局部紧致度量空间的渐进稳定集

Asymptotically Stable Set of Local Compact Metric Space

摘要: 设X为局部紧致度量空间，f：X→X是同胚映射。本文主要证明如下两个结论：1) 若对∀x∈X，ω(x)≠∅，K⊂X为紧致强不变集，且存在一个紧致邻域Q，使得Q\K包含不完整负轨道，则K是渐进稳定集；2) 若X的每一个有界闭集都是紧致的，且K⊂X为吸引子，则是渐进稳定的，其中与K有相同的吸引域。更多的，K是渐近稳定的当且仅当=K 。结论1)，2)分别是对文献[1]和[2]中的结论进行了进一步推广。

Abstract: Let X be a local compact metric space, f：X→X  be a homeomorphism. This article mainly proves the following two conclusions: 1) Assume that K⊂X is a compact strongly invariant set and there exists a compact neighborhood K⊃X , such that Q\K contains no complete negative trajectory for every x∈X  and ω(x) is nonempty set, then K is asymptotically stable. 2) If each bounded closed set is a compact set for X and let K⊂X be an attractor. Then is asymptotically stable with the same basin of attraction that K. Moreover K is asymptotically stable if only if =K .

1. 引言

运动稳定性问题在19世纪下半叶已有许多学者进行研究并得出一些成果。如著名物理学家J. C.麦克斯韦(1868)分析蒸汽机调速器和钟表机构稳定性的论文《论调节器》；E. J.劳思(1830~1907)的专著《已知运动状态的稳定性》(1877)；H. E.儒科夫斯基的《论运动的持久性》(1882)等。俄国数学家、力学家李雅普诺夫和法国数学家、理论科学家和科学哲学家儒勒·昂利·庞加莱庞加莱也各自从不同角度研究了运动稳定性理论中的一般性问题。1892年，李雅普诺夫在《运动稳定性的一般问题》一文中对已知运动状态的稳定性给出了严格的数学定义。本文为了更好地研究局部紧致度量空间的渐进稳定集，借助不完全负轨道，吸引子等的概念来刻画其性质，将文献 [1] 和 [2] 中的结论进行了进一步推广。

2. 预备知识

性质2.1： [3] 设X是局部紧致的度量空间。对 $\forall x\in X$ ， $\omega \left(x\right)$ 和 $\alpha \left(x\right)$ 都是X中的闭且强不变集。

定义2.2： [3] 设X是局部紧致的度量空间。称紧致集 $K\subset X$ 称为吸引子，如果它是强不变的且存在K的一个开邻域U，使得对所有， $\omega \left(x\right)\ne \varphi$ 且 $\omega \left(x\right)\subset K$ 。

定义2.3： [3] 设X是局部紧致的度量空间。集合 ${\rm A}\left(K\right)=\{x\in X:\omega \left(x\right)\ne \varphi$ 且 $\omega \left(x\right)\subset K\}$ 称为K的吸引域，且 ${\rm A}\left(K\right)$ 强不变且是开集。在这种情况下，如果 ${\rm A}\left(K\right)=X$ ，我们称这样的K为全局吸引子。

定义2.4： [3] 设X是局部紧致的度量空间。称紧致集 $K\subset X$ 是渐进稳定集如果它是一个吸引子且对所有的K的开邻域U，存在 $V\subset U$ 为K的一个开邻域，使得 $f^n\left(x\right)\in U$ ，对所有 $x\in V$ 且 $n\in N$ 。在这种情况下，如果 ${\rm A}\left(K\right)=X$ ，我们称这样的K为全局稳定集。

定义2.5： [3] 设K为一吸引子， $\stackrel{\text{~}}{K}=\left\{x\in {\rm A}\left(K\right):\alpha \left(x\right)\cap K\ne \varphi \right\}$ 称为K的稳定子。

定义2.6： [4] 设X是局部紧致度量空间， $f:X\to X$ 是同胚映射， $x\in X$ 。如果存在递增序列 $n_i$ ，使得 $\underset{i\to +\infty }{\lim }{f}^{n_i}\left(x\right)=y$ ，则称 $y\in X$ 为x的ω-极限点，并称x的全体ω-极限点的集合为x的ω-极限集，记作

