从Finsler流形到Riemann流形的调和映射梯度估计

Gradient Estimate for Harmonic Maps from Finsler Manifolds to Riemannian Manifolds

摘要: 本文主要研究了从Finsler流形到Riemann流形的调和映射的梯度估计，并由此得到从弱Landsberg流形到Cartan-Hadamard流形的调和映射Liouville型定理。此外，我们还将这一定理推广至目标流形为正则球的情形。

Abstract: In this paper, we study gradient estimate for harmonic maps from Finsler manifolds to Riemannian manifolds. As an application, we obtain Liouville type theorem of harmonic maps from a weak Landsberg manifold to a Cartan-Hadamard manifold. Moreover, we generalize the Liouville type theorem to a regular ball of Riemannian manifold.

1. 引言

1975年，丘成桐 [1] 建立了非负Ricci曲率完备Riemann流形上正调和函数的梯度估计，并给出了相应的Liouville型定理。之后，郑绍远 [2] 和H.I.Choi [3] 分别推导了从Ricci曲率有下界的完备Riemann流形到Cartan-Hadamard流形和正则球的调和映射的梯度估计，同时得到了相应的Liouville型定理。他们主要运用了Bochner技巧和最大值原理。

夏超 [4] 将Cheng-Yau [6] 在Riemann流形上调和函数的梯度估计推广到了Finsler流形。Ohata-Sturm [5] 研究了Finsler流形上的热方程全局解的梯度估计。莫小欢 [7] 定义了从Finsler流形到Riemann流形的调和映射并研究了它的第一变分公式。之后，Shen-Zhang [8] 计算了这类映射的能量泛函的第二变分公式。一个自然的问题是研究Finsler流形上这类调和映射的梯度估计和Liouville型定理。设M是Finsler流形，SM是其上的射影球丛，N是Riemann流形，光滑映射 $\phi :M\to N$ 的能量为

$E\left(\phi \right)=\frac{1}{c}{\displaystyle {\int }_{SM}\frac{1}{2}{\left|d\phi \right|}^2\Pi },$

我们称映射 $\phi$ 是调和映射，如果它是能量泛函E的极值点 [7]。它的张力场表示为：

$\tau \left(\phi \right)=trace\nabla d\phi +\langle d\phi ,J\rangle \in \Gamma \left({\phi }^{*}TN\right),$ (1)

本文将推导 $\phi$ 的Bochner公式：

$\begin{array}{c}\frac{1}{2}{\Delta }^H{\left|d\phi \right|}^2={\left|{\nabla }^{H}d\phi \right|}^2+\langle {\nabla }^H\tau \left(\phi \right),d\phi \rangle +\langle d\phi \left(\tilde{R}\right),d\phi \rangle \\ -{\displaystyle \underset{i,j=1}{\overset{m}{\sum }}\hat{R}\left(d\phi \left(e_i\right),d\phi \left(e_j\right),d\phi \left(e_i\right),d\phi \left(e_j\right)\right)}-\langle d\phi ,\nabla J\otimes d\phi \rangle .\end{array}$

其中 $\tilde{R}$ 是M上Riemann曲率张量R的对称化(具体见(6)式)， ${\Delta }^H$ 是水平Laplacian。由于水平Laplacian具有极大值原理，因此我们可以将调和映射的梯度估计推广到Finsler流形上来。具体结果如下：

定理1 设 $\left(M,F\right)$ 是非紧的弱Landsberg流形满足

$\tilde{R}\ge -k_1,$

其中 $k_1\ge 0$，设 $\left(N,h\right)$ 是Cartan-Hadamard流形。如果M上存在一个满足比较定理性质的正函数 $r\in C^2\left(SM\right)$ (具体见定义1)，那么任意限制在 ${\Omega }_{2R}=\left\{x\in M|r\left(x\right)<2R\right\}$ 上的调和映射 $\phi :M\to N$ 有如下梯度估计

$\underset{x\in {\Omega }_R}{\max }{\left|d\phi \right|}^2\le \left(\frac{C_1}{R}+k_1\right)b_R^2.$ (2)

其中 $b_R=2\sup \left\{\rho \circ \phi \left(x\right)|x\in {\Omega }_{2R}\right\}$， $\rho$ 是定义在 $y_0\in N$ 的距离函数，且 $C_1$ 由r决定。

我们称调和函数 $\phi$ 满足次线性增长条件，如果

$\overline{\underset{R\to +\infty }{\lim }}\frac{1}{\sqrt{R}}\sup \left\{\rho \circ \phi \left(x\right)|x\in {\Omega }_{2R}\right\}=0,$

由定理1，我们可直接得到如下的Liouville型定理：

定理 2设 $\left(M,F\right)$ 是非紧的弱Landsberg流形满足 $\tilde{R}\ge 0$，设 $\left(N,h\right)$ 是Cartan-Hadamard流形。如果M 上存在一个满足比较定理性质的正函数 $r\in C^2\left(SM\right)$，那么任意满足次线性增长条件的调和映射 $\phi :M\to N$ 必定是常值映射。

