对偶Orlicz-John椭球的再讨论

Further Discussion of Dual Orlicz-John Ellipsoids

摘要: 作为对偶L_p-John椭球的自然推广，最近Zou和Xiong提出了对偶Orlicz John椭球(也称为Orlicz-Legendre椭球)的概念并研究了它的特征性质。本文运用完全不同的方法重新研究对偶Orlicz John椭球，证明了对偶Orlicz John椭球的存在性、唯一性和特征性质，同时给出了对偶Orlicz John椭球和规范化对偶Orlicz混合体积的一些有趣性质，并建立了规范化的对偶Orlicz混合体积的Orlicz Minkowski不等式。

Abstract: As the natural extension of dual L_p-John ellipsoid, Zou and Xiong recently proposed the concept of dual Orlicz John ellipsoid (also call the Orlicz-Legendre ellipsoid), and studied its characteristic properties. This paper uses the totally different methods to restudy the dual Orlicz-John ellipsoid, and proves the existence, uniqueness and characteristic properties of dual Orlicz-John ellipsoid. Meanwhile, we give some interesting properties of dual Orlicz-John ellipsoid and the normalization of dual Orlicz mixed volume, and establish the Orlicz Minkowski inequality of the standardized dual Orlicz mixed volume.

1. 引言

2005年，Lutwak，Yang和Zhang [1] 三人研究小组发表的一篇杰出的文章表明，对于给定的凸体K，存在着一族L_p-John椭球 $E_{p}K$ ，使得经典的John椭球JK，Petty椭 [2] [3] 球以及最近发现的对偶Legendre椭球 ${\Gamma }_{-2}K$ [4] 都是这一族L_p-John椭球 $E_{p}K$ 的特殊情况( $p=\infty ,p=1$ 和 $p=2$ )。这种把椭球统一起来的关键点是L_p-John椭球 $E_{p}K$ 是给定凸体的L_p-混合体积的极值问题的解 [1]：若K是 ${ℝ}^n$ 中包含原点为其内点的凸体， $0<p\le \infty$ ，在所有原点对称的椭球E中，满足极值问题

$\underset{E}{\max }\left|E\right|$ 限制于 ${\bar{V}}_p\left(K,E\right)\le 1$

的解的唯一椭球 $E_{p}K$ 称之为L_p-John椭球；在所有原点对称的椭球E中，满足极值问题

$\underset{E}{\min }{\bar{V}}_p\left(K,E\right)$ 限制于 $\left|E\right|={\omega }_n$

的解的唯一椭球 ${\bar{E}}_{p}K$ 称之为K的规范化的L_p-John椭球。这里 ${\bar{V}}_p\left(K,E\right)$ 表示K和E的L_p-混合体积 [5]， $\left|K\right|$ 表示K的n维体积， ${\omega }_n$ 表示欧氏单位球 $B_2^n$ 的n维体积。

另一个经典的结果(其根源来自于力学)可以表述如下：对于 ${ℝ}^n$ 中的凸体K，存在唯一的椭球使得这个椭球在每个方向上的运动惯量与K在相应方向上的运动惯量相同。这个椭球称为K的Legendre椭球 ${\Gamma }_{-2}K$ 。Legendre椭球是一个很重要的椭球，它与迷向位置的概念以及著名的截面问题紧密相关。

Yu，Leng和Wu [6] 提出了对偶L_p-John椭球 ${\tilde{E}}_{p}K$ 的概念，证明了经典的Löwner椭球 $\tilde{J}K$ 和Legendre椭球 ${\Gamma }_{2}K$ 都是对偶L_p-John椭球 ${\tilde{E}}_{p}K$ 的特殊情况( $p=\infty$ 和 $p=2$ )。这种把椭球统一起来的关键点是对偶L_p-John椭球 ${\tilde{E}}_{p}K$ 是给定凸体的对偶L_p-混合体积的极值问题的解 [6]：若K是 ${ℝ}^n$ 中包含原点为内点的凸体， $0<p\le \infty$ ，在所有原点对称的椭球E中，满足极值问题

$\underset{E}{\max }{\left(\frac{{\omega }_n}{\left|E\right|}\right)}^{\frac{1}{n}}$ 限制于 ${\bar{V}}_{-p}\left(K,E\right)\le 1$

的解的唯一椭球 ${\tilde{E}}_{p}K$ 称之为K的对偶L_p-John椭球；在所有原点对称的椭球E中，满足极值问题

$\underset{E}{\min }{\bar{V}}_{-p}\left(K,E\right)$ 限制于 $\left|E\right|={\omega }_n$

的解的唯一椭球 ${\overline{\stackrel{˜}{E}}}_{p}K$ 称之为K的规范化的对偶L_p-John椭球。这里 ${\bar{V}}_{-p}\left(K,E\right)$ 表示K和E的对偶调和L_p-混合体积 [7]。

2010年，在两篇具有里程碑意义的文章 [8] [9] 中，Orlicz Brunn-Minkowski理论浮出了水面，这是Brunn-Minkowski理论的延续和发展。在文章中，Lutwak，Yang和Zhang建立了Orlicz Busemann-Petty质心不等式和Orlicz投影不等式。这个理论是基于L_p-类非对称问题的解决基础之上的，L_p-Brunn-Minkowski理论的非对称问题最早是由Lutwak [5] 提出来的，之后由Ludwig [10]，Haberl和Schuster [11] [12] 等人给出了补充和发展。作为L_p-Minkowski问题的延续，偶的Orlicz Minkowski问题也被Haberl [13] 等人解决。虽然Orlicz Brunn-Minkowski理论研究的对象和Brunn-Minkowski理论相比范围扩大了，但我们从Lutwak，Yang和Zhang的工作可以看出，很多基本的性质还是保持了下来，比如仿射等周不等式，这也是我们研究Orlicz Brunn-Minkowski理论的目的所在。可以参考更多文献，如 [4] [14] - [23] 等。

作为L_p-John椭球 $E_{p}K$ 和对偶L_p-John椭球 ${\tilde{E}}_{p}K$ 的自然推广，最近，Du和Xiong [24] [25] 提出了Orlicz John椭球和对偶Orlicz John椭球(他们将后者称为Orlicz-Legendre椭球)的概念，并研究了其相应的特征性质，其结果丰富了Orlicz Brunn-Minkowski理论。文 [26] 也独立地研究了Orlicz John椭球。本文中，我们应用完全不同于文 [25] 的方法重新研究对偶Orlicz John椭球，解决其相应极值问题的存在性，唯一性和其特征表示。

事实上，一个凸体K的对偶Orlicz John椭球也是规范化的对偶Orlicz混合体积的相应极值问题的解。受Gruber和Schuster [27] [28] 工作的启发，我们将应用正定二次型的方法来解决与对偶Orlicz John椭球有关的极值问题的存在性、唯一性和其特征表示。这个方法的大致思路如下：对于 ${ℝ}^n$ 中的线性变换，在正交变换下可看成 ${ℝ}^{\frac{1}{2}n\left(n+1\right)}$ 中的向量，这就把极值问题转化成 ${ℝ}^{\frac{1}{2}n\left(n+1\right)}$ 中相应的锥的子集上的几何问题。于是对于最小位置问题，我们需要找到有公共切点的光滑的凸子集。这个公共切点就是相应的极值问题的解，使得凸集相切的条件就是解的极值特征。

假设函数 $\varphi :\left[0,\infty \right)\to \left[0,\infty \right)$ 是凸的、严格递增的且 $\varphi \left(0\right)=0$ 。这种 $\varphi$ 的集合记为 $\mathcal{C}$ 。我们记 ${\mathcal{K}}^n$ 为 ${ℝ}^n$ 中凸体的集合，并记 ${\mathcal{K}}_o^n$ 为包含原点为其内点的凸体的集合。下面关于两个星体的规范化对偶Orlicz混合体积的概念与已有文献 [22] [29] 的定义有所不同。

定义1.1：定义泛函 ${\bar{V}}_{-\varphi }\left(\cdot ,\cdot \right):{\mathcal{S}}_o^n\times {\mathcal{S}}_o^n\to \left[0,\infty \right)$ 为

${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,L\right)=\inf \left\{\lambda >0:\frac{1}{n\left|K\right|}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }\varphi \left(\frac{{\rho }_K\left(u\right)}{\lambda {\rho }_L\left(u\right)}\right){\rho }_K^n\left(u\right)\text{d}S\left(u\right)\le 1}\right\},$

其中 ${\mathcal{S}}_o^n$ 表示 ${ℝ}^n$ 中所有包含原点为其内点的星体的集合， $K,L\in {\mathcal{S}}_o^n$ ，且 ${\rho }_K(\cdot ),{\rho }_L(\cdot )$ 分别为它们的径向函数。

${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,L\right)$ 可以看作是K和L的规范化的对偶Orlicz混合体积。事实上， ${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,L\right)$ 是K和L的规范化的对偶调和L_p-混合体积的推广。令 $\varphi \left(t\right)={\left|t\right|}^p$ 且 $p\in \left(0,\infty \right)$ ，则规范化的对偶调和L_p-混合体积为

${\bar{V}}_{-p}\left(K,L\right)={\left(\frac{V_{-p}\left(K,L\right)}{\left|K\right|}\right)}^{\frac{1}{p}}={\left(\frac{1}{n\left|K\right|}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }{\left(\frac{{\rho }_K\left(u\right)}{{\rho }_L\left(u\right)}\right)}^p{\rho }_K^n\left(u\right)\text{d}S\left(u\right)}\right)}^{\frac{1}{p}};$

对于 $p=\infty$ ，有

${\bar{V}}_{-\infty }\left(K,L\right)=\underset{u\in S^{n-1}}{\max }\left(\frac{{\rho }_K\left(u\right)}{{\rho }_L\left(u\right)}\right).$

值得指出的是，我们这里对 $\varphi$ 的限制是凸的，也就是说，本文对对偶L_p-John椭球的推广是对于 $1\le p\le \infty$ 这个范围内的。

现在，我们考虑如下优化问题。

优化问题：若 $\varphi \in \mathcal{C}$ 以及 $K\in {\mathcal{K}}_o^n$ 。在所有原点对称的椭球中，找到一个椭球E是下面极值问题的解：