$\omega \left(x,f\right)$ 。显然， $\omega \left(x,f\right)={\displaystyle \underset{n\ge 0}{\cap }\overline{{\displaystyle \underset{k\ge n}{\cup }orb\left(f^k\left(x\right)\right)}}}$ 。同样，如果存在递增序列 $n_i$ ，使得 $\underset{i\to +\infty }{\lim }{f}^{-n_i}\left(x\right)=y$ ，则称

$y\in X$ 为x的α-极限点，并称x的全体α-极限点的集合为x的α-极限集，记作 $\alpha \left(x,f\right)$ 。

定义2.7： [4] 设 $\left(X,f\right)$ 为动力系统， $x\in X$ ，称集合 $\left\{x,f\left(x\right),f^2\left(x\right),\cdots ,f^n\left(x\right),\cdots \right\}$ 为x在f之下的轨道，记为 $O\left(x,f\right)$ 或 $orb\left(x\right)$ 。

定义2.8： [4] 设X是一个集合， $\rho :X\times X\to R$ 如果对于任何的 $x,y,z\in X$ ，有

1) $\rho \left(x,y\right)\ge 0$ ，并且 $\rho \left(x,y\right)=0$ 当且仅当 $x=y$ ；

2) $\rho \left(x,y\right)=\rho \left(y,x\right)$ ；

3) $\rho \left(x,z\right)\le \rho \left(x,y\right)+\rho \left(y,z\right)$ ；

则称 $\rho$ 为集合X的一个度量。

定义2.9： [5] 设X是一个拓扑空间，如果X中的每一个点都有一个紧致邻域，则称拓扑空间X是一个局部紧致空间。

定义2.10： [5] 设x是度量空间X中的一个点。U是X的子集，如果存在一个开集V满足条件； $x\in V\subset U$ ，则称U是点x的一个邻域。

性质2.11： [5] 设x是度量空间X中的一个点。则X的子集U是点x的一个邻域的充分必要条件是点x有某一个球形邻域包含于U。

定义2.12： [5] 设 $X,Y$ 是两个度量空间， $h:X\to Y,x_0\in X$ 。若对于 $h\left(x_0\right)$ 的任意邻域 $B\left(h\left(x_0\right),\epsilon \right)$ ，存在 $x_0$ 的某邻域 $B\left(x_0,\delta \right)$ ，使得 $h\left(B\left(x_0,\delta \right)\right)\subset B\left(h\left(x_0\right),\epsilon \right)$ ，则称h在点 $x_0$ 处连续，若h在X的每一个点处都连续，则称h是一个连续映射。

定义2.13： [5] 设X和Y是拓扑空间，如果存在一个同胚映射 $f:X\to Y$ ，则称拓扑空间X于拓扑空间Y是同胚的，或称X与Y同胚，或称X同胚于Y。

定义2.14： [5] 设 $\left(X,f\right)$ 为动力系统。点 $x\in X$ 的一条完整负轨道是一个无限序列 $\left(x_n\right)$ ，使得对 $\forall n\ge 1$ ，有 $x_0=x$ 且 $f\left(x_n\right)=x_{n-1}$ 。

定义2.15： [5] 设X是拓扑空间。如果X的每一个开覆盖有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个紧致空间。

定义2.16： [5] 设X是局部紧致的度量空间，且设 $f:X\to X$ 为同胚映射。 $Y\subset X$ ，如果 $f\left(Y\right)\subset Y$ ，则称Y为不变集，进一步：如果 $f\left(Y\right)=Y$ ，则称Y是强不变的。

3. 相关引理

引理3.1：设 $f:X\to X$ 同胚，其中X为局部紧致的度量空间，假设 $K\subset X$ 为全局吸引子，设 $Q_1\supset K$ 为一紧致邻域，则存在紧致邻域 $Q_{\text{2}}$ ，使得 $Q_1\subset Q_2$ 且 $f\left(Q_2\right)\subset Q_2$ 。。

