一类二阶混合非线性微分方程的振动准则

Oscillation Criteria for a Class of Se-cond-Order Mixed Nonlinear Differential Equations

摘要: 运用积分平均技巧和新型的核函数，结合Elure积分，得到一类二阶混合非线性阻尼方程的新振动准则。新的结果具有更高的一般性，并能得到解的零点分布信息。

Abstract: New oscillation criteria for a class of second-order mixed nonlinear damping equations are obtained by means of the integral averaging technique and a new kernel function combined with the Elure integral. The new results have a higher generality than some of previous results. The zero distribution information of the solution is also obtained.

1. 引言

本文考虑如下二阶含阻尼项的混合型非线性微分方程

${\left(r\left(t\right)y^{\prime }\right)}^{\prime }+p\left(t\right)y^{\prime }+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{q}_i\left(t\right){\left|y\right|}^{{\alpha }_i-1}y}=e\left(t\right)$ (1)

的振动性，其中 $r\in C\left(\left[t_0,\infty \right),\left(0,\infty \right)\right),p,e,q_i\in C\left(\left[t_0,\infty \right),R\right),i=1,2,\cdots ,n$ ， $\left\{{\alpha }_j\right\}$ 是一个满足 ${\alpha }_1>\cdots >{\alpha }_m>1>{\alpha }_{m+1}>\cdots >{\alpha }_n$ 的n元数组，其中 $j=1,\cdots ,n$ 。

一般地，若函数 $y:\left[t_0,t\right]\to R,t>t_0$ 满足方程(1)，则称 $y\left(t\right)$ 是方程(1)的一个解。我们总假设方程(1)在区间 $\left[T,\infty \right)\left(T\ge t_0\right)$ 满足解的存在唯一性。如果方程(1)的一个解 $y\left(t\right)$ 在 $\left[T,\infty \right)$ 存在任意大的零点，则称 $y\left(t\right)$ 为振动的，否则称为非振动的。

已有大量文献研究了方程(1)的特殊情形，如(见 [1] - [6] 及其中的参考文献)

${\left(r\left(t\right)y^{\prime }\right)}^{\prime }+q\left(t\right)y=e\left(t\right)$ (2)

${\left(r\left(t\right)y^{\prime }\right)}^{\prime }+q\left(t\right)f\left(y\right)=e\left(t\right)$ (3)

大多数著名的振动准则都关系到f和q在区间上的积分，这使得这些结果很难被应用到更加一般的情形。

1999年，Wong [6] 和Kong [7] 分别指出，Ei-Sayed [4] 为方程(2)建立的区间振动准则中，由于其证明过程需要与一个常系数方程做比较而使得其结果的应用受到限制。于是，Wong [6] 和Kong [7] 分别建立方程(2)和方程(3)在 $$ 的情形下的区间振动准则。2003年，Yang [8] 应用Philos [9] 和Kong [7] 在方程(3)中使用的技巧，给出了几个区间振动准则。其中一个Kamenevs类型的振动准则如下：

定理1：假设 $\frac{f\left(y\right)}{y}>K{\left|y\right|}^{v-1}$ ， $y\ne 0$ ， $K>0$ ， $$ 。则方程(3)当 $r\left(t\right)\equiv 1$ 时是振动的，如果 $\forall t\ge t_0$ ， $\exists \lambda >1$ ，使得下列结论成立：

(A₁) 对 $\forall T\ge t_0$ ， $\exists T\le a_1<b_1\le a_2<b_2$ 使得

$e\left(t\right)\{\begin{array}{l}\le 0,t\in \left[a_1,b_1\right],\\ \ge 0,t\in \left[a_2,b_2\right].\end{array}$

(A₂) 存在 $c_i\in \left(a_i,b_i\right),i=1,2$ ，使得下列不等式成立

$\frac{1}{{\left(c_i-a_i\right)}^{\lambda -1}}{\displaystyle {\int }_{a_i}^{c_i}{\left(s-a_i\right)}^{\lambda }{\left|e\left(s\right)\right|}^{1-\frac{1}{v}}{\left[Kq\left(s\right)\right]}^{\frac{1}{v}}\text{d}s}\ge \frac{{\lambda }^2}{4\left(\lambda -1\right)}$ (4)

$\frac{1}{{\left(b_i-c_i\right)}^{\lambda -1}}{\displaystyle {\int }_{c_i}^{b_i}{\left(b_i-s\right)}^{\lambda }{\left|e\left(s\right)\right|}^{1-\frac{1}{v}}{\left[Kq\left(s\right)\right]}^{\frac{1}{v}}\text{d}s}\ge \frac{{\lambda }^2}{4\left(\lambda -1\right)}$ (5)

在2004年，Sun [10] 用一个新的核函数得出了以下定理。

定理2：方程(1)当 $r\left(t\right)\equiv 1$ 且 $e\left(t\right)=0$ 时是振动，如果存在一个常数 $\alpha >\frac{1}{2}$ 使得下式成立

$\underset{t\to \infty }{\lim }\sup \frac{1}{t^{2\alpha +1}}{\displaystyle {\int }_l^t{\left(t-s\right)}^{2\alpha }{\left(s-l\right)}^2\left[4kq\left(s\right)-p^2\left(s\right)+4\frac{t-\left(1+\alpha \right)s+\alpha l}{\left(t-s\right)\left(s-l\right)}p\left(s\right)\right]\text{d}s}>\frac{4\alpha }{\left(2\alpha -1\right)\left(2\alpha +1\right)}$ (6)