$\underset{E}{\max }{\left(\frac{{\omega }_n}{\left|E\right|}\right)}^{\frac{1}{n}}$ 限制于 ${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E\right)\le 1$ ， ( $S_{-\varphi }$ )

这个满足约束条件的最大化问题的椭球E称之为K的 $S_{-\varphi }$ 解。其对偶问题是：

$\underset{E}{\min }{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E\right)$ 限制于 $\left|E\right|={\omega }_n$ ， ( ${\bar{S}}_{-\varphi }$ )

这个满足约束条件的最小化问题的椭球E称之为K的 ${\bar{S}}_{-\varphi }$ 解。

问题 $S_{-\varphi }$ (或 ${\bar{S}}_{-\varphi }$ )的解的存在性可由Blaschke选择定理得到保证，我们将在第4节给出证明。 $S_{-\varphi }$ 和 ${\bar{S}}_{-\varphi }$ 的解只差一个标量因子，即下面的引理1.1。

引理1.1：设 $K\in {\mathcal{K}}_o^n$ 。若 $E_0$ 是一个关于原点对称的椭球，它是关于K的 $S_{-\varphi }$ 的解，则

${\left(\frac{{\omega }_n}{\left|E_0\right|}\right)}^{\frac{1}{n}}{E}_0$

是一个关于K的 ${\bar{S}}_{-\varphi }$ 的解。反之，若 $E_1$ 是一个关于原点对称的椭球，它是关于K的 ${\bar{S}}_{-\varphi }$ 的解，则

${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E_1\right)E_1$

是一个关于K的 $S_{-\varphi }$ 的解。

引理1.1的证明将在第4节给出。进一步，上面最优化问题的解及解的特征可以表述如下：

定理1.1：若 $\varphi \in \mathcal{C}$ 以及 $K\in {\mathcal{K}}_o^n$ ，那么 $S_{-\varphi }$ 和 ${\bar{S}}_{-\varphi }$ 有唯一解，而且椭球E是 $S_{-\varphi }$ (或者 ${\bar{S}}_{-\varphi }$ )的解当且仅当它满足

${\rho }_{E^{\circ }}^{-2}\left(x\right)=\frac{\beta }{n\left|K\right|{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E\right)}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }{\varphi }^{\prime }}\left(\frac{{\rho }_K\left(u\right)}{{\rho }_E\left(u\right){\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E\right)}\right){\rho }_E\left(u\right){\rho }_K^{n+1}\left(u\right){\langle x,u\rangle }^2\text{d}S\left(u\right),$ (1)

对于所有 $x\in {ℝ}^n$ 和适当的 $\beta >0$ 。其中 $E^{\circ }$ 表示E的极体。

因此，解的存在唯一性允许我们提出如下定义。

定义1.2：若 $\varphi \in \mathcal{C}$ 以及 $K\in {\mathcal{K}}_o^n$ 。在所有关于原点对称的椭球E中，满足下列有约束最大化极值问题

$\underset{E}{\max }{\left(\frac{{\omega }_n}{\left|E\right|}\right)}^{\frac{1}{n}}$ 限制于 ${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E\right)\le 1$

的解的唯一椭球称为K的对偶Orlicz John椭球，且记为 $E_{-\varphi }K$ 。在所有原点对称的椭球E中，满足下列有约束最小化极值问题

$\underset{E}{\min }{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E\right)$ 限制于 $\left|E\right|={\omega }_n$

的解的唯一椭球称为K的规范化的对偶Orlicz John椭球，且记为 ${\bar{E}}_{-\varphi }K$ 。

2. 记号和预备知识

本文在配备了欧氏内积 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 的 ${ℝ}^n$ 中讨论，记 $\left|\cdot \right|$ 为其相应的欧氏范数。用 $B_2^n$ 和 $S^{n-1}$ 分别表示欧氏单位球和单位球面。符号 ${\mathcal{E}}^n$ 专指 ${ℝ}^n$ 中原点对称椭球的集合。按惯例，设 $\text{GL}\left(n\right)$ 表示 ${ℝ}^n$ 中非奇异的线性变换群， $\text{SL}\left(n\right)$ 表示 $\text{GL}\left(n\right)$ 中行列式 $\det \left(T\right)=1$ 的线性变换子群， $\text{O}\left(n\right)$ 表示 ${ℝ}^n$ 中的正交变换群。对于 $T\in \text{GL}\left(n\right)$ ，记 $T^t$ 为T的转置， $T^{-t}$ 为T的转置的逆。如果 $u\in S^{n-1}$ ，则 $u\otimes u$ 为矩阵 $u{u}^t$ ，其定义是 $u\otimes u\left(x\right)=\langle u,x\rangle u$ 对任意 $x\in {ℝ}^n$ 。对于 $n\times n$ 矩阵 $A=\left(a_{ik}\right),B=\left(b_{ik}\right)$ ，其内积 $\langle A,B\rangle$ 定义为 ${\displaystyle \sum a_{ik}{b}_{ik}}$ ，相应的矩阵范数分别为

$\Vert A\Vert ={\left({\displaystyle \sum a_{ik}^2}\right)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\Vert B\Vert ={\left({\displaystyle \sum b_{ik}^2}\right)}^{\frac{1}{2}}$ .

如果 ${ℝ}^n$ 中的凸体K是紧的有非空内部的凸集，则它的支撑函数 $h_K(\cdot ):{ℝ}^n\to \left(0,\infty \right)$ 被定义为：对于任意的 $x\in {ℝ}^n$ ， $h_K(x)=\max \left\{\langle x,y\rangle :y\in K\right\}$ 。两个凸体K和L之间的Hausdorff距离 $\delta$ 被定义为：

$\delta \left(K,L\right)={\left|h_K-h_L\right|}_{\infty }:=\underset{u\in S^{n-1}}{\max }\left|h_K\left(u\right)-h_L\left(u\right)\right|.$

我们记 ${\mathcal{S}}_o^n$ 为 ${ℝ}^n$ 中关于原点的星体的集合。对于 $K\in {\mathcal{S}}_o^n$ ，它的径向函数被定义为：对于任意的 $x\in {ℝ}^n\text{}\left\{o\right\}$ ， ${\rho }_K\left(x\right)=\max \left\{\lambda >0:\lambda x\in K\right\}$ 。 ${ℝ}^n$ 中的星体K和L称为是膨胀的，如果 ${\rho }_K\left(u\right)/{\rho }_L\left(u\right)$ 的值不依赖于 $u\in S^{n-1}$ 。从径向函数的定义立即可得：对于紧的星体 $K,L\subset {ℝ}^n$ ，有

$K\subseteq L\iff {\rho }_K\le {\rho }_L.$ (2)

如果 $T\in \text{GL}\left(n\right)$ ，那么

${\rho }_{TK}\left(x\right)={\rho }_K\left(T^{-1}x\right).$ (3)

显然，如果 $c>0$ ，凸体 $cK=\left\{cx:x\in K\right\}$ 的径向函数为

${\rho }_{cK}(\cdot )=c{\rho }_K(\cdot ).$ (4)

$K,L\in {\mathcal{S}}_o^n$ 的径向距离 $\tilde{\delta }$ 被定义为：

$\tilde{\delta }\left(K,L\right)={\left|{\rho }_K-{\rho }_L\right|}_{\infty }:=\underset{u\in S^{n-1}}{\max }\left|{\rho }_K\left(u\right)-{\rho }_L\left(u\right)\right|.$

设 $K\in {\mathcal{S}}_o^n$ ，定义实数 $R_K$ 和 $r_K$ 为

$R_K=\underset{u\in S^{n-1}}{\max }{\rho }_K\left(u\right),r_K=\underset{u\in S^{n-1}}{\min }{\rho }_K\left(u\right).$

凸体 $K\in {\mathcal{K}}_o^n$ 的Minkowski泛函定义为 ${\Vert x\Vert }_K=\min \left\{t>0:x\in tK\right\}$ 。在这种情况下，有 ${\rho }_K^{-1}\left(x\right)={\Vert x\Vert }_K=h_{K^{\circ }}\left(x\right)$ ，其中 $K^{\circ }$ 是K的极集，其定义为：

$K^{\circ }=\left\{x\in {ℝ}^n:\langle x,y\rangle \le 1,\forall y\in K\right\}.$

容易得到 ${\left(K^{\circ }\right)}^{\circ }=K$ 。且凸体的极具有性质：如果 $K\in {\mathcal{K}}_o^n,T\in \text{GL}\left(n\right)$ ，则 ${\left(TK\right)}^{\circ }=T^{-t}{K}^{\circ }$ 。

给定实数 $p>0$ ，对于星体 $K,L\in {\mathcal{S}}_o^n$ 以及 $\epsilon >0$ ，L_p-调和径向组合 $K{\widetilde{+}}_{-p}\epsilon \cdot L\in {\mathcal{S}}_o^n$ 是一个星体，定义为：

${\rho }_{K{\widetilde{+}}_{-p}\epsilon \cdot L}^{-p}\left(x\right)={\rho }_K^{-p}\left(x\right)+\epsilon {\rho }_L^{-p}\left(x\right),x\in {ℝ}^n\backslash \left\{o\right\}.$ (5)

对偶调和L_p-混合体积由Lutwak引进 [5]，其定义为：

$-\frac{n}{p}{V}_{-p}\left(K,L\right)=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\frac{\left|K{\widetilde{+}}_{-p}\epsilon \cdot L\right|-\left|K\right|}{\epsilon }.$ (6)

由定义(5)式和(6)式，可以得到下列关于星体K和L的对偶调和L_p-混合体积 $V_{-p}\left(K,L\right)$ 的积分表达式 [5] [7]：

$V_{-p}\left(K,L\right)=\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }{\rho }_K^{n+p}\left(u\right){\rho }_L^{-p}\left(u\right)\text{d}S\left(u\right)}.$ (7)

显然，由(7)式可得体积的极坐标公式：

$\left|K\right|=V_{-p}\left(K,K\right)=\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }{\rho }_K^n}\left(u\right)\text{d}S\left(u\right).$ (8)

