Extended Fisher-Kolmogorov系统在Direchlet边界条件下的定态分歧

Steady State Bifurcation of Extended Fish-Kolmogorov System with Direchlet Boundary Condition

摘要: 本文研究了Extended Fisher-Kolmogorov系统在Direchlet边界条件下的分歧问题，利用规范化的Lyapunov-Schmidt约化方法，通过谱分析以及分歧理论，证明了分歧解的存在性并得到了其完整表达式，最后对分歧解的正则性进行了讨论。

Abstract: In this paper, we study the bifurcation problem of extended Fisher-Kolmogorov system with Di-rechlet boundary condition. Based on normalized Lyapunov-Schmidt reduction method, we use spectral analysis and bifurcation theory to prove the existence of bifurcated solution and obtain the exact form of bifurcated solutions. Furthermore, the regularity of solutions is also discussed.

1. 引言及预备知识

关于Extended Fisher-Kolmogorov (EFK)系统，曾在19世纪80年代作为主要理论模型运用在相变以及双稳态系统的研究中 [1] [2] 。在过去的几十年里，研究者们对于EFK系统中进行了大量的研究 [3] [4] [5] ，其研究重点主要是解的渐进行为以及解的结构问题 [6] [7] ，但是对于EFK系统的分歧解问题研究较少。分歧是非线性问题中普遍存在的现象，主要研究当系统参数超过临界值时稳态解的变化过程。目前已有诸多论文文献 [8] [9] [10] [11] [12] 运用分歧理论对分歧问题进行研究讨论，其中，文献 [12] 主要采用了传统意义上的Lyapunov-Schmidt约化方法，而文献 [8] 则对Lyapunov-Schmidt约化方法的规范化过程进一步探讨，以及对线性的全连续场谱理论进行了研究，并将Lyapunov-Schmidt约化方法应用到了愈加普遍的非线性演化方程之中。而后文献 [4] [5] [12] [13] 在生物等许多领域中应用文献 [8] 中关于分歧理论方法进行了深度研究。文献 [14] 分别在Neumann边界条件下和Direchlet边界条件下对于Fisher-Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov (FKPP)方程的定态分歧问题进行了研讨。

其中文献 [15] 运用了文献 [8] 中研究的规范化Lyapunov-Schmidt约化方法以及谱定理对于Neumann边界条件下的EFK系统的定态分歧问题进行了深入研究。本文运用文献 [8] 中的方法理论讨论在Direchlet边界条件下的EFK系统的定态分歧问题。

首先引入分歧的定义，考虑以下抽象算子方程：

$L_{\lambda }\phi +G\left(\phi ,\lambda \right)=0$，

这里线性算子 $L:X_1\to X$，非线性算子 $G:X_1\to X$， $X_1,X$ 是Hilbert空间。

定义1 (分歧定义) [9] 假设 $\left(0,\lambda \right)$， $\lambda \in R^1$ 是算子方程的一个平凡解。若存在 ${\lambda }_0\in R^1$，使得：当 $\lambda <{\lambda }_0$

或 $\lambda >{\lambda }_0$ 时，算子方程存在一个解 $\left({\phi }_{\lambda },\lambda \right)\ne \left(0,\lambda \right)$ 且 $\underset{\lambda \to {\lambda }_0}{\lim }\left({\phi }_{\lambda },\lambda \right)=\left(0,{\lambda }_0\right)$， $\underset{\lambda \to {\lambda }_0}{\lim }{\Vert {\phi }_{\lambda }\Vert }_{x_1}=0$，则称算子方程

在 $\left(0,{\lambda }_0\right)$ 处发生分歧。

考虑以下EFK系统的定态分歧问题：

$\{\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial t}=-\mu \frac{{\partial }^{4}u}{\partial x^4}+\alpha \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\lambda g\left(u\right),\left(x,t\right)\in \left(0,\text{π}\right)\times \left(0,\infty \right)\\ u\left(0\right)=u\left(\text{π}\right)=0\\ {\displaystyle \underset{0}{\overset{\text{π}}{\int }}u\left(x\right)\text{d}x=0,\forall t\ge 0}\\ u\left(x,0\right)=u_0,x\in \left(0,\text{π}\right)\end{array}$ (1)

