一致q阶增长条件

The Uniform q-Order Growth Condition

摘要: 一致二阶增长条件是优化中的重要概念，已被广泛研究。近来，作为一致二阶增长条件的自然推广，用一般的正数q代替二，文献[1]引进并研究了一致q阶增长条件。本文在文献[1]的基础上，进一步考虑q-正则函数f的一致q阶增长条件，通过q-正则函数f之次微分映射∂f的Hölder度量正则性刻画了f的一致q阶增长条件。特别地，本文给出了∂f的Hölder度量正则性所涉及模及半径与f的一致q阶增长条件涉及半径之间的确切数量关系，从而改进了一致二阶增长条件及一致q阶增长条件方面的一些现有结果。

Abstract: Uniform second order growth condition is an important notion in optimization and has been studied extensively. Recently, as a natural extension of the uniform second order growth condition, with a positive number q replacing 2, the uniform q-order growth condition was introduced and studied in [1]. Motivated by [1], this thesis further studies the uniform q-order growth condition of a q-order regular real-valued function f. In terms of the Hölder metric regularity of the subdifferential mapping ∂f, we provide sufficient and necessary conditions for f to have the uniform q-order growth condition. In particular, using the modulus and radius appearing in the Hölder metric regularity of the subdifferential mapping ∂f, we give an exact quantitative formula of the radius appearing in the uniform q-order growth condition, which improves some existing results on the uniform second order growth condition and uniform q-order growth condition.

1. 引言

作为凸性的一个有意义的延拓，在1996年，Poliquin和Rockafellar [2] 提出并研究了prox-正则性。

设 $f:R^n\to R\cup \left\{+\infty \right\}$ 是一个真下半连续泛函且 $\left(\bar{x},{\bar{x}}^{\ast }\right)\in gph\left(\partial f\right)$ ，若存在 $\rho ,\delta \in \left(0,+\infty \right)$ 使得对于任意的 $y\in B\left(\bar{x},\delta \right)$ ， $\left(x,f\left(x\right)\right)\in B\left(\left(\bar{x},f\left(\bar{x}\right)\right),\delta \right)$ 及 $x^{\ast }\in gph\left(\partial f\right)\cap B\left({\bar{x}}^{\ast },\delta \right)$ 都有

$\langle x^{\ast },y-x\rangle \le f\left(y\right)-f\left(x\right)+\rho {\Vert y-x\Vert }^2,$ (1.1)

则称f在 $\left(x,x^{\ast }\right)$ 处是prox-正则的，其中 $B\left(\left(\bar{x},f\left(\bar{x}\right)\right),\delta \right)$ 表示乘积空间 $R^n\times R$ 中以 $\delta$ 为半径且以 $\left(\bar{x},f\left(\bar{x}\right)\right)$ 为心的开球， $B\left({\bar{x}}^{\ast },\delta \right)$ 表示 $R^n$ 中以 $\delta$ 为半径且以 ${\bar{x}}^{\ast }$ 为心的开球，而 $\partial f$ 表示f的Clarke次微分。之后，Bernard和Thibault [3] 将上述的prox-正则性推广到无限维空间中，并被很好地研究。特别地，一个真下半连续泛函f的正则性与它的次微分映射 $\partial f$ 的hypomonotocity有着紧密的关系(参见文献 [4] [5] [6] [7] [8] )。

当目标函数在小的线性扰动下，prox-正则性在研究目标函数的一致二阶增长条件和tilt-稳定性中起

着很重要的作用(参见文献 [9] - [16] )。特别地，当 $f:X\to R\cup \left\{+\infty \right\}$ 在 $\left(\bar{x},{\bar{x}}^{\ast }\right)$ 处是prox-正则的及次微分连续时，Poliquin和Rockafellar [14] 中证明了 ${\partial }^{2}f\left(\bar{x},0\right)$ 在Mordukhovich [17] 意义下是正定的当且仅当f在 $\bar{x}$ 处有tilt-稳定的极小值，即， $f\left(\bar{x}\right)<+\infty$ 且存在 $\delta >0$ 使得映射

$M:v\to \underset{x\in B_X\left[\bar{x},\delta \right]}{\arg \min }\left\{f\left(x\right)-f\left(\bar{x}\right)-\langle v,x-\bar{x}\rangle \right\}$

是单值的，满足 $M\left(0\right)=\bar{x}$ 且在 $v=0$ 附近是Lipschitz的。最近，这个结果被Mordukhovich和Nghia [11] 和Mordukhovich和Rockafellar [18] 分别推广到了Asplund空间和希尔伯特空间。而Drusvyatskiy和Lewis在 [9] 中证明了 $\partial f$ 在 $\bar{x}$ 处有tilt-稳定的极小值当且仅当f在 $\bar{x}$ 处满足一致二阶增长条件，即，存在

$\delta ,\kappa ,r\in \left(0,+\infty \right)$ 及映射 $\vartheta :B\left(0,\delta \right)\to B\left(\bar{x},r\right)$ 使得对于任意的 $\left(x,u^{\ast }\right)\in B\left(\bar{x},r\right)\times B\left(0,\delta \right)$ 有 $\vartheta \left(0\right)=\bar{x}$ 且

$\kappa {\Vert x-\vartheta \left(u^{\ast }\right)\Vert }^2\le f\left(x\right)-f\left(\vartheta \left(u^{\ast }\right)\right)-\langle u^{\ast },x-\vartheta \left(u^{\ast }\right)\rangle .$ (1.2)

在f是希尔伯特空间X上的一个真下半连续凸泛函的假设下，Artacho在 [19] 证明了f在 $\bar{x}$ 处满足一致二阶增长条件当且仅当 $\partial f$ 在 $\left(\bar{x},0\right)$ 处是强度量正则的。之后，在有限维空间中，将f的凸性减弱为f是次微分连续及prox-正则的，Drusvyatskiy和Lewis [9] 证明了类似的结果。近来，在更一般的无限维空间中，许多的学者利用次微分映射 $\partial f$ 的度量正则性和度量次正则性进一步研究了一致二阶增长条件(参见文献 [11] [15] [20] [21] [22] )。

适定性是优化中基本概念，它可以叙述如下：一Banach个空间X上的广泛实值下半连续函数f被称

为在 $\bar{x}\in X$ 处具有适定性，若f的每一个极小化序列 $\left\{x_n\right\}\subset X$ 都收敛于 $\bar{x}$ (即，若每当 $\left\{x_n\right\}\subset X$ 使得 $\underset{n\to \infty }{\lim }f\left(x_n\right)=\underset{x\in X}{\inf }f\left(x\right)$ 必有 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\bar{x}$ ) 。回顾一个函数 $\phi :R^{+}\to R^{+}$ 是admissible函数，若φ是一个非减的函数， $\phi \left(0\right)=0$ 且 $\left[\phi \left(t\right)\to 0\Rightarrow t\to 0\right]$ 。下面的适定性特征容易验证(参见文献 [23] ，定理2)，f在 $\bar{x}\in X$ 处具有适定性等价于存在一个admissible函数 $\phi :R_{\text{+}}\to R_{\text{+}}$ 使得

$\phi \left(\Vert x-\bar{x}\Vert \right)\le f\left(x\right)-f\left(\bar{x}\right),\forall x\in X.$

基于适定性的上述特征，通过admissible函数，Zheng和Zhu [24] 引进并研究了适定性的稳定性。特

别地，他们将一致二阶增长条件推广为一致φ-增长条件：若存在 $\delta ,\kappa ,r,\tau \in \left(0,+\infty \right)$ 及映射

$\vartheta :B_{X^{\ast }}\left(0,\delta \right)\to B_X\left(\bar{x},r\right)$ 使得 $\vartheta \left(0\right)=\bar{x}$ 且对于任意的 $\left(x,u^{\ast }\right)\in B_X\left(\bar{x},r\right)\times B_{X^{\ast }}\left(0,\delta \right)$ 都有

$\kappa \phi \left(\tau \Vert x-\vartheta \left(u^{\ast }\right)\Vert \right)\le f\left(x\right)-f\left(\vartheta \left(u^{\ast }\right)\right)-\langle u^{\ast },x-\vartheta \left(u^{\ast }\right)\rangle ,$ (1.3)

则称f在 $\bar{x}$ 处是满足一致φ-增长条件。在 $\phi \left(t\right)=t^2$ 的特殊情况下，一致φ-增长条件即回归到一致二阶增长条件。在 $\bar{x}$ 是f的局部极小值点且φ是一个凸的admissible函数的条件下，Zheng和Zhu [24] 证明了 $\partial f$ 在 $\left(\bar{x},0\right)$ 处是强度量 ${{\phi }^{\prime }}_{\text{+}}$ 正则的是f在 $\bar{x}$ 处是满足一致φ-增长条件的一个充分条件，其中 ${{\phi }^{\prime }}_{\text{+}}$ 是φ的右方向导数。该结果要求 $\bar{x}$ 是f的局部极小值点的假设在实际应用中有一定的局限性。另一方面，在 $\phi \left(t\right)=t^2$ 的特殊情况下，不要求 $\bar{x}$ 是f的局部极小值点，若f在 $\left(\bar{x},0\right)$ 处是prox-正则的且次微分连续，则 $\partial f$ 在 $\left(\bar{x},0\right)$ 处处是强度量 ${{\phi }^{\prime }}_{\text{+}}$ 正则的是f在 $\bar{x}$ 处是满足一致二阶增长条件的一个必要条件。Prox-正则性在研究一致二阶增长条件中起着很重要的作用，可能是因为prox-正则性和一致二阶增长条件涉及到了二阶变分行为之故(见(1.1)和(1.2))。由此对于一个一般的admissible函数就产生了一个问题：是否存在φ-阶正则性，作为prox-正则性的合理推广，使得它在研究一致φ-增长条件中所起的作用与prox-正则性在研究一致二阶增长条件中所起的作用类似? Yao，Zheng和Zhu [1] 就解决了上述的问题，将prox-正则性推广为φ-正则性。