当目标流形具有正截面曲率时，我们也可以得到类似梯度估计。设N是Riemann流形且截曲率有上

界 $k_2$， $k_2\ge 0$，若落在 $y_0\in N$ 的割迹之内且 $D<\frac{\pi }{2\sqrt{k_2}}$，则我们称 $B_D\left(y_0\right)$ 是Rieman流形N的正则球，当 $k_2=0$ 时，我们要求 $D<+\infty$。

定理3 设 $\left(M,F\right)$ 是非紧的弱Landsberg流形满足

$\tilde{R}\ge -k_1,$

其中 $k_1\ge 0$。设N是Riemann流形且截曲率有上界 $k_2$， $k_2\ge 0$， $B_D\left(y_0\right)$ 是N的正则球。如果M上存在一个满足比较定理性质的正函数 $r\in C^2\left(SM\right)$，那么任意限制在 ${\Omega }_{2R}=\left\{x\in M|r\left(x\right)<2R\right\}$ 上的调和映射 $\phi :M\to B_D\left(y_0\right)$ 有

$\underset{x\in {\Omega }_R}{\max }{\left|d\phi \right|}^2\le C_2\left(k_1+\frac{1}{R}\right)\text{.}$ (3)

其中 $C_2$ 由r， $k_2$ 和D决定。

进而，由定理3我们得到相应的Liouville型定理：

定理4 设 $\left(M,F\right)$ 是非紧的弱Landsberg流形满足 $\tilde{R}\ge 0$。如果M上存在一个满足比较定理性质的正函数 $r\in C^2\left(SM\right)$，那么从M到正则球的调和映射必是常值映射。

2. 预备知识

在这一节，我们介绍Finsler几何的一些基础知识和Finsler流形到Riemann流形的调和映射。另外，我们还将推导最大值原理和Bochner公式。

设M是m维光滑流形， $\left(x^i,y^i\right)$ 是切丛TM上的局部坐标，若函数 $F:TM\to \left[0,+\infty \right)$ 满足：

i) 正齐性： $F\left(x,\lambda y\right)=\lambda F\left(x,y\right),\forall \lambda >0$ ；

ii) 光滑性： ${F|}_{TM\backslash \left\{0\right\}}$ 是 $C^{\infty }$ 的；

iii) 正定性：对于任意向量 $y\in TM\backslash \left\{0\right\}$，

$g_{ij}\left(x,y\right)=\frac{1}{2}\frac{{\partial }^2{F}^2}{\partial y^i\partial y^j}\left(x,y\right)=\frac{1}{2}{\left(F^2\right)}_{y^i{y}^j}\text{.}$

是正定矩阵，则称F为流形M上的Finsler度量。具备Finsler度量的光滑流形M称为Finsler流形，记为 $\left(M,F\right)$。记M的射影球丛为SM，切丛TM的自然投影确定了射影球丛SM上的一个投影 $\pi :SM\to M$。

我们仍用 $\left(x^i,y^i\right)$ 表示球丛上的局部坐标，其中 $\left(y^i\right)$ 是齐次坐标。记 ${\pi }^{\text{*}}TM$ 是切丛TM的拉回，其局部自然标架为 $\left\{\frac{\partial }{\partial x^i}\right\}$。我们用 $\left\{d{x}^i\right\}$ 表示自然标架 $\left\{\frac{\partial }{\partial x^i}\right\}$ 的对偶。基本张量g定义为

$g={\displaystyle \underset{i,j=1}{\overset{m}{\sum }}{g}_{ij}\left(x,y\right)d{x}^i\otimes d{x}^j},$

其中 $g_{ij}={\left[\frac{1}{2}{F}^2\right]}_{y^i{y}^j}$。如果 $g_{ij}\left(x,y\right)$ 不依赖于向量y的选取，那么F是Riemann度量。令

$\omega ={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}\frac{\partial F}{\partial y^i}d{x}^i}\in \Gamma \left({\pi }^{*}{T}^{*}M\right),$

称为Hilbert形式。其对偶向量场记为

$l={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}\frac{y^i}{F}\frac{\partial }{\partial x^i}}\in \Gamma \left({\pi }^{*}TM\right).$

Cartan张量C是定义在 ${\pi }^{\text{*}}TM$ 上的三阶对称张量：

$C={\displaystyle \underset{i,j,k=1}{\overset{m}{\sum }}{C}_{ijk}\left(x,y\right)d{x}^i\otimes d{x}^j\otimes d{x}^k},$

其中 $C_{ijk}=\frac{1}{4}{\left[F^2\right]}_{y^i{y}^j{y}^k}=\frac{1}{2}\frac{\partial g_{ij}}{\partial y^k}$。它的平均值 $\eta$ 称为Cartan形式：

$\eta ={\displaystyle \underset{i,j,k=1}{\overset{m}{\sum }}{C}_{ijk}{g}^{jk}d{x}^i},$