证明：设 $x\in Q_1$ ，则由K为全局吸引子，因此由K的定义，设 $n_x\ge 1$ 为第一个自然数使得 $f^{n_x}\left(x\right)\in \mathrm{int}\left(Q_1\right)$ 。则由 $f^{n_x}$ 的连续性知，存在x的一个δ-邻域 $S\left(x,\delta \right)$ ，使得 $f^{n_x}\left(\overline{S\left(x,\delta \right)}\right)\subset \mathrm{int}{Q}_1$ 。由X为局部紧致的，由X的定义可知，存在x的一个紧致邻域 ${B^{\prime }}_x$ ，令 $B_x={B^{\prime }}_x\cap \overline{S\left(x,\delta \right)}$ ，则 $B_x$ 是闭集且 $B_x\subset {B^{\prime }}_x$ ，因此由紧致集的闭子集还是紧致集知 $B_x$ 是x的一个紧致邻域。又 $f:X\to X$ 同胚，则知f是一一映射，所以有 $f^{n_x}\left(B_x\right)=f^{n_x}\left({B^{\prime }}_x\right)\cap f^{n_x}\left(\overline{S_x}\right)$ 且 $f^{n_x}\left(B_x\right)\subset f^{n_x}\left(\overline{S_x}\right)$ ，则 $f^{n_x}\left(B_x\right)\subset \mathrm{int}{Q}_1$ 。再由邻域的定义知，存

在开集 $C_x$ 使得 $x\in C_x\subset B_x$ ，所以有 ${\displaystyle \underset{x\in Q_1}{\cup }{C}_x}\supset Q_1$ ，于是存在 $x_1,x_2,\cdots ,x_k\in Q_1$ ，使得 $Q_1\subset {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\cup }}{C}_{x_i}}\subset {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\cup }}{B}_{x_i}}$ 。定义

$Q_2={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\cup }}\left({\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n_{x_i}}{\cup }}{f}^j\left(B_{x_i}\right)}\right)}$

由 $B_{x_i}$ 是紧致集且因为 $f:X\to X$ 同胚，所以有 $f:X\to X$ 为连续映射，从而 $f^j\left(B_{x_i}\right)$ 是紧致集，且

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\cup }}\left({\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n_{x_i}}{\cup }}{f}^j\left(B_{x_i}\right)}\right)}$ 是紧致集，即 $Q_2$ 是紧致集。断言， $f\left(Q_2\right)\subset Q_2$ 。证明如下，要证明 $f\left(Q_2\right)\subset Q_2$ ，只需要证明 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\cup }}{f}^{n_{x_i}+1}\left(B_{x_i}\right)}\subset Q_2$ 。对 $\forall x\in {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\cup }}{f}^{n_{x_i}+1}\left(B_{x_i}\right)}$ ，存在 $i_{\text{0}}$ ，使得 $x\in f^{n_{x_{i_0}}}\left(B_{x_{i_0}}\right)$ ，从而存在 $z\in B_{x_{i_0}}$ ，使得 $f^{n_{x_{i_0}}+1}\left(z\right)=x$ 。记 $s=f^{n_{x_{i_0}}}\left(z\right)$ ，所以有 $f\left(s\right)=x$ ，且 $s=f^{n_{x_{i_0}}}\left(z\right)\in f^{n_{x_0}}\left(B_{x_{i_0}}\right)\subset Q_1$ 。又因为 $Q_1\subset {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\cup }}{C}_{x_i}}\subset {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\cup }}{B}_{x_i}}$ ，所以存在 $i_1$ ，使得 $s\in B_{x_{i_1}}$ ，从而 $f\left(s\right)\in f\left(B_{x_{i_1}}\right)$ ，于是有

$x=f\left(s\right)\in f\left(B_{x_{i_1}}\right)\subset {\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n_{x_i}}{\cup }}{f}^j}\left(B_{x_{i_1}}\right)\subset Q_2$ ，

即有 $f\left(Q_2\right)\subset Q_2$ 。

引理3.2：设 $f:X\to X$ 同胚，其中X为局部紧致度量空间。假设 $K\subset X$ 为吸引子，如果能够找到K的一个紧致邻域Q，使得对任意开邻域 $U\supset K$ ，存在正整数N，对 $\forall n\ge N$ ，有 $f^n\left(Q\right)\subset U$ ，那么K是渐进稳定的。

证明：由于 $K\subset X$ 为吸引子，要证明K是渐进稳定的，只需要证明K是稳定的即可，如果K不是稳定的，则存在K的一个开邻域U，对K的任意开邻域V，存在 $x\in V$ 以及 $n_k\ge \text{0}$ ，使得 $f^{n_k}\left(x\right)\notin U$ 。设Q是K的紧致邻域，则存在Q中的一个序列 $\left\{x_k\right\}$ ，使得：

