二阶半正微分方程三点边值问题的正解

Positive Solution for Second-Order Singular Semipositone Differential Equations Three-Point Boundary Value Problems

摘要: 利用锥拉伸与压缩不动点定理讨论了一类奇异半正二阶微分方程的三点边值问题，得到了正解存在的一个充分条件，并且给出了正解存在的范围。

Abstract: Using the Krasnoselskii’s fixed point theorem on compression and expansion of cone, this paper investigates a class of second-order singular semipositone differential equations with three-point boundary value problems; a sufficient and the existent range of positive solutions are given.

1. 引言

非线性微分方程奇异边值问题是一个十分重要的研究领城，有关方程正解存在的结论已经有很多，这些研究中非线性项非负的情况比较多(文 [1] [2] [3] )，近期对非线性项半正的研究也活跃起来，文 [4] [5] 要求非线性项有下累，文 [6] [7] 则允许非线性项后加一项可负项，但对附加项又增加了一定限制，本文等虑下面二阶奇异半正三边问题：

$\{\begin{array}{l}-u^{″}+k^{2}u=f\left(t,u\right),0<t<1,\\ u\left(0\right)=\beta u\left(\eta \right),u\left(1\right)=0,\end{array}$ (1)

其中非线性项 $f\left(t,u\right)$ 在 $t=0,1$ 可以是奇异的， $\eta \in \left(0,1\right),\beta >0$ 。

本文的研究与已知文献比较，方程形式不同于文 [1] - [7] ，并且为三点边值问题，还放宽了对非线性项 $f\left(t,u\right)$ 的限制，扩大了适应条件的函数类，最后给出了正解的存在范围。

记 $I=\left[0,1\right],J=\left[0,1\right],R^{+}=\left(0,+\infty \right]$ ，一个函数 $u\left(t\right)\in P{C}^1\left(I,R\right)\cap C^2\left(J^1,R\right)$ 称为方程(1)的解，是指满足方程(1)的各项条件，若 $u\left(t\right)$ 在J上恒正，则称为正解。

2. 预备知识

设 $K\left(t,s\right)$ 是 $-u^{″}+k^{2}u=f\left(t,u\right),u\left(0\right)=\beta u\left(\eta \right),u\left(1\right)=0$ 格林函数， $G\left(t,s\right)-u^{″}+k^{2}u=f\left(t,u\right)$ ， $u\left(0\right)=\beta u\left(\eta \right),u\left(1\right)=0$ 的格林函数，则 $\sinh \left(k\right)\ne \sinh \left(k\left(1-\eta \right)\right)$ 时，

$K\left(t,s\right)=G\left(t,s\right)+\frac{\sinh \left(k\left(1-t\right)\right)}{\sinh \left(k\right)-\beta \sinh \left(k\left(1-\eta \right)\right)}\beta G\left(\eta ,s\right)$ 。 (2)

二阶半正微分方程三点边值问题的正解

$G\left(t,s\right)=\{\begin{array}{l}\frac{\sinh \left(ks\right)\sinh \left(k\left(1-t\right)\right)}{\sinh \left(k\right)k},0<s\le t,\\ \frac{\sinh \left(kt\right)\sinh \left(k\left(1-s\right)\right)}{\sinh \left(k\right)k},t\le s\le 1,\end{array}$ (3)

引理1： $G\left(t,s\right),K\left(t,s\right)$ 具有以下性质：

i) $\frac{k}{\sinh \left(k\right)}t\left(1-t\right)\le G\left(t,t\right)\le \frac{\sinh \left(k\right)}{k}t\left(1-t\right)\le \frac{\sinh \left(k\right)}{k}$ ；

ii) $\frac{k}{\sinh \left(k\right)}G\left(t,t\right)\le G\left(s,s\right)\le G\left(t,s\right)\le G\left(t,t\right)$ ；

iii)当 $\sinh \left(k\right)-\beta \sinh \left(k\left(1-\eta \right)\right)>0$ 时 $mt\left(1-t\right)s\left(1-s\right)\le K\left(t,s\right)\le Ms\left(1-s\right)$ 。这里 $M=\left(\frac{\sinh \left(k\right)\left(1+\beta \right)-\beta \sinh \left(k\left(1-\eta \right)\right)}{\sinh \left(k\right)-\beta \sinh \left(k\left(1-\eta \right)\right)}\right)\frac{\sinh \left(k\right)}{k},m=\frac{k^3}{\sinh {\left(k\right)}^3}$ ；