其中 $g^{jk}={\left(g_{jk}\right)}^{-1}$。Deicke定理 [9] 表明，正定的Finsler度量是Riemann度量的充要条件为Cartan形式消失。

设 $\left(M,F\right)$ 是m维Finsler流形，由于l是单位长的向量场，因此总存在 ${\pi }^{\text{*}}TM$ 上的局部正交标架场 $\left\{e_i\right\}$ 使得 $e_n=l$，它的对偶标架场记为 $\left\{{\omega }^i\right\}$ 且。在此标架下陈联络 $\nabla$ 的结构方程可表为：

$d{\omega }^i={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{\omega }^j\wedge {\omega }_j^i},{\omega }_j^i+{\omega }_i^j=-2{\displaystyle \underset{\lambda =1}{\overset{m-1}{\sum }}{H}_{ij\lambda }{\omega }_n^{\lambda }}$ (4)

其中 ${\omega }_i^j$ ’s是陈联络1形式， $H_{ijk}$ ’s是Cartan张量在 $\left\{e_i\right\}$ 下的分量。曲率形式 ${\Omega }_j^i$ 可表示为：

${\Omega }_j^i={\displaystyle \underset{k,s=1}{\overset{m}{\sum }}\frac{1}{2}{R}_{jks}^i{\omega }^k\wedge {\omega }^s}+{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}{\displaystyle \underset{\lambda =1}{\overset{m-1}{\sum }}{P}_{jk\lambda }^i{\omega }^k\wedge {\omega }_n^{\lambda }}}.$

其中 $R_{jks}^i$ 和分别称为Finsler流形M的Riemann曲率和Minkowski曲率。记Riemann曲率张量

$R=R_{jks}^i{\omega }^j\otimes {\omega }^k\otimes {\omega }^s\otimes e_i,$ (5)

由于 $tr\langle R\left(X,\cdot \right)\cdot ,Y\rangle$ 一般不具有对称性 [9]，因此我们定义对称张量 $\tilde{R}$ 如下：

$\tilde{R}\left(X,Y\right)=\frac{1}{2}tr\left[\langle R\left(X,\cdot \right)\cdot ,Y\rangle +\langle R\left(Y,\cdot \right)\cdot ,X\rangle \right].$ (6)

Landsberg曲率L和平均Landsberg曲率J分别定义为：

$L=-{\nabla }_{l}C,J=-{\nabla }_l\eta .$

若(平均)Landsberg曲率恒为零，则称Finsler流形 $\left(M,F\right)$ 是(弱) Landsberg流形。众所周知， $\left\{{\omega }^i,{\omega }_n^{\lambda }\right\}$ 是 $T^{\text{*}}SM$ 上的局部标架场 [7]，它的对偶标架场记为 $\left\{{\epsilon }_i,{\eta }_{\lambda }\right\}$。球丛 SM上的Sasaki型Riemann度量定义为：

$G={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{\omega }^i\otimes {\omega }^i}+{\displaystyle \underset{\alpha =1}{\overset{m-1}{\sum }}{\omega }_n^{\alpha }\otimes {\omega }_n^{\alpha }}.$

它与局部坐标系的选取无关。为简便起见，我们规定指标 $1\le i,j,k,\cdots \le m$， $1\le \alpha ,\beta ,\lambda ,\cdots \le m-1$ 遵循Einstein 求和约定。记垂直子丛 $VSM=Ker\left(d\pi \right)$，其中 $d\pi :TSM\to TM$ 是自然投影 $\pi$ 的切映射。在Sasaki 型Riemann度量G之下，切丛TSM可以分解为

$TSM=HSM\oplus VSM,$

其中HSM称为水平子丛。局部上， $\left\{{\eta }_{\lambda }\right\}$ 是垂直子丛VSM的一组基， $\left\{{\epsilon }_i\right\}$ 是水平子丛HSM的一组基。

设 $\left(N,h\right)$ 是Riemann流形， $\left\{{\theta }^a\right\}$ 是 $T^{\text{*}}N$ 上的局部正交标架场，它的对偶向量场记为 $\left\{v_a\right\}$。Levi-Civita

联络的结构方程可表示为：

$d{\theta }^a={\theta }^b\wedge {\theta }_b^a,{\theta }_b^a+{\theta }_a^b=0,d{\theta }_b^a={\theta }_b^c\wedge {\theta }_c^a+\frac{1}{2}{\hat{R}}_{bcd}^a{\theta }^c\wedge {\theta }^d$ (7)

其中 ${\hat{R}}_{bcd}^a$ 是Riemann流形N的Riemann曲率张量。

设 $\phi :M\to N$ 是光滑映射。它在SM上的提升仍然记为 $\phi$，能量定义为：

$E\left(\phi \right)=\frac{1}{c}{\displaystyle {\int }_{SM}\frac{1}{2}{\left|d\phi \right|}^2\Pi },$