另外一些类似的结果可以在Dube和Mingare [11] 中找到。受 [8] [10] [11] [12] 工作的启发，本文利用一个由Yang [13] [14] 首次介绍的核函数 $H\left(t:s:l\right)$ ，建立方程(1)的有关Elure积分的新的振动准则。我们的结果将改进和推广Sun [10] 和Yang [8] 的结果。最后，我们给出一个例子说明新的振动准则的应用。

作为准备，我们先给出函数类 $\text{Φ}$ 的定义和需要用到的引理。

定义1：令 $E_0=\left\{\left(t,s,l\right):t>s>l\ge t_0\right\}$ ， $E=\left\{\left(t,s,l\right):t\ge s\ge l\ge t_0\right\}$ ， $H\in C^1\left(E,R\right)$ ，称一个实值函数H属于 $\text{Φ}$ ，表示为 $H\in \text{Φ}$ 。如果存在一个函数 $h\in C^1\left(E_0,R\right)$ 满足以下条件：

(H₁) 在E上 $H\left(t,t,l\right)=0$ ， $H\left(t,l,l\right)=0$ ，且在 $E_0$ 上 $H\left(t,s,l\right)>0$ 。

(H₂) $H\left(t,s,l\right)$ 在 $E_0$ 上对第二个变量存在连续的偏导函数，且存在 $h\in C\left(E_0,R\right)$ ，满足

$\frac{\partial H\left(t,s,l\right)}{\partial s}=H\left(t,s,l\right)h\left(t,s,l\right),\left(t,s,l\right)\in E_0$

引理1：设 $\left\{{\alpha }_j\right\}$ 是一个满足 ${\alpha }_1>\cdots >{\alpha }_m>1>{\alpha }_{m+1}>\cdots >{\alpha }_n$ 的n元数组，其中 $j=1,\cdots ,n$ 。则存在一个n元数组 $\left\{{\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_n\right\}$ ，使得

i) ${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{\alpha }_j{\eta }_j=1}$ ，

ii) ${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{\eta }_j=1},0<{\eta }_j<1$ 。

2. 主要结论

定理2.1：假设 $\forall T\ge t_0,\exists T\le a_1<b_1\le a_2<b_2$ 使得

$e\left(t\right)\{\begin{array}{l}\le 0,t\in \left[a_1,b_1\right],\\ \ge 0,t\in \left[a_2,b_2\right].\end{array}$ (7)

若存在一个函数 $H\in \text{Φ}$ ，使得

${\displaystyle {\int }_{a_i}^{b_i}H\left(b_i,s,a_i\right)\left\{Q\left(s\right)-\frac{r\left(s\right)}{4}{\left[\frac{p\left(s\right)}{r\left(s\right)}-h\left(b_i,s,a_i\right)\right]}^2\right\}\text{d}s}>0$ (8)

其中 $Q\left(s\right)={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\prod }}{\eta }_k^{-{\eta }_k}{q}_k^{{\eta }_k}\left(s\right)}$ ， $i=1$ 或 $i=2$ 。则方程(1)是振动的。

证明：假设方程(1)存在非振动解 $y\left(t\right)$ ，无妨设 $y\left(t\right)>0,t\ge T_1\ge t_0$ 。我们定义如下函数：

$w\left(t\right)=\frac{r\left(t\right)y^{\prime }\left(t\right)}{y},t\ge T_1$ (9)

由方程(1)和(9)式，对于 $t\ge T_1$ 我们有

$w^{\prime }\left(t\right)=-\frac{p\left(t\right)}{r\left(t\right)}w\left(t\right)-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{q}_i\left(t\right){\left|y\right|}^{{\alpha }_i-1}}-\frac{w^2\left(t\right)}{r\left(t\right)}+\frac{e\left(t\right)}{y}$ (10)

由算术几何平均不等式：

${\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{C}_k{V}_k}\ge {\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\prod }}{V}_k^{C_k}}$ (11)

其中， $$ ， $V_k>0$ $\left(k=1,2,\cdots ,n\right)$ ，我们令 $C_k={\eta }_k$ ，记

$Q\left(t\right)={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\prod }}{\eta }_k^{-{\eta }_k}{q}_k^{{\eta }_k}\left(t\right)}$ (12)

$V_k={\eta }_k^{-1}{q}_k\left(t\right){\left|y\left(t\right)\right|}^{{\alpha }_k-1}$ (13)

我们有

$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{q}_k\left(t\right){\left|y\left(t\right)\right|}^{{\alpha }_k-1}}={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{\eta }_k{\eta }_k^{-1}{q}_k\left(t\right){\left|y\left(t\right)\right|}^{{\alpha }_k-1}}\\ \ge {{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\prod }}\left[{\eta }_k^{-1}{q}_k\left(t\right){\left|y\left(t\right)\right|}^{{\alpha }_k-1}\right]}}^{{\eta }_k}\\ \ge {\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\prod }}{\eta }_k^{-{\eta }_k}{q}_k^{{\eta }_k}\left(t\right){\left|y\left(t\right)\right|}^{{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{\alpha }_k{\eta }_k-{\eta }_k}}}\\ ={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\prod }}{\eta }_k^{-{\eta }_k}{q}_k^{{\eta }_k}\left(t\right)}=Q\left(t\right)\end{array}$ (14)

