构造[[q²+1/53，q²+1/53 -2d+2，d]]_q量子MDS码

Constructing [[q²+1/53，q²+1/53 -2d+2，d]]_q Quantum MDS Code

摘要: 量子MDS码是一类重要的量子码。本文利用常循环码和Hermitian构造理论构造一种新的量子MDS码[[q²+1/53，q²+1/53 -2d+2，d]]_q，其中q=106m+23时，整数d在区间[2,18m+4]且为偶数；其中q=106m+83时，整数d在区间[2,18m+4]且为偶数。

Abstract: Quantum MDS codes are an important class of quantum codes. In this paper, we construct new quantum MDS code [[q²+1/53，q²+1/53 -2d+2，d]]_q , the integer d belongs to [2,18m+4]  and is even if q=106m+23  and the integer d belongs to [2,18m+4]  and is even if q=106m+83 .

1. 引言

量子纠错码在量子信息理论和量子计算机发展进程中有着重要地位。与经典编码理论一样，量子理论中的一个主要问题是构建具有最佳可能最小距离的量子编码。许多量子编码已经通过使用经典方法构建出来了具有Euclidean或Hermitian自正交性的纠错码 [1] - [7] 。

设 $q$ 是一个素数的幂，码长为 $n$ 和码字个数为 $K$ 的 $q$ 元量子码 $Q$ 是指一个 $q^n$ 维希尔伯特空间 $H={\left(C{}^q\right)}^{\otimes n}=C^q\otimes \cdots \otimes C^q$ 的一个 $k={\log }_{q}K$ 维子空间。用 ${\left[\left[n,k,d\right]\right]}_q$ 表示码长为 $n$ 最小距离为 $d$ 的 $q$ 元量子码，则此码可以检查 $\le d-1$ 错也可以纠正 $\le \lfloor \frac{d-1}{2}\rfloor$ 位错 [8] 。特别地，对于量子码 ${\left[\left[n,k,d\right]\right]}_q$ 均须达到满足量子Singleton边界： $n\ge k+2d-2$。当量子码达到边界： $n=k+2d-2$，称为量子极大可分码(MDS码)。近些年构造良好性能的量子纠错码成为热门研究。同样利用Hermitian Construction理论，本文构造了一种新的MDS码。

2. 基本概念与预备知识

首先，介绍一些基本概念 [8] 。令 $q$ 为一个奇素数的幂， $F_{q^2}$ 记为有 $q^2$ 个元素的有限域.

下面在有限域 $F_{q^2}$ 上定义Hermitian内积：

设 $x=\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right),y=\left(y_1,y_2,\cdots ,y_n\right)\in F_{q^2}^n$，则 $x$ 和 $y$ 的Hermitian内积为 $\left(x,y\right)={\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{x}_i{\bar{y}}_i}$，其中 ${\bar{y}}_i=y_i^q$。如果 $\left(x,y\right)=0$，则称 $x$， $y$ 正交。

经典的 $q^2$ 元线性码 $C$ 是 $F_{q^2}$ 上的 $n$ 维向量空间 $F_{q^2}$ 的一个 $k$ 维子空间，记为 ${\left[\left[n,k,d\right]\right]}_{q^2}$，其中 $d$ 是码 $C$ 的非零码字 $c$ 的最小Hamming重量。

线性码 $C$ 的Hermitian对偶码定义为： $C^{{\perp }_H}=\left\{x\in F_{q^2}|\left(x,y\right)=0,\forall y\in C\right\}$。当 $C\subseteq C^{{\perp }_H}$ 时， $C$ 叫做自正交码；当 $C=C^{{\perp }_H}$ 时， $C$ 叫做自对偶码。

定义1 [9] ： $F_{q^2}$ 上码长为 $n$ 的线性码 $C$ 称为常循环码是指对 $\eta \in F_{q^2}^{*}$，如果 $c=\left(c_0,c_1,\cdots ,c_{n-1}\right)\in C$，那么 $c^{\prime }=\left(\eta c_{n-1},c_0,\cdots ,c_{n-2}\right)\in C$。