设 $f:X\to R\cup \left\{+\infty \right\}$ 是一个真的下半连续泛函，若存在 $\delta ,\rho ,\tau \in \left(0,+\infty \right)$ 使得对于任意 $x\in B_X\left(\bar{x},\delta \right)$ ， $\left(z,f\left(z\right)\right)\in B\left(\left(\bar{x},f\left(\bar{x}\right)\right),\delta \right)$ 及 $u^{\ast }\in \partial f\left(z\right)\cap B_{X^{\ast }}\left({\bar{x}}^{\ast },\delta \right)$ 都有

$\langle u^{\ast },x-z\rangle \le f\left(x\right)-f\left(z\right)+\rho \phi \left(\tau \Vert x-z\Vert \right),$

则称f在 $\left(\bar{x},{\bar{x}}^{\ast }\right)$ 处是φ-正则的。他们也定义了φ-S-正则，φ-次正则及φ-S-次正则(参见文献 [1] ，定义3.1)，并用上述的φ-正则性及度量正则性与度量次正则性来研究一致φ-增长条件，得到了一致φ-增长条件的存在性证明，同时还得到了一致φ-增长条件的一个必要条件。不仅改进了之前的一些结果，而且深

刻地刻画了一致φ-增长条件。上述所有关于一致增长条件的结果都是存在性的，即存在半径 $\delta ,r\in \left(0,+\infty \right)$ 使得当 $\left(x,u^{\ast }\right)\in B_X\left(\bar{x},r\right)\times B_{X^{\ast }}\left(0,\delta \right)$ 时(1.2)或(1.3)成立。然而在实际应用当中，尤其是在算法的收敛性分

析及稳定性分析中，只有半径r和δ存在性是不够的，需要知道相关性质成立的明确范围。本文主要改进了Yao，Zheng和Zhu [1] 在得到一致φ-增长条件时只有存在性的不足，我们将给出半径r和δ与条件中出现的系数之间的确切数量关系。

2. 预备知识

在这一章，我们将给出一些常用的符号以及后面讨论中将会用到的一些定义及结论。设X是Banach

空间， $X^{\ast }$ 和 $B_X$ 分别表示X的共轭空间和X的单位闭球。对于 $\bar{x}\in X$ 及 $\delta >0$ ，设 $B_X\left(\bar{x},\delta \right)$ 和 $B_X\left[\bar{x},\delta \right]$ 分别表示X中以 $\delta$ 为半径且以 $\bar{x}$ 为心的开球和闭球。设 $\left(\bar{x},\bar{y}\right)$ 是一个真的下半连续泛函，集合

$dom\left(f\right):=\left\{x\in X:f\left(x\right)<+\infty \right\}$

和

$epi\left(f\right):=\left\{\left(x,\alpha \right)\in X\times R:f\left(x\right)<\alpha \right\}$

分别表示f的有效定义域和上方图形。对于 $x\in dom\left(f\right)$ 及 $h\in X$ ，用 $f^{\uparrow }\left(x,h\right)$ 表示f在x点沿方向h的Rockafelllar方向导数(参见文献 [25] )，即

$f^{\uparrow }\left(x,h\right):=\underset{\epsilon \downarrow 0}{\lim }\underset{u\stackrel{f}{\to }x,t\downarrow 0}{\lim \sup }\underset{\omega \in h+\epsilon B_X}{\inf }\frac{f\left(u+t\omega \right)-f\left(u\right)}{t},$

其中 $u\stackrel{f}{\to }x$ 表示 $u\to x$ 且 $f\left(u\right)\to f\left(x\right)$ 。当f在x附近是Lipschitz的，则

$f^{\uparrow }\left(x,h\right):=\underset{u\to x}{\lim }\underset{t\downarrow 0}{\sup }\frac{f\left(u+th\right)-f\left(u\right)}{t},$

此时 ${{\delta }^{\prime }}_1:=\min \left\{{\delta }_0,{\delta }_1,{\delta }_2,\frac{{\delta }_3}{4}\right\}$ 即为f在x点沿方向h的Clarke方向导数。记 $x_y\in F^{-1}\left(y\right)$ 为f在x处的Clarke次微分，即

${\kappa }_0:=\kappa$

当f是凸泛函时，

$\begin{array}{c}\partial f\left(x\right)=\left\{x^{\ast }\in X^{\ast }:\langle x^{\ast },y-x\rangle \le f\left(y\right)-f\left(x\right),\forall y\in X\right\}\\ =\left\{x^{\ast }\in X^{\ast }:\langle x^{\ast },h\rangle \le \underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(x+th\right)-f\left(x\right)}{h},\forall y\in X\right\}\end{array}$

对于 $\left(\bar{x},{\bar{x}}^{\ast }\right)\in gph\left(\partial f\right):=\left\{\left(x,x^{\ast }\right)\in X\times X^{\ast },x^{\ast }\in gph\left(\partial f\right)\right\}$ ，若有

$\underset{\left(x,x^{\ast }\right)\stackrel{gph\left(\partial f\right)}{\to }\left(\bar{x},{\bar{x}}^{\ast }\right)}{\lim }f\left(x\right)=f\left(\bar{x}\right),$

则称f在 $\left(\bar{x},{\bar{x}}^{\ast }\right)$ 处是次微分连续，其中 $\left(x,x^{\ast }\right)\stackrel{gph\left(\partial f\right)}{\to }\left(\bar{x},{\bar{x}}^{\ast }\right)$ 表示 $\left(x,x^{\ast }\right)\in gph\left(\partial f\right)$ 且 $\left(x,y\right)\in B_X\left(\bar{x},{{\delta }^{\prime }}_1\right)\times B_Y\left(\bar{y},{{\delta }^{\prime }}_1\right)$ 。

下面的引理在变分分析中起着重要的作用(参见文献 [25] ，命题2.3.3)。

引理2.1 设X是Banach空间， $f_1,f_2:X\to R\cup \left\{+\infty \right\}$ 是真的下半连续泛函，

$x\in dom\left(f_1\right)\cap dom\left(f_2\right)$ 且 $f_1$ 在x附近是Lipschitz的，则

$\partial \left(f_1+f_2\right)\left(x\right)\subset \partial f_1\left(x\right)+\partial f_2(x)$

且

$\partial \left(\alpha f_1\right)\left(x\right)=\alpha \partial f_1\left(x\right),\forall \alpha \in R.$

给定一个admissible函数 $\phi :R_{\text{+}}\to R_{\text{+}}$ ，Zheng和Zhu [24] 引进并研究了一致φ-增长条件，本文主要考虑在 $\phi \left(t\right)=t^q$ 的情况下对应的一致增长条件。

设X是Banach空间， $f:X\to R\cup \left\{+\infty \right\}$ 是一个真的下半连续泛函， $\delta ,\rho \in \left(0,+\infty \right)$ 且 $q\in \left[1,+\infty \right)$ 。若存在 $\kappa ,{\delta }_1,{\delta }_2\in \left(0,+\infty \right)$ 及映射 $\vartheta :B_{X^{\ast }}\left(0,{\delta }_1\right)\to B_X\left(\bar{x},{\delta }_2\right)$ 使得 $\vartheta \left(0\right)=\bar{x}$ 且

$\kappa {\Vert x-\vartheta \left(u^{\ast }\right)\Vert }^q\le f\left(x\right)-f\left(\vartheta \left(u^{\ast }\right)\right)-\langle u^{\ast },x-\vartheta \left(u^{\ast }\right)\rangle ,\forall \left(x,u^{\ast }\right)\in B_X\left(\bar{x},{\delta }_2\right)\times B_{X^{\ast }}\left(0,{\delta }_1\right),$

则称f在 $\bar{x}$ 处满足一致q阶增长条件。

为了研究一致q阶增长条件，本文采用Hölder度量正则性。

设X和Y都是Banach空间， $F:X\to Y$ 是一个多值映射， $p\in \left(0,+\infty \right)$ 且 $\left(\bar{x},\bar{y}\right)\in gph\left(F\right):=\left\{\left(x,y\right)\in X\times Y:y\in F\left(x\right)\right\}$ 。

1) 若存在 $\kappa ,{\delta }_1,{\delta }_2\in \left(0,+\infty \right)$ 使得

$d{\left(x,F^{-1}\left(y\right)\right)}^p\le \kappa d\left(y,F\left(x\right)\right),\forall \left(x,y\right)\in B_X\left(\bar{x},{\delta }_1\right)\times B_Y\left(\bar{y},{\delta }_2\right),$ (2.1)