• 存在 $n_k$ ，有 $f^{n_k}\left(x_k\right)\notin U$ ；

• $\lim x_k=x\in K$ 。

则可知，对所有k，有 $n_k<N$ 。因此，存在m，令 $n_k=m$ ，则 $m<N$ 。又因为K强不变，所以有 $f^m\left(x_k\right)\to f^m\left(x\right)\in K$ ，于是从 $f^m\left(x_k\right)\to f^m\left(x\right)\in K\subset U$ 可知，U是 $f^m\left(x\right)$ 的一个开邻域，由邻域的充

分必要条件可知，存在 $f^m\left(x\right)$ 的一个ε-邻域 $B\left(f^m\left(x\right),\epsilon \right)$ ，又因为 $\underset{k\to \infty }{\lim }{f}^m\left(x_k\right)=f^m\left(x\right)$ ，所以同样取上述

的 $\epsilon$ ，存在N，当 $n>N$ 时，有 $d\left(f^m\left(x_k\right),f^m\left(x\right)\right)<\epsilon$ ，所以有 $f^m\left(x\right)\in U$ 。因此对所有足够大的k，有 $f^m\left(x_k\right)\in U$ ，这与假设矛盾。因此K是稳定的，从而得到K是渐进稳定集。

推论3.3：设 $f:X\to X$ 同胚，X为局部紧致的度量空间，假设 $K\subset X$ 为全局渐进稳定集，则存在一个紧致邻域 $Q\supset K$ ，使得对每一个开邻域 $U\supset K$ ，存在一个正整数N，对 $\forall n\ge N$ 使得 $f^n\left(Q\right)\subset U$ 。

证明：由K为全局渐进稳定集，则K为全局吸引子，由全局吸引子的定义， $\exists U_0\supset K$ ，使得对 $\forall x\in U_0$ ，有 $\omega \left(x\right)\ne \varphi$ 且 $\omega \left(x\right)\subset K$ 。对 $\forall x\in K$ ，由X为局部紧致的度量空间，因此由其定义可知，存在 $R_x$ 为x的紧致邻域，所以 $R_x$ 为紧集，又 $R_x$ 是一个邻域，由邻域的定义，存在开集 $S_x$ ，使得 $x\in S_x\subset R_x$ ，所以有

${\displaystyle \underset{x\in K}{\cup }{S}_x}\supset K$ ，从而存在 $x_1,x_2,\cdots ,x_t$ ，使得 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\cup }}{S}_{x_i}}\supset K$ ，于是有 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\cup }}{R}_{x_i}}\supset {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\cup }}{S}_{x_i}}\supset K$ 。因为 $R_{x_i}$ 是紧致集，所以 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\cup }}{R}_{x_i}}$ 也紧致。因此令 $Q={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\cup }}{R}_{x_i}}$ 。设U为K的任意开邻域，使得 $K\subset U\subset Q$ ，且由稳定性的定义可知：存在K的开邻域V，使得 $K\subset V\subset U$ ，对 $\forall x\in V$ 以及 $n\in N$ 有 $f^n\left(x\right)\in U$ 。对

$\forall x\in Q,\exists n\left(x\right)\in N,s.t.f^{n\left(x\right)}\left(x\right)\in V$

(因为 $\omega \left(x\right)\subset K$ )。由 $f^{n\left(x\right)}$ 的连续性，因此存在x的开邻域 $W_x$ ，使得 $f^{n\left(x\right)}\left(W_x\right)\subset V$ 。则 ${\left\{W_x\right\}}_{x\in Q}$ 为Q的

一个开覆盖，因为 ${\displaystyle \underset{x\in Q}{\cup }{W}_x}\supset Q$ ，所以存在 $x_1,x_2,\cdots ,x_l\in Q$ ，使得 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{l}{\cup }}{W}_{x_i}}\supset Q$ ，取 $N=\max \left\{n\left(x_1\right),\cdots ,n\left(x_l\right)\right\}$ ，

则对 $\forall x\in Q$ ，由 $f^{n\left(x\right)}\left(W_x\right)\subset V$ 可知，当 $n\left(x_i\right)\le N$ ，有 $f^{n\left(x_i\right)}\left(x\right)\in V$ ，则 $f^{n\left(x_i\right)}\left(x\right)$ 的轨道包含于U，因此对所有 $n\ge N$ ，有 $f^n\left(x\right)\in U$ 。对 $\forall y\in f^n\left(Q\right)$ ，存在 $x\in Q$ ，使得 $f^n\left(x\right)=y$ ，因为 $x\in Q$ ，则当 $n\ge N$ 时，有 $f^n\left(x\right)\in U$ ，从而得到 $f^n\left(Q\right)\subset U$ 。