其中， $\lambda$ 是系统参数， $\mu >0$， $\alpha >0$ 是常数。

$g\left(s\right)={\displaystyle \underset{k=2}{\overset{p}{\sum }}{a}_k{s}^k}$

这里， $\text{2}\le p\in N$， $a_k$ 是给定的常数。

本论文将研究系统(1)所对应的平衡态系统 [14]

$\{\begin{array}{l}-\mu \frac{{\partial }^{4}u}{\partial x^4}+\alpha \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\lambda u+g\left(u\right)=0,x\in \left(0,\text{π}\right)\\ u\left(0\right)=u\left(\text{π}\right)=0\\ {\displaystyle \underset{\text{0}}{\overset{\text{π}}{\int }}u\left(x\right)\text{d}x=0}\end{array}$ (2)

考虑系统(2)，引入了以下的空间

$H=L^2\left(0,\text{π}\right)$，

$H_1=\left\{u\in H^4\left[0,\text{π}\right]|u\left(0\right)=u\left(\text{π}\right)=0,{\displaystyle \underset{\text{0}}{\overset{\text{π}}{\int }}u\left(x\right)\text{d}x=0}\right\}$，

接下来定义算子 $L_A=A+B_{\lambda }:H_1\to H$ 和 $G:H_1\to H$，且满足如下等式：

$Au=-\mu \frac{{\partial }^{4}u}{\partial x^4}+\alpha \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$， (3)

$B_{\lambda }=\lambda u$

2. 主要结果

2.1. 定理

定理1 对于系统(2)有以下的结论成立：

1) 当 ${\alpha }_2\ne 0$ 时，系统(2)可从 $\left(u,\lambda \right)=\left(0,\alpha +\mu \right)$ 处产生1个正则分歧解，其表达式如下：

${\bar{u}}_1=-\frac{3\text{π}\left(\lambda -\alpha -\mu \right)}{8{\alpha }_2}\sin x+O\left({\left|\lambda -\alpha -\mu \right|}^2\right)$； (4)

2) 当 ${\alpha }_2=0,{\alpha }_3\ne 0$ 时，系统(2)从 $\left(u,\lambda \right)=\left(0,\alpha +\mu \right)$ 处产生2个正则分歧解，其表达式如下：

$\begin{array}{l}{\bar{u}}^{+}=\sqrt{\frac{4\left(\alpha +\mu -\lambda \right)}{3{\alpha }_3}}\sin x+O\left({\left|\lambda -\alpha -\mu \right|}^{\frac{1}{2}}\right)\\ {\bar{u}}^{-}=-\sqrt{\frac{4\left(\alpha +\mu -\lambda \right)}{3{\alpha }_3}}\sin x+O\left({\left|\lambda -\alpha -\mu \right|}^{\frac{1}{2}}\right)\end{array}$ (5)

2.2. 定理证明

证明 下面对以上定理进行证明：

第1步 求出 $L_{\lambda }=A+B_{\lambda }$ 的所有特征值以及其对应的特征函数.

先令 ${\lambda }_k$ 和 ${\phi }_k$ $\left(k=1,2,\cdots \right)$ 是如下方程的第k个特征值和对应的特征函数

$-\frac{{\text{d}}^2{\phi }_k}{\text{d}{x}^2}={\lambda }_k{\phi }_k$，

${\phi }_k\left(0\right)={\phi }_k\left(\text{π}\right)=0$，

${\displaystyle {\int }_0^{\text{π}}{\phi }_k^2\text{d}x}=1$ (6)

可解得方程(6)的特征值 $\left\{{\lambda }_k|k=1,2,3,\cdots \right\}$ (计入重数)为 ${\lambda }_k=k^2$，且其对应的特征函数 $\left\{{\phi }_k|k=1,2,3,\cdots \right\}$ 为

${\phi }_k=\sqrt{\frac{2}{\text{π}}}\sin kx$

由此可得方程(3)中的算子 $L_{\lambda }$ 特征值为

$\left\{{\beta }_k\left(\lambda \right)=\lambda -\alpha k^2-\mu k^4|k=1,2,\cdots \right\}$，

且方程(6)的特征函数 $\left\{{\phi }_k|k=1,2,3,\cdots \right\}$ 满足正交性，即：

${\langle {\phi }_i,{\phi }_j\rangle }_H=\{\begin{array}{l}1,i=j,\\ 0,i\ne j.\end{array}$

参考文献 [8] 可知，算子 $L_{\lambda }$ 的特征函数 $\left\{{\phi }_k|k=1,2,3,\cdots \right\}$ 可以在空间 $H_1$ 中构成一组正交基.

