array}{l}D0\le t<T;\\ \xi t=T.\end{array}$

$Y\left(t\right)=0$ 以及

$C\left(t\right)=(\begin{array}{l}00\le t<T;\\ D-\xi t=T.\end{array}$

因此最小g-上解存在。

基金项目

重庆市教育委员会科研基金KJ1400922。