iv) 当 $\sinh \left(k\right)-\beta \sinh \left(k\left(1-\eta \right)\right)>0$ 时， $M_1\left(1-t\right)G\left(s,s\right)\le K\left(t,s\right)\le M_2\left(1-t\right)$ ，其中 $M_1=\frac{\beta k}{\sinh \left(k\right)-\beta \sinh \left(k\left(1-\eta \right)\right)}\frac{k}{\sinh \left(k\right)}G\left(\eta ,\eta \right)$ ， $M_2=\frac{\sinh \left(k\right)}{k}+\frac{\beta \sinh \left(k\right)}{\sinh \left(k\right)-\beta \sinh \left(k\left(1-\eta \right)\right)}G\left(\eta ,\eta \right)$ 。

证明：令 $H_1\left(t\right)=\sinh \left(k\right)t-\sinh \left(kt\right),H_2\left(t\right)=\sinh \left(kt\right)-kt,t\in \left[0,1\right]$ ， $H_1\left(0\right)=H_1\left(1\right)=0$ ， ${H^{″}}_1\left(t\right)=-k^2\sinh \left(kt\right)\le 0,\forall t\in \left[0,1\right]$ ，

因此 $H_1\left(t\right)\ge 0,H_2\left(0\right)=0,{H^{\prime }}_2\left(0\right)=0,{H^{″}}_2\left(t\right)\ge 0,\forall t\in \left[0,1\right]$ 。

于是

$kt\le \sinh \left(kt\right)\le \sinh \left(k\right)t,t\in \left[0,1\right]$ ， (4)

由(3) (4)知i) ii)成立。当 $\sinh \left(k\right)-\beta \sinh \left(k\left(1-\eta \right)\right)>0$ 时，再由(2)得

$K\left(t,s\right)\ge G\left(t,s\right)\ge \frac{\sinh \left(k\right)}{k}G\left(s,s\right)\ge \frac{k^3}{\sinh {\left(k\right)}^3}t\left(1-t\right)s\left(1-s\right)$

$\begin{array}{c}K\left(t,s\right)\le G\left(s,s\right)+\frac{\sinh \left(k\left(1-t\right)\right)}{\sinh \left(k\right)-\beta \sinh \left(k\left(1-\eta \right)\right)}\beta G\left(s,s\right)\\ =1+\left(\frac{\sinh \left(k\left(1-t\right)\right)}{\sinh \left(k\right)-\beta \sinh \left(k\left(1-\eta \right)\right)}\beta \right)G\left(s,s\right)\\ \le 1+\left(\frac{\sinh \left(k\right)\beta }{\sinh \left(k\right)-\beta \sinh \left(k\left(1-\eta \right)\right)}\right)\frac{\sinh \left(k\right)}{k}s\left(1-s\right)\\ =Ms\left(1-s\right)\end{array}$

于是iii)成立。

由(2) (4)式及ii)

$K\left(t,s\right)\ge \frac{\beta k}{\sinh \left(k\right)-\beta \sinh \left(k\left(1-\eta \right)\right)}\cdot \frac{k}{\sinh \left(k\right)}G\left(\eta ,\eta \right)G\left(s,s\right)\left(1-t\right)=M_1=\left(1-t\right)G\left(s,s\right)$ $K\left(t,s\right)\le \frac{k}{\sinh \left(k\right)}t\left(1-t\right)+\frac{\beta \sinh \left(k\right)}{\sinh \left(k\right)-\beta \sinh \left(k\left(1-\eta \right)\right)}G\left(\eta ,\eta \right)\left(1-t\right)\le M_2\left(1-t\right)$

于是iv)成立。

由i) iv)可得

$m_{2}t\left(1-t\right)s\left(1-s\right)\le K\left(t,s\right)\le M_2\left(1-t\right)$ (5)

其中， $m_2=M_1\frac{K}{\sinh \left(k\right)}$ 。

为了证明主要结果，还需要下面的引理：

引理2：(范数形式下的锥拉伸不动点定理) (文 [8] )设E是实Banach空间，P是E中的锥， ${\Omega }_1,{\Omega }_2$ 是E中的开集， $\theta \in {\Omega }_1,\overline{{\Omega }_1}\subset {\Omega }_2,A:P\cap \left(\overline{{\Omega }_2}\backslash {\Omega }_1\right)\to P$ 全连续，如果满足条件：