易得算子 $L_{\lambda }$ 的第一特征值是

${\beta }_1\left(\lambda \right)=\lambda -\alpha -\mu$，

则可得其对应的特征向量为

${\phi }_{\text{1}}=\sqrt{\frac{2}{\text{π}}}\sin x$

且 ${\beta }_j$ 满足

${\beta }_j\left(\alpha +\mu \right)\ne 0,j\ge 2$

第2步 运用谱定理 [8] ，对空间H和算子 $L_{\lambda }$ 进行分解。

由谱定理 [8] 可得，在 $\lambda =\alpha +\mu$ 的邻域内，空间H可以被分解为：

$H_1=E_1\oplus E_{\text{2}}$， $H=E_1\oplus {\bar{E}}_{\text{2}}$，

在上式中，

$E_1=span\left\{{\phi }_1\right\}$， $E_{\text{2}}=span\left\{{\phi }_2,{\phi }_3,\cdots \right\}$.

且线性算子 $L_{\lambda }$ 在 $\lambda =\alpha +\mu$ 的邻域内可以被分解成：

$L_{\lambda }=L_{\lambda }^1+L_{\lambda }^2$，

其中，

$L_{\lambda }^1:E_1\to E_1$， $L_{\lambda }^2:E_2\to {\bar{E}}_2$.

先令 $u\in H_1$，则有 $u=u_1+u_2$，其中 $u_1,u_2$ 满足： $u_1\in E_1$， $u_2\in E_2$.

现不妨设

$u_1=x_1{\phi }_1$， $u_2={\displaystyle \underset{j=2}{\overset{\infty }{\sum }}{y}_j{\phi }_j}$， $y_j\in R$.

第3步 利用规范化的Lyapunov-Schmidt约化方法可以解出系统(2)的分歧解。

先将u₁和u₂代入方程(3)，可得如下等式：

${\beta }_{\text{1}}\left(\lambda \right)x_1+{\displaystyle \underset{k=2}{\overset{p}{\sum }}{\alpha }_k}{\langle {\left(x_1{\phi }_1+{\displaystyle \underset{j=2}{\overset{\infty }{\sum }}{y}_j{\phi }_j}\right)}^k,{\phi }_1\rangle }_H=0$ (7)

${\beta }_j\left(\lambda \right)y_j+{\displaystyle \underset{k=2}{\overset{p}{\sum }}{\alpha }_k}{\langle {\left(x_1{\phi }_1+{\displaystyle \underset{j=2}{\overset{\infty }{\sum }}{y}_j{\phi }_j}\right)}^k,{\phi }_j\rangle }_H=0,j\ge 2$ (8)

由于在进行Lyapunov-Schmidt约化的过程中， ${\alpha }_2$ 的取值对约化方程的形式产生影响，所以本文根据 ${\alpha }_2$ 的取值分别做如下的分类讨论.

1) 当 ${\alpha }_2\ne 0$ 时，近似方程为

${\beta }_{\text{j}}\left(\lambda \right)y_i+{\alpha }_2{x}_1^2{\langle {\phi }_1^2,{\phi }_j\rangle }_H+O\left(x_1^2\right)=0,j\ge 2$

又因为 ${\phi }_1,{\phi }_j\left(j\ge 2\right)$ 满足

$\begin{array}{l}\langle {\phi }_1^2,{\phi }_1\rangle =\frac{8\sqrt{2}}{3\text{π}\sqrt{\text{π}}},\\ \langle {\phi }_1^2,{\phi }_j\rangle =0,j\ge 2\end{array}$