这里c是 $\left(m-1\right)$ 维标准球面的体积， $\Pi$ 是G下的标准体积形式。值得注意的是， $\phi$ 是水平的，i.e. $d\phi \left(V\right)=0$ 对任意 $V\in \Gamma \left(VSM\right)$ 都成立。由引言可知能量泛函的极值点是调和映射，它具有如下重要性质：

定理5 [7] 设 $\phi$ 是从Finsler流形M到Riemann流形N的光滑映射。则 $\phi$ 是调和映射当且仅当 $\phi$ 具有消失的张力场。

设 $f:SM\to R$ 是光滑函数。水平Laplace算子定义为

${\Delta }^{H}f=di{v}_G\left(d^{H}f\right)=g^{ij}\left(\frac{{\delta }^{2}f}{\delta x^i\delta x^j}-\frac{\delta f}{\delta x^k}{\Gamma }_{ij}^k+\frac{\delta f}{\delta x^k}{L}_{ij}^k\right).$ (8)

其中

$\frac{\delta }{\delta x^i}=\frac{\partial }{\partial x^i}-N_i^j\frac{\partial }{\partial y^j},N_i^k={\gamma }_{ij}^k{y}^j-C_{ij}^k{\gamma }_{rs}^j{y}^r{y}^s,{\gamma }_{ij}^k=\frac{1}{2}{g}^{kl}\left(\frac{\partial g_{lj}}{\partial x^i}+\frac{\partial g_{li}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l}\right).$

这里是HSM的局部标架场。若f是流形M上的函数的提升 [10] [11]，则 ${\Delta }^{H}f=\tau \left(f\right)$。水平

Laplace算子同样满足最大值原理。

引理1 设 $A_{n\times n}$ 是半正定矩阵， $B_{n\times n}$ 是半负定矩阵，那么 $tr\left(AB\right)\le 0$。

证明 因为A是一个半正定矩阵，所以存在一个 $n\times n$ 矩阵C使得 $A=C{C}^{\text{T}}$，又因为B是一个半负定矩阵，我们有，

$tr\left(AB\right)=tr\left(C{C}^{\text{T}}B\right)=tr\left(C^{\text{T}}BC\right)\le 0.$

引理2 (最大值原理)设 $f:SM\to R$ 是光滑函数。若 $x_0\in M$ 是函数f的最大值点，则 ${\Delta }^{H}f\le 0$。

证明 在最大值点 $x_0$ 处， $\frac{\partial f}{\partial x^i}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y^i}$ 恒为零。因此，利用(8)，我们有在 $x_0$ 处

${\Delta }^{H}f=g^{ij}\frac{{\delta }^{2}f}{\delta x^i\delta x^j}=g^{ij}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^i\partial x^j}-g^{kj}{N}_k^i\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^j\partial y^i}-g^{ik}{N}_k^j\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^i\partial y^j}+N_k^i{g}^{kl}{N}_l^j\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^i\partial x^j}$

它的系数矩阵：

$\left(\begin{array}{cc}A& -A{N}^{\text{T}}\\ -NA& NA{N}^{\text{T}}\end{array}\right)$

是半正定的，这里 $A=\left(g^{ij}\right),N=\left(N_k^i\right)$。根据引理1，得证。

现在，我们将推导Bochner公式。光滑映射的提升 $\phi :SM\to N$ 的协变导数可表示为：

$d\phi ={\phi }_i^a{\omega }^i\otimes v_a$ (9)

$\nabla d\phi ={\phi }_{i|j}^a{\omega }^i\otimes {\omega }^j\otimes v_a+{\phi }_{i;\lambda }^a{\omega }^i\otimes {\omega }_n^{\lambda }\otimes v_a$ (10)

${\nabla }^{2}d\phi ={\phi }_{i\left|j\right|k}^a{\omega }^i\otimes {\omega }^j\otimes {\omega }^k\otimes v_a+{\phi }_{i|j;\lambda }^a{\omega }^i\otimes {\omega }^j\otimes {\omega }_n^{\lambda }\otimes v_a.$ (11)

引理3 设 $\phi :M\to N$ 是光滑映射，我们有如下交换关系：

${\phi }_{i|j}^a={\phi }_{j|i}^a,{\phi }_{i;\lambda }^a=0,$ (12)

${\phi }_{i\left|j\right|k}^a={\phi }_{i\left|k\right|j}^a+{\phi }_s^a{R}_{ijk}^s-{\phi }_i^b{\phi }_j^c{\phi }_k^d{\hat{R}}_{bcd}^a,$ (13)

${\phi }_{j|k;\lambda }^a={\phi }_i^a{P}_{jk\lambda }^i.$ (14)

证明 利用(9)，可得

${\phi }^{*}{\theta }^a={\phi }_i^a{\omega }^i.$ (15)

对(15)两边外微分得到，

$\left(d{\phi }_i^a-{\phi }_j^a{\omega }_i^j+{\phi }_i^b{\phi }^{*}{\theta }_b^a\right)\wedge {\omega }^i=0,$