当 $\eta =1$ 时， $C$ 为循环码；当 $\eta =-1$ 时， $C$ 为负循环码。

如果把码字 $c=\left(c_0,c_1,\cdots ,c_{n-1}\right)\in C$ 写成多项式 $c\left(x\right)=c_0+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}{x}^{n-1}$ 并且看成商环 $R=F_{q^2}/\left(x^n-\eta \right)$ 中的元素，则 $C$ 是 $\eta -$ 常循环码的充要条件为 $C=F_{q^2}/\left(x^n-\eta \right)$ 是商环 $R$ 的一个理想。易知 $C$ 是主理想，由 $x^n-\eta$ 的单项式因子生成，即 $C=\left(g\left(x\right)\right)$， $g\left(x\right)|x^n-\eta$。 $g\left(x\right)$ 称为 $\eta -$ 常循环码的生成式并且 $\dim \left(c\right)=n-k$，其中 $k=\mathrm{deg}\left(g\left(x\right)\right)$。

假设 $\gcd \left(n,q\right)=1$。 $\omega$ 是个 $rn$ 次本原单位根属于 $F_{q^2}$ 的某些扩域中使得 ${\omega }^n=\eta$。令 $\xi ={\omega }^r$，那么 $\xi$ 是 $n$ 次本原单位根，则 $x^n-\eta ={\displaystyle {\prod }_{i=1}^{n-1}\left(x-{\omega }^{1+ir}\right)}$。

令 $\Omega =\left\{1+ir|0\le i\le n-1\right\}$ 对于 $\forall j\in \Omega$，集合 $C_j$ 表示包含 $j$ 模 $rn$ 的 $q^2-$ 分圆陪集，即 $C_j=\left\{j,j{q}^2,\cdots ,j{q}^{2\left(k-1\right)}\right\}\left(\mathrm{mod}rn\right)$， $k$ 是满足 $j\equiv j{q}^{2k}\left(\mathrm{mod}rn\right)$ 的最小正整数。 $T=\left\{j\in \Omega |g\left({\omega }^j\right)=0\right\}$ 称为 $\eta -$ 常循环码 $C$ 的定义集。可以看到定义集 $T$ 是一些模 $rn$ 的 $q^2-$ 分圆陪集的并而且 $\dim \left(C\right)=n-\left|T\right|$。

如果 $C$ 有定义集 $T$，易知 $C^{{\perp }_H}$ 的定义集 $T^{{\perp }_H}=\left\{s\in \Omega |-qs\mathrm{mod}rn\notin T\right\}$。

定理2 [2] [5] ：(Hermitian Construction)如果 $C$ 是一个 ${\left[\left[n,k,d\right]\right]}_{q^2}$ 线性码使得 $C^{{\perp }_H}\subseteq C$，那么存在一个 ${\left[\left[n,2k-n,\ge d\right]\right]}_q$ 量子码。

设 $C$ 的生成式为 $g\left(x\right)={\displaystyle {\prod }_{j\in T}\left(x-{\omega }^j\right)}$，则 $C^{{\perp }_H}$ 的生成式为 $g^{{\perp }_H}\left(x\right)={\displaystyle {\prod }_{j\in \Omega \begin{array}{c}\backslash T\end{array}}\left(x-{\omega }^{-qj}\right)}$。那么 $C^{{\perp }_H}\subseteq C$ 当且仅当 $g\left(x\right)|g^{{\perp }_H}\left(x\right)$。因此，我们有如下引理：

引理3：设 $C$ 是码长为 $n$ 的 $q^2$ 元常循环码且定义集为 $T$。那么 $C^{{\perp }_H}\subseteq C$ 当且仅当 $T\cap T^{-q}=\begin{array}{c}\varnothing \end{array}$，其中 $T^{-q}=\left\{-qs\mathrm{mod}rn|s\in T\right\}$。

因为循环码与常循环吗有惊人的相似性，我们给出偏斜对称和偏斜非对称的对应关系如下：

如果 $rn-qs\mathrm{mod}rn\in C_s$，则分圆陪集 $C_s$ 是斜对称的；否则是不对称。如果不对称，则不对称陪集 $C_s$ 和 $C_{rn-qs}$ 成对出现，我们用 $\left(C_s,C_{rn-qs}\right)$ 表示这样的一对。

引理4：设 $r$ 是 $q+1$ 的正因子， $\eta \in F_{q^2}^{*}$， $ord\left(\eta \right)=r$。设 $\gcd \left(q,n\right)=1$， $or{d}_{rn}\left(q^2\right)=m$， $0\le x,y,z\le n-1$。