则称F在 $\left(\bar{x},\bar{y}\right)$ 处是p阶Hölder度量正则的。

2) 若存在 $\kappa ,{\delta }_1,{\delta }_2,{\delta }_3\in \left(0,+\infty \right)$ 使得(2.1)成立且

$F^{-1}\left(y\right)\cap B_X\left(\bar{x},{\delta }_3\right)=\left\{z_y\right\},\forall y\in B_Y\left(\bar{y},{\delta }_2\right),$

则称F在 $\left(\bar{x},\bar{y}\right)$ 处是p阶Hölder强度量正则的。

命题2.1. 设X和Y都是Banach空间， $F:X\to Y$ 是一个多值映射， $p\in \left(0,+\infty \right)$ 且 $\left(\bar{x},\bar{y}\right)\in gph\left(F\right):=\left\{\left(x,y\right)\in X\times Y:y\in F\left(x\right)\right\}$ ，则称F在 $\left(\bar{x},\bar{y}\right)$ 处是p阶Hölder强度量正则的当且仅当存在 ${\kappa }_0,{{\delta }^{\prime }}_1,{{\delta }^{\prime }}_2\in \left(0,+\infty \right)$ 及 $\theta :B_Y\left(\bar{y},{{\delta }^{\prime }}_1\right)\to B_X\left(\bar{x},{{\delta }^{\prime }}_2\right)$ 使得

${\Vert x-\theta \left(y\right)\Vert }^p\le {\kappa }_{0}d\left(y,F\left(x\right)\right),\forall \left(x,y\right)\in B_X\left(\bar{x},{{\delta }^{\prime }}_1\right)\times B_Y\left(\bar{y},{{\delta }^{\prime }}_1\right)$ (2.2)

且

$F^{-1}\left(y\right)\cap B_X\left(\bar{x},{{\delta }^{\prime }}_2\right)=\left\{\theta \left(y\right)\right\},\forall y\in B_Y\left(\bar{y},{{\delta }^{\prime }}_1\right).$ (2.3)

证明：充分性是显然的，下证必要性。由于F在 $\left(\bar{x},\bar{y}\right)$ 处是p阶Hölder强度量正则的，

则存在 $\kappa ,{\delta }_1,{\delta }_2,{\delta }_3\in \left(0,+\infty \right)$ 使得(2.1)成立且

$F^{-1}\left(y\right)\cap B_X\left(\bar{x},{\delta }_3\right)=\left\{z_y\right\},\forall y\in B_Y\left(\bar{y},{\delta }_2\right).$ (2.4)

由(2.1)及 $\bar{y}\in F\left(\bar{x}\right)$ 可知

$d{\left(x,F^{-1}\left(y\right)\right)}^p\le \kappa d\left(y,F\left(x\right)\right)\le \kappa \Vert y-\bar{y}\Vert ,\forall y\in B_Y\left(\bar{y},{\delta }_2\right)$

所以

$\underset{y\to \bar{y}}{\lim }d\left(\bar{x},F^{-1}\left(y\right)\right)=0.$

于是存在 ${\delta }_0\in \left(0,{\delta }_3\right)$ 使得对于任意的 $y\in B_Y\left(\bar{y},{\delta }_0\right)$ 都存在 $x_y\in F^{-1}\left(y\right)$ 使得

$\Vert x_y-\bar{x}\Vert <\min \left\{{\delta }_1,{\delta }_2,\frac{{\delta }_3}{4}\right\}.$ (2.5)

令 ${{\delta }^{\prime }}_1:=\min \left\{{\delta }_0,{\delta }_1,{\delta }_2,\frac{{\delta }_3}{4}\right\}$ ， ${\kappa }_0:=\kappa$ 及 ${{\delta }^{\prime }}_2:={\delta }_3$ 。并定义 $\theta :B_Y\left(\bar{y},{{\delta }^{\prime }}_1\right)\to B_X\left(\bar{x},{{\delta }^{\prime }}_2\right)$ 使得 $\theta \left(y\right)=z_y,\forall y\in B_Y\left(\bar{y},{{\delta }^{\prime }}_1\right)$ 。

由(2.4)和(2.5)可知对于任意的 $y\in B_Y\left(\bar{y},{{\delta }^{\prime }}_1\right)$ 都有

$x_y\in \left(F^{-1}\left(y\right)\cap B_X\left(\bar{x},{{\delta }^{\prime }}_2\right)\right)=\left(F^{-1}\left(y\right)\cap B_X\left(\bar{x},{\delta }_3\right)\right)=\left\{z_y\right\}=\left(\theta \left(y\right)\right),$

所以 $\theta \left(y\right)=x_y=z_y\in B_X\left(\bar{x},{{\delta }^{\prime }}_2\right)$ 且(2.3)成立。下面只需证明(2.2)。由(2.5)可知对于任意的 $\left(x,y\right)\in B_X\left(\bar{x},{{\delta }^{\prime }}_1\right)\times B_Y\left(\bar{y},{{\delta }^{\prime }}_1\right)$ 都有

$\begin{array}{c}d\left(x,F^{-1}\left(y\right)\cap B_X\left(\bar{x},{{\delta }^{\prime }}_2\right)\right)\le \Vert x-x_y\Vert \le \Vert x-\bar{x}\Vert +\Vert \bar{x}-x_y\Vert \\ <{{\delta }^{\prime }}_1+\frac{{\delta }_3}{4}\le \frac{{\delta }_3}{2}=\frac{{{\delta }^{\prime }}_2}{2}\end{array}$

且

$\begin{array}{c}d\left(x,F^{-1}\left(y\right)\backslash B_X\left(\bar{x},{{\delta }^{\prime }}_2\right)\right)\ge d\left(\bar{x},F^{-1}\left(y\right)\backslash B_X\left(\bar{x},{{\delta }^{\prime }}_2\right)\right)-\Vert x-\bar{x}\Vert \\ >{{\delta }^{\prime }}_2-{{\delta }^{\prime }}_1\ge {{\delta }^{\prime }}_2-\frac{{\delta }_3}{4}=\frac{3{{\delta }^{\prime }}_2}{4}\end{array}$

所以对于任意的 $\left(x,y\right)\in B_X\left(\bar{x},{{\delta }^{\prime }}_1\right)\times B_Y\left(\bar{y},{{\delta }^{\prime }}_1\right)$ 都有

$\begin{array}{c}d\left(x,F^{-1}\left(y\right)\right)=\min \left\{d\left(x,F^{-1}\left(y\right)\cap B_X\left(\bar{x},{{\delta }^{\prime }}_2\right)\right),d\left(x,F^{-1}\left(y\right)\backslash B_X\left(\bar{x},{{\delta }^{\prime }}_2\right)\right)\right\}\\ =d\left(x,F^{-1}\left(y\right)\cap B_X\left(\bar{x},{{\delta }^{\prime }}_2\right)\right)=\Vert x-\theta \left(y\right)\Vert \end{array}$ (2.6)

(最后一个等式成立是因为(2.3))，从而由(2.1)和(2.6)可得到(2.2)，证毕。

Prox-正则体现了二阶变分性质，在变分分析中被广泛使用，本文采用更一般的Hölder正则性(参见文献 [1] ，定义3.1，取 $\phi \left(t\right)=t^p$ )。

设X是Banach空间， $f:X\to R\cup \left\{+\infty \right\}$ 是一个真的下半连续泛函， $\left(\bar{x},{\bar{x}}^{\ast }\right)\in gph\left(\partial f\right)$ 且 $s\in \left[1,+\infty \right)$ 。

1) 若存在 $\delta ,\rho \in \left(0,+\infty \right)$ 使得对于任意的 $x\in B_X\left(\bar{x},\delta \right),\left(z,f\left(z\right)\right)\in B\left(\left(\bar{x},f\left(\bar{x}\right)\right),\delta \right)$ 及 $u^{\ast }\in \partial f\left(z\right)\cap B_{X^{\ast }}\left({\bar{x}}^{\ast },\delta \right)$ 都有

$\langle u^{\ast },x-z\rangle \le f\left(x\right)-f\left(z\right)+\rho {\Vert x-z\Vert }^s,$

则称f在 $\left(\bar{x},{\bar{x}}^{\ast }\right)$ 处是s阶正则的。

2) 若存在 $\delta ,\rho \in \left(0,+\infty \right)$ 使得对于任意的 $x\in B_X\left(\bar{x},\delta \right),\left(z,f\left(z\right)\right)\in B\left(\left(\bar{x},f\left(\bar{x}\right)\right),\delta \right)$ 及 $u^{\ast }\in \partial f\left(z\right)\cap B_{X^{\ast }}\left({\bar{x}}^{\ast },\delta \right)$ 都有

$\langle u^{\ast },x-z\rangle \le f\left(x\right)-f\left(z\right)+\rho d{\left(x,{\left(\partial f\right)}^{-1}\left(u^{\ast }\right)\right)}^s,$

则称f在 $\left(\bar{x},{\bar{x}}^{\ast }\right)$ 处是s阶S-正则的。

3) 若存在 $\delta ,\rho \in \left(0,+\infty \right)$ 使得对于任意的 $x\in B_X\left(\bar{x},\delta \right)$ 都有