因为

$d{\phi }_i^a-{\phi }_j^a{\omega }_i^j+{\phi }_i^b{\phi }^{*}{\theta }_b^a={\phi }_{i|j}^a{\omega }^j+{\phi }_{i;\lambda }^a{\omega }_n^{\lambda },$ (16)

所以，

${\phi }_{i|j}^a{\omega }^j\wedge {\omega }^i+{\phi }_{i;\lambda }^a{\omega }_n^{\lambda }\wedge {\omega }^i=0.$

于是(12)成立。

再对(16)两边外微分得到，

$\begin{array}{l}-\frac{1}{2}{\phi }_i^a{R}_{jks}^i{\omega }^k\wedge {\omega }^s-{\phi }_i^a{P}_{jk\lambda }^i{\omega }^k\wedge {\omega }_n^{\lambda }+\frac{1}{2}{\phi }_i^b{\phi }_j^c{\phi }_k^d{\hat{R}}_{bcd}^a{\omega }^j\wedge {\omega }^k\\ =\left(d{\phi }_{i|j}^a-{\phi }_{i|k}^a{\omega }_j^k-{\phi }_{k|j}^a{\omega }_i^k+{\phi }_{i|j}^b{\phi }^{\text{*}}{\theta }_b^a\right)\wedge {\omega }^j,\end{array}$ (17)

因为

$d{\phi }_{i|j}^a-{\phi }_{i|k}^a{\omega }_j^k-{\phi }_{k|j}^a{\omega }_i^k+{\phi }_{i|j}^b{\phi }^{*}{\theta }_b^a={\phi }_{ij|k}^a{\omega }^k+{\phi }_{ij;\lambda }^a{\omega }_n^{\lambda },$ (18)

所以

$-\frac{1}{2}{\phi }_i^a{R}_{jks}^i{\omega }^k\wedge {\omega }^s+\frac{1}{2}{\phi }_i^b{\phi }_j^c{\phi }_k^d{\hat{R}}_{bcd}^a{\omega }^j\wedge {\omega }^k={\phi }_{ij|k}^a{\omega }^k\wedge {\omega }^j,$

${\phi }_{j|k;\lambda }^a{\omega }^k\wedge {\omega }_n^{\lambda }={\phi }_i^a{P}_{jk\lambda }^i{\omega }^k\wedge {\omega }_n^{\lambda }.$

即(13)和(14)得证。

为了证明Bochner公式，我们先介绍如下结论：

引理4 [7] 对 $S=S_i{\omega }^i\in \Gamma \left({\pi }^{\text{*}}{T}^{\text{*}}M\right)$，我们有

$divS={\displaystyle \underset{i}{\sum }{S}_{i|i}}+{\displaystyle \underset{\lambda ,\mu }{\sum }{S}_{\mu }{L}_{\lambda \lambda \mu }},$

其中 $divS$ 表示S关于度量G的散度。

引理5 设 $\phi :M\to N$ 是光滑映射，那么

$\begin{array}{c}\frac{1}{2}{\Delta }^H{\left|d\phi \right|}^2={\left|{\nabla }^{H}d\phi \right|}^2+\langle {\nabla }^H\tau \left(\phi \right),d\phi \rangle +\langle d\phi \left(\tilde{R}\right),d\phi \rangle \\ -{\displaystyle \underset{i,j=1}{\overset{m}{\sum }}\hat{R}\left(d\phi \left(e_i\right),d\phi \left(e_j\right),d\phi \left(e_i\right),d\phi \left(e_j\right)\right)}-\langle d\phi ,\nabla J\otimes d\phi \rangle .\end{array}$ (19)

证明根据定义

$\frac{1}{2}{\Delta }^H{\left|d\phi \right|}^2=\frac{1}{2}div\left(d^H{\left|d\phi \right|}^2\right),$

因为

$d^H{\left|d\phi \right|}^2=e_j\left({\left|{\phi }_i^a\right|}^2\right){\omega }^j=2{\phi }_{i|j}^a{\phi }_i^a{\omega }^j,$

所以，利用引理3和引理4，可得

$\frac{1}{2}{\Delta }^H{\left|d\phi \right|}^2={\phi }_{i|j}^a{\phi }_{i|j}^a+{\phi }_i^a{\phi }_{j\left|j\right|i}^a+{\phi }_i^a{\phi }_k^a{R}_{jij}^k-{\phi }_i^a{\phi }_j^b{\phi }_i^c{\phi }_j^d{\hat{R}}_{bcd}^a+L_{\lambda \lambda \mu }{\phi }_{i|\mu }^a{\phi }_i^a.$ (20)

由于

${\phi }_i^a{\phi }_k^a{R}_{jij}^k=\frac{1}{2}\left({\phi }_i^a{\phi }_k^a{R}_{jij}^k+{\phi }_i^a{\phi }_k^a{R}_{jkj}^i\right)=\frac{1}{2}{\phi }_i^a{\phi }_k^a\left(R_{jij}^k+R_{jkj}^i\right)={\phi }_i^a{\phi }_k^a{\tilde{R}}_i^k$