1) $C_s$ 是对称陪集当且仅当存在 $t\le \lfloor \frac{m}{2}\rfloor$ 使得 $x\equiv x{q}^{2t+1}\left(\mathrm{mod}rn\right)$。

2) 如果 $C_y\ne C_z$， $\left(C_y,C_z\right)$ 形成一对不对称陪集当且仅当存在 $t\le \lfloor \frac{m}{2}\rfloor$ 使得 $y\equiv y{q}^{2t+1}\left(\mathrm{mod}rn\right)$ 或者 $z\equiv z{q}^{2t+1}\left(\mathrm{mod}rn\right)$。

由这个引理可以得出下面引理：

引理5：设 $r$ 是 $q+1$ 的正因子， $\eta \in F_{q^2}^{*}$， $ord\left(\eta \right)=r$。设 $C$ 是码长为 $n$ 的 $q^2$ 元常循环码且定义集为 $T$，那么 $C^{{\perp }_H}\subseteq C$ 等价条件为：

1) $T\cap T^{-q}=\begin{array}{c}\varnothing \end{array}$，其中 $T^{-q}=\left\{-qs\mathrm{mod}rn|s\in T\right\}$。

2) 如果 $i,j,k\in T$，那么 $C_i$ 不是偏斜非对称的和 $\left(C_j,C_k\right)$ 不是成对非对称陪集。

定理6：( $\eta -$ 常循环码BCH界 [4] )设 $C$ 是 $F_{q^2}$ 码长为 $n$ 的 $\eta -$ 常循环码，生成式 $g\left(x\right)$ 的根包括 $\left\{{\omega }^{1+ir}|i_1\le i\le i_1+d-2\right\}$，那么 $C$ 的最小距离 $\ge d$。

3. 量子MDS码构造

引理7 [2] ：给定 $r=q+1$，设 $n=\frac{q^2+1}{53}$ 和 $s=\frac{q^2+1}{2}$，对于 $\forall j\in \Omega =\left\{1+\left(q+1\right)i|0\le i\le n-1\right\}$，有

1) $C_s=\left\{s\right\}$ 和 $C_{s+\frac{\left(q+1\right)n}{2}}=\left\{s+\frac{\left(q+1\right)n}{2}\right\}$ ；

2) $C_{s-\left(q+1\right)j}=\left\{s-\left(q+1\right)j,s+\left(q+1\right)j\right\}$， $1\le j\le \frac{n}{2}-1$。

定理8：设为一个奇素数的幂， $n=\frac{q^2+1}{53}$ 和 $s=\frac{q^2+1}{2}$，且 $C$ 是码长为 $n$ 的 $q^2$ 元 $\eta -$ 常循环码及定义集 $T={\cup }_{j=0}^{\delta }{C}_{s+\left(q+1\right)j}$。由 $m\ge 0$ 是正整数，则

1) 如果 $q=106m+23$， $0\le \delta \le 9m+1$，则 $C^{{\perp }_H}\subseteq C$。

2) 如果 $q=106m+83$， $0\le \delta \le 9m+6$，则 $C^{{\perp }_H}\subseteq C$。

证明：方法一：假设 $C^{{\perp }_H}\not\subset C$ 也就是说 $T\cap T^{-q}\ne \begin{array}{c}\varnothing \end{array}$。因此存在两个正整数 $0\le k,l\le 9m+1$ 使得

$s-\left(q+1\right)k\equiv -q^{\epsilon }\left(s-\left(q+1\right)l\right)\left(\mathrm{mod}rn\right),\epsilon =1,3$

1) 如果 $\epsilon =1$，那么

$s-\left(q+1\right)k\equiv -q\left(s-\left(q+1\right)l\right)\left(\mathrm{mod}\left(q+1\right)n\right)$

$s\equiv k+ql\left(\mathrm{mod}rn\right)$

$q^2+1=106lq+106k\left(\mathrm{mod}2\left(q+1\right)\right)$

因为 $0\le k,l\le 9m+1$，那么 $0\le 106k,106l\le 106\left(9m+1\right)=9q-101$， $0\le 106k+106lq\le 106\left(9m+1\right)9q^2$。

令 $106k=qt+h\left(0\le h\begin{array}{c}<q\end{array}\right)$，则 $t=0,1,2,3,4,5,6,7,8$。