引理3.4：集合X为局部紧致的度量空间。设 $f:X\to X$ 为同胚映射，且设 $K\subset X$ 为全局吸引子。取 $\forall x\in X$ ，要么 $x\in \tilde{K}$ ，要么 $\alpha \left(x\right)=\varphi$ (i.e. x的负轨道远离任何紧致集)

证明：设 $x\in X$ ，假设 $\alpha \left(x\right)\ne \varphi$ ，取 $y\in \alpha \left(x\right)$ ，由K是全局吸引子，则 $\omega \left(y\right)\ne \varphi$ ， $\omega \left(y\right)\subset K$ 且 $\omega \left(y\right)\subset \alpha \left(x\right)$ (因为 $\alpha \left(x\right)$ 强不变，则 $f^n\left(y\right)\in \alpha \left(x\right)$ 。令 $B=\left\{f^n\left(y\right);n\ge 0\right\}$ ，则 $\omega \left(y\right)\subset \bar{B}\subset \alpha \left(x\right)$ ，所以 $\omega \left(y\right)\subset \alpha (x))$

$\therefore$ $\alpha \left(x\right)\cap K\ne \varphi$ ，因此 $x\in \tilde{K}$ 。

命题3.5：设 $f:X\to X$ 同胚，其中X为局部紧致度量空间，假设 $K\subset X$ 为吸引子且如果存在K的紧致邻域Q，使得

1) $f\left(Q\right)\subset Q$ 。

2) ${\displaystyle {\cap }_{n\ge 0}{f}^n}\left(Q\right)\subset K$ 。

那么K是渐进稳定集。

证明：因为 $f\left(Q\right)\subset Q$ ，所以对 $n\ge 0$ ，有 $f^n\left(Q\right)\subset Q$ 。所以紧致集 $\left\{f^n\left(Q\right),n\ge 0\right\}$ 形成一个递减序列。再者，因为 ${\displaystyle {\cap }_{n\ge 0}{f}^n}\left(Q\right)\subset K$ ，因此 $\exists N$ ，当 $n\ge N$ 时，有 $f^n\left(Q\right)\subset K$ ，因此令U为K的任何邻域， $\exists N$ ，当 $n\ge N$ 时， $f^n\left(Q\right)\subset U$ ，再由引理3.2可知K是渐进稳定集。

推论 3.6：设 $f:X\to X$ 同胚，其中X为局部紧致度量空间，假设 $K\subset X$ 为吸引子且如果存在K的紧致邻域Q，使得。

那么 ${\displaystyle {\cap }_{n\ge 0}{f}^n}\left(Q\right)=K$ 是渐进稳定集。

证明：由 ${\displaystyle {\cap }_{n\ge 0}{f}^n}\left(Q\right)=K$ 蕴含 ${\displaystyle {\cap }_{n\ge 0}{f}^n}\left(Q\right)\subset K$ ，则由命题3.5可知 ${\displaystyle {\cap }_{n\ge 0}{f}^n}\left(Q\right)=K$ 是渐进稳定集。

4. 主要定理证明

定理4.1：设 $f:X\to X$ 为同胚映射，其中X为局部紧致的度量空间。若对 $\forall x\in X$ ， $\omega \left(x\right)\ne \varphi$ ， $K\subset X$ 为紧致强不变集，且存在一个紧致邻域Q，使得 $Q\backslash K$ 包含不完整负轨道，则K是渐进稳定集。

首先证明K是稳定的。如果K是不稳定的，则存在K的一个开邻域U，使得 $K\subset U$ 且对任意的开邻域 $V\supset K$ ，存在 $x\in V$ 以及 $n\in N$ ，使得 $f^n\left(x\right)\notin U$ 。