关于星体K和L的对偶调和L_p-混合体积的Minkowski不等式为：

$V_{-p}\left(K,L\right)\ge {\left|K\right|}^{\frac{n+p}{n}}{\left|L\right|}^{-\frac{p}{n}},$ (9)

等号成立当且仅当K与L互相膨胀。

这一不等式可由Hölder不等式和积分表达式(7)直接得到。特别地，不等式(9)中 $p=1$ 的情形是：

$V_{-1}\left(K,L\right)\ge {\left|K\right|}^{\frac{n+1}{n}}{\left|L\right|}^{-\frac{1}{n}},$ (10)

等号成立当且仅当K与L互相膨胀。

3. ${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,L\right)$ 的基本性质

由于函数 $\varphi$ 在 $\left[0,\infty \right)$ 上是严格递增的，那么函数

$\lambda \mapsto \frac{1}{n\left|K\right|}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }\varphi \left(\frac{{\rho }_K\left(u\right)}{\lambda {\rho }_L\left(u\right)}\right){\rho }_K^n\left(u\right)\text{d}S(u)}$

在 $\left(0,\infty \right)$ 内是严格递减的，且这个函数也是连续的。这样，对于 $K,L\in {\mathcal{S}}_o^n$ ，

${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,L\right)=\lambda \iff \frac{1}{n\left|K\right|}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }\varphi \left(\frac{{\rho }_K\left(u\right)}{\lambda {\rho }_L\left(u\right)}\right){\rho }_K^n\left(u\right)\text{d}S\left(u\right)}=1.$ (11)

而且由 $\varphi$ 的单调性可得，如果 ${\varphi }_1,{\varphi }_2\in \mathcal{C}$ ，则

${\varphi }_1\le {\varphi }_2\Rightarrow {\bar{V}}_{-{\varphi }_1}\left(K,L\right)\le {\bar{V}}_{-{\varphi }_2}\left(K,L\right).$ (12)

由于 $\varphi$ 在 $\left[0,\infty \right)$ 上是严格递增的、凸的且 $\varphi \left(0\right)=0$ ，那么存在实数 $0<c_{\varphi }<\infty$ ，使得 $\varphi \left(c_{\varphi }\right)=1$ 。

引理3.1：若 $\varphi \in \mathcal{C},L_1,L_2\in {\mathcal{S}}_o^n$ ，则

$L_1\subseteq L_2\iff {\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,L_1\right)\ge {\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,L_2\right).$

证明：令 ${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,L_1\right)={\lambda }_1$ 和 ${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,L_2\right)={\lambda }_2$ 。于是由 ${\bar{V}}_{-\varphi }\left(\cdot ,\cdot \right)$ 的定义和(11)式，可得

$\frac{1}{n\left|K\right|}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }\varphi \left(\frac{{\rho }_K\left(u\right)}{\lambda {\rho }_{L_1}\left(u\right)}\right){\rho }_K^n\left(u\right)\text{d}S\left(u\right)}=1,$

以及

$\frac{1}{n\left|K\right|}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }\varphi \left(\frac{{\rho }_K\left(u\right)}{\lambda {\rho }_{L_2}\left(u\right)}\right){\rho }_K^n\left(u\right)\text{d}S\left(u\right)}=1.$

又由(2)式可得

$L_1\subseteq L_2\iff {\rho }_{L_1}\left(u\right)\le {\rho }_{L_2}\left(u\right).$

以上三式结合，并注意到 $\varphi \in \mathcal{C}$ 在 $\left[0,\infty \right)$ 上单调递增，则得

${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,L_1\right)={\lambda }_1\ge {\lambda }_2={\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,L_2\right).$

反之，若 ${\lambda }_1\ge {\lambda }_2$ ，则 $L_1\subseteq L_2$ 显然成立。

接下来，为了建立 ${\bar{V}}_{-\varphi }\left(\cdot ,\cdot \right)$ 的连续性，我们需要对 ${\bar{V}}_{-\varphi }\left(\cdot ,\cdot \right)$ 进行粗略的上下界估计。

引理3.2：若 $\varphi \in \mathcal{C}$ 以及 $K,L\in {\mathcal{S}}_o^n$ ，那么

$\frac{r_K}{c_{\varphi }{R}_K}\le {\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,L\right)\le \frac{R_K}{c_{\varphi }{r}_K}.$

证明：由于 $\varphi \in \mathcal{C}$ ，那么存在实数 $c_{\varphi },0<c_{\varphi }<\infty$ ，使得 $\varphi \left(c_{\varphi }\right)=1$ 。令 ${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,L\right)=\lambda$ 。由(11)式可得

$\frac{1}{n\left|K\right|}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }\varphi \left(\frac{{\rho }_K\left(u\right)}{\lambda {\rho }_L\left(u\right)}\right){\rho }_K^n\left(u\right)\text{d}S\left(u\right)}=1.$

再由 $\varphi$ 的单调性和体积的极坐标公式(8)，得到

$\begin{array}{l}\varphi \left(c_{\varphi }\right)=1=\frac{1}{n\left|K\right|}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }\varphi \left(\frac{{\rho }_K\left(u\right)}{\lambda {\rho }_L\left(u\right)}\right){\rho }_K^n\left(u\right)\text{d}S\left(u\right)}\\ \le \frac{1}{n\left|K\right|}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }\varphi \left(\frac{R_K}{\lambda r_L}\right){\rho }_K^n\left(u\right)\text{d}S\left(u\right)}\\ =\varphi \left(\frac{R_K}{\lambda r_L}\right){\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }\frac{1}{n\left|K\right|}{\rho }_K^n\left(u\right)\text{d}S\left(u\right)}\\ =\varphi \left(\frac{R_K}{\lambda r_L}\right).\end{array}$

这藴含着

${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,L\right)=\lambda \le \frac{R_K}{c_{\varphi }{r}_K}.$

另一方面，我们也可得到类似的下界估计：

${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,L\right)\ge \frac{r_K}{c_{\varphi }{R}_K}.$

引理3.2证毕。

若 $K,L\in {\mathcal{S}}_o^n,c>0$ ，由定义1.1和(4)式，我们容易得到

${\bar{V}}_{-\varphi }\left(cK,L\right)=c{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,L\right)$ (13)

和

${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,cL\right)=c^{-1}{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,L\right).$ (14)

引理3.3：如果 $K_i,L_i\in {\mathcal{S}}_o^n$ ，那么

$K_i\to K\in {\mathcal{S}}_o^n$ 和 $L_i\to L\in {\mathcal{S}}_o^n\Rightarrow {\bar{V}}_{-\varphi }\left(K_i,L_i\right)\to {\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,L\right),$

对于任意 $\varphi \in \mathcal{C}$ 。

假设 ${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K_i,L_i\right)={\lambda }_i$ ，由引理3.2可知

$\frac{r_{K_i}}{c_{\varphi }{R}_{K_i}}\le {\bar{V}}_{-\varphi }\left(K_i,L_i\right)\le \frac{R_{K_i}}{c_{\varphi }{r}_{K_i}}.$

由于 $K_i\to K\in {\mathcal{S}}_o^n$ 以及 $L_i\to L\in {\mathcal{S}}_o^n$ ，那么 $r_{K_i}\to r_K>0,r_{L_i}\to r_L>0$ 以及 $R_{K_i}\to R_K<\infty ,R_{L_i}\to R_L<\infty$ 。结合 $K_i,L_i$ 的紧性，则存在实数 $a,b$ 使得 $0<a\le {\lambda }_i\le b<\infty$ ，对所有的i。

为了证明有界序列 $\left\{{\lambda }_i\right\}$ 收敛到 ${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,L\right)$ ，我们只须证明 $\left\{{\lambda }_i\right\}$ 中任意收敛子列收敛到 ${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,L\right)$ 。不失一般性，设 $\left\{{\lambda }_i\right\}$ 的任一收敛子列仍记为 $\left\{{\lambda }_i\right\}$ 。假设这个子列 ${\lambda }_i\to {\lambda }_0$ 。显然， $0<a\le {\lambda }_0\le b<\infty$ 。令 ${\tilde{K}}_i={\lambda }_i{K}_i$ 和 ${\tilde{L}}_i={\lambda }_i{L}_i$ 。那么

${\tilde{K}}_i\to {\lambda }_{0}K,{\tilde{L}}_i\to {\lambda }_{0}L.$

由(13)式和 ${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K_i,L_i\right)={\lambda }_i$ ，可得

$\frac{1}{{\lambda }_i}{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K_i,L_i\right)={\bar{V}}_{-\varphi }\left(K_i,{\lambda }_i{L}_i\right)={\bar{V}}_{-\varphi }\left(K_i,{\tilde{L}}_i\right)=1.$

于是，再由(4)式和(11)式，我们得到对所有i，

$\begin{array}{l}1=\frac{1}{n\left|K_i\right|}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }\varphi \left(\frac{{\rho }_{K_i}\left(u\right)}{{\rho }_{{\tilde{L}}_i}\left(u\right)}\right){\rho }_{K_i}^n\left(u\right)\text{d}S\left(u\right)}\\ =\frac{1}{n\left|{\tilde{K}}_i\right|}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }\varphi \left(\frac{{\rho }_{{\tilde{K}}_i}\left(u\right)}{{\lambda }_i{\rho }_{{\tilde{L}}_i}\left(u\right)}\right){\rho }_{{\tilde{K}}_i}^n\left(u\right)\text{d}S\left(u\right)}.\end{array}$

同时 ${\tilde{K}}_i\to {\lambda }_{0}K$ 和 ${\tilde{L}}_i\to {\lambda }_{0}L$ 蕰涵着函数 ${\rho }_{{\tilde{K}}_i}\to {\rho }_{{\lambda }_{0}K},{\rho }_{{\tilde{L}}_i}\to {\rho }_{{\lambda }_{0}L}$ 在 $S^{n-1}$ 上一致收敛。因此，利用 $\varphi$ 的连续性以及 ${\lambda }_i\to {\lambda }_0$ ，可得

