基于4阶分圆类的近似最佳码本的构造

Constructions of Nearly Optimal Codebooks Based on Cyclotomic Classes of Order Four

摘要: 最佳码本在许多理论与实践中有着重要的应用。但构造最佳码本相对困难。一种替代方法是构造渐进最优码本，使得当码字足够长时，构造的渐进最优码本与最优码本足够接近。本文中利用基于四阶分圆类的几乎差集构造一类新的近似最佳码本。

Abstract: Codebooks meeting the Welch bound are widely used in many research areas and applications. However, it is usually difficult to construct codebooks exactly meeting the Welch bound. A good substitute is to construct asymptotically optimal (N,K) codebooks which can approach codebooks meeting the Welch bound when N is large enough. In this paper, we construct a new class of code-book nearly meeting the Welch bound by using almost difference sets which consists of 4 order cyclotomic classes.

1. 引言

一个参数为 $\left(N,K\right)$ 码本C是N个单位复向量构成的序列 $\left\{c_0,c_1,\cdots ,c_N\right\}$ ，对于每个子码本 $c_i={\left(c_{i,0},c_{i,1},\cdots ,c_{i,K}\right)}^{\text{T}}$ 称为码字。码本C的最大相关值 [1] 定义为

$I_{\max }\left(C\right)=\underset{0\le i<j\le N-1}{\max }\left|c_i{c}_j^H\right|$ ,

其中 $c^H$ 表示复向量c的共轭转置。在许多应用中，码本的性质与 $I_{\max }\left(C\right)$ 大小紧密相关。特别的，希望码本C的最大互相关尽可能地小。Welch [1] 指出给定参数 $\left(N,K\right)$ 后，码本的最大互相关有下界 $I_W$ ：

引理1 [1] . 对于任意的参数为 $\left(N,K\right)$ 的码本 $\left(N,K\right)$ 且满足 $N\ge K$ ，

$I_{\max }\left(C\right)\ge I_W=\sqrt{\frac{N-K}{\left(N-1\right)K}}$ ,

等号成立当且仅当对于任意的 $\left(i,j\right)$ 且 $i\ne j$ 有 $\left|c_i{c}_j^H\right|=\sqrt{\frac{N-K}{\left(N-1\right)K}}$ ，这时称C为最佳码本。

构造最佳码本十分困难，Fickus和Mixon给出了一些已有的最佳码本 [2] 。一种替代方法是构造近似最佳码本，使得当N足够大时，近似最佳码本的最大互相关值与最佳码本的足够接近。近似最佳码本的构造相对简单，并且在很多场合中与最佳码本性质近似。目前已有的方法主要可以归纳为采用几乎差集法 [3] [4] 、域上特征和法 [5] [6] 和bent函数法 [7] 等。张和冯 [8] 给出了八阶分圆类上的几乎差集构造的近似最佳码本。Hu和Wu [9] 采用定义了在差集的笛卡尔积上的近似最佳码本。本文将Hu和Wu的方法进行推广，构造了四阶分圆类对应的几乎差集的笛卡尔积上的近似最佳码本。

2. 基础知识

设G是一个有限交换群，D是群G的k阶子集。定义 ${\Gamma }_D\left(\omega \right)=\left|D+\omega \cap D\right|$ ，其中 $D+\omega =\left\{d+\omega :d\in D\right\}$ 。D被称为有限交换群G中参数为 $\left(v,k,\lambda ,t\right)$ 的几乎差集合，如果G中的t个非零元 $\omega$ 对应的 ${\Gamma }_D\left(\omega \right)$ 取值为 $\lambda$ ，其它 $\left(v-1-t\right)$ 个非零元 $\omega$ 对应的 ${\Gamma }_D\left(\omega \right)$ 取值为 $\lambda +1$ 。

$F_q$ 是q阶有限域， $q=p^m$ ，p是 $F_q$ 的特征。设 $\alpha$ 是 $F_q$ 的一个本原元， $F_q^{*}=F_q\backslash \left\{0\right\}=\langle \alpha \rangle$ 。对有限域 $F_q$ ，存在q个从 $F_q$ 到复平面单位圆上的同态 $\chi$ ，满足

$\chi \left(x+y\right)=\chi \left(x\right)\chi \left(y\right),\forall x,y\in F_q$ .