因此

$w^{\prime }\left(t\right)\le -\frac{p\left(t\right)}{r\left(t\right)}w\left(t\right)-Q\left(t\right)-\frac{w^2\left(t\right)}{r\left(t\right)}+\frac{e\left(t\right)}{y}$ (15)

根据假设，选择 $b_1>a_1>T_1$ ， $y\left(t\right)>0$ 使得在区间 $I_1=\left[a_1,b_1\right]$ 上， $e\left(t\right)<0$ ，得到

$w^{\prime }\left(t\right)\le -\frac{p\left(t\right)}{r\left(t\right)}w\left(t\right)-Q\left(t\right)-\frac{w^2\left(t\right)}{r\left(t\right)}$ 。 (16)

方程(16)两边同时乘 $H\left(b_i,s,a_i\right)$ ，将t用s替代，并将它们从 $a_1$ 到 $b_1\left(b_1>a_1>t_0\right)$ 积分，通过简单计算我们可以得到

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{a_1}^{b_1}H\left(b_1,s,a_1\right)Q\left(s\right)\text{d}s}\\ \le -{\displaystyle {\int }_{a_1}^{b_1}H\left(b_1,s,a_1\right)w^{\prime }\left(s\right)\text{d}s}-{\displaystyle {\int }_{a_1}^{b_1}\frac{p\left(s\right)H\left(b_1,s,a_1\right)w\left(s\right)}{r\left(s\right)}\text{d}s}-{\displaystyle {\int }_{a_1}^{b_1}\frac{H\left(b_1,s,a_1\right)w^2\left(s\right)}{r\left(s\right)}\text{d}s}\\ ={\displaystyle {\int }_{a_1}^{b_1}H\left(b_1,s,a_1\right)}\left\{\left[h\left(b_1,s,a_1\right)-\frac{p\left(s\right)}{r\left(s\right)}\right]w\left(s\right)-\frac{w^2\left(s\right)}{r\left(s\right)}\right\}\text{d}s\\ \le {\displaystyle {\int }_{a_1}^{b_1}H\left(b_1,s,a_1\right)}\frac{r\left(s\right)}{4}{\left[h\left(b_1,s,a_1\right)-\frac{p\left(s\right)}{r\left(s\right)}\right]}^2\text{d}s\end{array}$ (17)

这就意味着

${\displaystyle {\int }_{a_1}^{b_1}H\left(b_i,s,a_i\right)}\left\{Q\left(s\right)-\frac{r\left(s\right)}{4}{\left[h\left(b_i,s,a_i\right)-\frac{p\left(s\right)}{r\left(s\right)}\right]}^2\right\}\text{d}s\le 0$ (18)

这与(8)式矛盾，从而 $y\left(t\right)$ 至少有一个零解 $t^{*}\in \left[a_1,b_1\right]$ 。

当 $y\left(t\right)<0$ 时，我们可以选择 $b_2>a_2>T_1$ ，使得在区间上 $e\left(t\right)\ge 0$ ，那么就得到类似上述的矛盾。所以 $y\left(t\right)$ 至少有一个零解 $t^{*}\in \left[a_2,b_2\right]$ 。

注意到T是任意的，于是可得方程的每个解都有任意大的零点。因此方程(1)是振动的。定理2.1证毕。

令 $H\left(t,s,l\right)={\left(t-s\right)}^{\alpha }{\left(s-l\right)}^{\beta }$ ，其中 $\alpha ,\beta >1$ ，根据定理2.1，我们有以下的振动结论。

定理2.2：假设任意 $$ ，存在 $T\le a_1<b_1\le a_2<b_2$ ，使得(7)式成立。如果存在两个常数 $\alpha ,\beta >1$ ，使得

${\displaystyle {\int }_{a_i}^{b_i}{\left(b_i-s\right)}^{\alpha }{\left(s-a_i\right)}^{\beta }}\left[Q\left(s\right)-\frac{r\left(s\right)}{4}{\left(\frac{p\left(s\right)}{r\left(s\right)}-\frac{\beta b_i-\left(\alpha +\beta \right)s-\alpha a_i}{\left(b_i-s\right)\left(s-a_i\right)}\right)}^2\right]\text{d}s>0$ (19)

其中 $Q\left(s\right)={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\prod }}{\eta }_k^{-{\eta }_k}{q}_k^{{\eta }_k}\left(s\right)}$ ， $i=1$ 或 $i=2$ ，则方程(1)是振动的。

定义

令 $H\left(t,s,l\right)={\left[R\left(t\right)-R\left(s\right)\right]}^{\alpha }{\left[R\left(s\right)-R\left(l\right)\right]}^{\beta }$ ，其中 $\alpha ,\beta >1$ ，则有

$h\left(t,s,l\right)=\frac{\beta R\left(t\right)-\left(\alpha +\beta \right)R\left(s\right)+\alpha R\left(l\right)}{r\left(s\right)\left[R\left(t\right)-R\left(s\right)\right]\left[R\left(s\right)-R\left(l\right)\right]}$