则可以解得

$y_j=O\left(x_1^2\right),j\ge 2$ 。

再将 $y_j\left(j=2,3,\cdots \right)$ 代入方程(7)，可得

${\beta }_1\left(\lambda \right)x_1+{\alpha }_2{x}_1^2{\langle {\phi }_1^2,{\phi }_1\rangle }_H+O\left(x_1^2\right)=0$

化简后的近似方程如下示：

${\beta }_1\left(\lambda \right)x_1+\frac{8\sqrt{2}{\alpha }_2{x}_1^2}{3\text{π}\sqrt{\text{π}}}=0$ 。 (9)

进而可以得到1个分歧分支

$x_1=-\frac{3\text{π}\sqrt{\text{π}}\left(\lambda -\alpha -\mu \right)}{8\sqrt{2}{\alpha }_2}$ (10)

由此可知，方程(9)在 $\left(x,\lambda \right)=\left(0,\alpha +\mu \right)$ 处产生了分歧，且分歧出了一个分歧解.

2) 当 ${\alpha }_2=0$， ${\alpha }_3\ne 0$ 时，由(7)式可得

${\beta }_1\left(\lambda \right)x_1+{\alpha }_3\langle x_1^3{\phi }_1^3,{\phi }_1\rangle =0$

又由 ${\phi }_1$ 满足

$\langle {\phi }_1^3,{\phi }_1\rangle =\frac{3}{2\text{π}}$

可得

${\beta }_1\left(\lambda \right)x_1+\frac{3{\alpha }_3}{2\text{π}}{x}_1^3=0$ (11)

由以上可以解出如下分歧解：

$\begin{array}{l}{x}_1^{+}=\sqrt{\frac{2\text{π}\left(\alpha +\mu -\lambda \right)}{3{\alpha }_3}},\\ x_1^{-}=-\sqrt{\frac{2\text{π}\left(\alpha +\mu -\lambda \right)}{3{\alpha }_3}}\end{array}$ (12)

由此可知，方程(11)在 $\left(x,\lambda \right)=\left(0,\alpha +\mu \right)$ 处产生了分歧，且分歧出两个不同的分歧解.

第4步 讨论平衡态系统的分歧解及分歧解的正则性.

先讨论方程(9)和方程(11)的分歧解的正则性.

在方程(9)和方程(11)中，对应的对 $x_1$ 求导的导数如下：

${\beta }_1\left(\lambda \right)+\frac{16\sqrt{2}{\alpha }_2}{3\text{π}\sqrt{\text{π}}}{x}_1=-\left(\lambda -\alpha -\mu \right)$ (13)

${\beta }_1\left(\lambda \right)+\frac{3{\alpha }_3}{2\text{π}}{x}_1^2=-2\left(\lambda -\alpha -\mu \right)$ (14)

易见，在 $\lambda =\alpha +\mu$ 的去心邻域内，若邻域充分小的情况下，则方程(13)和方程(14)皆不为零，由此可知方程(9)和方程(11)的分歧解都是正则的。再参考文献 [8] 分歧解的正则性相关定理，系统(2)的分歧解也都是正则的。

考虑当 ${\alpha }_2\ne 0$ 时，系统(2)的分歧解表达式如下

${\bar{u}}_1=-\frac{3\text{π}\left(\lambda -\alpha -\mu \right)}{8{\alpha }_2}\sin x+O\left({\left|\lambda -\alpha -\mu \right|}^2\right)$；

而当 ${\alpha }_2=0$ 时，系统(2)的分歧解表达式如下

$\begin{array}{l}{\bar{u}}^{+}=\sqrt{\frac{4\left(\alpha +\mu -\lambda \right)}{3{\alpha }_3}}\sin x+O\left({\left|\lambda -\alpha -\mu \right|}^{\frac{1}{2}}\right)\\ {\bar{u}}^{-}=-\sqrt{\frac{4\left(\alpha +\mu -\lambda \right)}{3{\alpha }_3}}\sin x+O\left({\left|\lambda -\alpha -\mu \right|}^{\frac{1}{2}}\right)\end{array}$

综上所述，定理得证。

NOTES

^*通讯作者。