这种同态称为有限域 $F_q$ 的加法特征，简称特征 [10] 。这q个特征的集合记为 ${\hat{F}}_q$ 。如果 $\chi \left(x\right)\equiv 1,\forall x\in F_q$ ，则称为平凡特征。设D是 $F_q$ 的子集，定义 $\chi \left(D\right)={\displaystyle {\sum }_{x\in D}\chi \left(x\right)}$ ，对两个不同的特征 ${\chi }_1,{\chi }_2$ ，定义 $\left({\chi }_1{\chi }_2\right)\left(g\right):={\chi }_1\left(g\right){\chi }_2\left(g\right),\forall g\in F_q$ ，仍然是 $F_q$ 是的特征 [10] 。

对有限域 $F_q$ ， $q=ef+1\left(e\ge 2,f\ge 2\right)$ ，可将其非零元素均分为 个子集： $C_l^{\left(e,q\right)}={\alpha }^l\langle {\alpha }^e\rangle ,0\le l\le e-1$ 。 $C_l^{\left(e,q\right)}$ 称为e阶分圆类，显然有 $F_q^{*}={\displaystyle {\cup }_{l=0}^{e-1}{C}_l^{\left(e,q\right)}}$ ， $\left|C_l^{\left(e,q\right)}\right|=f$ 。

引理1 [11] ：设 $q=4f+1$ ，f是奇数。 $q=s^2+4t^2$ 是其二次划分，且 $s=1\left(\mathrm{mod}4\right)$ ，t的符号由选取的本原元决定。则当 $C_0^{\left(4,q\right)}\cup C_1^{\left(4,q\right)}$ 是 $\left(q,\frac{q-1}{2},\frac{q-5}{4},\frac{q-1}{2}\right)$ 几乎差集当且仅当 $t=\pm 1$ 。此时有

${\Gamma }_D\left(x\right)=\{\begin{array}{l}\frac{q-3-2t}{4},\forall x\in C_0^{\left(4,q\right)}\cup C_2^{\left(4,q\right)},\\ \frac{q-3+2t}{4},\forall x\in C_1^{\left(4,q\right)}\cup C_3^{\left(4,q\right)}.\end{array}$

我们首先估计任意非平凡特征 $\chi$ 在集合 $C_0^{\left(4,q\right)}\cup C_1^{\left(4,q\right)}$ 的值。实际上该值Ding等人在文 [11] 中已经给出，我们重新整理可以得到：

引理2 [11] ：有限域 $F_q$ ，则有

$\left|\chi \left(C_0^{\left(4,q\right)}\cup C_1^{\left(4,q\right)}\right)\right|=\frac{\sqrt{q}\pm 1}{2},\left|\chi \left(C_2^{\left(4,q\right)}\cup C_3^{\left(4,q\right)}\right)\right|=\frac{\sqrt{q}\pm 1}{2}.$

证明：设 $c\in C_m^{\left(4,q\right)}$ ，则 $c{C}_i^{\left(4,q\right)}=\left\{cx,x\in C_i^{\left(4,q\right)}\right\}=C_{\left(m+i\right)\mathrm{mod}4}^{\left(4,q\right)}$ 。

$\begin{array}{c}{\left|\chi \left(c{C}_0^{\left(4,q\right)}\cup c{C}_1^{\left(4,q\right)}\right)\right|}^2=\underset{x\in C_0^{\left(4,q\right)}\cup C_1^{\left(4,q\right)}}{{\displaystyle \sum }}\chi \left(cx\right)\underset{y\in C_0^{\left(4,q\right)}\cup C_1^{\left(4,q\right)}}{{\displaystyle \sum }}\chi \left(-cy\right)\\ =\underset{x,y\in C_0^{\left(4,q\right)}\cup C_1^{\left(4,q\right)}}{{\displaystyle \sum }}\chi \left(cx-cy\right)\\ =\frac{q-1}{2}+\underset{\begin{array}{c}x,y\in C_0^{\left(4,q\right)}\cup C_1^{\left(4,q\right)}\\ y\ne x\end{array}}{{\displaystyle \sum }}\chi \left(cx-cy\right).\end{array}$