因为Q是K的一个紧致邻域，则存在Q的一个序列 ${\left\{x_k\right\}}_k$ ，使得：

• $\exists n_k\ge 0$ ， $f^{n_k}\left(x_k\right)\notin U$ ；

• $\lim x_k=x\in K$ 。

则序列 ${\left\{x_k\right\}}_k$ 包含一个子序列，仍记为 ${\left\{x_k\right\}}_k$ ， $s.t.f^{n_{k-1}}\left(x_k\right)\to y_0$ ，其中 $y_0\in Q$ 且 $f\left(y_0\right)\notin U$ ，因为K强不变，因此有 $y_0\notin K$ 。同样，序列 ${\left\{x_k\right\}}_k$ 包含一个子序列，再一次记为 ${\left\{x_k\right\}}_k$ ， $s.t.f^{n_{k-2}}\left(x_k\right)\to y_1$ ，其中 $f\left(y_1\right)=y_0$ 且 $y_1\in Q\backslash K\left(n\ge 1\right)$ ，以同样的方式进行，可以构造一个无限序列( $y_n$ )，使得 $f\left(y_n\right)=y_{n-1}$ 且 $y_n\in Q\backslash K\left(n\ge 1\right)$ ，与假设矛盾。

因此，对K中的任意开邻域U，存在K的开邻域V，并且使得 $K\subset V\subset U$ ，对 $\forall x\in V$ 以及 $n\ge 0$ ，有 $f^n\left(x\right)\in U$ 。

为了完成证明，接着证明K为吸引子。因为有 $\omega \left(x\right)\ne \varphi$ ，因此只需证明对 $\forall x\in V$ ， $\omega \left(x\right)\subset K$ 即可，若不是，即存在 $x\in V$ ，使得 $\omega \left(x\right)\not\subset K$ 。则存在 $x\in V\backslash K$ 且存在一个开集W，使得 $K\subset W\subset V$ ，对无穷多的n，有 $f^n\left(x\right)\notin W$ 。因此存在 $n_k\to \infty$ 使得 $f^{n_k}\left(x\right)\to y_0$ ，其中 $y_0\in Q|W$ 。因为 $y_0\in \omega \left(x\right)$ 且 $\omega \left(x\right)$ 强不变，所以有 $y_0\in f\left(\omega \left(x\right)\right)$ 则存在一个点 $y_1\in \omega \left(x\right)$ ，使得 $f\left(y_1\right)=y_0$ ，同样 $y_1\in Q|K$ 。照这样进行，再一次得到矛盾。综上得到K是渐进稳定集。

定理4.2：设集合X为局部紧致的度量空间， $f:X\to X$ 同胚。若X的每一个有界闭集都是紧致的，且 $K\subset X$ 为吸引子，则 $\tilde{K}$ 是渐进稳定的，其中 $\tilde{K}$ 与K有相同的吸引域。更多的，K是渐近稳定的当且仅当 $\tilde{K}=K$ 。

证明：由定义知 $\tilde{K}=\left\{x\in {\rm A}\left(K\right):\alpha \left(x\right)\cap K\ne \varphi \right\}$ ，可知 $\tilde{K}$ 强不变。现在证明 $\tilde{K}$ 是紧致的。

由引理3.1可知，存在K的一个紧致邻域Q，使得 $f\left(Q\right)\subset Q$ 。断言 $f^{-1}\left(Q^c\right)\subset Q^c$ ，这是因为 $f\left(Q\right)\subset Q$ ， $Q\subset f^{-1}\left(Q\right)$ ，因此 $Q^c\supset {\left[f^{-1}\left(Q\right)\right]}^c$ ，要证 $f^{-1}\left(Q^c\right)\subset Q^c$ ，只需证明 $f^{-1}\left(Q^c\right)\subset {\left[f^{-1}\left(Q\right)\right]}^c$ 。

对 $\forall y\in f^{-1}\left(Q^c\right)$ ，则 $\exists x\in Q^c$ ， $s.t.f^{-1}\left(x\right)=y$ ，又因为 $x\in Q^c$ ，所以 $x\notin Q$ ，则 $f^{-1}\left(x\right)\notin f^{-1}\left(Q\right)$ ，因此 $f^{-1}\left(x\right)\in {\left[f^{-1}\left(Q\right)\right]}^c$ ，因此有 $f^{-1}\left(Q^c\right)\subset Q^c$ ，从而得证。且则 (这是因为 $\forall x\in Q^c$ ，所以有 $f^{-n}\left(x\right)\in Q^c$ 。令 $B=\left\{f^{-n}\left(x\right);n\ge 0\right\}$ ，所以 $\alpha \left(x\right)\subset \bar{B}\subset \overline{Q^c}\subset \overline{{\left[\mathrm{int}\left(Q\right)\right]}^c}={\left[\mathrm{int}\left(Q\right)\right]}^c$ ，固有 $\alpha \left(x\right)\subset {\left[\mathrm{int}\left(Q\right)\right]}^c$ ，所以 $\alpha \left(x\right)\cap K=\varphi$ ，因此有 $x\notin \tilde{K}$ ，则 $x\in {\tilde{K}}^c$ ，于是 $Q^c\subset {\tilde{K}}^c$ ，则有 $\tilde{K}\subset Q$ )。因此 $\tilde{K}$ 有界。接着证明 ${\tilde{K}}^c$ 是开集。