$\frac{1}{n\left|{\lambda }_{0}K\right|}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }\varphi \left(\frac{{\rho }_{{\lambda }_{0}K}\left(u\right)}{{\lambda }_0{\rho }_{{\lambda }_{0}L}\left(u\right)}\right){\rho }_{{\lambda }_{0}K}^n\left(u\right)\text{d}S\left(u\right)}=1,$

结合(11)式，(13)式和(14)式，便得

${\bar{V}}_{-\varphi }\left({\lambda }_{0}K,{\lambda }_{0}L\right)={\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,L\right)={\lambda }_0.$

这就得到了所需要的结果。

下面的引理说明函数 ${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,L\right)$ 对于 $\varphi$ 也是连续的。

引理3.4：如果 ${\varphi }_i\in \mathcal{C}$ ，那么对于任意 $K,L\in {\mathcal{S}}_o^n$ ，

${\varphi }_i\to \varphi \in \mathcal{C}\Rightarrow {\bar{V}}_{-{\varphi }_i}\left(K,L\right)\to {\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,L\right).$

证明：令 ${\bar{V}}_{-{\varphi }_i}\left(K,L\right)={\lambda }_i$ 。由引理3.2给出

$\frac{r_K}{c_{{\varphi }_i}{R}_K}\le {\lambda }_i\le \frac{R_K}{c_{{\varphi }_i}{r}_K}.$

由于 ${\varphi }_i\to \varphi$ ，那么 $c_{{\varphi }_i}\to c_{\varphi }$ ，于是存在实数 $a,b$ 使得对所有的i， $0<a\le {\lambda }_i\le b<\infty$ 。

为了证明有界序列 $\left\{{\lambda }_i\right\}$ 收敛到 ${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,L\right)$ ，我们只须证明 $\left\{{\lambda }_i\right\}$ 中任意收敛子列收敛到 ${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,L\right)$ 。不失一般性，设 $\left\{{\lambda }_i\right\}$ 的任一收敛子列仍是 $\left\{{\lambda }_i\right\}$ 。假设这个子列 ${\lambda }_i\to {\lambda }_0$ 。显然， $0<a\le {\lambda }_0\le b<\infty$ 。因为 ${\bar{V}}_{-{\varphi }_i}\left(K,L\right)={\lambda }_i$ ，由(11)式可得

$\frac{1}{n\left|K\right|}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }{\varphi }_i\left(\frac{{\rho }_K\left(u\right)}{{\lambda }_i{\rho }_L\left(u\right)}\right){\rho }_K^n\left(u\right)\text{d}S\left(u\right)}=1.$

结合 ${\varphi }_i\to \varphi \in \mathcal{C}$ 以及 ${\lambda }_i\to {\lambda }_0\in \left(0,\infty \right)$ ，我们得到

$\frac{1}{n\left|K\right|}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }\varphi \left(\frac{{\rho }_K\left(u\right)}{{\lambda }_0{\rho }_L\left(u\right)}\right){\rho }_K^n\left(u\right)\text{d}S\left(u\right)}=1.$

即 ${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,L\right)={\lambda }_0$ 。于是 ${\bar{V}}_{-{\varphi }_i}\left(K,L\right)\to {\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,L\right)$ 。

下面的是 ${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,L\right)$ 的仿射性质：

引理3.5：如果 $K,L\in {\mathcal{S}}_o^n,\varphi \in \mathcal{C}$ 以及 $T\in \text{SL}\left(n\right)$ ，那么

${\bar{V}}_{-\varphi }\left(TK,L\right)={\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,T^{-1}L\right).$

证明：由 ${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,L\right)$ 的定义和(3)式，我们得到

$\begin{array}{l}{\bar{V}}_{-\varphi }\left(TK,L\right)\\ =\inf \left\{\lambda >0:\frac{1}{n\left|TK\right|}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }\varphi \left(\frac{{\rho }_{TK}\left(u\right)}{\lambda {\rho }_L\left(u\right)}\right){\rho }_{TK}^n\left(u\right)\text{d}S\left(u\right)}\le 1\right\}\\ =\inf \left\{\lambda >0:\frac{1}{n\left|K\right|}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }\varphi \left(\frac{{\rho }_K\left(T^{-1}u\right)}{\lambda {\rho }_L\left(u\right)}\right){\rho }_K^n\left(T^{-1}u\right)\text{d}S\left(u\right)}\le 1\right\}\\ =\inf \left\{\lambda >0:\frac{1}{n\left|K\right|}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }\varphi \left(\frac{{\rho }_K\left(T^{-1}u\right)}{\lambda {\rho }_L\left(T{T}^{-1}u\right)}\right){\rho }_K^n\left(T^{-1}u\right)\text{d}S\left(T{T}^{-1}u\right)}\le 1\right\}\end{array}$

$\begin{array}{l}=\inf \left\{\lambda >0:\frac{1}{n\left|K\right|}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }\varphi \left(\frac{{\rho }_K\left(T^{-1}u\right)}{\lambda {\rho }_{T^{-1}L}\left(T^{-1}u\right)}\right){\rho }_K^n\left(T^{-1}u\right)\left|\det T\right|\text{d}S\left(T^{-1}u\right)}\le 1\right\}\\ =\inf \left\{\lambda >0:\frac{1}{n\left|K\right|}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }\varphi \left(\frac{{\rho }_K\left(v\right)}{\lambda {\rho }_{T^{-1}L}\left(v\right)}\right){\rho }_K^n\left(v\right)\text{d}S\left(v\right)}\le 1\right\}\left(v=\frac{T^{-1}u}{T^{-1}u\left|\right|}\in S^{n-1}\right)\\ ={\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,T^{-1}L\right)\end{array}$

这就完成了证明。

结合引理3.5，(13)式和(14)式，我们得到对于 $T\in \text{GL}\left(n\right)$ ，

${\bar{V}}_{-\varphi }\left(TK,TL\right)={\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,L\right).$

下面的定理是规范化的对偶Orlicz-Minkowski不等式。

定理3.1：如果 $\varphi \in \mathcal{C},\varphi \left(c_{\varphi }\right)=1$ 以及 $K,L\in {\mathcal{S}}_o^n$ ，那么

${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,L\right)\ge c_{\varphi }^{-1}{\left(\frac{\left|K\right|}{\left|L\right|}\right)}^{\frac{1}{n}},$ (15)

等式成立当且仅当K和L是膨胀的。

证明：由于 $\varphi \in \mathcal{C}$ ，那么存在实数 $0<c_{\varphi }<\infty$ 使得 $\varphi \left(c_{\varphi }\right)=1$ 。由(11)式，Jensen 不等式以及L₁-对偶调和混合体积的Minkowski不等式(10)，我们有

$\begin{array}{c}\varphi \left(c_{\varphi }\right)=1=\frac{1}{n\left|K\right|}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }\varphi \left(\frac{{\rho }_K\left(u\right)}{{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,L\right){\rho }_L\left(u\right)}\right){\rho }_K^n\left(u\right)\text{d}S\left(u\right)}\\ \ge \varphi \left(\frac{1}{n\left|K\right|}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }\frac{{\rho }_K\left(u\right)}{{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,L\right){\rho }_L\left(u\right)}}\times {\rho }_K^n\left(u\right)\text{d}S\left(u\right)\right)\\ =\varphi \left(\frac{V_{-1}\left(K,L\right)}{\left|K\right|{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,L\right)}\right)\ge \varphi \left(\frac{{\left|K\right|}^{\frac{n+1}{n}}{\left|L\right|}^{-\frac{1}{n}}}{\left|K\right|{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,L\right)}\right)=\varphi \left(\frac{{\left|K\right|}^{\frac{1}{n}}{\left|L\right|}^{-\frac{1}{n}}}{{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,L\right)}\right).\end{array}$ (16)

由 $\varphi$ 的严格单调性知，上式蕰涵着

${\bar{V}}_{-\varphi }{\left(K,L\right)}^n\ge c_{\varphi }^{-n}\left|K\right|{\left|L\right|}^{-1}=\left|K\right|{\left|c_{\varphi }L\right|}^{-1}.$

等式成立的条件可由Jensen不等式和L₁-对偶调和混合体积Minkowski不等式的等号成立的条件得到。如果 $\varphi$ 是严格凸的，那么Jensen不等式蕰涵着(16)式也是严格的，除非 $\varphi$ 是常数，也就是说， ${\rho }_K\left(u\right)/{\rho }_L\left(u\right)$ 对所有的 $u\in S^{n-1}$ 是个常数，即K和L是膨胀的。如果 $\varphi \in \mathcal{C}$ 不是严格凸的，那么 $\varphi$ 的严格单调性意味着 $\varphi$ 必定在一些区间 $I\subset \left[0,\infty \right)$ 上是线性的，其它是严格凸的。如果 $\varphi$ 是线性的，那么(16)式等号自动成立。

结合L₁-对偶调和混合体积的Minkowski不等式等号成立的条件，我们得到不等式(15)等号成立当且仅当K和L是膨胀的。定理3.1证毕。

注意到如果 $\varphi \left(t\right)={\left|t\right|}^p,p\ge 1$ ，那么 $c_{\varphi }=1$ ，不等式(15)就是L_p-对偶调和混合体积Min-kowski不等式(9)。

4. 主要结果的证明

在本节中，我们首先给出引理1.1的证明。

引理1.1的证明：首先证明 $S_{-\varphi }$ 中的约束条件可以转化为 ${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E\right)=1$ ，即满足极值问题 $S_{-\varphi }$ 的椭球 $E_0$ 必须满足 ${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E_0\right)=1$ 。事实上，设 $E\in {\mathcal{E}}^n$ 且 ${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E\right)<1$ 。由(14)式知 ${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E\right)E\right)=1$ 。因为

$\frac{{\omega }_n}{\left|{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E\right)E\right|}=\frac{{\omega }_n}{{\bar{V}}_{-\varphi }{\left(K,E\right)}^n\left|E\right|}>\frac{{\omega }_n}{\left|E\right|},$