$\langle {\bar{x}}^{\ast },x-\bar{x}\rangle \le f\left(x\right)-f\left(\bar{x}\right)+\rho {\Vert x-\bar{x}\Vert }^s,$

则称f在 $\left(\bar{x},{\bar{x}}^{\ast }\right)$ 处是s阶次正则的。

4) 若存在 $\delta ,\rho \in \left(0,+\infty \right)$ 使得对于任意的 $x\in B_X\left(\bar{x},\delta \right)$ 都有

$\langle {\bar{x}}^{\ast },x-\bar{x}\rangle \le f\left(x\right)-f\left(\bar{x}\right)+\rho d{\left(x,{\left(\partial f\right)}^{-1}\left({\bar{x}}^{\ast }\right)\right)}^s,$

则称f在 $\left(\bar{x},{\bar{x}}^{\ast }\right)$ 处是s阶S-次正则的。

命题2.2. 设X是Banach空间， $f:X\to R\cup \left\{+\infty \right\}$ 是一个真的下半连续泛函， $\left(\bar{x},{\bar{x}}^{\ast }\right)\in gph\left(\partial f\right)$ 且 $s\in \left[1,+\infty \right)$ 。若f在 $\left(\bar{x},{\bar{x}}^{\ast }\right)$ 处是次微分连续，则f在 $\left(\bar{x},{\bar{x}}^{\ast }\right)$ 处是s阶正则的当且仅当 $\delta ,\rho \in \left(0,+\infty \right)$ 使得对于任意的 $x,z\in B_X\left(\bar{x},\delta \right)$ 且 $u^{\ast }\in \partial f\left(z\right)\cap B_{X^{\ast }}\left({\bar{x}}^{\ast },\delta \right)$ 都有

$\langle u^{\ast },x-z\rangle \le f\left(x\right)-f\left(z\right)+\rho {\Vert x-z\Vert }^s.$

证明：充分性是显然的，下证必要性。由于f在 $\left(\bar{x},{\bar{x}}^{\ast }\right)$ 处是s阶正则的，则存在 ${\delta }_0,{\rho }_0\in \left(0,+\infty \right)$ 使得对于任意的 $x\in B_X\left(\bar{x},{\delta }_0\right),\left(z,f\left(z\right)\right)\in B\left(\left(\bar{x},f\left(\bar{x}\right)\right),{\delta }_0\right)$ 及 $u^{\ast }\in \partial f\left(z\right)\cap B_{X^{\ast }}\left({\bar{x}}^{\ast },{\delta }_0\right)$ 都有

$\langle u^{\ast },x-z\rangle \le f\left(x\right)-f\left(z\right)+{\rho }_0{\Vert x-z\Vert }^s.$ (2.7)

由于f在 $\left(\bar{x},{\bar{x}}^{\ast }\right)$ 处是次微分连续的，故存在 $\delta \in \left(0,{\delta }_0\right)$ 使得对于任意的 $\left(z,u^{\ast }\right)\in \partial f\left(z\right)\cap \left(B_X\left(\bar{x},\delta \right)\times B_{X^{\ast }}\left({\bar{x}}^{\ast },\delta \right)\right)$ 都有

$\left|f\left(x\right)-f\left(\bar{x}\right)\right|<{\delta }_0.$ (2.8)

令 $\rho :={\rho }_0$ ，由(2.7)和(2.8)可知对于任意的 $x,z\in B_X\left(\bar{x},\delta \right)$ 且 $u^{\ast }\in \partial f\left(z\right)\cap B_{X^{\ast }}\left({\bar{x}}^{\ast },\delta \right)$ 都有

$\langle u^{\ast },x-z\rangle \le f\left(x\right)-f\left(z\right)+\rho {\Vert x-z\Vert }^s,$

证毕。

为了后面的叙述方便，我们回顾下面的概念。

设X是Banach空间， $f:X\to R\cup \left\{+\infty \right\}$ 是一个真的下半连续泛函，f的共轭函数定义如下 $f^{\ast }:X^{\ast }\to R\cup \left(0,+\infty \right)$ ：

$f^{\ast }\left(x^{\ast }\right):=\underset{x\in X}{\sup }\left(\langle x^{\ast },x\rangle -f\left(x\right)\right),\forall x^{\ast }\in X^{\ast }.$

对于 $x^{\ast }\in X^{\ast }$ 和 $x\in X$ ，容易得到(参见文献 [26] ，命题5.3.1)

$f^{\ast }\left(x^{\ast }\right)=\langle x^{\ast },x\rangle -f\left(x\right)\Rightarrow x\in \partial f^{\ast }\left(x^{\ast }\right).$

当f是凸泛函时(参见文献 [26] ，推论5.3.3)，则

$x^{\ast }\in \partial f\left(x\right)\iff x\in \partial f^{\ast }\left(x^{\ast }\right).$

3. 一致q阶增长条件

下面的引理引自文献 [1] ，推论4.4，它在本文主要结果的证明中起着关键作用。

引理3.1 设 $q\in \left(1,+\infty \right)$ ，设X是Banach空间， $f:X\to R\cup \left\{+\infty \right\}$ 是一个真的下半连续泛函， $\alpha \in \left(0,1\right)$ ， $\left(\bar{x},{\bar{x}}^{\ast }\right)\in gph\left(\partial f\right)$ 且 $\bar{x}\in A\subset {\left(\partial f\right)}^{-1}\left({\bar{x}}^{\ast }\right)$ ，并设 ${\kappa }_0,\delta ,r\in \left(0,+\infty \right)$ 及 ${\rho }_0\in \left[0,\frac{1}{q{\kappa }_0}\right)$ 使得

$d{\left(x,A\right)}^{q-1}\le {\kappa }_{0}d\left({\bar{x}}^{\ast },\partial \left(x\right)\right),\forall x\in B_X\left(\bar{x},\delta \right)$

且

$f\left(x\right)\ge f\left(\bar{x}\right)+\langle {\bar{x}}^{\ast },x-\bar{x}\rangle -{\rho }_{0}d{\left(x,A\right)}^q,\forall x\in B_X\left[\bar{x},r\right].$

令

$\nu :=\max \left\{n\in N:n\le 1-{\log }_{\left(1+q\left(1-\alpha \right){\alpha }^{q-1}\right)}\left(1-q{\rho }_0{\kappa }_0\right)\right\},$ (3.1)

$\lambda :=\left(\frac{1}{q{\alpha }^q{\kappa }_0}-\frac{{\rho }_0}{{\alpha }^q}\right){\left(1+q\left(1-\alpha \right){\alpha }^{q-1}\right)}^{\nu }-\frac{1}{q{\alpha }^q{\kappa }_0}$ (3.2)

及

${\eta }_n:=-\left(\frac{1}{q{\alpha }^q{\kappa }_0}-\lambda \right){\left(1-q\left(1-\alpha \right){\alpha }^{q-1}\right)}^{n-1}+\frac{1}{q{\alpha }^q{\kappa }_0},\forall n\in N.$ (3.3)

则

a) $\nu \ge 1$ ， $\frac{1}{q{\alpha }^q{\kappa }_0}>\lambda >0$ 且 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\eta }_n=\frac{1}{q{\alpha }^q{\kappa }_0}$ ；

b) $f\left(x\right)\ge f\left(\bar{x}\right)+\langle {\bar{x}}^{\ast },x-\bar{x}\rangle +{\eta }_n{\alpha }^{q}d{\left(x,A\right)}^q$ ， $\forall n\in N$ 及 $x\in B_X\left[\bar{x},\frac{\min \left\{r,\delta \right\}}{{\left(2-\alpha \right)}^{\nu +n-1}}\right]$ 。

下面的引理3.2对我们后面的叙述是有用的。

引理3.2. 设 $q\in \left(1,+\infty \right)$ 且 $\alpha \in \left(0,1\right)$ ，则 $\frac{1}{q}>\left(1-\alpha \right){\alpha }^{q-1}$ 。

证明：定义

$\varphi \left(t\right):=t^q,\forall t\in \left(0,1\right).$

容易知道 $\varphi$ 是凸函数，从而

$\frac{1}{q}=\frac{\varphi \left(t\right)}{t{\varphi }^{\prime }\left(t\right)}>\left(1-\alpha \right)\frac{\varphi \left(t\right)-\varphi \left(\alpha t\right)}{\left(t-\alpha t\right){\varphi }^{\prime }\left(t\right)}\ge \left(1-\alpha \right)\frac{{\varphi }^{\prime }\left(\alpha t\right)}{{\varphi }^{\prime }\left(t\right)}=\left(1-\alpha \right){\alpha }^{q-1},$

证毕。

一个非减的函数 $\phi :R_{+}\to R_{+}$ 是admissible函数(见参考文献 [1] )，若 $\phi \left(0\right)=0$ 且 $\left[\phi \left(t\right)\to 0\Rightarrow t\to 0\right]$ 。Yao，Zheng和Zhu [1] 使用admissible函数研究了更一般的一致φ-增长条件，并证明了如下结果：