根据(1)，证毕。

引理6 设M是非紧弱Landsberg流形满足 $\tilde{R}\ge -k_1$，其中 $k_1\ge 0$，N是Riemann流形且截曲率有上界 $k_2$。

若 $\phi :M\to N$ 是调和映射，则

${\Delta }^H{\left|d\phi \right|}^2\ge 2{\left|{\nabla }^{H}d\phi \right|}^2-2k_1{\left|d\phi \right|}^2-2k_2{\left|d\phi \right|}^4.$ (21)

证明 由于M是弱Landsberg流形，则 $J=0$。又因为 $\phi$ 是调和映射，所以 $\tau \left(\phi \right)=0$。从而结合引理5，我们有

$\frac{1}{2}{\Delta }^H{\left|d\phi \right|}^2={\left|{\nabla }^{H}d\phi \right|}^2+\langle d\phi \left(\tilde{R}\right),d\phi \rangle -{\displaystyle \underset{i,j=1}{\overset{m}{\sum }}\hat{R}\left(d\phi \left(e_i\right),d\phi \left(e_j\right),d\phi \left(e_i\right),d\phi \left(e_j\right)\right)}.$

再利用M与N的曲率条件，我们可得

${\Delta }^H{\left|d\phi \right|}^2\ge 2{\left|{\nabla }^{H}d\phi \right|}^2-2k_1{\left|d\phi \right|}^2-2k_2{\left|d\phi \right|}^4.$

在Riemann几何中，距离函数对于梯度估计具有重要作用。为了解决Finsler流形的梯度估计问题，我们需要一些类似的辅助函数。

定义1 我们称 $C^2$ 函数 $r:SM\to R_{+}\cup \left\{0\right\}$ 满足比较定理性质，如果

i) 对于任意 $R\ge 0$， $r^{-1}\left(\left[0,R\right]\right)$ 都是SM上的紧集；

ii) 存在常数 $C_3$，使得 $\left|d^{H}r\right|\le C_3$，且 ${\Delta }^{H}r\le C_3\left(1+\frac{1}{r}\right)$。

例1 设 $\left(M,g\right)$ 是完备非紧Riemann流形， $\gamma$ 是定义在 $x_0\in M$ 处的距离函数。设SM是流形M的射影球丛，自然地，Riemann度量可以诱导一个Finsler度量 $F\left(x,y\right)$。由于M是一个Riemann流形，则陈联络正是Levi-Civita联络。故而 $\gamma$ 在自然投影 $\pi :SM\to M$ 的提升的梯度和Laplace算子满足

$d^H\left(\gamma \circ \pi \right)={\pi }^{*}d\gamma ,{\Delta }^H\left(\gamma \circ \pi \right)=\left(\Delta \gamma \right)\circ \pi .$

其中 ${\Delta }^H$ 是水平Laplace算子。若流形M的Ricci曲率有下界，则根据Laplace比较定理，有 ${\Delta }^H\left({\pi }^{\text{*}}\gamma \right)\le C\left(1+\frac{1}{R}\right)$，因此， ${\pi }^{\text{*}}\gamma$ 满足比较定理性质。

3. 定理1的证明：目标流形是Cartan-Hadamard流形

设 $\left(M,F\right)$ 是非紧弱Landsberg流形且满足 $\tilde{R}\ge -k_1$，其中 $k_1\ge 0$，设 $\left(N,h\right)$ 是Cartan-Hadamard流形。设函数r满足比较定理性质， ${\Omega }_{2R}=\left\{x\in M|r\left(x\right)<2R\right\}$， $\rho$ 是定义在 $y_0\in N$ 的距离函数。根据Hessian比较定理，可得

${△}^H\left({\rho }^2\circ \phi \right)\ge 2{\left|d\phi \right|}^2,$ (22)

令 $\psi$ 是一个光滑函数满足

${\psi |}_{\left[0,1\right]}\equiv 1,{\psi |}_{\left[2,+\infty \right)}\equiv 0,-c{\left|\psi \right|}^{\frac{1}{2}}\le {\psi }^{\prime }\le 0,\left|{\psi }^{″}\right|<+\infty$

那么截断函数

$\chi \left(x\right)=\psi \left(\frac{r}{R}\right)\text{.}$ (23)

满足

$\frac{{\left|d^H\chi \right|}^2}{\chi }\le \frac{C_4}{R^2},{\Delta }^H\chi \ge -\frac{C_4}{R}.$ (24)

为了估计 ${\left|d\phi \right|}^2$，我们考虑辅助函数

$F=\frac{{\left|d\phi \right|}^2}{b_R^2-{\rho }^2\circ \phi }.$ (25)

这里 $b_R=2\sup \left\{\rho \left(\phi \left(x\right)\right)|x\in {\Omega }_{2R}\right\}$。设 $x_0$ 是函数 $\chi F$ 在区域 ${\Omega }_{2R}$ 内的最大值点，则结合引理2在 $x_0$ 我们有