根据定理2.1，我们有以下的振动结论。

定理2.3：假设任意 $T\ge t_0$ ，存在 $T\le a_1<b_1\le a_2<b_2$ ，使得(7)式成立。如果存在两个常数 $\alpha ,\beta >1$ ，使得

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{a_i}^{b_i}{\left[R\left(b_i\right)-R\left(s\right)\right]}^{\alpha }{\left[R\left(s\right)-R\left(a_i\right)\right]}^{\beta }}\\ \cdot \left[Q\left(s\right)-\frac{r\left(s\right)}{4}{\left(\frac{p\left(s\right)}{r\left(s\right)}-\frac{\beta R\left(b_i\right)-\left(\alpha +\beta \right)R\left(s\right)+\alpha R\left(a_i\right)}{r\left(s\right)\left[R\left(b_i\right)-R\left(s\right)\right]\left[R\left(s\right)-R\left(a_i\right)\right]}\right)}^2\right]\text{d}s>0\end{array}$ (20)

其中 $Q\left(s\right)={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\prod }}{\eta }_k^{-{\eta }_k}{q}_k^{{\eta }_k}\left(s\right)}$ ， $i=1$ 或 $i=2$ ，则方程(1)是振动的。

定理2.4：设 $\underset{{}_{t\to \infty }}{lim}R\left(t\right)=\infty$ 。且对任意的 $T\ge t_0$ ，存在 $T\le a_1<b_1\le a_2<b_2$ 使得(7)式成立。如果存在两个常数 $\alpha ,\beta >1$ ，使得

$\begin{array}{l}\frac{1}{{\left[R\left(b_i\right)-R\left(a_i\right)\right]}^{\alpha +\beta -1}}{\displaystyle {\int }_{a_i}^{b_i}{\left[R\left(b_i\right)-R\left(s\right)\right]}^{\alpha }{\left[R\left(s\right)-R\left(a_i\right)\right]}^{\beta }}\\ \cdot \left[Q\left(s\right)-\frac{p^2\left(s\right)}{4r\left(s\right)}+\frac{p\left(s\right)\left[\beta R\left(b_i\right)-\left(\alpha +\beta \right)R\left(s\right)+\alpha R\left(a_i\right)\right]}{2r\left(s\right)\left[R\left(b_i\right)-R\left(s\right)\right]\left[R\left(s\right)-R\left(a_i\right)\right]}\right]\text{d}s\\ >\alpha \beta \left(\alpha +\beta -2\right)\frac{\Gamma \left(\beta -1\right)\Gamma \left(\alpha -1\right)}{4\Gamma \left(\alpha +\beta \right)}\end{array}$ (21)

其中 $Q\left(s\right)={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\prod }}{\eta }_k^{-{\eta }_k}{q}_k^{{\eta }_k}\left(s\right)}$ ， $i=1$ 或 $i=2$ ，则方程(1)是振动的。

证明：

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{a_i}^{b_i}{\left[R\left(b_i\right)-R\left(s\right)\right]}^{\alpha -2}{\left[R\left(s\right)-R\left(a_i\right)\right]}^{\beta -2}{\left[\beta R\left(b_i\right)-\left(\alpha +\beta \right)R\left(s\right)+\alpha R\left(a_i\right)\right]}^2\frac{1}{r\left(s\right)}\text{d}s}\\ ={\displaystyle {\int }_{a_i}^{b_i}{\left[R\left(b_i\right)-R\left(s\right)\right]}^{\alpha -2}{\left[R\left(s\right)-R\left(a_i\right)\right]}^{\beta -2}{\left\{\beta \left[R\left(b_i\right)-R\left(s\right)\right]-\alpha \left[R\left(s\right)-R\left(a_i\right)\right]\right\}}^2\text{d}R\left(s\right)}\\ ={\displaystyle {\int }_0^{R\left(b_i\right)-R\left(a_i\right)}{u}^{\beta -2}{\left[R\left(b_i\right)-R\left(a_i\right)-u\right]}^{\alpha -2}{\left\{\beta \left[R\left(b_i\right)-R\left(a_i\right)-u\right]-\alpha u\right\}}^2\text{d}u}\\ ={\displaystyle {\int }_0^v{u}^{\beta -2}{\left(v-u\right)}^{\alpha -2}{\left[\beta \left(v-u\right)-\alpha u\right]}^2\text{d}u}\\ ={\beta }^2{\displaystyle {\int }_0^v{u}^{\beta -2}{\left(v-u\right)}^{\alpha }\text{d}u}-2\alpha \beta {\displaystyle {\int }_0^v{u}^{\beta -1}{\left(v-u\right)}^{\alpha -1}\text{d}u}+{\alpha }^2{\displaystyle {\int }_0^v{u}^{\beta }{\left(v-u\right)}^{\alpha -2}\text{d}u}\end{array}$ (22)

其中，设 $u=R\left(s\right)-R\left(a_i\right),v=R\left(b_i\right)-R\left(a_i\right)$ 。使用Euler公式

${\displaystyle {\int }_0^1{x}^{\mu -1}{\left(1-x\right)}^{v-1}}\text{d}x=\frac{\Gamma \left(\mu \right)\Gamma \left(v\right)}{\Gamma \left(\mu +v\right)}$ 且 $Re\left(\mu ,v\right)>0$