定理I. (参见文献 [1] ，定理5.1)设 $\alpha \in \left(0,1\right),\phi :R_{+}\to R_{+}$ 是一个严格凸的可微admissible函数满足 ${\phi }^{\prime }\left(0\right)=0$ ，X是Banach空间， $f:X\to R\cup \left\{+\infty \right\}$ 是一个真的下半连续泛函，且f在 $\left(\bar{x},0\right)\in gph\left(\partial f\right)$ 处是次微分连续。并设 $\kappa ,{\delta }_1,{\delta }_2,\tau \in \left(0,+\infty \right)$ 及 $\rho \in \left[0,\frac{1}{{\mu }_{\alpha }\kappa \tau }\right)$ 使得下述条件成立：

1) 对于任意的 $\left(x,u^{\ast }\right)\in B_X\left(\bar{x},{\delta }_1\right)\times B_{X^{\ast }}\left(0,{\delta }_1\right)$ 都有

${\phi }^{\prime }\left(\tau d\left(x,{\left(\partial f\right)}^{-1}\left(u^{\ast }\right)\right)\right)\le \kappa d\left(u^{\ast },\partial f\left(x\right)\right);$

2) 对于任意的 $x\in B_X\left(\bar{x},{\delta }_2\right)$ ， $\left(z,f\left(z\right)\right)\in B_{X^{\ast }}\left(\left(\bar{x},f\left(\bar{x}\right)\right),{\delta }_2\right)$ 及 $u^{\ast }\in \partial f\left(z\right)\cap B_{X^{\ast }}\left(0,{\delta }_2\right)$ 都有

$\langle u^{\ast },x-z\rangle \le f\left(x\right)-f\left(z\right)+\rho \phi \left(\alpha \tau d\left(x,{\left(\partial f\right)}^{-1}\left(u^{\ast }\right)\right)\right).$

则对于任意 $\beta \in \left(0,\frac{1}{{\mu }_{\alpha }\kappa \tau }\right)$ 存在 $r,\delta \in \left(0,+\infty \right)$ 使得对于任意的 $u^{\ast }\in B_{X^{\ast }}\left(0,\delta \right)$ 都有 $x_{u^{\ast }}\in B_X\left(\bar{x},r\right)$ ，满足 $x_0=\bar{x}$ 且

$\beta \phi \left(\alpha \tau \Vert x-x_{u^{\ast }}\Vert \right)\le f\left(x\right)-f\left(x_{u^{\ast }}\right)-\langle u^{\ast },x-x_{u^{\ast }}\rangle ,\forall x\in B_X\left(\bar{x},r\right),$ (3.4)

这里

${\mu }_{\alpha }:=\underset{t>0}{\sup }\frac{\alpha {{\phi }^{\prime }}_{+}\left(\alpha t\right)}{{{\phi }^{\prime }}_{+}\left(t\right)}$ (3.5)

及 ${{\phi }^{\prime }}_{\text{+}}$ 表示 $\phi$ 的右方向导数，故f在 $\bar{x}$ 处满足一致φ-增长条件。

在 $\phi \left(t\right)=t^q$ 的特殊情况下， ${\mu }_{\alpha }=t^q$ (见(3.5))，由定理I和命题2.2可得以下推论。

推论I. 设 $q\in \left(1,+\infty \right)$ ， $\alpha \in \left(0,1\right)$ ，X是Banach空间， $f:X\to R\cup \left\{+\infty \right\}$ 是一个真的下半连续泛函且 $\left(\bar{x},0\right)\in gph\left(\partial f\right)$ 。并设 ${\kappa }_0,{\delta }_1,{\delta }_2\in \left(0,+\infty \right)$ 及 ${\rho }_0\in \left[0,\frac{1}{q{\kappa }_0}\right)$ 使得下述条件成立：

1) 对于任意的 $\left(x,u^{\ast }\right)\in B_X\left(\bar{x},{\delta }_1\right)\times B_{X^{\ast }}\left(0,{\delta }_1\right)$ 都有

$d{\left(x,{\left(\partial f\right)}^{-1}\left(u^{\ast }\right)\right)}^{q-1}\le {\kappa }_{0}d\left(u^{\ast },\partial f\left(x\right)\right);$

2) 对于任意的 $x,z\in B_X\left(\bar{x},{\delta }_2\right)$ 及 $u^{\ast }\in \partial f\left(z\right)\cap B_{X^{\ast }}\left(0,{\delta }_2\right)$ 都有

$\langle u^{\ast },x-z\rangle \le f\left(x\right)-f\left(z\right)+{\rho }_{0}d{\left(x,{\left(\partial f\right)}^{-1}\left(u^{\ast }\right)\right)}^q.$

则对于任意 $\beta \in \left(0,\frac{1}{q{\alpha }^q{\kappa }_0}\right)$ 存在 $r,\delta \in \left(0,+\infty \right)$ 及映射 $\vartheta :B_{X^{\ast }}\left(0,{\delta }_1\right)\to B_X\left(\bar{x},{\delta }_2\right)$ 使得对于任意的 $\left(x,u^{\ast }\right)\in B_X\left(\bar{x},r\right)\times B_{X^{\ast }}\left(0,\delta \right)$ 有 $\vartheta \left(0\right)=\bar{x}$ 且

$\beta {\alpha }^q{\Vert x-\vartheta \left(u^{\ast }\right)\Vert }^q\le f\left(x\right)-f\left(\vartheta \left(u^{\ast }\right)\right)-\langle u^{\ast },x-\vartheta \left(u^{\ast }\right)\rangle ,$ (3.6)

故f在 $\bar{x}$ 处满足一致q阶增长条件。

定理I和推论I建立了对应一致增长条件的存在性，即存在半径r和δ分别使得定理I中的(3.4)和推论I中的(3.6)不等式成立。然而在算法的收敛性分析及稳定性分析中，只有存在性是不够的，需要知道相关性质成立的明确范围。本文主要改进了推论I中半径r和δ只有存在性的不足，我们将给出半径r和δ与条件中出现的 $\alpha ,q,\kappa ,{\rho }_0,{\delta }_1$ 和 ${\delta }_2$ 的确切数量关系。

定理3.1. 设 $q\in \left(1,+\infty \right)$ ， $\alpha \in \left(0,1\right)$ ，X是Banach空间， $f:X\to R\cup \left\{+\infty \right\}$ 是一个真的下半连续泛函且 $\left(\bar{x},0\right)\in gph\left(\partial f\right)$ 。并设 ${\kappa }_0,{\delta }_1,{\delta }_2\in \left(0,+\infty \right)$ 及 ${\rho }_0\in \left[0,\frac{1}{q{\kappa }_0}\right)$ 使得下述条件成立：

1) 对于任意的 $\left(x,u^{\ast }\right)\in B_X\left(\bar{x},{\delta }_1\right)\times B_{X^{\ast }}\left(0,{\delta }_1\right)$ 都有

$d{\left(x,{\left(\partial f\right)}^{-1}\left(u^{\ast }\right)\right)}^{q-1}\le {\kappa }_{0}d\left(u^{\ast },\partial f\left(x\right)\right);$ (3.7)

2) 对于任意的 $x,z\in B_X\left(\bar{x},{\delta }_2\right)$ 及 $u^{\ast }\in \partial f\left(z\right)\cap B_{X^{\ast }}\left(0,{\delta }_2\right)$ 都有

$\langle u^{\ast },x-z\rangle \le f\left(x\right)-f\left(z\right)+{\rho }_{0}d{\left(x,{\left(\partial f\right)}^{-1}\left(u^{\ast }\right)\right)}^q.$ (3.8)

对于任意的 $\beta \in \left(0,\frac{1}{q{\alpha }^q{\kappa }_0}\right)$ ，令

$N_{\beta }:=\max \left\{n\in N:{\log }_{\left(1-q\left(1-\alpha \right){\alpha }^{q-1}\right)}\frac{\left(1-q\left(1-\alpha \right){\alpha }^{q-1}\right)\left(1-\beta q{\alpha }^q{\kappa }_0\right)}{1-\lambda q{\alpha }^q{\kappa }_0}\le n\right\},$

$\gamma \left(\beta \right):=\frac{\min \left\{{\delta }_1,{\delta }_2\right\}}{4{\left(2-\alpha \right)}^{\nu +N_{\beta }-1}},$ (3.9)

$r\left(\beta \right):=\min \left\{{\delta }_1,{\delta }_2,\frac{\beta {\alpha }^q{\gamma }^{q-1}\left(\beta \right)}{{32}^{q-1}},\frac{{\gamma }^{q-1}\left(\beta \right)}{4^{q-1}{\kappa }_0},\frac{\beta {\alpha }^q{\gamma }^{q-1}\left(\beta \right)}{{16}^q}\right\},$

$\delta \left(\beta \right):=\frac{\min \left\{{\delta }_1,{\delta }_2\right\}}{64{\left(2-\alpha \right)}^{\nu +N_{\beta }-1}}$

及

$\psi \left(u^{\ast }\right):=\underset{u\in B_X\left[\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right]}{\arg \min }\left(f-u^{\ast }\right),\forall u^{\ast }\in X^{\ast },$