我们可知 $\left(106l+t\right)q+h=q^2+1$， $3q^2+3$， $5q^2+5$， $7q^2+7$。

① 若 $\left(106l+t\right)q+h=q^2+1\Rightarrow h=1$，那么

$\left(106l+t\right)=q\Rightarrow t=23\left(\mathrm{mod}106\right)\Rightarrow t=23$ 矛盾。

② 若 $\left(106l+t\right)q+h=3q^2+3\Rightarrow h=3$，那么

$\left(106l+t\right)=3q\Rightarrow t=69\left(\mathrm{mod}106\right)\Rightarrow t=69$ 矛盾。

③ 若 $\left(106l+t\right)q+h=5q^2+5\Rightarrow h=5$，那么

$\left(106l+t\right)=5q\Rightarrow t=105\left(\mathrm{mod}106\right)\Rightarrow t=9$ 矛盾。

④ 若 $\left(106l+t\right)q+h=7q^2+7\Rightarrow h=7$，那么

$\left(106l+t\right)=7q\Rightarrow t=161\left(\mathrm{mod}106\right)\Rightarrow t=55$ 矛盾。

1) 如果 $\epsilon =3$，那么

$s-\left(q+1\right)k\equiv -q^3\left(s-\left(q+1\right)l\right)\left(\mathrm{mod}\left(q+1\right)n\right)$

$106lq\equiv 106k\left(\mathrm{mod}{q}^2+1\right)$

$106lq\equiv qt+h\left(\mathrm{mod}{q}^2+1\right)$

那么 $106lq=qt+h+p\left(q^2+1\right)$，其中 $0\le p\le 8$。

① 如果 $p=0$ 那么 $106lq=106k$。不可能成立。

② 如果 $p\ne 0$ 那么 $106lq=qt+h+p\left(q^2+1\right)\Rightarrow h+p=\left(106l-t-pq\right)q\Rightarrow h\equiv -p\left(\mathrm{mod}q\right)\Rightarrow h=q-p$。

接下来，我们有 $1=106l-t-pq$，则

$1\equiv 106l-t-p\left(106m+23\right)\left(\mathrm{mod}106\right)$

$1\equiv -t-23p\left(\mathrm{mod}106\right)$

不可能成立。由(1)(2)可知假设不成立，所以 $T\cap T^{-q}=\begin{array}{c}\varnothing \end{array}$。

方法二：通过引理5，想证明 $C^{{\perp }_H}\subseteq C$ 则需要证明 $T={\cup }_{j=0}^{\delta }{C}_{s+\left(q+1\right)j}$ 中不存在偏斜对称分圆陪集以及任何两个偏斜非对称分圆陪集成对出现。

令 $q=106m+23$，则 $n=\frac{q^2+1}{53}=212m^2+92m+10$， $s=\frac{q^2+1}{2}=5618m^2+2438m+265$。

令 $x,y\in Z=\left\{s+\left(q+1\right)j|0\le j\le 9m+1\right\}$。我们需要证明 $x+yq\ne 0\left(\mathrm{mod}rn\right)$ 成立。

令 $Z={\cup }_{i=1}^5{I}_i$， $I_1=\left[s,s+\left(q+1\right)m\right]$， $I_2=\left[s+\left(q+1\right)\left(m+1\right),s+\left(q+1\right)3m\right]$，

$I_3=\left[s+\left(q+1\right)\left(3m+1\right),s+\left(q+1\right)\left(5m+1\right)\right]$， $I_4=\left[s+\left(q+1\right)\left(3m+2\right),s+\left(q+1\right)\left(7m+1\right)\right]$，

$I_5=\left[s+\left(q+1\right)\left(7m+2\right),s+\left(q+1\right)\left(9m+1\right)\right]$。

① $x\in I_1$ 时 $26rn<26rn+\frac{\left(q^2+1\right)\left(q+1\right)}{106}=s\left(q+1\right)\le x\left(q+1\right)\le \left[s+\left(q+1\right)m\right]\left(q+1\right)<27rn$。

② $x\in I_2$ 时 $27rn<\left[s+\left(q+1\right)\left(m+1\right)\right]\left(q+1\right)\le x\left(q+1\right)\le \left[s+\left(q+1\right)3m\right]\left(q+1\right)<28rn$。

③ $x\in I_3$ 时 $28rn<\left[s+\left(q+1\right)\left(3m+1\right)\right]\left(q+1\right)\le x\left(q+1\right)\le \left[s+\left(q+1\right)\left(5m+1\right)\right]\left(q+1\right)<29rn$。