$0=d^H\ln \left(\chi F\right)=\frac{d^H\chi }{\chi }+\frac{d^H{\left|d\phi \right|}^2}{{\left|d\phi \right|}^2}+\frac{d^H\left({\rho }^2\circ \phi \right)}{b_R^2-{\rho }^2\circ \phi }.$ (26)

$0\ge -\frac{{\left|d^H\chi \right|}^2}{{\chi }^2}+\frac{{\Delta }^H\chi }{\chi }+\frac{{\Delta }^H{\left|d\phi \right|}^2}{{\left|d\phi \right|}^2}-\frac{{\left|d^H{\left|d\phi \right|}^2\right|}^2}{{\left|d\phi \right|}^4}+\frac{{\Delta }^H\left({\rho }^2\circ \phi \right)}{b_R^2-{\rho }^2\circ \phi }+\frac{{\left|d^H\left({\rho }^2\circ \phi \right)\right|}^2}{{\left(b_R^2-{\rho }^2\circ \phi \right)}^2}.$ (27)

因为N是Cartan-Hadamard流形，并利用引理6 (此时 $k_2=0$ )，我们有

$\frac{{\Delta }^H{\left|d\phi \right|}^2}{{\left|d\phi \right|}^2}\ge \frac{{\left|d^H{\left|d\phi \right|}^2\right|}^2}{2{\left|d\phi \right|}^4}-2k_1,$ (28)

将(28)式代入(27)式，可得

$0\ge -\frac{{\left|d^H\chi \right|}^2}{{\chi }^2}+\frac{{\Delta }^H\chi }{\chi }-\frac{{\left|d^H{\left|d\phi \right|}^2\right|}^2}{2{\left|d\phi \right|}^4}-2k_1+\frac{{\Delta }^H\left({\rho }^2\circ \phi \right)}{b_R^2-{\rho }^2\circ \phi }+\frac{{\left|d^H\left({\rho }^2\circ \phi \right)\right|}^2}{{\left(b_R^2-{\rho }^2\circ \phi \right)}^2}.$ (29)

利用(26)式和Cauchy不等式，我们有在 $x_0$ 处

$\frac{{\left|d^H{\left|d\phi \right|}^2\right|}^2}{{\left|d\phi \right|}^4}={\left|\frac{d^H\chi }{\chi }+\frac{d^H\left({\rho }^2\circ \phi \right)}{b_R^2-{\rho }^2\circ \phi }\right|}^2\le 2\frac{{\left|d^H\chi \right|}^2}{{\chi }^2}+2\frac{{\left|d^H\left({\rho }^2\circ \phi \right)\right|}^2}{{\left(b_R^2-{\rho }^2\circ \phi \right)}^2},$ (30)

应用上式和(22)式，(29)式可化为

$0\ge \frac{{\Delta }^H\chi }{\chi }-2\frac{{\left|d^H\chi \right|}^2}{{\chi }^2}+\frac{2{\left|d\phi \right|}^2}{b_R^2-{\rho }^2\circ \phi }-2k_1,$ (31)

两边同乘以 $\frac{1}{2}\chi$，并结合F的定义，以及 $\chi$ 的估计(24)，我们可得在 $x_0$ 处

$\left(\chi F\right)\left(x_0\right)\le \frac{C_1}{R}+k_1.$ (32)

$C_1$ 依赖于r。于是

$\underset{x\in {\Omega }_R}{\max }F\left(x\right)\le \chi F\left(x_0\right)\le \frac{C_1}{R}+k_1,$ (33)

证毕。

4. 定理3的证明：目标流形是正则球

设是非紧弱Landsberg流形满足 $\tilde{R}\ge -k_1$，其中 $k_1\ge 0$，设 $B_D\left(y_0\right)$ 是Riemann流形 N的正则球且截曲率有上界 $k_2$，其中 $k_2\ge 0$。设函数r满足比较定理性质， ${\Omega }_{2R}=\left\{x\in M|r\left(x\right)<2R\right\}$， $\rho$ 是定义在 $y_0\in N$ 的距离函数。令

$\sigma =\{\begin{array}{l}\frac{1-\cos \left(\sqrt{k_2}\rho \right)}{k_2}{k}_2>0\hfill \\ \frac{{\rho }^2}{2}{k}_2=0\hfill \end{array}$

根据Hessian比较定理，在上，可得

$Hess\left(\sigma \right)\ge \left(\cos \sqrt{k_2}\rho \right)h,$ (34)

调和映射 $\phi :M\to N$ 满足 $\phi \left(M\right)\subset B_D\left(y_0\right)$，由复合映射求导法则易知，

${\Delta }^H\left(\sigma \circ \phi \right)\ge \left(\cos \sqrt{k_2}\rho \right){\left|d\phi \right|}^2.$ (35)