根据引理1有

$\begin{array}{l}{\left|\chi \left(c{C}_0^{\left(4,q\right)}\cup c{C}_1^{\left(4,q\right)}\right)\right|}^2\\ =\frac{q-1}{2}+\frac{q-3-2t}{4}\chi \left(c{C}_0^{\left(4,q\right)}\cup c{C}_2^{\left(4,q\right)}\right)+\frac{q-3+2t}{4}\chi \left(c{C}_1^{\left(4,q\right)}\cup c{C}_3^{\left(4,q\right)}\right)\\ =\frac{q-1}{2}+\frac{q-3-2t}{4}\chi \left(C_{m\mathrm{mod}2}^{\left(2,q\right)}\right)+\frac{q-3+2t}{4}\chi \left(C_{\left(m+1\right)\mathrm{mod}2}^{\left(2,q\right)}\right)\\ =\frac{q-1}{2}+\frac{q-3-2t}{4}\chi \left(C_{m\mathrm{mod}2}^{\left(2,q\right)}\right)+\frac{q-3+2t}{4}\left(-1-\chi \left(C_{m\mathrm{mod}2}^{\left(2,q\right)}\right)\right)\\ =\frac{q+1-2t}{4}-t\chi \left(C_{m\mathrm{mod}2}^{\left(2,q\right)}\right).\end{array}$

Ding等 [11] 证明了 $\chi \left(C_0^{\left(2,q\right)}\right)=\frac{-1\mp \sqrt{q}}{2}$ ， $\chi \left(C_1^{\left(2,q\right)}\right)=\frac{-1\pm \sqrt{q}}{2}$ 。于是

${\left|\chi \left(c{C}_0^{\left(4,q\right)}\cup c{C}_1^{\left(4,q\right)}\right)\right|}^2=\frac{q+1-2t}{4}-t\frac{-1\mp \sqrt{q}}{2}=\frac{q\pm 2\sqrt{q}+1}{4}$ .

所以 $\left|\chi \left(C_0^{\left(4,q\right)}\cup C_1^{\left(4,q\right)}\right)\right|=\frac{\sqrt{q}\pm 1}{2}$ ， $\left|\chi \left(C_2^{\left(4,q\right)}\cup C_3^{\left(4,q\right)}\right)\right|=\frac{\sqrt{q}\pm 1}{2}$ 。

3. 构造码本

设 $F_{q_i}$ 是有限域， $i=1,2,\cdots ,n$ 且都满足引理1的条件。 $D_i=C_0^{\left(4,q_i\right)}\cup C_1^{\left(4,q_i\right)}$ 是 $F_{q_i}$ 中参数为 $\left(q_i,\frac{q_i-1}{2},\frac{q_i-5}{4},\frac{q_i-1}{2}\right)$ 的几乎差集， $1\le i\le n$ 。 ${\bar{D}}_i=C_2^{\left(4,q_i\right)}\cup C_3^{\left(4,q_i\right)}\cup \left\{0\right\}$ 。对 $i=1,2,\cdots ,n$ ，令 ${\chi }_{i,j_i}\in {\hat{F}}_{q_i},j_i=0,1,\cdots ,q_i-1$ ，且 ${\chi }_{i,0}$ 是相应的平凡特征。设 $F=F_{q_1}\times F_{q_2}\times \cdots \times F_{q_n}$ 。对 $\forall \left(g_{i_1},g_{i_2},\cdots ,g_{i_n}\right)\in F$ 。 $\left({\chi }_{1,j_1}\otimes {\chi }_{2,j_2}\otimes \cdots \otimes {\chi }_{n,j_n}\right)\left(g_{i_1},g_{i_2},\cdots ,g_{i_n}\right):={\chi }_{1,j_1}\left(g_{i_1}\right){\chi }_{1,j_2}\left(g_{i_{21}}\right)\cdots {\chi }_{1,j_n}\left(g_{i_n}\right)$ 。这时 ${\chi }_{1,j_1}\otimes {\chi }_{2,j_2}\otimes \cdots \otimes {\chi }_{n,j_n}$ 是F上的特征。这种特征的集合记为 $\hat{F}$ 。显然有 $\left|\hat{F}\right|=q_1{q}_2\cdots q_n$ 。