设 $x=\frac{u}{v}$ 我们可以得到，

${\displaystyle {\int }_0^v{u}^{\beta -2}{\left(v-u\right)}^{\alpha }\text{d}u}=v^{\alpha +\beta -1}\frac{\Gamma \left(\beta -1\right)\Gamma \left(\alpha +1\right)}{\Gamma \left(\alpha +\beta \right)}$ (23)

${\displaystyle {\int }_0^v{u}^{\beta -1}{\left(v-u\right)}^{\alpha -1}}\text{d}u=v^{\alpha +\beta -1}\frac{\Gamma \left(\beta \right)\Gamma \left(\alpha \right)}{\Gamma \left(\alpha +\beta \right)}$ (24)

${\displaystyle {\int }_0^v{u}^{\beta }{\left(v-u\right)}^{\alpha -2}}\text{d}u=v^{\alpha +\beta -1}\frac{\Gamma \left(\beta +1\right)\Gamma \left(\alpha -1\right)}{\Gamma \left(\alpha +\beta \right)}$ (25)

因此

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_0^v{u}^{\beta -2}{\left(v-u\right)}^{\alpha -2}{\left[\beta \left(v-u\right)-\alpha u\right]}^2\text{d}u}\\ ={\beta }^2{v}^{\alpha +\beta -1}\frac{\Gamma \left(\beta -1\right)\Gamma \left(\alpha +1\right)}{\Gamma \left(\alpha +\beta \right)}-2\alpha \beta v^{\alpha +\beta -1}\frac{\Gamma \left(\beta \right)\Gamma \left(\alpha \right)}{\Gamma \left(\alpha +\beta \right)}+{\alpha }^2{v}^{\alpha +\beta -1}\frac{\Gamma \left(\beta +1\right)\Gamma \left(\alpha -1\right)}{\Gamma \left(\alpha +\beta \right)}\\ =\frac{v^{\alpha +\beta -1}}{\Gamma \left(\alpha +\beta \right)}\left[{\beta }^2\Gamma \left(\beta -1\right)\Gamma \left(\alpha +1\right)-2\alpha \beta \Gamma \left(\beta \right)\Gamma \left(\alpha \right)+{\alpha }^2\Gamma \left(\beta +1\right)\Gamma \left(\alpha -1\right)\right]\\ =\alpha \beta \left(\alpha +\beta -2\right)\frac{\Gamma \left(\alpha -1\right)\Gamma \left(\beta -1\right)}{\Gamma \left(\alpha +\beta \right)}{v}^{\alpha +\beta -1}\end{array}$ (26)

将(26)式代入(22)，我们有

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{a_i}^{b_i}{\left[R\left(b_i\right)-R\left(s\right)\right]}^{\alpha -2}{\left[R\left(s\right)-R\left(a_i\right)\right]}^{\beta -2}{\left[\beta R\left(b_i\right)-\left(\alpha +\beta \right)R\left(s\right)+\alpha R\left(a_i\right)\right]}^2\frac{1}{r\left(s\right)}\text{d}s}\\ =\alpha \beta \left(\alpha +\beta -2\right)\frac{\Gamma \left(\alpha -1\right)\Gamma \left(\beta -1\right)}{\Gamma \left(\alpha +\beta \right)}{\left[R\left(b_i\right)-R\left(a_i\right)\right]}^{\alpha +\beta -1}\end{array}$ (27)

于是

$\begin{array}{l}\frac{1}{{\left[R\left(b_i\right)-R\left(a_i\right)\right]}^{\alpha +\beta -1}}{\displaystyle {\int }_{a_i}^{b_i}{\left[R\left(b_i\right)-R\left(s\right)\right]}^{\alpha }{\left[R\left(s\right)-R\left(a_i\right)\right]}^{\beta }}\\ \cdot \left[Q\left(s\right)-\frac{r\left(s\right)}{4}{\left(\frac{p\left(s\right)}{r\left(s\right)}-\frac{\beta R\left(b_i\right)-\left(\alpha +\beta \right)R\left(s\right)+\alpha R\left(a_i\right)}{r\left(s\right)\left[R\left(b_i\right)-R\left(s\right)\right]\left[R\left(s\right)-R\left(a_i\right)\right]}\right)}^2\right]\text{d}s\\ =\frac{1}{{\left[R\left(b_i\right)-R\left(a_i\right)\right]}^{\alpha +\beta -1}}{\displaystyle {\int }_{a_i}^{b_i}{\left[R\left(b_i\right)-R\left(s\right)\right]}^{\alpha }{\left[R\left(s\right)-R\left(a_i\right)\right]}^{\beta }}\\ \cdot \left[Q\left(s\right)-\frac{p^2\left(s\right)}{4r\left(s\right)}+\frac{p\left(s\right)\left[\beta R\left(b_i\right)-\left(\alpha +\beta \right)R\left(s\right)+\alpha R\left(a_i\right)\right]}{2r\left(s\right)\left[R\left(b_i\right)-R\left(s\right)\right]\left[R\left(s\right)-R\left(a_i\right)\right]}\right]\text{d}s\\ -\frac{1}{4{\left[R\left(b_i\right)-R\left(a_i\right)\right]}^{\alpha +\beta -1}}{\displaystyle {\int }_{a_i}^{b_i}{\left[R\left(b_i\right)-R\left(s\right)\right]}^{\alpha -2}{\left[R\left(s\right)-R\left(a_i\right)\right]}^{\beta -2}}\end{array}$