因为 $D<\frac{\pi }{2\sqrt{k_2}}$，所以存在依赖于D和 $k_2$ 的常数b和 $C_5$ 使得

$\frac{2\cos \sqrt{k_2}\rho }{b-\sigma \circ \phi }-2k_2\ge C_5,$ (36)

考虑辅助函数

$F=\frac{{\left|d\phi \right|}^2}{{\left(b-\sigma \circ \phi \right)}^2},$

令 $\chi$ 是由(23)式定义的截断函数。设 $x_0$ 是函数 $\chi F$ 在 ${\Omega }_{2R}$ 内的最大值点，则结合引理2，在最大值点 $x_0$ 我们有

$0=d^H\ln \left(\chi F\right)=\frac{d^H\chi }{\chi }+\frac{d^H{\left|d\phi \right|}^2}{{\left|d\phi \right|}^2}+\frac{2d^H\left(\sigma \circ \phi \right)}{b-\sigma \circ \phi }.$ (37)

$0\ge -\frac{{\left|d^H\chi \right|}^2}{{\chi }^2}+\frac{{\Delta }^H\chi }{\chi }+\frac{{\Delta }^H{\left|d\phi \right|}^2}{{\left|d\phi \right|}^2}-\frac{{\left|d^H{\left|d\phi \right|}^2\right|}^2}{{\left|d\phi \right|}^4}+\frac{2{\Delta }^H\left(\sigma \circ \phi \right)}{b-\sigma \circ \phi }+\frac{2{\left|d^H\left(\sigma \circ \phi \right)\right|}^2}{{\left(b-\sigma \circ \phi \right)}^2}.$ (38)

由引理6可知

$\frac{{\Delta }^H{\left|d\phi \right|}^2}{{\left|d\phi \right|}^2}\ge \frac{{\left|d^H{\left|d\phi \right|}^2\right|}^2}{2{\left|d\phi \right|}^4}-2k_1-2k_2{\left|d\phi \right|}^2,$ (39)

利用上式，(38)式可化为

$0\ge -\frac{{\left|d^H\chi \right|}^2}{{\chi }^2}+\frac{{\Delta }^H\chi }{\chi }-2k_1-2k_2{\left|d\phi \right|}^2-\frac{{\left|d^H{\left|d\phi \right|}^2\right|}^2}{2{\left|d\phi \right|}^4}+\frac{2{\Delta }^H\left(\sigma \circ \phi \right)}{b-\sigma \circ \phi }+\frac{2{\left|d^H\left(\sigma \circ \phi \right)\right|}^2}{{\left(b-\sigma \circ \phi \right)}^2}.$ (40)

从(37)式可知

$\frac{{\left|d^H{\left|d\phi \right|}^2\right|}^2}{{\left|d\phi \right|}^4}\le \frac{{\left|d^H\chi \right|}^2}{{\chi }^2}+\frac{4\left|d^H\chi \right|\left|d^H\left(\sigma \circ \phi \right)\right|}{\chi \left(b-\sigma \circ \phi \right)}+\frac{4{\left|d^H\left(\sigma \circ \phi \right)\right|}^2}{{\left(b-\sigma \circ \phi \right)}^2},$ (41)

将(35)，(41)式代入(40)式，可得

$0\ge -\frac{3{\left|d^H\chi \right|}^2}{2\chi }+{\Delta }^H\chi -2\chi k_1-2\chi k_2{\left|d\phi \right|}^2+\frac{2\chi \left(\cos \sqrt{k_2}\rho \right){\left|d\phi \right|}^2}{b-\sigma \circ \phi }-\frac{2\left|d^H\chi \right|\left|d^H\left(\sigma \circ \phi \right)\right|}{b-\sigma \circ \phi },$ (42)

利用(24)式和 $\left|d^H\left(\sigma \circ \phi \right)\right|\le \frac{\left|d\phi \right|}{\sqrt{k_2}}$，(42)式可化为

$0\ge \frac{-3C_4}{2R^2}-\frac{C_4}{R}-2k_1-\frac{2\sqrt{C_4}}{R\sqrt{k_2}}\frac{1}{b-\sigma \circ \phi }{\chi }^{\frac{1}{2}}\left|d\phi \right|+C_5{\left({\chi }^{\frac{1}{2}}\left|d\phi \right|\right)}^2.$ (43)

利用一元二次方程解的估计 [3]，在 $x_0$ 处我们有，

$\chi {\left|d\phi \right|}^2\le C_6\left(k_1+\frac{1}{R}\right),$

于是

$\underset{x\in {\Omega }_R}{\max }F\left(x\right)\le \frac{\chi \left(x_0\right){\left|d\phi \right|}^2\left(x_0\right)}{{\left(b-\sigma \circ \phi \left(x_0\right)\right)}^2}\le C_7\left(k_1+\frac{1}{R}\right).$ (44)

其中 $C_7$ 依赖于 $r,k_2,D$。由上式可立即推出(3)。

NOTES

^*通讯作者。