现在我们构造F一个的子集D。设 $E_1=D_1$ ，对于任意的 $1\le i\le n$ ，设

$E_{i+1}:=\left(E_i\times {\bar{D}}_{i+1}\right)\cup \left({\bar{E}}_i\times D_{i+1}\right)$ .

最后，设 $D=E_n,K=\left|D\right|$ 。用数学归纳法容易得到 $\left|E_i\right|=\frac{q_1{q}_2\cdots q_i-1}{2},1\le i\le n$ ， $K=\left|D\right|=\frac{q_1{q}_2\cdots q_n-1}{2}$ 。

定义3. 上面的集合D，我们定义码本：

$C_D=\left\{C_{j_1,j_2,\cdots ,j_n},j_i=0,1,\cdots ,q_i-1,i=1,2,\cdots ,K\right\}$ . (1)

对于每个 $\left(j_1,j_2,\cdots ,j_n\right)$ ，

$\begin{array}{c}{C}_{j_1,j_2,\cdots ,j_n}=\frac{1}{\sqrt{K}}{\left(\left({\chi }_{1,j_1}\otimes {\chi }_{2,j_2}\otimes \cdots \otimes {\chi }_{n,j_n}\right)\left(g_{i_1},g_{i_2},\cdots ,g_{i_n}\right)\right)}_{i=1}^K\\ =\frac{1}{\sqrt{K}}{\left({\chi }_{1,j_1}\left(g_{i_1}\right){\chi }_{1,j_2}\left(g_{i_{21}}\right)\cdots {\chi }_{1,j_n}\left(g_{i_n}\right)\right)}_{i=1}^K.\end{array}$ (2)

下面我们证明码本 $$ 是几乎最佳码本，证明的关键是计算最大相关值 $I_{\max }\left(C_D\right)$ 。因为码本 $C_D$ 中的码字 $C_{j_1,j_2,\cdots ,j_n}$ 是定义在D上的，所以需要估计特征在D中元素值的累加和。

引理4. 对于F中的特征 ${\chi }_{1,j_1}\otimes {\chi }_{2,j_2}\otimes \cdots \otimes {\chi }_{n,j_n}$ ， $j_i=0,1,\cdots ,q_i-1$ ， $i=1,2,\cdots ,n$ 有

$\begin{array}{l}\left|\left({\chi }_{1,j_1}\otimes {\chi }_{2,j_2}\otimes \cdots \otimes {\chi }_{n,j_n}\right)\left(D\right)\right|\\ \le \{\begin{array}{l}K,\left(j_1,j_2,\cdots ,j_n\right)=\left(0,0,\cdots ,0\right),\\ \frac{\left|1+\sqrt{q_1}\right|\cdots \left|1+\sqrt{q_n}\right|}{2},\left(j_1,j_2,\cdots ,j_n\right)\ne \left(0,0,\cdots ,0\right).\end{array}\end{array}$

证明：我们用数学归纳法证明该引理。

若 $n=1$ 时，若 ${\chi }_{1,j_1}$ 是平凡特征，显然有 ${\chi }_{1,j_1}\left(D\right)=K$ ；若 ${\chi }_{1,j_1}$ 不是平凡特征，则根据引理2知 $\left|{\chi }_{1,j_1}\left(D\right)\right|\le \frac{\sqrt{q}+1}{2}$ ，那么以上的结果成立。