$\begin{array}{l}·{\left[\beta R\left(b_i\right)-\left(\alpha +\beta \right)R\left(s\right)+\alpha R\left(a_i\right)\right]}^2\frac{1}{r\left(s\right)}\text{d}s\\ =\frac{1}{{\left[R\left(b_i\right)-R\left(a_i\right)\right]}^{\alpha +\beta -1}}{\displaystyle {\int }_{a_i}^{b_i}{\left[R\left(b_i\right)-R\left(s\right)\right]}^{\alpha }{\left[R\left(s\right)-R\left(a_i\right)\right]}^{\beta }}\\ \cdot \left[Q\left(s\right)-\frac{p^2\left(s\right)}{4r\left(s\right)}+\frac{p\left(s\right)\left[\beta R\left(b_i\right)-\left(\alpha +\beta \right)R\left(s\right)+\alpha R\left(a_i\right)\right]}{2r\left(s\right)\left[R\left(b_i\right)-R\left(s\right)\right]\left[R\left(s\right)-R\left(a_i\right)\right]}\right]\text{d}s\\ -\alpha \beta \left(\alpha +\beta -2\right)\frac{\Gamma \left(\beta -1\right)\Gamma \left(\alpha -1\right)}{4\Gamma \left(\alpha +\beta \right)}\end{array}$ (28)

由(21)和(28)式，得到

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{a_i}^{b_i}{\left[R\left(b_i\right)-R\left(s\right)\right]}^{\alpha }{\left[R\left(s\right)-R\left(a_i\right)\right]}^{\beta }}\\ \cdot \left[Q\left(s\right)-\frac{r\left(s\right)}{4}{\left(\frac{p\left(s\right)}{r\left(s\right)}-\frac{\beta R\left(b_i\right)-\left(\alpha +\beta \right)R\left(s\right)+\alpha R\left(a_i\right)}{r\left(s\right)\left[R\left(b_i\right)-R\left(s\right)\right]\left[R\left(s\right)-R\left(a_i\right)\right]}\right)}^2\right]\text{d}s>0\end{array}$

因此，依据定理2.2方程(1)是振动的。定理2.4证毕。

推论2.1：设 $\underset{t\to \infty }{lim}R\left(t\right)=\infty$ 。且对任意的 $T\ge t_0$ ，存在 $T\le a_1<b_1\le a_2<b_2$ 使得(7)式成立。如果存在一个常数 $\alpha >\frac{1}{2}$ 使得

$\begin{array}{l}\frac{1}{{\left[R\left(b_i\right)-R\left(a_i\right)\right]}^{\text{2}\alpha +1}}{\displaystyle {\int }_{a_i}^{b_i}{\left[R\left(b_i\right)-R\left(s\right)\right]}^{\text{2}\alpha }{\left[R\left(s\right)-R\left(a_i\right)\right]}^{\text{2}}}\\ \cdot \left[Q\left(s\right)-\frac{p^2\left(s\right)}{4r\left(s\right)}+\frac{p\left(s\right)\left[R\left(b_i\right)-\left(\alpha +1\right)R\left(s\right)+\alpha R\left(a_i\right)\right]}{r\left(s\right)\left[R\left(b_i\right)-R\left(s\right)\right]\left[R\left(s\right)-R\left(a_i\right)\right]}\right]\text{d}s\\ >\frac{\alpha }{\left(2\alpha -1\right)\left(2\alpha +1\right)}\end{array}$ (29)

其中 $Q\left(s\right)={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\prod }}{\eta }_k^{-{\eta }_k}{q}_k^{{\eta }_k}\left(s\right)}$ ， $i=1$ 或 $i=2$ ，则方程(1)是振动的。

证明：在(21)中分别用 $2\alpha$ 和2替代 $\alpha$ 和 $\beta$ ，可以得到

(30)

推论2.2：设 $\underset{t\to \infty }{lim}R\left(t\right)=\infty$ 。且对任意的 $T\ge t_0$ ，存在 $T\le a_1<b_1\le a_2<b_2$ 使得(7)式成立。如果存在一个常数 $\beta >\frac{1}{2}$ 有

$\begin{array}{l}\frac{1}{{\left[R\left(b_i\right)-R\left(a_i\right)\right]}^{\text{2}\beta +1}}{\displaystyle {\int }_{a_i}^{b_i}{\left[R\left(b_i\right)-R\left(s\right)\right]}^{\text{2}}{\left[R\left(s\right)-R\left(a_i\right)\right]}^{\text{2}\beta }}\\ \cdot \left[Q\left(s\right)-\frac{p^2\left(s\right)}{4r\left(s\right)}+\frac{p\left(s\right)\left[\beta R\left(b_i\right)-\left(\beta +1\right)R\left(s\right)+R\left(a_i\right)\right]}{r\left(s\right)\left[R\left(b_i\right)-R\left(s\right)\right]\left[R\left(s\right)-R\left(a_i\right)\right]}\right]\text{d}s\\ >\frac{\beta }{\left(2\beta -1\right)\left(2\beta +1\right)}\end{array}$ (31)