$\Vert Au\Vert \le \Vert u\Vert ,\forall u\in P\cap \theta {\Omega }_1\Vert Au\Vert \ge \Vert u\Vert ,\forall u\in P\cap \theta {\Omega }_2$

那么A在 $P\cap \left(\overline{{\Omega }_2}\backslash {\Omega }_1\right)$ 中必有不动点。

设 $E=C\left[0,1\right],\Vert u\Vert =\underset{t\in \left[0,1\right]}{\max }\left|u\left(t\right)\right|$ ， $P=\left\{u|u\left(t\right)\ge 0,u\in E\right\}$ ， $Q=\left\{u|u\in P,u\left(t\right)\ge \epsilon \Vert u\Vert e\left(t\right),t\in I\right\}$ 。

其中 $e\left(t\right)=1-t,\epsilon =\frac{m_2}{M}\cdot m_2$ ，M如引理1所述。显然Q是E中的锥， $\left(E,Q\right)$ 构成Banach空间。

3. 主要结果及证明

本文给出以下假设

(H1) 存在函数 $p,q\in C\left(J,R^{+}\right),h\in C\left(R^{+},R^{+}\right),g\left(t,u\right)\in C\left(J\times R^{+},R^{+}\right)$ 使得

$g\left(t,u\right)-q\left(t\right)\le f\left(t,u\right)\le p\left(t\right)h\left(u\right),\forall t\in J,u\in R^{+}$ 。

(H2) 存在闭区间 $\left[a,b\right]\subset I$ ,使得 $\underset{u\to +\infty }{\lim }\frac{g\left(t,u\right)}{u}=+\infty$ 在 $\left[a,b\right]$ 上一致成立。

(H3) 存在 $r>0$ ，使得下面两个式子成立：

$0<{\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}q\left(s\right)\text{d}s}<\frac{\epsilon r}{M_2}$ (6)

$0<{\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}p\left(s\right)+q\left(s\right)\text{d}s}<\frac{r}{M\underset{0\le \tau \le t}{\max }\left\{h\left(\tau \right),1\right\}}$ 。 (7)

其中 $M,\epsilon$ 如上所述。令 $e\left[a,b\right]=\min \{e\left(a\right),e\left(b\right)\}$ ，由 $e\left(t\right)$ 的表达式知道

$e\left(t\right)\ge e\left[a,b\right]>0,t\in \left[a,b\right]$ ，(8)

令

$x_0\left(t\right)={\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}K\left(t,s\right)q\left(s\right)\text{d}s},t\in I$ 。 (9)

由引理1及可知

$0\le x_0\left(t\right)\le {\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}Ms\left(1-s\right)q\left(s\right)\text{d}s}\le {\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}Mq\left(s\right)\text{d}s},t\in I$ ， (10)

于是 $x_0\in P$ ，并且满足

$\{\begin{array}{l}-{x^{″}}_0+k^2{x}_0=q\left(t\right),0<t<1,\\ x_0\left(0\right)=\beta x_0\left(\eta \right),x_0\left(1\right)=0.\end{array}$ (11)

定理1：设(H1)~(H3)满足，当 $\sinh \left(k\right)-\beta \sinh \left(k\left(1-\eta \right)\right)>0$ 时方程(1)至少存在一个正解 $\omega \left(t\right)$ 且存在常数 $M_4>M_3>0$ ，使得

$M_{3}e\left(t\right)\le \omega \left(t\right)\le M_{4}e\left(t\right),t\in I$ 。 (12)

证明：对任意 $k\in E$ ，记

${\left[k\left(t\right)\right]}_{+}=\{\begin{array}{l}kt,k\left(t\right)\ge 0,\\ 0,k\left(t\right)\le 0.\end{array}$

定义算子A如下：

$Au\left(t\right)={\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}K\left(t,s\right)f\left(s,{\left[u\left(s\right)-x_0\left(s\right)\right]}_{+}\right)+q\left(s\right)\text{d}s},\forall u\left(t\right)\in P$ (13)

对任意 $u\left(t\right)\in P$ ，显然有 ${\left[u\left(s\right)-x_0\left(s\right)\right]}_{+}\le u\left(s\right)\le \Vert u\Vert$ ，由(H1)知道