这意味着E不是 $S_{-\varphi }$ 的解答。

现在设 $E^{\prime }\in {\mathcal{E}}^n$ 且 $\left|E^{\prime }\right|\le {\omega }_n$ 。由(14)式知 ${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E^{\prime }\right)E^{\prime }\right)=1$ ，因此 ${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E^{\prime }\right)E^{\prime }$ 满足 $S_{-\varphi }$ 的约束条件。又因为 $E_0$ 是极值问题 $S_{-\varphi }$ 的解答，则有 $\left|{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E^{\prime }\right)E^{\prime }\right|\ge \left|E_0\right|$ 。因此，由假设 $\left|E^{\prime }\right|\le {\omega }_n$ ，事实 ${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E_0\right)=1$ 和(14)式，我们有

$\begin{array}{c}{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E^{\prime }\right)\ge {\left(\frac{\left|E_0\right|}{\left|E^{\prime }\right|}\right)}^{\frac{1}{n}}\ge {\left(\frac{\left|E_0\right|}{{\omega }_n}\right)}^{\frac{1}{n}}={\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E_0\right){\left(\frac{\left|E_0\right|}{{\omega }_n}\right)}^{\frac{1}{n}}\\ ={\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,{\left(\frac{{\omega }_n}{\left|E_0\right|}\right)}^{\frac{1}{n}}{E}_0\right),\end{array}$

这说明 ${\left({\omega }_n/\left|E_0\right|\right)}^{\frac{1}{n}}{E}_0$ 是 ${\bar{S}}_{-\varphi }$ 的解。

反之，设 $E\in {\mathcal{E}}^n$ 被 ${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E\right)\le 1$ 所控制。因为 ${\left({\omega }_n/\left|E\right|\right)}^{\frac{1}{n}}E$ 满足 ${\bar{S}}_{-\varphi }$ 的约束条件，而 $E_1$ 是满足约束条件 $\left|E_1\right|={\omega }_n$ 的 ${\bar{S}}_{-\varphi }$ 的解，于是有

$\begin{array}{c}\left|{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E_1\right)E_1\right|={\bar{V}}_{-\varphi }{\left(K,E_1\right)}^n\left|E_1\right|\le {\bar{V}}_{-\varphi }{\left(K,{\left(\frac{{\omega }_n}{\left|E\right|}\right)}^{\frac{1}{n}}E\right)}^n\left|E_1\right|\\ =\frac{\left|E\right|}{{\omega }_n}{\bar{V}}_{-\varphi }{\left(K,E\right)}^n\left|E_1\right|=\left|E\right|{\bar{V}}_{-\varphi }{\left(K,E\right)}^n\le \left|E\right|.\end{array}$

因此 $\left|{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E_1\right)E_1\right|\le \left|E\right|$ ，即

$\frac{{\omega }_n}{\left|{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E_1\right)E_1\right|}\ge \frac{{\omega }_n}{\left|E\right|},$

这说明 ${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E_1\right)E_1$ 是 $S_{-\varphi }$ 的解。证毕。

著名的Blaschke选择定理表明，如果 $\left\{K_i\right\}$ 是一族满足条件

$r{B}_2^n\subseteq K_i\subseteq R{B}_2^n$

的凸体，其中r和R为两个给定的常数且 $0<r<R<\infty$ ，那么 $\left\{K_i\right\}$ 一定有一个收敛到某一凸体K的子列 $\left\{K_{i_k}\right\}$ 。

假设X是 ${ℝ}^n$ 中的一个有界集，定义它的通径(diameter)为

$\text{diam}\left(X\right)=\text{sup}\left\{\left|x-y\right|:x,y\in X\right\}\text{,}$

其中 $\left|x-y\right|$ 表示x和y之间的由欧氏范数诱导出的欧氏距离。

引理4.1：若 $\varphi \in \mathcal{C},K\in {\mathcal{K}}_o^n$ ，那么 $S_{-\varphi }$ 和 ${\bar{S}}_{-\varphi }$ 的解存在。

证明：设 $K\in {\mathcal{K}}_o^n$ ，则K满足 $r_K{B}_2^n\subseteq K\subseteq R_K{B}_2^n$ 。则由(2)式知 $r_K\le {\rho }_K\left(u\right)\le R_K$ 。设 $\left\{E_i\right\}\subset {\mathcal{E}}^n$ 是一族非退化的原点对称椭球，根据Blaschke选择定理，我们只需证明存在常数 $M\ge \frac{2r_K}{c_{\varphi }}>0$ 使得 $\frac{2r_K}{c_{\varphi }}{B}_2^n\subseteq E_i\subseteq M{B}_2^n$ ，其中 $c_{\varphi }$ 满足 $\varphi \left(c_{\varphi }\right)=1$ 。根据凸体的通径定义和径向函数的定义，易知对于所有的 $u\in S^{n-1}$ ，有

${\rho }_{E_i}\left(u\right)\le \frac{1}{2}\text{diam}\left(E_i\right).$

设 ${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E_i\right)={\lambda }_i$ 。由(11)式， $\varphi$ 的单调递增性，Jensen不等式以及星体的极坐标体积公式(8)，得到

$\begin{array}{l}\varphi \left(c_{\varphi }\right)=1=\frac{1}{n\left|K\right|}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }\varphi \left(\frac{{\rho }_K\left(u\right)}{{\lambda }_i{\rho }_{E_i}\left(u\right)}\right){\rho }_K^n\left(u\right)\text{d}S\left(u\right)}\\ \ge \frac{1}{n\left|K\right|}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }\varphi \left(\frac{2r_K}{{\lambda }_i\text{diam}\left(E_i\right)}\right){\rho }_K^n\left(u\right)\text{d}S\left(u\right)}\\ \ge \left(\frac{1}{n\left|K\right|}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }\frac{2r_K{\rho }_K^n\left(u\right)}{{\lambda }_i\text{diam}\left(E_i\right)}\text{d}S\left(u\right)}\right)\\ =\varphi \left(\frac{2r_K}{{\lambda }_i\text{diam}\left(E_i\right)}\right),\end{array}$

这个不等式意味着

$\text{diam}\left(E_i\right)\ge \frac{2r_K}{{\lambda }_i{c}_{\varphi }}=\frac{2r_K}{{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E_i\right)c_{\varphi }},$

因此，由 $S_{-\varphi }$ 的约束条件 ${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E_i\right)\le 1$ ，可得

$\text{diam}\left(E_i\right)\ge \frac{2r_K}{c_{\varphi }},$

即

$E_i\supseteq \frac{2r_K}{c_{\varphi }}{B}_2^n,i=1,2,\cdots .$

另一方面，设 $\epsilon =\left\{{E^{\prime }}_i:\left|{E^{\prime }}_i\right|={\omega }_n,{E^{\prime }}_i\in {\mathcal{E}}^n\right\}\subseteq {\mathcal{E}}^n\subset \left({\mathcal{K}}_o^n,\delta \right)$ ，则 $\epsilon$ 是度量空间 $\left({\mathcal{K}}_o^n,\delta \right)$ 中的紧集。因此存在通用常数 $R_E$ 使得对于任意 ${E^{\prime }}_i\in \epsilon$ 有 ${E^{\prime }}_i\subseteq R_E{B}_2^n$ 。令 $E_i={\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,{E^{\prime }}_i\right){E^{\prime }}_i$ ，显然 $E_i$ 满足 $S_{-\varphi }$ 的约束条件，且

$E_i\subseteq {\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,{E^{\prime }}_i\right)R_E{B}_2^n.$

固定 $K\in {\mathcal{K}}_o^n$ 。由引理3.3知 ${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,{E^{\prime }}_i\right)$ 是紧集 $\epsilon$ 上的连续泛函，故存在正数 $M_0>0$ 使得对于任意 ${E^{\prime }}_i\in \epsilon$ 有 ${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,{E^{\prime }}_i\right)\le M_0$ 。由此，并结合上式即得

$E_i\subseteq M{B}_2^n,$

这里 $M=M_0{R}_E$ 。

这样，满足 $S_{-\varphi }$ 的椭球序列 $\left\{E_i\right\}$ 的通径是一致有界的，因而有下确界，那么 $S_{-\varphi }$ 的存在性可由Blaschke选择定理保证。由于 $S_{-\varphi }$ 和 ${\bar{S}}_{-\varphi }$ 的解只差一个有限的标量因子，因此 ${\bar{S}}_{-\varphi }$ 的解的存在性也能保证。

由于 $S_{-\varphi }$ 和 ${\bar{S}}_{-\varphi }$ 的解的存在性已经建立，那么现在只需证明解的唯一性和其特征表示。注意 $S_{-\varphi }$ 和 ${\bar{S}}_{-\varphi }$ 的解只差一个标量因子，所以我们只需证明 $S_{-\varphi }$ 的解情形。

由引理3.5中 ${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,L\right)$ 的仿射性质，我们可以假设K的 $S_{-\varphi }$ 的解的椭球为欧氏单位球 $B_2^n$ ，那么极值问题 $S_{-\varphi }$ 可描述为：对于 $T\in \text{GL}\left(n\right),\det \left(T\right)\ge 1$ ，使得

${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,T{B}_2^n\right)\ge {\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,B_2^n\right).$ (17)

这个又等价于

$\begin{array}{l}\frac{1}{\left|K\right|}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }\varphi \left(\frac{{\rho }_K\left(u\right)}{{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,B_2^n\right){\rho }_{T{B}_2^n}\left(u\right)}\right){\rho }_K^n\left(u\right)\text{d}S\left(u\right)}\\ \ge \frac{1}{\left|K\right|}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }\varphi \left(\frac{{\rho }_K(u)}{{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,B_2^n\right){\rho }_{B_2^n}\left(u\right)}\right){\rho }_K^n}\left(u\right)\text{d}S\left(u\right).\end{array}$ (18)

事实上，由引理3.1知，(17)式藴涵着 $T{B}_2^n\subseteq B_2^n$ ，即 ${\rho }_{T{B}_2^n}\left(u\right)\le {\rho }_{B_2^n}\left(u\right)$ 。由此和 $\varphi$ 在区间 $\left(0,\infty \right)$ 上的单调递增性，我们立即知道(18)式成立。