而其中 $\nu$ 和 $\lambda$ 分别由(3.1)和(3.2)定义，则 $\psi$ 在 $B_{X^{\ast }}\left(0,r\left(\beta \right)\right)$ 上是单值的且对于任意的 $\left(x,u^{\ast }\right)\in B_X\left(\bar{x},\delta \left(\beta \right)\right)\times B_{X^{\ast }}\left(0,r\left(\beta \right)\right)$ 有 $\vartheta \left(0\right)=\bar{x}$ 且

$\beta {\alpha }^q{\Vert x-\psi \left(u^{\ast }\right)\Vert }^q\le f\left(x\right)-f\left(\psi \left(u^{\ast }\right)\right)-\langle u^{\ast },x-\psi \left(u^{\ast }\right)\rangle ,$ (3.10)

故f在 $\bar{x}$ 处满足一致q阶增长条件。

证明：由(3.7))及 $0\in \partial f\left(\bar{x}\right)$ 可知

$d{\left(\bar{x},{\left(\partial f\right)}^{-1}\left(u^{\ast }\right)\right)}^{q-1}\le {\kappa }_{0}d\left(u^{\ast },\partial f\left(\bar{x}\right)\right)\le {\kappa }_0\Vert u^{\ast }\Vert ,\forall u^{\ast }\in B_{X^{\ast }}\left(0,{\delta }_1\right).$ (3.11)

对于任意的 $\beta \in \left(0,\frac{1}{q{\alpha }^q{\kappa }_0}\right)$ ，由 $N_{\beta }$ 的定义可知

$N_{\beta }\ge {\log }_{\left(1-q\left(1-\alpha \right){\alpha }^{q-1}\right)}\frac{\left(1-q\left(1-\alpha \right){\alpha }^{q-1}\right)\left(1-\beta q{\alpha }^q{\kappa }_0\right)}{1-\lambda q{\alpha }^q{\kappa }_0},$

由于 $\text{0}<1-q\left(1-\alpha \right){\alpha }^{q-1}<\text{1}$ (见引理3.2)，可得

${\left(1-q\left(1-\alpha \right){\alpha }^{q-1}\right)}^{N_{\beta }}\le \frac{\left(1-q\left(1-\alpha \right){\alpha }^{q-1}\right)\left(1-\beta q{\alpha }^q{\kappa }_0\right)}{1-\lambda q{\alpha }^q{\kappa }_0},$

又由于 $\text{0}<1-\lambda q{\alpha }^q{\kappa }_{\text{0}}$ (见引理3.1(a))，从而

$\left(1-\lambda q{\alpha }^q{\kappa }_0\right){\left(1-q\left(1-\alpha \right){\alpha }^{q-1}\right)}^{N_{\beta }-1}\le 1-\beta q{\alpha }^q{\kappa }_0,$

由此及 ${\eta }_n$ 的定义(见3.3)，即得

${\eta }_{N_{\beta }}:=-\left(\frac{1}{q{\alpha }^q{\kappa }_0}-\lambda \right){\left(1-q\left(1-\alpha \right){\alpha }^{q-1}\right)}^{N_{\beta }-1}+\frac{1}{q{\alpha }^q{\kappa }_0}\ge \beta .$ (3.12)

令 $\delta :=\min \left\{{\delta }_1,{\delta }_2\right\}$ 及 $r_1\left(\beta \right):=\min \left\{\delta ,\frac{{\gamma }^{q-1}\left(\beta \right)}{{\kappa }_0}\right\}$ ，其中 $\gamma \left(\beta \right)$ 是由定义(3.9)定义。由(3.11)， $\delta$ 及 $r_1\left(\beta \right)$ 的定义可知对于任意的 $u^{\ast }\in B_{X^{\ast }}\left(0,r_1\left(\beta \right)\right)$ 都存在 $z\in {\left(\partial f\right)}^{-1}\left(u^{\ast }\right)$ 使得 ${\Vert \bar{x}-z\Vert }^{q-1}<{\kappa }_0{r}_1\left(\beta \right)\le {\gamma }^{q-1}\left(\beta \right)$ ，于是 $\Vert \bar{x}-z\Vert <\gamma \left(\beta \right)$ ，故

${\left(\partial f\right)}^{-1}\left(u^{\ast }\right)\cap B_X\left(\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right)\ne \varnothing .$

设 $u^{\ast }\in B_{X^{\ast }}\left(0,r_1\left(\beta \right)\right)$ 及 $z\in {\left(\partial f\right)}^{-1}\left(u^{\ast }\right)\cap B_X\left(\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right)$ ，由(3.9)可得

$B_X\left(z,\frac{3\delta }{4}\right)\subset B_X\left(\bar{x},\Vert \bar{x}-z\Vert +\frac{3\delta }{4}\right)\subset B_X\left(\bar{x},\gamma \left(\beta \right)+\frac{3\delta }{4}\right)\subset B_X\left(\bar{x},\delta \right),$

这样，由(3.7)，(3.8)及 $\delta$ 的定义可得

$d{\left(x,{\left(\partial f\right)}^{-1}\left(u^{\ast }\right)\right)}^{q-1}\le {\kappa }_{0}d\left(u^{\ast },\partial f\left(x\right)\right),\forall x\in B_X\left(z,\frac{3\delta }{4}\right)$

且

$\langle u^{\ast },x-z\rangle \le f\left(x\right)-f\left(z\right)+{\rho }_{0}d{\left(x,{\left(\partial f\right)}^{-1}\left(u^{\ast }\right)\right)}^q,\forall x\in B_X\left[z,\frac{3\delta }{4}\right],$

由引理3.1(将 $\left(\bar{x},{\bar{x}}^{\ast }\right)$ 和A分别替换成 $\left(z,u^{\ast }\right)$ 和 ${\left(\partial f\right)}^{-1}\left(u^{\ast }\right)$ ，可得

$f\left(x\right)\ge f\left(z\right)+\langle u^{\ast },x-z\rangle +\eta N_{\beta }{\alpha }^{q}d{\left(x,{\left(\partial f\right)}^{-1}\left(u^{\ast }\right)\right)}^q,\forall x\in B_X\left[z,\frac{3\delta }{4{\left(2-\alpha \right)}^{\nu +N_{\beta }+1}}\right].$

由(3.9)，即得

$f\left(x\right)\ge f\left(z\right)+\langle u^{\ast },x-z\rangle +\eta N_{\beta }{\alpha }^{q}d{\left(x,{\left(\partial f\right)}^{-1}\left(u^{\ast }\right)\right)}^q,\forall x\in B_X\left[z,3\gamma \left(\beta \right)\right].$ (3.13)

设 $f_{u^{\ast }}:=f-u^{\ast }$ ，则由(3.12)和(3.13)，有

$f_{u^{\ast }}\left(x\right)\ge f_{u^{\ast }}\left(z\right)+\beta {\alpha }^{q}d{\left(x,{\left(\partial f\right)}^{-1}\left(u^{\ast }\right)\right)}^q,\forall x\in B_X\left[z,3\gamma \left(\beta \right)\right].$

由于

$B_X\left[\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right]\subset B_X\left[z,\gamma \left(\beta \right)+\Vert \bar{x}-z\Vert \right]\subset B_X\left[z,2\gamma \left(\beta \right)\right],$

所以

$f_{u^{\ast }}\left(x\right)\ge f_{u^{\ast }}\left(z\right)+\beta {\alpha }^{q}d{\left(x,{\left(\partial f\right)}^{-1}\left(u^{\ast }\right)\right)}^q,\forall x\in B_X\left[\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right].$ (3.14)

这表明 $z\in \underset{u\in B_X\left[\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right]}{\arg \min }{f}_{u^{\ast }}\left(u\right)$ 。由z在 ${\left(\partial f\right)}^{-1}\left(u^{\ast }\right)\cap B_X\left(\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right)$ 上的任意性，则对于任意的 $u^{\ast }\in B_{X^{\ast }}\left(0,r_1\left(\beta \right)\right)$ 都有

$\underset{u\in B_X\left[\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right]}{\arg \min }{f}_{u^{\ast }}\left(u\right)\supset {\left(\partial f\right)}^{-1}\left(u^{\ast }\right)\cap B_X\left(\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right).$ (3.15)

令 $r_2\left(\beta \right):=\min \left\{r_1\left(\beta \right),\frac{{\gamma }^{q-1}\left(\beta \right)}{4^{q-1}{\kappa }_0}\right\}$ ，则由(3.11)可知对于任意的 $u^{\ast }\in B_{X^{\ast }}\left(0,r_2\left(\beta \right)\right)\subset B_{X^{\ast }}\left(0,{\delta }_1\right)$ ，都存在 $x_{u^{\ast }}\in {\left(\partial f\right)}^{-1}\left(u^{\ast }\right)$ 使得

${\Vert x_{u^{\ast }}-\bar{x}\Vert }^{q-1}<{\kappa }_0{r}_2\left(\beta \right)\le \frac{{\gamma }^{q-1}\left(\beta \right)}{4^{q-1}},$

故 $\Vert x_{u^{\ast }}-\bar{x}\Vert <\frac{\gamma \left(\beta \right)}{4}$ 。因此，对于任意的 $\left(x,u^{\ast }\right)\in B_X\left(\bar{x},\frac{\gamma \left(\beta \right)}{4}\right)\times B_{X^{\ast }}\left(0,r_2\left(\beta \right)\right)$ 都有