$\begin{array}{l}f\left(s,{\left[u\left(s\right)-x_0\left(s\right)\right]}_{+}\right)+q\left(s\right)p\left(s\right)h\left({\left[u\left(s\right)-x_0\left(s\right)\right]}_{+}\right)+q\left(s\right)\\ \le \underset{0\le \tau \le \Vert u\Vert }{\max }\left\{h\left(\tau \right),1\right\}\left(p\left(s\right)+q\left(s\right)\right),\forall s\in J\end{array}$ (14)

有引理1及(13) (14) (H1)得到

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}K\left(t,s\right)\left(f\left(s,{\left[u\left(s\right)-x_0\left(s\right)\right]}_{+}+q\left(s\right)\right)\right)\text{d}s}\\ \le M_{2}e\left(t\right)\underset{0\le \tau \le \Vert u\Vert }{\max }\left\{h\left(\tau \right),1\right\}{\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(p\left(s\right)+q\left(s\right)\right)\text{d}s}\\ \le M_2\underset{0\le \tau \le \Vert u\Vert }{\max }\left\{h\left(\tau \right),1\right\}{\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(p\left(s\right)+q\left(s\right)\right)\text{d}s}\le +\infty ,t\in I\end{array}$ (15)

由此得到算子A是良定义的。下面分三步进行：

i) A为映Q到Q的全连续算子

对任意 $u\in Q$ ，令 $y\left(t\right)=Au\left(t\right)$ ，由(H1)知道

$f\left(s,{\left[u\left(s\right)-x_0\left(s\right)\right]}_{+}\right)+q\left(s\right)\ge g\left(s,{\left[u\left(s\right)-x_0\left(s\right)\right]}_{+}\right)\ge 0,s\in J$ 。

由引理1：iii)及(13) (15)得到

$Ay\left(t\right)\le M{\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}s\left(1-s\right)\left(f\left(s,{\left[u\left(s\right)-x_0\left(s\right)\right]}_{+}\right)+q\left(s\right)\right)\text{d}s}$

于是

$\Vert y\Vert \le M{\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}s\left(1-s\right)\left(f\left(s,{\left[u\left(s\right)-x_0\left(s\right)\right]}_{+}\right)+q\left(s\right)\right)\text{d}s}$

结合引理1中的(5)式得到

$y\left(t\right)\ge {\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}{m}_{2}e\left(t\right)s\left(1-s\right)\left(f\left(s,{\left[u\left(s\right)-x_0\left(s\right)\right]}_{+}\right)+q\left(s\right)\right)\text{d}s\ge }\frac{m_2}{M}\Vert y\Vert e\left(t\right)=\epsilon \Vert y\Vert e(t)$

所以A映Q到Q。

设 $D\subset Q$ 是有界集，于是存在常数 $L_1>0$ ，使得 $\forall u\in D,\Vert u\Vert \le L_1$ ，且

${\left[u\left(s\right)-x_0\left(s\right)\right]}_{+}\le u\left(s\right)\le L_1$

由(13)及(H1)知

$\Vert Au\Vert \le M\underset{0\le \tau \le \Vert u\Vert }{\max }\left\{h\left(\tau \right),1\right\}{\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}s\left(1-s\right)\left(p\left(s\right)+q\left(s\right)\right)\text{d}s}\le M\underset{0\le \tau \le \Vert u\Vert }{\max }\left\{h\left(\tau \right),1\right\}{\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(p\left(s\right)+q\left(s\right)\right)\text{d}s}<+\infty$ 即A(D)一致有界。

又因为 $K\left(t,s\right)$ 在 $I\times I$ 上连续，从而一致连续，因此， $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0$ ，使得当 $t_1,t_2\in I,\left|t_1-t_2\right|<\delta$ 时，对任意有

$\left|K\left(t_1,s\right)-K\left(t_2,s\right)\right|<\epsilon {\left(\underset{0\le \tau \le \Vert u\Vert }{\max }\left\{h\left(\tau \right),1\right\}{\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(p\left(s\right)+q\left(s\right)\right)\text{d}s}\right)}^{-1}$