为了建立 $S_{-\varphi }$ 极值问题的特征性质，我们需要引进一些定义和记号。若T是一非奇异的 $n\times n$ 矩阵，那么T能表示成 $T=RA$ ，其中R是对称正定矩阵，A是正交矩阵 [3]。于是我们可把一个 $n\times n$ 对称矩阵 $T={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}$ 看成是点

${\left(a_{11},\cdots ,a_{1n},a_{22},\cdots ,a_{2n},\cdots ,a_{nn}\right)}^t\in {ℝ}^{\frac{1}{2}n\left(n+1\right)}.$

这样所有 $n\times n$ 对称正定矩阵可表示成一开凸锥 $\mathcal{P}\subset {ℝ}^{\frac{1}{2}n\left(n+1\right)}$ ，其顶点在 ${ℝ}^{\frac{1}{2}n\left(n+1\right)}$ 的原点O。由于 ${ℝ}^n$ 中的非奇异线性变换可看成一非奇异的 $n\times n$ 矩阵，那么由上面的论述可知，在正交变换下， $S_{-\varphi }$ 极值问题可以建立在 $\mathcal{P}$ 上。设 $\varphi \in \mathcal{C}$ 和 $K\in {\mathcal{K}}_o^n$ ，考虑到(18)式，我们定义泛函 $F:\mathcal{P}\to ℝ$ 为

$F\left(K,A{B}_2^n\right)=\frac{1}{n\left|K\right|}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }\varphi \left(\frac{{\rho }_K\left(u\right)\left|Au\right|}{{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,B_2^n\right)}\right){\rho }_K^n}\left(u\right)\text{d}S(u)$

对于任意 $A\in \mathcal{P}$ 。引理3.3和 $\varphi \in \mathcal{C}$ 说明泛函F是连续的。显然 $F\left(K,B_2^n\right)=1$ 。

引理4.2：若 $\varphi \in \mathcal{C}$ 以及 $K\in {\mathcal{K}}_o^n$ ，那么

$\mathcal{F}=\mathcal{F}\left(A\right)=\left\{A\in \mathcal{P}:F\left(K,A{B}_2^n\right)\le F\left(K,B_2^n\right)\right\}$

是一闭凸区域，且在边界点 $I_n$ 的邻域内光滑。而且

$\frac{1}{n\left|K\right|{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,B_2^n\right)}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }{\varphi }^{\prime }\left(\frac{{\rho }_K\left(u\right)}{{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,B_2^n\right)}\right){\rho }_K^{n+1}}\left(u\right)u\otimes u\text{d}S\left(u\right)\ne O$

是 $\mathcal{F}$ 在 $I_n$ 的外法向量。

证明：F的定义和 $\varphi$ 的严格单调性意味着F在 $\mathcal{P}$ 中通过顶点O的每一条射线 $\left\{tA:t\ge 0\right\}$ 上是由0到 $\infty$ 严格递增的，又由F的连续性可得 $\mathcal{F}$ 是 $\mathcal{P}$ 中的一闭区域。

为了证明区域 $\mathcal{F}$ 是凸的和光滑的，只需证明函数F是凸的和光滑的。

事实上，设 $A,B\in \mathcal{P},0\le \alpha \le 1$ ，那么由 $\varphi \in \mathcal{C}$ 的单调性和凸性，我们有

$\begin{array}{l}F\left(K,\left(\left(1-\alpha \right)A+\alpha B\right)B_2^n\right)\\ =\frac{1}{n\left|K\right|}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }\varphi \left(\frac{{\rho }_K\left(u\right)\left|\left(\left(1-\alpha \right)A+\alpha B\right)u\right|}{{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,B_2^n\right)}\right){\rho }_K^n\left(u\right)\text{d}S\left(u\right)}\\ \le \frac{1}{n\left|K\right|}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }\varphi \left(\frac{{\rho }_K\left(u\right)\left(\left(1-\alpha \right)\left|Au\right|+\alpha \left|Bu\right|\right)}{{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,B_2^n\right)}\right){\rho }_K^n\left(u\right)\text{d}S\left(u\right)}\\ \le \frac{1-\alpha }{n\left|K\right|}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }\varphi \left(\frac{{\rho }_K\left(u\right)\left|Au\right|}{{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,B_2^n\right)}\right){\rho }_K^n\left(u\right)\text{d}S\left(u\right)}+\frac{\alpha }{n\left|K\right|}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }\varphi \left(\frac{{\rho }_K\left(u\right)\left|Bu\right|}{{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,B_2^n\right)}\right){\rho }_K^n\left(u\right)\text{d}S\left(u\right)}\\ =\left(1-\alpha \right)F\left(K,A{B}_2^n\right)+\alpha F\left(K,B{B}_2^n\right).\end{array}$

则F在 $\mathcal{P}$ 中是凸的。

由于F是凸的，为了证明F是光滑的，只需证明对任意 $A\in \mathcal{P}$ ，F关于A的表值 $a_{ik}$ 的偏导数存在 [31]。假设 $h\in ℝ$ 是一有界数，令矩阵 $A\left(h\right)$ 和A具有相同的表值，除了 $a_{ik}+h$ 代换 $a_{ik}$ 。那么由Cauchy-Schwarz不等式，对任意 $u\in S^{n-1}$ 有

$\left|\left|A\left(h\right)u\right|-\left|Au\right|\right|\le \left|A\left(h\right)u-Au\right|\le \left|A\left(h\right)-A\right|\left|u\right|\le \left|h\right|.$

再由 $\varphi \in \mathcal{C}$ 的凸性， $\varphi \left(0\right)=0$ ， ${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,B_2^n\right)$ 和 ${\rho }_K\left(u\right)$ 的有界性，可得函数

$\varphi \left(\frac{{\rho }_K\left(u\right)\left|A(\cdot )u\right|}{{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,B_2^n\right)}\right):ℝ\to \left[0,\infty \right)$

在 $ℝ$ 的每一个有界集上是Lipschitz的。因此，

$\frac{\varphi \left(\frac{{\rho }_K\left(u\right)\left|A\left(h\right)u\right|}{{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,B_2^n\right)}\right)-\varphi \left(\frac{{\rho }_K\left(u\right)\left|Au\right|}{{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,B_2^n\right)}\right)}{h}$ (19)

在 $S^{n-1}$ 上有界。

由于 $\varphi$ 是凸的，那么它在 $t\in \left[0,\infty \right)$ 几乎处处可微 [30] [31]。又因为A是一非奇异矩阵，则 $\varphi$ 在 $t=\frac{{\rho }_K\left(u\right)\left|Au\right|}{{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,B_2^n\right)}$ 几乎处处对所有的 $u\in S^{n-1}$ 可微。基本的计算可得，对几乎所有的 $u\in S^{n-1}$ ，

$\begin{array}{l}\underset{h\to \infty }{\lim }\frac{\varphi \left(\frac{{\rho }_K\left(u\right)\left|A\left(h\right)u\right|}{{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,B_2^n\right)}\right)-\varphi \left(\frac{{\rho }_K\left(u\right)\left|Au\right|}{{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,B_2^n\right)}\right)}{h}\\ =\frac{{\varphi }^{\prime }\left(\frac{{\rho }_K\left(u\right)\left|Au\right|}{{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,B_2^n\right)}\right)\left(\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_{ij}{u}_j}\right)u_k+\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_{kj}{u}_j}\right)u_i\right)}{\left|Au\right|{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,B_2^n\right){\rho }_K^{-1}\left(u\right)}.\end{array}$ (20)

由(19)式，(20)式和Lebesgue有界收敛定理，我们得到F关于 $a_{ik}\left(=a_{ki}\right)$ 的偏导数表达式：

$\frac{\partial F\left(K,A{B}_2^n\right)}{\partial a_{ik}}=\frac{1}{n\left|K\right|}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }\frac{{\varphi }^{\prime }\left(\frac{{\rho }_K\left(u\right)\left|Au\right|}{{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,B_2^n\right)}\right)\left(\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_{ij}{u}_j}\right)u_k+\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_{kj}{u}_j}\right)u_i\right)}{\left|Au\right|{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,B_2^n\right)}{\rho }_K^{n+1}}\left(u\right)\text{d}S\left(u\right),$

对于 $A\in \mathcal{P}$ 。

这样，F关于 $a_{ik}$ 的所有偏导数存在。由于F是凸的，则F是光滑的。令 $A=I_n$ ，那么F关于 $I_n$ 的梯度可写成：

$\nabla F\left(K,I_n{B}_2^n\right)=\frac{1}{n\left|K\right|{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,B_2^n\right)}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }{\varphi }^{\prime }}\left(\frac{{\rho }_K\left(u\right)}{{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,B_2^n\right)}\right){\rho }_K^{n+1}\left(u\right)u\otimes u\text{d}S\left(u\right).$ (21)

显然 $\nabla F\left(K,I_n{B}_2^n\right)\ne O$ 。由于 $\mathcal{F}$ 是闭凸的光滑区域，再结合隐函数存在定理我们便得到所需要的结果。

由(18)式和F的定义，我们可以把优化问题 $S_{-\varphi }$ 转化为如下极值问题：函数F达到最小值当且仅当 $A=I_n$ ，也就是说， $B_2^n$ 是F的最小值位置。

优化问题 $S_{-\varphi }$ 的解的唯一性和特征表示可建立如下：

引理4.3：若 $\varphi \in \mathcal{C}$ 以及 $K\in {\mathcal{K}}_o^n$ ，那么在正交变换下， $B_2^n$ 是F的关于保体积线性变换的唯一的最小值位置。而且， $B_2^n$ 是F的最小值位置当且仅当

$I_n=\frac{\beta }{n\left|K\right|{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,B_2^n\right)}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }{\varphi }^{\prime }}\left(\frac{{\rho }_K\left(u\right)}{{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,B_2^n\right)}\right){\rho }_K^{n+1}\left(u\right)u\otimes u\text{d}S\left(u\right)$ (22)

对于适当的 $\beta >0$ 。

证明：设

$\mathcal{D}=\left\{A\in \mathcal{P}:\det \left(A\right)\ge 1\right\}.$

那么集合 $\mathcal{D}$ 是 $\mathcal{P}$ 中闭的、光滑的且具有非空内部的凸集。而且 $I_n$ 是 $\mathcal{D}$ 在边界点 $I_n$ 的内法向量 [1] [2]。由引理4.2，区域