其中 $Q\left(s\right)={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\prod }}{\eta }_k^{-{\eta }_k}{q}_k^{{\eta }_k}\left(s\right)}$ ， $i=1$ 或 $i=2$ ，则方程式(1)是振动的。

如果假定 $p\in C^1\left(\left[t_0,\infty \right),R\right)$ ，注意

${\displaystyle {\int }_{a_i}^{b_i}H\left(b_i,s,a_i\right)p\left(s\right)h\left(b_i,s,a_i\right)\text{d}s}=-{\displaystyle {\int }_{a_i}^{b_i}H\left(b_i,s,a_i\right)p^{\prime }\left(s\right)\text{d}s}$

根据定理2.1~2.4。我们可以得到以下定理。

定理2.5：设 $p\in C^1\left(\left[t_0,\infty \right),R\right)$ 成立。且对任意 $T\ge t_0$ ，存在 $T\le a_1<b_1\le a_2<b_2$ 使得(7)式成立。如果存在函数 $H\in \Phi$ ，使得

${\displaystyle {\int }_{a_i}^{b_i}H\left(b_i,s,a_i\right)}\left[Q\left(s\right)-\frac{p^2\left(s\right)}{4r\left(s\right)}-\frac{p^{\prime }\left(s\right)}{2}-\frac{r\left(s\right)h^2\left(b_i,s,a_i\right)}{4}\right]\text{d}s>0$ (32)

其中 $Q\left(s\right)={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\prod }}{\eta }_k^{-{\eta }_k}{q}_k^{{\eta }_k}\left(s\right)}$ ， $i=1$ 或 $i=2$ ，则方程式(1)振动的。

定理2.6：设 $p\in C^1\left(\left[t_0,\infty \right),R\right)$ 且对任意的 $T\ge t_0$ ，存在 $T\le a_1<b_1\le a_2<b_2$ 使得(7)式成立。如果存在两个常数 $\alpha ,\beta >1$ ，使得

(33)

其中 $Q\left(s\right)={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\prod }}{\eta }_k^{-{\eta }_k}{q}_k^{{\eta }_k}\left(s\right)}$ ， $i=1$ 或 $i=2$ ，则方程式(1)是振动的。

定理2.7：设 $$ ， $\underset{t\to \infty }{lim}R\left(t\right)=\infty$ ，且对任意的 $T\ge t_0$ ，存在 $T\le a_1<b_1\le a_2<b_2$ 使得(7)是成立。如果存在两个常数 $\alpha ,\beta >1$ ，使得

$\begin{array}{l}\frac{1}{{\left[R\left(b_i\right)-R\left(a_i\right)\right]}^{\alpha +\beta -1}}{\displaystyle {\int }_{a_i}^{b_i}{\left[R\left(b_i\right)-R\left(s\right)\right]}^{\alpha }{\left[R\left(s\right)-R\left(a_i\right)\right]}^{\beta }}\\ \cdot \left[Q\left(s\right)-\frac{p^2\left(s\right)}{4r\left(s\right)}-\frac{p^{\prime }\left(s\right)}{2}\right]\text{d}s>\alpha \beta \left(\alpha +\beta -2\right)\frac{\Gamma \left(\beta -1\right)\Gamma \left(\alpha -1\right)}{4\Gamma \left(\alpha +\beta \right)}\end{array}$ (34)

其中 $Q\left(s\right)={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\prod }}{\eta }_k^{-{\eta }_k}{q}_k^{{\eta }_k}\left(s\right)}$ ， $i=1$ 或 $i=2$ ，则方程式(1)是振动的。

推论2.3：设 $p\in C^1\left(\left[t_0,\infty \right),R\right)$ ， $\underset{t\to \infty }{lim}R\left(t\right)=\infty$ 。且对任意的 $T\ge t_0$ ，存在 $T\le a_1<b_1\le a_2<b_2$ 使得(7)式成立。如果存在常数 $\alpha >\frac{1}{2}$ 使得

$\begin{array}{l}\frac{1}{{\left[R\left(b_i\right)-R\left(a_i\right)\right]}^{\text{2}\alpha +1}}{\displaystyle {\int }_{a_i}^{b_i}{\left[R\left(b_i\right)-R\left(s\right)\right]}^{\text{2}\alpha }{\left[R\left(s\right)-R\left(a_i\right)\right]}^{\text{2}}}\\ \cdot \left[Q\left(s\right)-\frac{p^2\left(s\right)}{4r\left(s\right)}-\frac{p^{\prime }\left(s\right)}{2}\right]\text{d}s>\frac{\alpha }{\left(2\alpha -1\right)\left(2\alpha +1\right)}\end{array}$ (35)

其中 $Q\left(s\right)={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\prod }}{\eta }_k^{-{\eta }_k}{q}_k^{{\eta }_k}\left(s\right)}$ ， $i=1$ 或 $i=2$ ，则方程式(1)是振动的。

推论2.4：设 $p\in C^1\left(\left[t_0,\infty \right),R\right)$ ， $\underset{t\to \infty }{lim}R\left(t\right)=\infty$ 。且对任意的 $T\ge t_0$ ，存在 $T\le a_1<b_1\le a_2<b_2$ 使得(7)式成立。如果存在常数 $\beta >\frac{1}{2}$ ，使得