从而对任意 $u\in D$ ，结合上式及(14)式有

$\begin{array}{l}\left|Au\left(t_1\right)-Au\left(t_2\right)\right|\\ ={\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|K\left(t_1,s\right)-K\left(t_2,s\right)\right|f\left(s,{\left[u\left(s\right)-x_0\left(s\right)\right]}_{+}\right)+q\left(s\right)\text{d}s}\\ \le \underset{0\le \tau \le \Vert u\Vert }{\max }\left\{h\left(\tau \right),1\right\}{\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|K\left(t_1,s\right)-K\left(t_2,s\right)\right|\left(p\left(s\right)+q\left(s\right)\right)\text{d}s}<\epsilon \end{array}$

所以AD是等度连续的，由Arzela-Ascoli定理知AD是相对紧集。

$u_n,u_0\in Q,u_n\to u_0\left(n\to +\infty \right)$ ，则 $\left\{u_n\right\}$ 有界。令 $L_2=\sup \left\{\Vert u_n\Vert ,n=0,1,2,\cdots \right\}$ ，则

由(14)式有

$\begin{array}{l}f\left(s,{\left[u_n\left(s\right)-x_0\left(s\right)\right]}_{+}\right)+q\left(s\right)\\ \le \underset{0\le \tau \le \Vert u\Vert }{\max }\left\{h\left(\tau \right),1\right\}\left(p\left(s\right)+q\left(s\right)\right),n=0,1,2,\cdots \end{array}$ (16)

由算子A的定义得到

$\begin{array}{l}\left|A{u}_n\left(t\right)-A{u}_0\left(t\right)\right|\\ \le M{\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}s\left(1-s\right)\left|\left(f\left(s,{\left[u_n\left(t\right)-x_0\left(t\right)\right]}_{+}\right)-f\left(s,{\left[u_0\left(t\right)-x_0\left(t\right)\right]}_{+}\right)\right)\right|\text{d}s}\\ \le M{\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|\left(f\left(s,{\left[u_n\left(t\right)-x_0\left(t\right)\right]}_{+}\right)-f\left(s,{\left[u_0\left(t\right)-x_0\left(t\right)\right]}_{+}\right)\right)\right|\text{d}s},n=0,1,2,\cdots \end{array}$ (17)

由(16)(17)(H3)及 $f\left(t,u\right)$ 的连续性和Lebsgue控制收敛定理知A是连续的，

因此 $A:Q\to Q$ 是全连续算子。

ii) 算子A在Q中有不动点

对(H3)中所述的r，令 ${\Omega }_r=\left\{u\in E|\Vert u\Vert <r\right\}$ 。

$\forall x\in \partial {\Omega }_r\cap Q$ ，由(14)式得到

$\begin{array}{l}Ax\left(t\right)={\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}K\left(t,s\right)f\left(s,{\left[x\left(s\right)-x_0\left(s\right)\right]}_{+}\right)+q\left(s\right)\text{d}s}\\ \le \underset{0\le \tau \le \Vert u\Vert }{M\max }\left\{h\left(\tau \right),1\right\}{\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(p\left(s\right)+q\left(s\right)\right)\text{d}s}\end{array}$

由(7)式得到

$\Vert Ax\Vert \le r=\Vert x\Vert ,\forall x\in \partial {\Omega }_r\cap Q$ 。(18)

由条件(H3)中(6)知存在充分大的自然数 $m_0$ ，使得

${\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}q\left(s\right)\text{d}s}<\frac{m_0}{m_0+1}\frac{\epsilon r}{M_2}$ (19)

取 $L>\left(m_0+1\right){\left(\epsilon e\left[a,b\right]\underset{t\in I}{\max }{\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}K\left(t,s\right)\text{d}s}\right)}^{-1}$

由(H2)知存在常数 $R_1>r$ ，使

$g\left(t,u\right)\ge Lu,\forall t\in \left[a,b\right],u\ge R_1$ (20)

取

$R>\max \left\{r,\frac{\left(m_0+1\right)R_1}{\epsilon e\left[a,b\right]}\right\}$ (21)

下证

$\Vert Ay\Vert \ge \Vert y\Vert ,\forall y\in \partial {\Omega }_R\cap Q$ (22)

$\forall y\in \partial {\Omega }_R\cap Q$ ，有 $y\left(t\right)\ge \epsilon \Vert y\Vert e\left(t\right)$ 。于是由(8) (19)式得到