$\mathcal{F}=\left\{A\in \mathcal{P}:F\left(K,A{B}_2^n\right)\le F\left(K,B_2^n\right)\right\}$

是凸的且在 $I_n$ 的邻域内光滑。因此，我们断言区域 $\mathcal{D}$ 和 $\mathcal{F}$ 在它们的公共边界点 $I_n$ 相切。如果断言不成立，那么区域 $\mathcal{D}$ 和 $\mathcal{F}$ 将有重叠，于是存在一 $n\times n$ 矩阵。由 $B_2^n$ 是F的最小值位置假设，我们得到

$F\left(K,B_2^n\right)>F\left(K,A^{\prime }{B}_2^n\right)\ge F\left(K,B_2^n\right),$

这便产生了矛盾。于是区域 $\mathcal{D}$ 和 $\mathcal{F}$ 在它们的公共边界点 $I_n$ 相切，这也意味着 $B_2^n$ 是F的唯一的最小值位置。

如果 $B_2^n$ 是F的最小值位置，那么区域 $\mathcal{D}$ 和 $\mathcal{F}$ 在它们的公共边界点 $I_n$ 相切。这样， $\mathcal{F}$ 在 $I_n$ 的外法向量 $\nabla F\left(K,I_n{B}_2^n\right)$ 是 $\mathcal{D}$ 在 $I_n$ 的内法向量的倍数。因此由(21)可得

$I_n=\frac{\beta }{n\left|K\right|{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,B_2^n\right)}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }{\varphi }^{\prime }}\left(\frac{{\rho }_K\left(u\right)}{{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,B_2^n\right)}\right){\rho }_K^{n+1}\left(u\right)u\otimes u\text{d}S(u)$

对于适当的 $\beta >0$ 。

另一方面，由于 $I_n$ 是区域 $\mathcal{D}$ 和 $\mathcal{F}$ 的公共边界点，由(21)式和(22)式， $\mathcal{F}$ 在 $I_n$ 的外法向量和 $\mathcal{D}$ 在 $I_n$ 的内法向量指向相同，那么区域 $\mathcal{D}$ 和 $\mathcal{F}$ 有公共边界点 $I_n$ ，这也意味着 $B_2^n$ 是F的最小值位置。

定理1.1的证明： ${\bar{S}}_{-\varphi }$ 的解的存在性和唯一性已经在引理4.1和引理4.3中建立，下面只需证明(1)式和(22)式的等价性。注意到(13)式和(14)式，我们可限制线性变换 $T\in \text{GL}\left(n\right)$ 为 $T\in \text{SL}\left(n\right)$ 。

由引理3.5，存在 $T\in \text{SL}\left(n\right)$ 使得

${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E\right)={\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,T{B}_2^n\right)={\bar{V}}_{-\varphi }\left(T^{-1}K,B_2^n\right).$

设(22)成立，则由(22)式可知 $E\in {\mathcal{E}}^n$ 是 $F\left(K,E\right)$ 的最小值位置当且仅当

$I_n=\frac{\beta }{n\left|K\right|{\bar{V}}_{-\varphi }\left(T^{-1}K,B_2^n\right)}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }{\varphi }^{\prime }}\left(\frac{{\rho }_{T^{-1}K}\left(v\right)}{{\bar{V}}_{-\varphi }\left(T^{=1}K,B_2^n\right)}\right){\rho }_{T^{-1}K}^{n+1}\left(v\right)v\otimes v\text{d}S(v)$

对于适当的 $\beta >0$ ，这意味着对任意 $x\in {ℝ}^n$ ，

${\left|x\right|}^2=\frac{\beta }{n\left|K\right|{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E\right)}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }{\varphi }^{\prime }}\left(\frac{{\rho }_K\left(Tv\right)}{{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E\right)}\right){\rho }_{T^{-1}K}^{n+1}\left(v\right){\langle x,v\rangle }^{\text{2}}\text{d}S\left(v\right).$ (23)

令 $\langle Tv\rangle =\frac{Tv}{\left|Tv\right|}=u$ ，则 $u\in S^{n-1}$ 。注意到 $\det \left(T^{-1}\right)=1,{\left(TK\right)}^{\circ }=T^{-t}{K}^{\circ }$ 和

$\left|T^{-1}u\right|=h_{B_2^n}\left(T^{-1}u\right)=h_{T^{-t}{B}_2^n}\left(u\right)=h_{{\left(T{B}_2^n\right)}^{\circ }}\left(u\right)=h_{E^{\circ }}\left(u\right)=\frac{1}{{\rho }_E\left(u\right)},$ (24)

可得

$\begin{array}{l}n\left|K\right|{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E\right){\left|x\right|}^2\\ =\beta {\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }{\varphi }^{\prime }}\left(\frac{{\rho }_K\left(Tv\right)}{{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E\right)}\right){\rho }_K^{n+1}\left(Tv\right){\langle x,v\rangle }^{\text{2}}\text{d}S\left(v\right)\\ =\beta \det \left(T^{-1}\right){\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }{\varphi }^{\prime }}\left(\frac{\left|T^{-1}\langle Tv\rangle \right|{\rho }_K\left(\langle Tv\rangle \right)}{{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E\right)}\right)\frac{{\rho }_K^{n+1}\left(\langle Tv\rangle \right)}{\left|T^{-1}\langle Tv\rangle \right|}{\langle x,T^{-1}\langle Tv\rangle \rangle }^{\text{2}}\text{d}S\left(\langle Tv\rangle \right)\\ =\beta {\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }{\varphi }^{\prime }}\left(\frac{\left|T^{-1}u\right|{\rho }_K\left(u\right)}{{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E\right)}\right)\frac{{\rho }_K^{n+1}\left(u\right)}{\left|T^{-1}u\right|}{\langle T^{-t}x,u\rangle }^{\text{2}}\text{d}S\left(u\right)\\ =\beta {\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }{\varphi }^{\prime }}\left(\frac{{\rho }_K\left(u\right)}{{\rho }_E\left(u\right){\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E\right)}\right){\rho }_E\left(u\right){\rho }_K^{n+1}\left(u\right){\langle T^{-t}x,u\rangle }^{\text{2}}\text{d}S\left(u\right).\end{array}$

由此可知对任意的 $x\in {ℝ}^n$ ，

$n\left|K\right|{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E\right){\left|T^{t}x\right|}^2=\beta {\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }{\varphi }^{\prime }}\left(\frac{{\rho }_K\left(u\right)}{{\rho }_E\left(u\right){\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E\right)}\right){\rho }_E\left(u\right){\rho }_K^{n+1}\left(u\right){\langle x,u\rangle }^{\text{2}}\text{d}S\left(u\right).$ (25)

由于 $\left|T^{t}x\right|=h_{T{B}_2^n}\left(x\right)=h_E\left(x\right)$ ，于是，由(25)式可知对任意的 $x\in {ℝ}^n$ ，有

$h_E^2\left(x\right)=\frac{\beta }{n\left|K\right|{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E\right)}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }{\varphi }^{\prime }}\left(\frac{{\rho }_K\left(u\right)}{{\rho }_E\left(u\right){\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E\right)}\right){\rho }_E\left(u\right){\rho }_K^{n+1}\left(u\right){\langle x,u\rangle }^{\text{2}}\text{d}S\left(u\right),$

即(1)式成立。

反之，若(1)式成立，从而(25)式亦成立，即对任意的 $x\in {ℝ}^n$ ，

${\left|T^{t}x\right|}^2=\frac{\beta }{n\left|K\right|{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E\right)}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }{\varphi }^{\prime }}\left(\frac{{\rho }_K\left(u\right)}{{\rho }_E\left(u\right){\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E\right)}\right){\rho }_E\left(u\right){\rho }_K^{n+1}\left(u\right){\langle x,u\rangle }^{\text{2}}\text{d}S\left(u\right).$

令 $v=\frac{T^{-1}u}{\left|T^{-1}u\right|}=\langle T^{-1}u\rangle \in S^{n-1}$ 。利用(24)并注意到 $\det \left(T\right)=1$ ，可得

$\begin{array}{l}{\left|T^{t}x\right|}^2=\frac{\beta }{n\left|K\right|{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E\right)}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }{\varphi }^{\prime }}\left(\frac{\left|T^{-1}u\right|{\rho }_K\left(u\right)}{{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E\right)}\right)\frac{{\rho }_K^{n+1}\left(u\right)}{\left|T^{-1}u\right|}{\langle x,u\rangle }^{\text{2}}\text{d}S\left(u\right)\\ =\frac{\beta }{n\left|K\right|{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E\right)}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }{\varphi }^{\prime }}\left(\frac{{\rho }_K\left(T\langle T^{-1}u\rangle \right)}{{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E\right)}\right){\rho }_K^{n+1}\left(T\langle T^{-1}u\rangle \right){\langle x,T\langle T^{-1}u\rangle \rangle }^{\text{2}}\text{det}\left(T\right)\text{d}S\left(\langle T^{-1}u\rangle \right)\\ =\frac{\beta }{n\left|K\right|{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E\right)}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }{\varphi }^{\prime }}\left(\frac{{\rho }_K(Tv)}{{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E\right)}\right){\rho }_K^{n+1}\left(Tv\right){\langle x,Tv\rangle }^{\text{2}}\text{det}\left(T\right)\text{d}S\left(v\right).\end{array}$

这个等价于对任意的 $x\in {ℝ}^n$ ，

${\left|x\right|}^2=\frac{\beta }{n\left|K\right|{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E\right)}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }{\varphi }^{\prime }}\left(\frac{{\rho }_K\left(Tv\right)}{{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E\right)}\right){\rho }_K^{n+1}\left(Tv\right){\langle x,v\rangle }^{\text{2}}\text{det}\left(T\right)\text{d}S\left(v\right),$

