基域扩张下的倾斜代数

doi:10.12677/PM.2019.92027

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基域扩张下的倾斜代数
Tilted Algebras under Base Field Extensions

DOI: 10.12677/PM.2019.92027, PDF, 国家自然科学基金支持
作者: 孙菊香：商丘师范学院数学与统计学院，河南商丘
关键词: 倾斜模；倾斜代数；基域扩张；Tilting Module； Tilted Algebra； Base Field Extension

摘要: 本文讨论了倾斜代数在基本域扩张下的倾斜不变性。设K是一个代数封闭域，A是一个有限维K-代数，F是一个可分K-扩张。本文主要证明A是倾斜代数当且仅当A⊗_KF是倾斜代数。

Abstract: In this paper, we study the invariant properties of tilted algebras under base field extensions. Let K be an algebraic closed field, A be a finite-dimensional K-algebra, and F be a separable extension of K. We prove that A is a tilted algebra if and only if so is A⊗_KF .

文章引用：孙菊香. 基域扩张下的倾斜代数[J]. 理论数学, 2019, 9(2): 212-216. https://doi.org/10.12677/PM.2019.92027

1. 引言

经典的1-倾斜模和倾斜代数是倾斜理论的两个基本的研究对象。前者是由Brenner和Buttler在 [1] 中提出的；后者作为遗传代数上1-倾斜模的自同态代数是由Happel和Ringel在 [2] 中引入的。对于任一个正整数m，Miyashita在 [3] 中将1-倾斜模的概念推广到m-倾斜模。众所周知，倾斜模和倾斜代数在代数表示论中起到十分重要的作用，研究诸如代数扩张等具有一定联系的两个代数间的倾斜不变性一直为人们所关注 [4] [5] [6] 。

设A是一个有限维K-代数，F是一个MaLand意义下 [7] [8] 的可分K-扩张，则 $A \otimes_{K} F$ 是A的一类重要的代数扩张。Passman [6] 证明了 $A \otimes_{K} F$ 既是A的优化扩张还是A的Frobienus扩张。因而， $A \otimes_{K} F$ 和A之间的不变性质一直是人们重要研究对象。诸如表示型，整体维数，Gorenstein-整体维数等等都在 $A \otimes_{K} F$ 和A之间保持不变 [5] [6] [8] 。南京大学黄兆泳教授和本文作者在 [4] 中证明了二者具有相同的有限维数和表示维数。从 [4] 中可知 $A \otimes_{K} F$ 是遗传代数当且仅当A是遗传代数。而遗传代数恰好是一类重要的倾斜代数。一个自然的问题就是：如果 $A \otimes_{K} F$ 和A中有一个是倾斜代数，那么另一个是否为倾斜代数？本文给出了一个完整的回答。本文的主要定理

定理1.1：设K是一个代数封闭域，A是一个有限维K-代数，F是一个可分K-扩张。则A是倾斜代数当且仅当 $A \otimes_{K} F$ 是倾斜代数。

2. 预备知识

本文中的所有代数都是有限维K-代数，其中K是一个代数封闭域，所有模都是有限生成右模。设A有限维K-代数，将所有有限生成的A-模构成的范畴记为mod A。记pd_AT和add_AT分别为A-模T的投射维数和A-模T有限直和的直和项，记gl.dim A为A的整体维数。

设A是一个有限维K-代数，F是一个可分K-扩张。因为 $A \otimes_{K} F$ 既是A的优化扩张还是A的Frobienus 扩张，我们有以下结论。

引理2.1：设A是一个有限维K-代数，F是一个可分K-扩张。

1) 对于任一个 $A \otimes_{K} F$ -模M，则M是 $A \otimes_{K} F$ -模 $M \otimes_{K} F$ 的直和项；

2) 对于任一个 $A \otimes_{K} F$ -模N，有 $p d_{A \otimes_{K} F} N = p d_{A} N = p d_{A} {(N \otimes_{K} F)}_{A \otimes_{K} F}$ ；

3) 如果I是内射A-模，则 $I \otimes_{K} F$ 是内射 $A \otimes_{K} F$ -模；

4) $g l . d i m A = g l . d i m A \otimes_{K} F$ 。

定义2.2 [3] ：有限生成A-模T称为m-倾斜模，如果

1) $p d_{A} T \leq m$ ；

2) 对于任意正整数i，都有 $E x t_{A}^{i} (T, T) = 0$ ；

3) mod A中存在长正合列： $0 \to A \to T_{0} \to T_{1} \to \dots \to T_{m} \to 0, \forall T_{i} \in a d d_{A} T$ 。

定义2.3 [2] ：有限维代数A称为倾斜代数，如果存在遗传代数B上的1-倾斜模T，使得 $A = E n d_{B} T$ 。

不难证明有限维A是倾斜代数当且仅当存在一个自同态代数为遗传代数的1-倾斜A-模。

设 $ℑ$ 是加法范畴， $(ℑ^{O P}, ℑ B)$ 为由 $ℑ$ 到AB (Abel群范畴)的所有反变函子组成的范畴。称函子 $F : ℑ^{O P} \to A B$ 是凝聚函子，如果 $(ℑ^{O P}, A B)$ 中存在正合列：

$H o m_{A} (-, A_{1}) \to H o m_{A} (-$