$\begin{array}{c}{x}_0\left(t\right)\le M_{2}e\left(t\right){\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}q\left(s\right)\text{d}s}=\epsilon \Vert y\Vert e\left(t\right)\frac{M_2}{\epsilon \Vert y\Vert }{\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}q\left(s\right)\text{d}s}\\ \le \frac{M_{2}y\left(t\right)}{\epsilon R}{\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}q\left(s\right)\text{d}s}\le \frac{m_0}{m_0+1}y\left(t\right),t\in I\end{array}$ (23)

结合(8) (21) (23)式有

$\begin{array}{c}y\left(t\right)-x_0\left(t\right)\ge \left(1-\frac{m_0}{m_0+1}\right)y\left(t\right)\ge \frac{\epsilon }{m_0+1}\Vert y\Vert e\left(t\right)\\ \ge \frac{\epsilon R}{m_0+1}e\left[a,b\right]\ge R_1,t\in \left[a,b\right]\end{array}$ (24)

由条件(H1) (20) (24)式及L的取法得到

$\begin{array}{c}Ay\left(t\right)\ge {\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}K(t,s)g\left(s,{\left[y\left(s\right)-x_0\left(s\right)\right]}_{+}\right)\text{d}s}\\ \ge {\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}K\left(t,s\right)g\left(s,\left[y\left(s\right)-x_0\left(s\right)\right]\right)\text{d}s}\\ \ge {\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}K\left(t,s\right)L\left(\left[y\left(s\right)-x_0\left(s\right)\right]\right)}\\ \ge \frac{\epsilon R}{m_0+1}e\left[a,b\right]{\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}K\left(t,s\right)\text{d}s},\forall t\in I\end{array}$

于是(22)式成立。

由(18) (22)式及引理1知道A在 $Q\cap \left({\Omega }_R\backslash \overline{{\Omega }_r}\right)$ 上至少有一个不动点 $z_0\left(t\right)$ ，且 $r\le \Vert z_0\Vert \le R$ ，

$z_0\left(t\right)$ 还满足

$z_0\left(t\right)={\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}K\left(t,s\right)\left(f\left(s,{\left[z_0\left(s\right)-x_0\left(s\right)\right]}_{+}+q\left(s\right)\right)\right)\text{d}s}$ (25)

iii) 方程(1)存在正解

由 $\Vert z_0\Vert \ge r$ 及(23)式得到

$z_0\left(t\right)-x_0\left(t\right)\ge \frac{1}{m_0+1}{z}_0\left(t\right)\ge 0$ (26)

结合(25)知道 $z_0\left(t\right)$ 满足

$\{\begin{array}{l}-{z^{″}}_0+k^2{z}_0=f\left(t,z_0\left(t\right)-x_0\left(t\right)\right)+q\left(t\right),0<t<1,\\ z_0\left(0\right)=\beta z_0\left(\eta \right),z_0\left(1\right)=0.\end{array}$ ， (27)

令 $\omega \left(t\right)=z_0\left(t\right)-x_0\left(t\right),t\in I$ ，则由(26)知

$\omega \left(t\right)\ge \frac{1}{m_0+1}{z}_0\left(t\right)\ge \frac{\epsilon r}{m_0+1}e\left(t\right)>0,t\in J$

结合(11) (27)可得

$\{\begin{array}{l}-{{\omega }^{″}}_0+k^2{\omega }_0=f\left(t,\omega \left(t\right)\right)+q\left(t\right),0<t<1,\\ {\omega }_0\left(0\right)=\beta {\omega }_0\left(\eta \right),{\omega }_0\left(1\right)=0.\end{array}$

故 $\omega \left(t\right)$ 是方程(1)的正解。

取 $M_3=\frac{\epsilon r}{m_0+1}$ ，则 $\omega \left(t\right)\ge M_{3}e\left(t\right),t\in I$ 。

由(25)式知道

$z_0\left(t\right)\le M_{2}e\left(t\right){\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(s,{\left[z_0\left(s\right)-x_0\left(s\right)\right]}_{+}+q\left(s\right)\right)\text{d}s}$

由 $\omega \left(t\right)\le z_0\left(t\right)$ 及上式知(12)式成立，其中

$M_4=M_2{\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(s,{\left[z_0\left(s\right)-x_0\left(s\right)\right]}_{+}+q\left(s\right)\right)\text{d}s}$ 。