现假设 $n-1$ 时结果是正确的，下面分析n的情况。

如果 $\left(j_1,j_2,\cdots ,j_n\right)=\left(0,0,\cdots ,0\right)$ ，那么 ${\chi }_{1,j_1}\otimes {\chi }_{2,j_2}\otimes \cdots \otimes {\chi }_{n,j_n}$ 是平凡特征。因此，以上结果是正确的。如果 $\left(j_1,j_2,\cdots ,j_n\right)\ne \left(0,0,\cdots ,0\right)$ ，则又分为以下三种情形：

1) $\left(j_1,j_2,\cdots ,j_n\right)=\left(0,0,\cdots ,0\right)$ ， $j_n\ne 0$

$\begin{array}{l}\left({\chi }_{1,j_1}\otimes {\chi }_{2,j_2}\otimes \cdots \otimes {\chi }_{n,j_n}\right)\left(D\right)\\ =\left({\chi }_{1,j_1}\otimes {\chi }_{2,j_2}\otimes \cdots \otimes {\chi }_{n,j_n}\right)\left(\left(E_{n-1}\times {\bar{D}}_n\right)\cup \left({\bar{E}}_{n-1}\times D_n\right)\right)\\ =\left|E_{n-1}\right|{\chi }_{n,j_n}\left({\bar{D}}_n\right)+\left|{\bar{E}}_{n-1}\right|{\chi }_{n,j_n}\left(D_n\right)\\ =-\left|E_{n-1}\right|{\chi }_{n,j_n}\left(D_n\right)+\left|{\bar{E}}_{n-1}\right|{\chi }_{n,j_n}\left(D_n\right)\\ ={\chi }_{n,j_n}\left(D_n\right).\end{array}$

所以

$\left|\left({\chi }_{1,j_1}\otimes {\chi }_{2,j_2}\otimes \cdots \otimes {\chi }_{n,j_n}\right)\left(D\right)\right|=\left|{\chi }_{n,j_n}\left(D_n\right)\right|=\frac{\left|1+\sqrt{q_n}\right|}{2}<\frac{\left|1+\sqrt{q_1}\right|\cdots \left|1+\sqrt{q_n}\right|}{2}$ .

2) $\left(j_1,j_2,\cdots ,j_{n-1}\right)\ne \left(0,0,\cdots ,0\right)$ ， $j_n=0$

在这种情况中我们可以得到：

$\begin{array}{l}\left({\chi }_{1,j_1}\otimes {\chi }_{2,j_2}\otimes \cdots \otimes {\chi }_{n,j_n}\right)\left(D\right)\\ =\left({\chi }_{1,j_1}\otimes {\chi }_{2,j_2}\otimes \cdots \otimes {\chi }_{n,j_n}\right)\left(\left(E_{n-1}\times {\bar{D}}_n\right)\cup \left({\bar{E}}_{n-1}\times D_n\right)\right)\\ =\left({\chi }_{1,j_1}\otimes {\chi }_{2,j_2}\otimes \cdots \otimes {\chi }_{n-1,j_{n-1}}\right)\left(E_{n-1}\right)\left|{\bar{D}}_n\right|+\left({\chi }_{1,j_1}\otimes {\chi }_{2,j_2}\otimes \cdots \otimes {\chi }_{n-1,j_{n-1}}\right)\left({\bar{E}}_{n-1}\right)\left|D_n\right|\\ =\left({\chi }_{1,j_1}\otimes {\chi }_{2,j_2}\otimes \cdots \otimes {\chi }_{n-1,j_{n-1}}\right)\left(E_{n-1}\right)\left|{\bar{D}}_n\right|-\left({\chi }_{1,j_1}\otimes {\chi }_{2,j_2}\otimes \cdots \otimes {\chi }_{n-1,j_{n-1}}\right)\left(E_{n-1}\right)\left|D_n\right|\\ =\left({\chi }_{1,j_1}\otimes {\chi }_{2,j_2}\otimes \cdots \otimes {\chi }_{n-1,j_{n-1}}\right)\left(E_{n-1}\right).\end{array}$