设 $p\in {\tilde{K}}^c$ ，由引理3.4，存在 $n\ge 0$ ，使得 $f^{-n}\left(p\right)\in Q^c$ ，设V为p的一个邻域，由 $f^{-n}$ 的连续性知有 $f^{-n}\left(V\right)\subset Q^c$ 。因为对 $\forall x\in V$ ，有 $f^{-n}\left(x\right)\in f^{-n}\left(V\right)\subset Q^c$ ，令 $B=\left\{f^{-n}\left(x\right);n\ge 0\right\}$ ，则 $\alpha \left(x\right)\subset \bar{B}\subset \overline{Q^c}$ ，所以 $\forall x\in V$ 有 $\alpha \left(x\right)\subset \overline{Q^c}$ 。所以有 $V\subset {\tilde{K}}^c$ (若不然，则存在 $x\in V$ 且 $x\notin {\tilde{K}}^c$ ，即有 $x\in \tilde{K}$ ，因为 $\tilde{K}$ 强不变，所以对任意 $n\ge 0$ ，有 $f^{-n}\left(x\right)\in \tilde{K}\subset Q$ ，矛盾。)。于是得证 ${\tilde{K}}^c$ ，则 $\tilde{K}$ 是闭集。再由定理的条件知， $\tilde{K}$ 是紧致集。由K和 $\tilde{K}$ 定义可知，对 $\forall x\in K$ ，因为 $f\left(K\right)=K$ ，则 $\exists y\in K,s.t.f\left(y\right)=x$ ，因此 $y=f^{-1}\left(x\right)$ ，所以 $f^{-n}\left(x\right)=f^{-n+1}\left(y\right)\in K$ ，令 $B=\left\{f^{-n}\left(x\right);n\ge 0\right\}$ ，则 $\alpha \left(x\right)\subset \bar{B}\subset K$ ，所以有 $\alpha \left(x\right)\cap K\ne \varphi$ ，于是有 $x\in \tilde{K}$ ，因此， $K\subset \tilde{K}$ 。所以 $\tilde{K}$ 为吸引子。

下面证明 $\tilde{K}$ 是渐近稳定的。因为已经证明 $\tilde{K}$ 为吸引子，要证明 $\tilde{K}$ 是渐近稳定的，只需要证明 $\tilde{K}$ 是稳定的即可。假设不是，则存在 $\tilde{K}$ 的一个开邻域U，使得对 $\tilde{K}$ 的任意开邻域V， $\exists x\in V$ 以及 $n_x\ge 0$ ， $s.t.f^{n_x}\left(x\right)\notin U$ 。

设Q为 $\tilde{K}$ 的一个紧致且正不变邻域，则存在Q的一个序列 ${\left\{x_k\right\}}_k$ 使得

• 存在 $n_k\ge 0$ ，使得 $f^{n_k}\left(x_k\right)\notin U$ ；

• $\lim x_k=x\in \tilde{K}$ 。

以上成立是因为，取 $V_1\subset U,V_1\supset \tilde{K}$ ， $\exists x_1\in V_1,n_1>0,s.t.f^{n_1}\left(x_1\right)\notin U$ ，令 $r_1=d\left(x_1,\tilde{K}\right)$ 为 $V_1$ 的半径，在这里我们由定理条件知道 $\overline{V_1}$ 是紧集；

取 $V_2={\displaystyle \underset{x\in \tilde{K}}{\cup }B\left(x,\frac{r_1}{2}\right)}$ ， $\exists x_2\in V_2,n_{\text{2}}>0,s.t.f^{n_2}\left(x_2\right)\notin U$ ，令 $r_2=d\left(x_2,\tilde{K}\right)$ 为 $V_2$ 的半径，在这里我们知道 $\overline{V_2}$ 是紧集；

$V_3={\displaystyle \underset{x\in \tilde{K}}{\cup }B\left(x,\frac{r_2}{2}\right)}$ ， $\exists x_3\in V_3,n_3>0,s.t.f^{n_3}\left(x_3\right)\notin U$ ；