即(23)式和(22)式同时成立。这就完成了定理1.1的证明。

5. 对偶Orlicz John椭球的一些性质

由(13)式，(14)式和对偶Orlicz John椭球的定义，我们立即可得到下面的结果。

引理5.1：若 $\varphi \in \mathcal{C},K\in {\mathcal{K}}_o^n$ ，那么对于 $T\in \text{GL}\left(n\right)$ ，

$E_{-\varphi }TK=T{E}_{-\varphi }K.$

显然， $E_{-\varphi }{B}_2^n=B_2^n$ 。由引理5.1，我们可看到如果E是原点对称椭球，那么 $E_{-\varphi }E=E$ 。

引理5.2：设 $\varphi \in \mathcal{C},\varphi \left(c_{\varphi }\right)=1$ ，且 $K\in {\mathcal{K}}_o^n$ 使得 $a{B}_2^n\subseteq K\subseteq b{B}_2^n$ ，其中 $0<a<b<\infty$ 是满足条件的最佳实数。那么

${\bar{E}}_{-\varphi }K\supseteq \frac{2a}{b}{B}_2^n.$

证明：设 $\text{diam}\left({\bar{E}}_{-\varphi }K\right)$ 是椭球 ${\bar{E}}_{-\varphi }K$ 的通径， ${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,{\bar{E}}_{-\varphi }K\right)=\lambda$ 。注意到对于所有的 $u\in S^{n-1}$ ，

${\rho }_{{\bar{E}}_{-\varphi }K}\left(u\right)\le \frac{1}{2}\text{diam}\left({\bar{E}}_{-\varphi }K\right),{\rho }_K(u)\ge a,$

因此，由规范化的对偶Orlicz John椭球的定义， $\varphi$ 的凸性和体积的极坐标公式(8)，可得

$\begin{array}{c}\varphi \left(c_{\varphi }\right)=1=\frac{1}{n\left|K\right|}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }\varphi \left(\frac{{\rho }_K\left(u\right)}{\lambda {\rho }_{{\bar{E}}_{-\varphi }K}\left(u\right)}\right){\rho }_K^n\left(u\right)\text{d}S\left(u\right)}\\ \ge \frac{1}{n\left|K\right|}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }\varphi \left(\frac{2a}{\lambda \text{diam}\left({\bar{E}}_{-\varphi }K\right)}\right){\rho }_K^n\left(u\right)\text{d}S\left(u\right)}\\ \ge \varphi \left(\frac{1}{n\left|K\right|}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }\frac{2a}{\lambda \text{diam}\left({\bar{E}}_{-\varphi }K\right)}\times {\rho }_K^n\left(u\right)\text{d}S\left(u\right)}\right)\\ =\varphi \left(\frac{2a}{\lambda \text{diam}\left({\bar{E}}_{-\varphi }K\right)n\left|K\right|}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }{\rho }_K^n\left(u\right)\text{d}S\left(u\right)}\right)\\ =\varphi \left(\frac{2a}{\lambda \text{diam}\left({\bar{E}}_{-\varphi }K\right)}\right)=\varphi \left(\frac{2a}{\text{diam}\left({\bar{E}}_{-\varphi }K\right){\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,{\bar{E}}_{-\varphi }K\right)}\right),\end{array}$

这意味着

$\text{diam}\left({\bar{E}}_{-\varphi }K\right)\ge \frac{2a}{c_{\varphi }{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,{\bar{E}}_{-\varphi }K\right)}.$

由椭球 ${\bar{E}}_{-\varphi }K$ 的定义和上式，可得

$\text{diam}\left({\bar{E}}_{-\varphi }K\right)\ge \frac{2a}{c_{\varphi }{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,{\bar{E}}_{-\varphi }K\right)}\ge \frac{2a}{c_{\varphi }{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,B_2^n\right)}.$ (26)

现在我们来估计 ${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,B_2^n\right)$ 在 $a{B}_2^n\subseteq K\subseteq b{B}_2^n$ 条件下的值。令 ${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,B_2^n\right)={\lambda }_0$ ，那么

$\begin{array}{l}\varphi \left(c_{\varphi }\right)=1=\frac{1}{n\left|K\right|}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }\varphi \left(\frac{{\rho }_K\left(u\right)}{{\lambda }_0{\rho }_{B_2^n}\left(u\right)}\right){\rho }_K^n\left(u\right)\text{d}S\left(u\right)}\\ \le \frac{1}{n\left|K\right|}{\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }\varphi \left(\frac{b}{{\lambda }_0}\right){\rho }_K^n\left(u\right)\text{d}S\left(u\right)}=\varphi \left(\frac{b}{{\lambda }_0}\right).\end{array}$

即

${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,B_2^n\right)={\lambda }_0\le \frac{b}{c_{\varphi }}.$ (27)

(26)式和(27)式结合，即得

$\text{diam}\left({\bar{E}}_{-\varphi }K\right)\ge \frac{2a}{b}\Rightarrow {\bar{E}}_{-\varphi }K\supseteq \frac{2a}{b}{B}_2^n.$

引理5.2得证。

我们知道 ${\bar{E}}_{-\varphi }K$ 是唯一满足

${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,{\bar{E}}_{-\varphi }K\right)=\underset{\left|E\right|=\omega }{\min }{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E\right)$ (28)

的椭球，那么我们可以建立对偶Orlicz John椭球关于 $\varphi$ 的连续性。

引理5.3：若 ${\varphi }_i,\varphi \in \mathcal{C}$ 以及 $K\in {\mathcal{K}}_o^n$ ，那么

$\underset{{\varphi }_i\to \varphi }{\lim }{\bar{V}}_{-{\varphi }_i}\left(K,{\bar{E}}_{-{\varphi }_i}K\right)={\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,{\bar{E}}_{-\varphi }K\right).$

证明：运用(28)式，引理3.3和引理3.4，我们得到

$\begin{array}{l}\underset{{\varphi }_i\to \varphi }{\lim }{\bar{V}}_{-{\varphi }_i}\left(K,{\bar{E}}_{-{\varphi }_i}K\right)=\underset{{\varphi }_i\to \varphi }{\lim }\underset{\left|E\right|=\omega }{\min }{\bar{V}}_{-{\varphi }_i}\left(K,E\right)\\ =\underset{\left|E\right|=\omega }{\min }\underset{{\varphi }_i\to \varphi }{\lim }{\bar{V}}_{-{\varphi }_i}\left(K,E\right)\\ =\underset{\left|E\right|=\omega }{\min }{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E\right)={\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,{\bar{E}}_{-\varphi }K\right).\end{array}$

定理5.1：若 ${\varphi }_i,\varphi \in \mathcal{C}$ 以及 $K\in {\mathcal{K}}_o^n$ ，那么

$\underset{{\varphi }_i\to \varphi }{\lim }{E}_{-{\varphi }_i}K=E_{-\varphi }K,\underset{{\varphi }_i\to \varphi }{\lim }{\bar{E}}_{-{\varphi }_i}K={\bar{E}}_{-\varphi }K.$

证明：根据引理1.1，我们只需证明第二个等式，而第一个等式由

$E_{-\varphi }K={\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,{\bar{E}}_{-\varphi }K\right){\bar{E}}_{-\varphi }K$

便可得到。运用反证法，假设第二个等式不成立，那么由引理5.2，Blaschke选择定理和我们的假设，可知

${\varphi }_i\to \varphi \Rightarrow {\bar{E}}_{-{\varphi }_i}K\to E^{\prime }\ne {\bar{E}}_{-\varphi }K.$

由于 ${\bar{S}}_{-\varphi }$ 的解是唯一的，由引理3.4可得

${\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,{\bar{E}}_{-\varphi }K\right)<{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,E^{\prime }\right)=\underset{{\varphi }_i\to \varphi }{\lim }{\bar{V}}_{-\varphi }\left(K,{\bar{E}}_{-{\varphi }_i}K\right)=\underset{{\varphi }_i\to \varphi }{\lim }{\bar{V}}_{-{\varphi }_i}\left(K,{\bar{E}}_{-{\varphi }_i}K\right),$

这与引理5.3相矛盾。

由(12)式和对偶Orlicz John椭球的定义，我们立即得到如下定理。

定理5.2：如果 $K\in {\mathcal{K}}_o^n$ 以及 ${\varphi }_1,{\varphi }_2\in \mathcal{C}$ 使得 ${\varphi }_1\le {\varphi }_2$ ，那么

$\left|E_{-{\varphi }_1}K\right|\ge \left|E_{-{\varphi }_2}K\right|.$

$E_{-\varphi }K$ 和K的体积关系可以叙述如下：

定理5.3：设 $\varphi \in \mathcal{C},\varphi \left(c_{\varphi }\right)=1$ 以及 $K\in {\mathcal{K}}_o^n$ ，那么

$\left|c_{\varphi }{E}_{-\varphi }K\right|\ge \left|K\right|,$ (29)

等号成立当且仅当K是一个中心在原点的椭球。

证明：由 $E_{-\varphi }K$ 的定义和对偶Orlicz-Minkowski不等式(15)，我们有

$1\ge {\bar{V}}_{-\varphi }{\left(K,E_{-\varphi }K\right)}^n\ge c_{\varphi }^{-n}\left|K\right|{\left|E_{-\varphi }K\right|}^{-1},$

也就是说

$\left|c_{\varphi }{E}_{-\varphi }K\right|\ge \left|K\right|.$

等号成立的条件由对偶Orlicz-Minkowski不等式等号成立的条件以及对于任意 $u\in S^{n-1}$ ，

$\frac{{\rho }_K\left(u\right)}{{\rho }_{E_{-\varphi }K}\left(u\right)}=c_{\varphi }$

得到。即不等式(29)等号成立当且仅当K是一个中心在原点的椭球。

注意到如果 $\varphi \left(t\right)={\left|t\right|}^p,p\ge 1$ ，那么 $c_{\varphi }=1$ ， $E_{-\varphi }K$ 就是对偶Lp-John椭球 ${\tilde{E}}_{p}K$ ，于是不等式(29)变成熟知的不等式 [6]：

$\left|{\tilde{E}}_{p}K\right|\ge \left|K\right|,$

等号成立当且仅当K是一个中心在原点的椭球。

基金项目

国家自然科学基金资助项目(批准号：11561020)。