再根据假设有

$\begin{array}{l}\left|\left({\chi }_{1,j_1}\otimes {\chi }_{2,j_2}\otimes \cdots \otimes {\chi }_{n,j_n}\right)\left(D\right)\right|\\ =\left|\left({\chi }_{1,j_1}\otimes {\chi }_{2,j_2}\otimes \cdots \otimes {\chi }_{n-1,j_{n-1}}\right)\left(E_{n-1}\right)\right|\\ \le \frac{\left|1+\sqrt{q_1}\right|\cdots \left|1+\sqrt{q_{n-1}}\right|}{2}\\ <\frac{\left|1+\sqrt{q_1}\right|\cdots \left|1+\sqrt{q_n}\right|}{2}.\end{array}$

3) $\left(j_1,j_2,\cdots ,j_n\right)\ne \left(0,0,\cdots ,0\right)$

在这种情况中我们可以得到：

$\begin{array}{l}\left({\chi }_{1,j_1}\otimes {\chi }_{2,j_2}\otimes \cdots \otimes {\chi }_{n,j_n}\right)\left(D\right)\\ =\left({\chi }_{1,j_1}\otimes {\chi }_{2,j_2}\otimes \cdots \otimes {\chi }_{n,j_n}\right)\left(\left(E_{n-1}\times {\bar{D}}_n\right)\cup \left({\bar{E}}_{n-1}\times D_n\right)\right)\\ =({\chi }_{1,j_1}\otimes {\chi }_{2,j_2}\otimes \cdots \otimes {\chi }_{n-1,j_{n-1}})\left(E_{n-1}\right){\chi }_{n,j_n}\left({\bar{D}}_n\right)\\ +\left({\chi }_{1,j_1}\otimes {\chi }_{2,j_2}\otimes \cdots \otimes {\chi }_{n-1,j_{n-1}}\right)\left({\bar{E}}_{n-1}\right){\chi }_{n,j_n}\left(D_n\right)\\ =-2\left({\chi }_{1,j_1}\otimes {\chi }_{2,j_2}\otimes \cdots \otimes {\chi }_{n-1,j_{n-1}}\right)\left(E_{n-1}\right){\chi }_{n,j_n}\left(D_n\right).\end{array}$

所以根据假设及引理2有

$\begin{array}{l}\left|\left({\chi }_{1,j_1}\otimes {\chi }_{2,j_2}\otimes \cdots \otimes {\chi }_{n,j_n}\right)\left(D\right)\right|\\ =\left|-2\left({\chi }_{1,j_1}\otimes {\chi }_{2,j_2}\otimes \cdots \otimes {\chi }_{n-1,j_{n-1}}\right)\left(E_{n-1}\right){\chi }_{n,j_n}\left(D_n\right)\right|\\ \le 2\frac{\left|1+\sqrt{q_1}\right|\cdots \left|1+\sqrt{q_{n-1}}\right|}{2}\frac{\left|1+\sqrt{q_n}\right|}{2}\\ <\frac{\left|1+\sqrt{q_1}\right|\cdots \left|1+\sqrt{q_n}\right|}{2}.\end{array}$

定理5. $C_D$ 是由(1)式定义的码本。则 $C_D$ 的参数为 $\left(q_1{q}_2\cdots q_n,\frac{q_1{q}_2\cdots q_n-1}{2}\right)$ 且有

$I_{\max }\left(C_D\right)\le \frac{\left|1+\sqrt{q_1}\right|\cdots \left|1+\sqrt{q_n}\right|}{q_1{q}_2\cdots q_n-1}$ .