$⋮$

因此存在一个子序列 ${\left\{x_k\right\}}_k$ ， $\exists n_k>0,s.t.f^{n_k}\left(x_k\right)\notin U$ 。

第二条，如果 $x\notin \tilde{K}$ ，首先我们由第一条的分析可知 $d\left(x_k,\tilde{K}\right)\to 0$ ，因为 $x\notin \tilde{K}$ ，所以有 $r=d\left(x,\tilde{K}\right)>0$ ，

又因为 $\lim x_k=x$ ，由极限的定义可知，取 $$ ， $\exists N$ ，当 $k>N$ ， $s.t.d\left(x_k,x\right)<\epsilon$ ，对 $\forall y\in \tilde{K}$ ，由三角不等式，

$d\left(x_k,y\right)+d\left(x_k,x\right)>d\left(x,y\right)$

$\therefore d\left(x_k,y\right)>d\left(x,y\right)-d\left(x_k,x\right)\ge \frac{r}{2}$

$\therefore d\left(x_k,\tilde{K}\right)\ge \frac{r}{2}$ 与 $d\left(x_k,\tilde{K}\right)\to 0$ 矛盾。

因为 $x_k\in Q$ 且Q正不变，有 $f^{n_k}\left(x_k\right)\to y\in Q\backslash U$ (如果需要取 ${\left\{x_k\right\}}_k$ 的子序列)。这里显然有 $y\in Q$ ，我们证明 $y\notin U$ ，假设 $y\in U$ ，则由y是U的内点，则存在一个ε-邻域，同样取这ε， $\exists N$ ，当 $n_k>N$ 时， $d\left(f^{n_k}\left(x_k\right),y\right)<\epsilon$ ，即 $f^{n_k}\left(x_k\right)\subset B\left(y,\epsilon \right)\subset U$ ，与 $f^{n_k}\left(x_k\right)\notin U$ 矛盾。

由引理3.4，存在 $j>0$ 且存在y的一个邻域V，使得 $f^{-j}\left(y\right)\in Q^c$ 且由连续性有 $f^{-j}\left(V\right)\subset Q^c$ 。

断言序列 $n_k\to \infty$ 。假设 $\left(n_k\right)$ 有界，取子序列 ${\left\{x_{k_i}\right\}}_i$ ， $s.t.x_{k_i}\to x$ 且对一些常数n有 $f^n\left(x_k\right)\to y$ ，因此 $y=f^n\left(x\right)$ ，这与 $\tilde{K}$ 强不变矛盾。因为 $y\in V$ ，取 $\epsilon >\text{0}$ ，使得 $B\left(y,\epsilon \right)\subset V$ ，存在N，使得当 $n_k>N$ 时， $d\left(f^{n_k}\left(x_k\right),y\right)<\epsilon$ ，蕴含 $f^{n_k}\left(x_k\right)\in V$ ，所以设 $k_0\in N$ ， $\forall k>k_0$ ，存在N，当 $n_k>N$ 时有 $f^{n_k}\left(x_k\right)\in V$ 。则 $f^{n_{k-j}}\left(x_k\right)\in Q^c$ ，且因为序列 $\left(n_k\right)$ 无界，存在一些k，使得 $n_{k-j}>0$ 与Q正不变矛盾，因此 $\tilde{K}$ 是渐近稳定的。

显然当 $\tilde{K}=K$ ，则K是渐近稳定的。下证反向。

假设 $\tilde{K}\ne K$ ，则由，存在，则 $\alpha \left(x\right)\cap K\ne \varphi$ ，所以对 $\forall \epsilon$ ，设

$B_{\epsilon }=\left\{y\in X,d\left(y,K\right)<\epsilon \right\}$ ， $\exists y\in \alpha \left(x\right)\cap K,\therefore B\left(y,\epsilon \right)\subset B_{\epsilon }$ ，

又因为 $y\in \alpha \left(x\right)$ ， $\therefore \exists n_k\to \infty ,s.t.f^{-n_k}\left(x\right)\to y$ ，所以， $\exists N$ ，当 $n_k>N$ 时， $d\left(f^{-n_k}\left(x\right),y\right)<\epsilon$ ，即 $B_{\epsilon }=\left\{y\in X;d\left(y,K\right)<\epsilon \right\}$ 包含一些x的原像，这与K的稳定性矛盾。证完。