④ $x\in I_4$ 时 $29rn<\left[s+\left(q+1\right)\left(5m+2\right)\right]\left(q+1\right)\le x\left(q+1\right)\le \left[s+\left(q+1\right)\left(7m+1\right)\right]\left(q+1\right)<30rn$。

⑤ $x\in I_5$ 时 $30rn<\left[s+\left(q+1\right)\left(7m+2\right)\right]\left(q+1\right)\le x\left(q+1\right)\le \left[s+\left(q+1\right)\left(9m+1\right)\right]\left(q+1\right)<31rn$。

因此在 $T$ 中不存在任何偏斜对称分圆陪集。

① $x,y\in I_1$ 时， $26rn<x+yq<27rn$。

② $x,y\in I_2$ 时， $27rn<x+yq<28rn$。

③ $x,y\in I_3$ 时， $28rn<x+yq<29rn$。

④ $x,y\in I_4$ 时， $29rn<x+yq<30rn$。

⑤ $x,y\in I_5$ 时， $30rn<x+yq<31rn$。

⑥ $x\in I_1\cup I_2,y\in I_1$ 时， $26rn<x+yq<27rn$。

⑦ $x\in I_1\cup I_2\cup I_3,y\in I_1$ 时， $26rn<x+yq<27rn$。

⑧ $x\in I_1\cup I_2\cup I_3\cup I_4,y\in I_1$ 时， $26rn<x+yq<27rn$。

⑨ $x\in I_1\cup I_2\cup I_3\cup I_4\cup I_5,y\in I_1$ 时， $26rn<x+yq<27rn$。

⑩ $x\in I_2\cup I_3,y\in I_2$ 时， $27rn<x+yq<28rn$。

⑪ $x\in I_2\cup I_3\cup I_4,y\in I_2$ 时， $26rn<x+yq<27rn$。

⑫ $x\in I_2\cup I_3\cup I_4\cup I_5,y\in I_2$ 时， $26rn<x+yq<27rn$。

⑬ $x\in I_3\cup I_4,y\in I_3$ 时， $28rn<x+yq<29rn$。

⑭ $x\in I_3\cup I_4\cup I_5,y\in I_3$ 时， $28rn<x+yq<29rn$。

⑮ $x\in I_4\cup I_5,y\in I_4$ 时， $29rn<x+yq<30rn$。因此不存在偏斜非对称分圆陪集成对出现。

定理9：如果 $q=106m+23$ 或 $q=106m+83$，则存在 ${\left[\left[\frac{q^2+1}{53},\frac{q^2+1}{53}-2d+2,d\right]\right]}_q$ 量子MDS码。当 $q=106m+23$ 时， $2\le d\le 18m+4$ 且为偶数；当 $q=106m+83$ 时， $2\le d\le 18m+14$ 且为偶数。

证明： $2\le d\le 18m+14$，当 $2\le d\le 18m+14$ 时，考虑 $F_{q^2}$ 域上码长为 $n=\frac{q^2+1}{53}$ 上的 $\eta -$ 常循环码 $C$ 并且它的定义集 $T={\cup }_{j=0}^{\delta }{C}_{s+\left(q+1\right)j}$， $0\le \delta \le 9m+1$，通过引理8，可知 $C^{{\perp }_H}\subseteq C$ 又由引理7，可知 $T$ 包含 $2\delta +1$ 个元素 $\left\{s-\left(q+1\right)\delta ,\cdots ,s,s+\left(q+1\right),\cdots ,s+\left(q+1\right)\delta \right\}$。说明 $C$ 的最小距离 $d_C\ge 2\delta +2$ 且为偶数。因此 $C$ 的参数为 ${\left[n,n-\left(2\delta +1\right),\ge 2\delta +2\right]}_{q^2}$。由Hermitian Construction 定理和量子Singleton界可知存在量子MDS码 ${\left[\left[n,n-4\delta -2,2\delta +2\right]\right]}_q$。因此 ${\left[\left[\frac{q^2+1}{53},\frac{q^2+1}{53}-2d+2,d\right]\right]}_q$， $2\le d\le 18m+4$ 量子MDS码存在。

同理当 $q=106m+83$ 时， ${\left[\left[\frac{q^2+1}{53},\frac{q^2+1}{53}-2d+2,d\right]\right]}_q$， $2\le d\le 18m+14$ 量子MDS码存在。

参考文献

NOTES

^*通讯作者。