证明：设 $C_{j_1,j_2,\cdots ,j_n}$ 和 $C_{{j^{\prime }}_1,{j^{\prime }}_2,\cdots ,{j^{\prime }}_n}$ 是 $C_D$ 中的两个码本且 $\left(j_1,j_2,\cdots ,j_n\right)\ne \left({j^{\prime }}_1,{j^{\prime }}_2,\cdots ,{j^{\prime }}_n\right)$ 。由(2)式我们可以得到

$\begin{array}{l}\left|C_{j_1,j_2,\cdots ,j_n}{C}_{{j^{\prime }}_1,{j^{\prime }}_2,\cdots ,{j^{\prime }}_n}^H\right|\\ =\frac{1}{K}\left|\underset{i=1}{\overset{K}{{\displaystyle \sum }}}{\chi }_{1,j_1}\left(g_{i_1}\right){\chi }_{2,j_2}\left(g_{i_{12}}\right)\cdots {\chi }_{n,j_n}\left(g_{i_n}\right){\bar{\chi }}_{1,{j^{\prime }}_1}\left(g_{i_1}\right){\bar{\chi }}_{2,{j^{\prime }}_2}\left(g_{i_{12}}\right)\cdots {\bar{\chi }}_{n,{j^{\prime }}_n}\left(g_{i_n}\right)\right|\\ =\frac{1}{K}\left|\underset{i=1}{\overset{K}{{\displaystyle \sum }}}\left({\chi }_{1,j_1}{\bar{\chi }}_{1,{j^{\prime }}_1}\right)\left(g_{i_1}\right)\left({\chi }_{2,j_2}{\bar{\chi }}_{2,{j^{\prime }}_2}\right)\left(g_{i_{12}}\right)\cdots \left({\chi }_{n,j_n}{\bar{\chi }}_{n,{j^{\prime }}_n}\right)\left(g_{i_n}\right)\right|\\ =\frac{1}{K}\left|\underset{i=1}{\overset{K}{{\displaystyle \sum }}}\left(\left({\chi }_{1,j_1}{\bar{\chi }}_{1,{j^{\prime }}_1}\right)\otimes \left({\chi }_{2,j_2}{\bar{\chi }}_{2,{j^{\prime }}_2}\right)\otimes \cdots \otimes \left({\chi }_{n,j_n}{\bar{\chi }}_{n,{j^{\prime }}_n}\right)\right)\left(g_{i_1},g_{i_2},\cdots ,g_{i_n}\right)\right|.\end{array}$

由于 $\left(j_1,j_2,\cdots ,j_n\right)\ne \left({j^{\prime }}_1,{j^{\prime }}_2,\cdots ,{j^{\prime }}_n\right)$ ， $\left({\chi }_{1,j_1}{\bar{\chi }}_{1,{j^{\prime }}_1}\right)\left({\chi }_{2,j_2}{\bar{\chi }}_{2,{j^{\prime }}_2}\right)\otimes \cdots \otimes \left({\chi }_{n,j_n}{\bar{\chi }}_{n,{j^{\prime }}_n}\right)$ 是F的非平凡特征。利用引理4即可得证：

注6. 对于一个参数为 $\left(q_1{q}_2\cdots q_n,\frac{q_1{q}_2\cdots q_n-1}{2}\right)$ 的码本。易算得

$I_w=\frac{\sqrt{q_1{q}_2\cdots q_n+1}}{q_1{q}_2\cdots q_n-1}$ .

因此

$1\le \frac{I_{\max }\left(C_D\right)}{I_w}=\frac{\left|1+\sqrt{q_1}\right|\cdots \left|1+\sqrt{q_n}\right|}{\sqrt{q_1{q}_2\cdots q_n+1}}\to 1$ .

当所有 $q_i\to \infty ,1\le i\le n$ 。

推论7. 当定理5中所用的有限域都相同时，不妨设都是 $F_q$ 。此时对应的 $\left(q^n,\frac{q^n-1}{2}\right)$ 密码本满足：

$I_{\max }\left(C_D\right)\le \frac{{\left|1+\sqrt{q}\right|}^n}{q^n-1}$ .

对应的Welch界是 $I_w=\frac{\sqrt{q^n+1}}{q^n-1}$ 。因此，

$1\le \frac{I_{\max }\left(C_D\right)}{I_w}=\frac{{\left|1+\sqrt{q}\right|}^n}{\sqrt{q^n+1}}\to 1$ .

基金项目

国家自然科学基金(No. 61502217)。