$d\left(x,{\left(\partial f\right)}^{-1}\left(u^{\ast }\right)\right)\cap B_X\left(\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right)\le \Vert x-x_{u^{\ast }}\Vert \le \Vert x-\bar{x}\Vert +\Vert \bar{x}-x_{u^{\ast }}\Vert \le \frac{\gamma \left(\beta \right)}{2}$

且

$d\left(x,{\left(\partial f\right)}^{-1}\left(u^{\ast }\right)\backslash B_X\left(\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right)\right)\ge d\left(\bar{x},{\left(\partial f\right)}^{-1}\left(u^{\ast }\right)\backslash B_X\left(\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right)\right)-\Vert x-\bar{x}\Vert \ge \frac{3\gamma \left(\beta \right)}{4}.$

注意到

$d\left(x,{\left(\partial f\right)}^{-1}\left(u^{\ast }\right)\right)=\min \left\{d\left(x,{\left(\partial f\right)}^{-1}\left(u^{\ast }\right)\cap B_X\left(\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right)\right),d\left(x,{\left(\partial f\right)}^{-1}\left(u^{\ast }\right)\backslash B_X\left(\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right)\right)\right\},$

这表明

$d\left(x,{\left(\partial f\right)}^{-1}\left(u^{\ast }\right)\right)=d\left(x,{\left(\partial f\right)}^{-1}\left(u^{\ast }\right)\cap B_X\left(\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right)\right).$ (3.16)

由此及(3.15)可知对于任意的 $\left(x,u^{\ast }\right)\in B_X\left(\bar{x},\frac{\gamma \left(\beta \right)}{4}\right)\times B_{X^{\ast }}\left(0,r_2\left(\beta \right)\right)$ 都有

$d\left(x,{\left(\partial f\right)}^{-1}\left(u^{\ast }\right)\right)=d\left(x,\underset{u\in B_X\left[\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right]}{\arg \min }{f}_{u^{\ast }}\left(u\right)\right).$

设 $u^{\ast }\in B_{X^{\ast }}\left(0,r_2\left(\beta \right)\right)$ 及 $z\in {\left(\partial f\right)}^{-1}\left(u^{\ast }\right)\cap B_X\left(\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right)$ ，则由(3.14)和(3.16))可得

$f_{u^{\ast }}\left(x\right)\ge f_{u^{\ast }}\left(z\right)+\beta {\alpha }^{q}d{\left(x,\underset{u\in B_X\left[\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right]}{\arg \min }{f}_{u^{\ast }}\left(u\right)\right)}^q,\forall x\in B_X\left(\bar{x},\frac{\gamma \left(\beta \right)}{4}\right).$

即，对于任意的 $\left(x,u^{\ast }\right)\in B_X\left(\bar{x},\frac{\gamma \left(\beta \right)}{4}\right)\times B_{X^{\ast }}\left(0,r_2\left(\beta \right)\right)$ 都有

$\beta {\alpha }^{q}d{\left(x,\underset{u\in B_X\left[\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right]}{\arg \min }{f}_{u^{\ast }}\left(u\right)\right)}^q\le f_{u^{\ast }}\left(x\right)-f_{u^{\ast }}\left(z\right)\le f_{u^{\ast }}\left(x\right)-\underset{y\in B_X\left[\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right]}{\min }{f}_{u^{\ast }}\left(y\right).$ (3.17)

由(3.13) (将 $\left(z,u^{\ast }\right)$ 替换成 $\left(\bar{x},0\right)$ )，可得

$\underset{y\in B_X\left[\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right]}{\min }{f}_{u^{\ast }}\left(y\right)=f\left(\bar{x}\right).$ (3.18)

注意到 $\delta \left(\beta \right)<\frac{\gamma \left(\beta \right)}{4},r\left(\beta \right)\le r_2\left(\beta \right)$ 及 $\psi$ 的定义，由(3.17)，(3.18)及 $\vartheta$ 的定义，为了证明(3.10)，我们只需要证明 $\psi$ 在 $B_{X^{\ast }}\left(0,r\left(\beta \right)\right)$ 上是单值的且

$\psi \left(B_{X^{\ast }}\left(0,r\left(\beta \right)\right)\right)\subset B_X\left(\bar{x},\delta \left(\beta \right)\right).$ (3.19)

令 $r_3\left(\beta \right):=\min \left\{r_2\left(\beta \right),\frac{\beta {\alpha }^q{\gamma }^{q-1}\left(\beta \right)}{{16}^q}\right\}$ ，则由(3.17)和(3.18)可知对于任意的 $u^{\ast }\in B_{X^{\ast }}\left(0,r_3\left(\beta \right)\right)$ 都有

$\begin{array}{c}\beta {\alpha }^{q}d{\left(\bar{x},\psi \left(u^{\ast }\right)\right)}^q\le f_{u^{\ast }}\left(\bar{x}\right)-\underset{y\in B_X\left[\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right]}{\min }{f}_{u^{\ast }}\left(y\right)\\ =\underset{y\in B_X\left[\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right]}{\min }f\left(y\right)-\underset{y\in B_X\left[\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right]}{\min }\left(f\left(y\right)-\langle u^{\ast },y-\bar{x}\rangle \right)\\ \le \underset{y\in B_X\left[\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right]}{\min }f\left(y\right)-\underset{y\in B_X\left[\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right]}{\min }\left(f\left(y\right)-\gamma \left(\beta \right)\Vert u^{\ast }\Vert \right)\\ =\gamma \left(\beta \right)\Vert u^{\ast }\Vert <\gamma \left(\beta \right)r_3\left(\beta \right).\end{array}$

从而

$d\left(\bar{x},\psi \left(u^{\ast }\right)\right)<\frac{\gamma \left(\beta \right)}{16},\forall u^{\ast }\in B_{X^{\ast }}\left(0,r_3\left(\beta \right)\right),$

于是对于任意的 $u^{\ast }\in B_{X^{\ast }}\left(0,r_3\left(\beta \right)\right)$ 都存在 $x_{u^{\ast }}\in \psi \left(u^{\ast }\right)$ 使得

$\Vert x_{u^{\ast }}-\bar{x}\Vert <\frac{\gamma \left(\beta \right)}{16}.$ (3.20)

设 $u^{\ast },v^{\ast }\in B_{X^{\ast }}\left(0,r_3\left(\beta \right)\right)$ 及 $u\in \psi \left(u^{\ast }\right)\cap B_X\left(\bar{x},\frac{\gamma \left(\beta \right)}{16}\right)$ ，取 $\left\{v_n\right\}\subset \psi \left(v^{\ast }\right)$ 使得

$\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert u-v_n\Vert =d\left(u,\psi \left(v^{\ast }\right)\right).$ (3.21)

由(3.20)，我们有

$d\left(u,\psi \left(v^{\ast }\right)\right)\le \Vert u-x_{v^{\ast }}\Vert \le \Vert u-\bar{x}\Vert +\Vert \bar{x}-x_{v^{\ast }}\Vert <\frac{\gamma \left(\beta \right)}{8}.$

不失一般性，我们假设对于任意的 $n\in N$ 都有 $\Vert u-v_n\Vert <\frac{\gamma \left(\beta \right)}{8}$ 。于是

$\Vert \bar{x}-v_n\Vert \le \Vert u-v_n\Vert +\Vert \bar{x}-u\Vert <\frac{3\gamma \left(\beta \right)}{16}<\frac{\gamma \left(\beta \right)}{4},\forall n\in N.$

由(3.17)及 $\psi$ 的定义可知对于任意的 $n\in N$ 都有

$\beta {\alpha }^{q}d{\left(u,\psi \left(v^{\ast }\right)\right)}^q\le f_{v^{\ast }}\left(u\right)-\underset{y\in B_X\left[\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right]}{\min }{f}_{v^{\ast }}\left(y\right)=f_{v^{\ast }}\left(u\right)-f_{v^{\ast }}(vn)$

且

$\beta {\alpha }^{q}d{\left(v_n,\psi \left(u^{\ast }\right)\right)}^q\le f_{u^{\ast }}\left(v_n\right)-\underset{y\in B_X\left[\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right]}{\min }{f}_{u^{\ast }}\left(y\right)=f_{u^{\ast }}\left(v_n\right)-f_{u^{\ast }}\left(u\right).$

因此，对于任意的 $n\in N$ 都有

$\begin{array}{c}\beta {\alpha }^{q}d{\left(u,\psi \left(v^{\ast }\right)\right)}^q\le \beta {\alpha }^{q}d{\left(u,\psi \left(v^{\ast }\right)\right)}^q+\beta {\alpha }^{q}d{\left(v_n,\psi \left(u^{\ast }\right)\right)}^q\\ \le f_{v^{\ast }}\left(u\right)-f_{v^{\ast }}\left(v_n\right)+f_{u^{\ast }}\left(v_n\right)-f_{u^{\ast }}\left(u\right)\\ =\langle u^{\ast }-v^{\ast },u-v_n\rangle \le \Vert u^{\ast }-v^{\ast }\Vert \Vert u-v_n\Vert .\end{array}$