$\begin{array}{l}\frac{1}{{\left[R\left(b_i\right)-R\left(a_i\right)\right]}^{2\beta +1}}{\displaystyle {\int }_{a_i}^{b_i}{\left[R\left(b_i\right)-R\left(s\right)\right]}^2{\left[R\left(s\right)-R\left(a_i\right)\right]}^{2\beta }}\\ \cdot \left[Q\left(s\right)-\frac{p^2\left(s\right)}{4r\left(s\right)}-\frac{p^{\prime }\left(s\right)}{2}\right]\text{d}s>\frac{\beta }{\left(2\beta -1\right)\left(2\beta +1\right)}\end{array}$ (36)

其中 $Q\left(s\right)={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\prod }}{\eta }_k^{-{\eta }_k}{q}_k^{{\eta }_k}\left(s\right)}$ ， $i=1$ 或 $i=2$ ，则方程式(1)是振动的。

3. 例子

考虑二阶非线性方程

$\frac{\text{1}}{\mu }{y}^{″}+\frac{2}{t}{y}^{\prime }+q_1\left(t\right){\left|y\right|}^{{\alpha }_1-1}y+q_2\left(t\right){\left|y\right|}^{{\alpha }_2-1}y=\sin t$ (37)

易证明方程(37)在 $\mu >\frac{6}{\text{π}}+\frac{72}{{\text{π}}^2}-\frac{288}{{\text{π}}^3}+\frac{1}{2}$ 上是振动的。事实上，让 $\alpha =\beta =2$ ，我们选择

$a_1=2n\text{π}-\frac{\text{π}}{2},b_1=a_2=2n\text{π},b_{\text{2}}=2n\text{π}+\frac{\text{π}}{2},{\alpha }_1=\frac{3}{2},{\alpha }_2=\frac{1}{2}$

则

${\eta }_1=\frac{1-{\alpha }_2}{{\alpha }_1-{\alpha }_2}=\frac{1}{2},{\eta }_2=\frac{{\alpha }_1-1}{{\alpha }_1-{\alpha }_2}=\frac{1}{2}$

再令 $q_1\left(t\right)={\eta }_1\cos t,q_2\left(t\right)={\eta }_2\cos t$ ，很容易得到

$Q\left(t\right)={\eta }_1^{-{\eta }_1}{q}_1^{{\eta }_1}\left(t\right){\eta }_2^{-{\eta }_2}{q}_2^{{\eta }_2}\left(t\right)={\eta }_1^{-{\eta }_1}{\eta }_1{}^{{\eta }_1}{\cos }^{{\eta }_1}t\cdot {\eta }_2^{-{\eta }_2}{\eta }_2^{{\eta }_2}{\cos }^{{\eta }_2}t={\cos }^{\left({\eta }_1+{\eta }_2\right)}t=\cos t.$

于是有

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{a_i}^{b_i}{\left(b_i-s\right)}^2{\left(s-a_i\right)}^2}\left[Q\left(s\right)-\frac{p^2\left(s\right)}{4r\left(s\right)}-\frac{p^{\prime }\left(s\right)}{2}-\frac{r\left(s\right)}{4}{\left(\frac{\beta b_i-\left(\alpha +\beta \right)s-\alpha a_i}{\left(b_i-s\right)\left(s-a_i\right)}\right)}^2\right]\text{d}s\\ ={\displaystyle {\int }_{2n\text{π}-\frac{\text{π}}{2}}^{2n\text{π}}{\left(2n\text{π}-s\right)}^2{\left(s-2n\text{π}+\frac{\text{π}}{2}\right)}^2}\left[Q\left(s\right)-\frac{p^2\left(s\right)}{4r\left(s\right)}-\frac{p^{\prime }\left(s\right)}{2}-r\left(s\right){\left(\frac{2n\text{π}-2s-2n\text{π}+\frac{\text{π}}{2}}{\left(2n\text{π}-s\right)\left(s-2n\text{π}+\frac{\text{π}}{2}\right)}\right)}^2\right]\text{d}s\\ ={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\text{π}}{2}}{\left(\frac{\text{π}}{2}-s\right)}^2{s}^2\sin s\text{d}s}+{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\text{π}}{2}}{\left(\frac{\text{π}}{2}-s\right)}^2\left(1-\mu \right)\text{d}s}-{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\text{π}}{2}}\frac{1}{\mu }{\left(\frac{\text{π}}{2}-2s\right)}^2\text{d}s}\\ =\left(-\frac{{\text{π}}^2}{2}-6\text{π}+24\right)-\frac{{\text{π}}^3}{24}\left(1-\mu \right)-\frac{1}{\mu }\cdot \frac{{\text{π}}^3}{24}\\ =-\frac{{\text{π}}^2}{2}-6\text{π}+24-\frac{{\text{π}}^3}{24}+\frac{{\text{π}}^3}{24}\mu -\frac{1}{\mu }\cdot \frac{{\text{π}}^3}{24}>0\end{array}$

由定理2.6知方程(31)是振动的。

致谢

本文工作受到了惠州学院重点重大研究培育项目(hzu201705)及广东省大学生科技创新培育专项项目的资助。