由此及(3.21)，令 $n\to \infty$ ，可得

$\beta {\alpha }^{q}d{\left(u,\psi \left({\nu }^{\ast }\right)\right)}^q\le \Vert u^{\ast }-{\nu }^{\ast }\Vert d\left(u,\psi \left({\nu }^{\ast }\right)\right),$

即

$d\left(u,\psi \left({\nu }^{\ast }\right)\right)\le \frac{1}{{\alpha }^{\frac{q}{q-1}}{\beta }^{\frac{1}{q-1}}}{\left(\Vert u^{\ast }-{\nu }^{\ast }\Vert \right)}^{\frac{1}{q-1}},$

这表明

$u\in \psi \left({\nu }^{\ast }\right)+\frac{2}{\frac{1}{{\alpha }^{\frac{q}{q-1}}{\beta }^{\frac{1}{q-1}}}}{\left(\Vert u^{\ast }-{\nu }^{\ast }\Vert \right)}^{\frac{1}{q-1}}{B}_X.$

由u在 $\psi \left(u^{\ast }\right)\cap B_X\left(\bar{x},\frac{\gamma \left(\beta \right)}{16}\right)$ 上的任意性，可知对于任意的 $u^{\ast },v^{\ast }\in B_{X^{\ast }}\left(0,r_3\left(\beta \right)\right)$ 都有

$\psi \left(u^{\ast }\right)\cap B_X\left(\bar{x},\frac{\gamma \left(\beta \right)}{16}\right)\subset \psi \left(v^{\ast }\right)+L{\left(\Vert u^{\ast }-v^{\ast }\Vert \right)}^{\frac{1}{q-1}}{B}_X,$ (3.22)

这里 $L:=\frac{2}{\frac{1}{{\alpha }^{\frac{q}{q-1}}{\beta }^{\frac{1}{q-1}}}}$ ，设 $u^{\ast }\in B_{X^{\ast }}\left(0,r_3\left(\beta \right)\right)$ 及 $u\in \psi \left(u^{\ast }\right)$ ，则有

${\left(f+{\delta }_{B_X\left[\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right]}\right)}^{\ast }\left(u^{\ast }\right)=\langle u^{\ast },u\rangle -f\left(u\right).$ (3.23)

于是 $u\in \partial {\left(f+{\delta }_{B_X\left[\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right]}\right)}^{\ast }\left(u^{\ast }\right)$ (参见文献 [26] ，命题5.3.1)。因此

$\psi \left(u^{\ast }\right)\subset \partial {\left(f+{\delta }_{B_X\left[\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right]}\right)}^{\ast }\left(u^{\ast }\right),\forall u^{\ast }\in B_{X^{\ast }}\left(0,r_3\left(\beta \right)\right).$ (3.24)

由于 $\bar{x}\in \psi \left(0\right)\cap B_X\left(\bar{x},\frac{\gamma \left(\beta \right)}{16}\right)$ ，结合(3.22)，则有

$\bar{x}\in \psi \left(u^{\ast }\right)+L{\left(\Vert u^{\ast }\Vert \right)}^{\frac{1}{q-1}}{B}_X\subset \psi \left(u^{\ast }\right)+L{r}_3^{\frac{1}{q-1}}\left(\beta \right)B_X,\forall u^{\ast }\in B_X\left(0,r_3\left(\beta \right)\right).$

由 $r\left(\beta \right)$ 的定义，可知 $r\left(\beta \right)\le r_3\left(\beta \right)\le \frac{\beta {\alpha }^q{r}^{q-1}\left(\beta \right)}{{16}^q}$ ，结合 $r\left(\beta \right)$ 以及L的定义可得 $L{r}^{\frac{1}{q-1}}\left(\beta \right)=\frac{2}{\frac{1}{{\alpha }^{\frac{q}{q-1}}{\beta }^{\frac{1}{q-1}}}}{r}^{\frac{1}{q-1}}\left(\beta \right)\le \frac{r\left(\beta \right)}{16}$ ，从而

$\psi \left(u^{\ast }\right)\cap B_X\left(\bar{x},\frac{r\left(\beta \right)}{16}\right)\supset \psi \left(u^{\ast }\right)+B_X\left(\bar{x},L{\gamma }^{\frac{1}{q-1}}\left(\beta \right)\right)\ne \varnothing ,\forall u^{\ast }\in B_X\left(0,r\left(\beta \right)\right).$

设 $u^{\ast }\in B_{X^{\ast }}\left(0,r\left(\beta \right)\right)$ 及 $x_{u^{\ast }}\in \psi \left(u^{\ast }\right)\cap B_X\left(\bar{x},\frac{r\left(\beta \right)}{16}\right)$ ，则由(3.22)可知对于任意的 $v^{\ast }\in B_{X^{\ast }}\left(0,r\left(\beta \right)\right)$ 及 $z_{v^{\ast }}\in \psi \left(v^{\ast }\right)$ 使得

$\Vert x_{u^{\ast }}-z_{v^{\ast }}\Vert \le L{\Vert u^{\ast }-v^{\ast }\Vert }^{\frac{1}{q-1}},$ (3.25)

注意到(3.24)，则我们有

$x_{u^{\ast }}\in \partial {\left(f+{\delta }_{B_X\left[\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right]}\right)}^{\ast }\left(u^{\ast }\right)$ 且 $z_{v^{\ast }}\in \partial {\left(f+{\delta }_{B_X\left[\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right]}\right)}^{\ast }(v\ast )$

由于 ${\left(f+{\delta }_{B_X\left[\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right]}\right)}^{\ast }$ 是凸函数，可得

$\langle z_{v^{\ast }},u^{\ast }-v^{\ast }\rangle \le {\left(f+{\delta }_{B_X\left[\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right]}\right)}^{\ast }\left(u^{\ast }\right)-{\left(f+{\delta }_{B_X\left[\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right]}\right)}^{\ast }(v\ast )$

且

$\langle x_{u^{\ast }},v^{\ast }-u^{\ast }\rangle \le {\left(f+{\delta }_{B_X\left[\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right]}\right)}^{\ast }\left(v^{\ast }\right)-{\left(f+{\delta }_{B_X\left[\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right]}\right)}^{\ast }\left(u^{\ast }\right).$

由此及(3.25)，我们有

$\begin{array}{l}0\le {\left(f+{\delta }_{B_X\left[\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right]}\right)}^{\ast }\left(v^{\ast }\right)-{\left(f+{\delta }_{B_X\left[\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right]}\right)}^{\ast }\left(u^{\ast }\right)-\langle x_{u^{\ast }},v^{\ast }-u^{\ast }\rangle \\ \le \langle z_{v^{\ast }}-x_{u^{\ast }},v^{\ast }-u^{\ast }\rangle \le L{\Vert v^{\ast }-u^{\ast }\Vert }^{1+\frac{1}{q+1}},\end{array}$

这和 $v^{\ast }$ 在 $B_{X^{\ast }}\left(0,r\left(\beta \right)\right)$ 上的任意性表明 ${\left(f+{\delta }_{B_X\left[\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right]}\right)}^{\ast }$ 在 $u^{\ast }$ 处的可微且有

$\partial {\left(f+{\delta }_{B_X\left[\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right]}\right)}^{\ast }\left(u^{\ast }\right)=\left\{\nabla {\left(f+{\delta }_{B_X\left[\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right]}\right)}^{\ast }\left(u^{\ast }\right)\right\}=\left\{x_{u^{\ast }}\right\},\forall u^{\ast }\in B_{X^{\ast }}\left(0,r\left(\beta \right)\right).$

由(3.24)，即得

$\psi \left(u^{\ast }\right)=\left\{\nabla {\left(f+{\delta }_{B_X\left[\bar{x},\gamma \left(\beta \right)\right]}\right)}^{\ast }\left(u^{\ast }\right)\right\}=\left\{x_{u^{\ast }}\right\}\subset B_X\left(\bar{x},\frac{r\left(\beta \right)}{16}\right),\forall u^{\ast }\in B_{X^{\ast }}\left(0,r\left(\beta \right)\right),$

所以 $\psi$ 在 $B_{X^{\ast }}\left(0,r\left(\beta \right)\right)$ 上是单值的且有

$\psi \left(B_{X^{\ast }}\left(0,r_3\left(\beta \right)\right)\right)\subset B_X\left(\bar{x},\frac{r\left(\beta \right)}{16}\right).$ (3.26)

由 $\delta \left(\beta \right)$ 的定义可知 $\delta \left(\beta \right)=\frac{r\left(\beta \right)}{16}$ ，结合(3.17)，(3.26)及 $\psi$ 的定义，可得

$\beta {\alpha }^q{\Vert x-\vartheta \left(u^{\ast }\right)\Vert }^q\le f\left(x\right)-f\left(x_{u^{\ast }}\right)-\langle u^{\ast },x-x_{u^{\ast }}\rangle ,\forall x\in B_X\left(\bar{x},\delta \left(\beta \right)\right),$

由此及 $\vartheta$ 的定义可得(3.10)，证毕。

注3.1定理3.1中的条件(1)即为 $\partial f$ 在 $\left(\bar{x},0\right)$ 处是 $q-1$ 阶度量正则的，条件(2)即为f在 $\left(\bar{x},0\right)$ 处是q阶S-正则性且f在 $\left(\bar{x},0\right)$ 处是次微分连续的。