分裂可行问题的一个强收敛算法

A Strongly Convergent Algorithm for the Split Feasibility Problem

摘要: 分裂可行问题是一类应用很广泛的最优化问题。经典的CQ算法仅具有弱收敛性。为了得到强收敛性，本文通过改进文献中的算法，构造了一个具有强收敛性的算法。该算法为了避免计算有界线性算子的范数，还采用了变步长策略。并且在较弱的条件下，证明了算法的强收敛性。

Abstract: The split feasibility problem is a kind of widely used optimization problem. The classical CQ algorithm only has weak convergence. In order to obtain strong convergence, this paper constructs an algorithm with strong convergence by improving the algorithms in the literature. In order to avoid calculating the norm of the bounded linear operator, the algorithm also adopts the strategy of variable step size. Under the weaker condition, the strong convergence of the algorithm is proved.

1. 引言

Censor和Elfving在1994年提出了分裂可行问题(SFP)，该问题在信号处理和图像重建中已经引起了广泛的关注 [1] [2]。分裂可行问题可表述为：

找一点 $x\in C$，使得 $Ax\in Q$， (1.1)

其中C和Q分别是Hilbert空间 $H_1$ 和 $H_2$ 的非空闭凸子集， $A:H_1\to H_2$ 是有界线性算子。

为了求解分裂可行问题，Censor和Elfving在文 [1] 中提出了一种迭代算法，但是他们的算法在每次迭代时都要计算矩阵的逆。Byrne在文 [3] [4] 中提出一种不需要计算矩阵逆的CQ算法。设 $P_C$ 和 $P_Q$ 分别是C和Q上的投影算子，I表示恒等算子， $A^{*}$ 是线性算子A的伴随算子。则CQ算法的迭代公式如下：

$x^{k+1}=P_C\left(x^k-\gamma A^{*}\left(I-P_Q\right)A{x}^k\right)$， (1.2)

其中 $\gamma \in \left(0,\frac{2}{{\Vert A\Vert }^2}\right)$。由于CQ算法(1.2)更容易实现，得到了广泛的研究。然而，为了实现CQ算法，我们必须计算或者估计有界线性算子A的范数 $\Vert A\Vert$，但是在一般情况下这是非常难的任务。为了克服这一困难，许多学者构造了不依赖算子范数的变步长CQ算法 [5] [6] [7] [8] [9]。Yang在文 [8] 考虑如下的步长：

${\tau }_k:=\frac{{\rho }_k}{\Vert A^{*}\left(I-P_Q\right)A{x}^k\Vert }$，

其中 $\left\{{\rho }_k\right\}$ 是一正实数列且满足

${\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\rho }_k}=\infty ,{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\rho }_k^2}<\infty$。

同时文 [8] 还要求下面两个条件成立：(i) Q是有界集，(ii) A是列满秩矩阵。为了去掉这两个条件，Lopez在文 [2] 引入一种新的选择步长的方法：

${\tau }_k:=\frac{{\rho }_k{\Vert \left(I-P_Q\right)A{x}^k\Vert }^2}{{\Vert A^{*}\left(I-P_Q\right)A{x}^k\Vert }^2},0<{\rho }_k<2$。 (1.3)

但是以上算法在无穷维空间中仅有弱收敛性。Xu在 [10] 中构造了如下的强收敛算法：

$x^{k+1}={\alpha }_{k}u+\left(1-{\alpha }_k\right)P_C\left(x^k-{\gamma }_k{A}^{*}\left(I-P_Q\right)A{x}^k\right)$， (1.4)

其中 $u\in H_1$ 是固定的， $0<{\gamma }_k<\frac{2}{{\Vert A\Vert }^2}$， $\left\{{\alpha }_k\right\}$ 是 $\left(0,1\right)$ 中的实数列。若 $\left\{{\alpha }_k\right\}$ 满足下列条件：

(C1) $\underset{k\to \infty }{\lim }{\alpha }_k=0,{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\alpha }_k}=\infty$ ；

(C2) ${\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\left|{\alpha }_{k+1}-{\alpha }_k\right|}<\infty$ 或 $\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{{\alpha }_k}{{\alpha }_{k+1}}=1$。

则由上述算法生成的序列 $\left\{x^k\right\}$ 强收敛到问题(1.1)的一个特解 $P_S\left(u\right)$。Lopez在 [2] 中改进了算法(1.4)，给出了以下强收敛算法：

$x^{k+1}={\alpha }_{k}u+\left(1-{\alpha }_k\right)P_C\left(x^k-{\tau }_k{A}^{*}\left(I-P_Q\right)A{x}^k\right)$， (1.5)

其中 $u\in C$ 是固定的， ${\tau }_k$ 由(1.3)给出。Lopez在文 [2] 证明了：在 $\left\{{\alpha }_k\right\}$ 仅仅满足(C1)的条件下，由算法(1.5)生成的序列 $\left\{x^k\right\}$ 强收敛到问题(1.1)的一个特解 $P_S\left(u\right)$。

但是在算法(1.5)中，却要求 $u\in C$，这样就会产生如下两个问题：(i) 对于一般的闭凸集，找 $u\in C$ 比较困难，需要一个迭代算法来计算。(ii) 限制了算法(1.5)的应用。比如，在实际应用中，人们经常求问题(1.1)的最小2-范数解。通常取 $u=0$，就可得到最小2-范数解。但是在算法(1.5)中，如果 $u=0\notin C$，就不能得到最小2-范数解。为了克服这一缺点，本文对算法(1.5)进行改进，构造了一个同样具有强收敛性的算法，该算法同样不需要满足条件(C2)。

2. 预备知识

我们首先给出一些定义和基本结论，未给出的概念可参见文 [11]。以下H表示实Hilbert空间，其内积和范数分别为 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 和 $\Vert \cdot \Vert$。在本文中， $\to$ 代表强收敛，而 $\rightharpoonup$ 代表弱收敛。 ${\omega }_w\left(x^k\right)$ 表示序列 $\left\{x^k\right\}$ 的所有弱聚点之集。

定义2.1 设 $C\subseteq H$ 是非空闭凸集，对任意 $x\in H$，x到C上的投影定义为：

$P_{C}x=\arg \min \left\{\Vert y-x\Vert |y\in C\right\}$。

显然，若 $x\in C$，则 $x=P_C\left(x\right)$。投影 $P_C$ 具有下面重要的性质。

引理2.1 [11] 设 $C\subseteq H$ 是非空闭凸集，则对任意 $x,y\in H$，

(i) $\langle x-P_{C}x,z-P_{C}x\rangle \le 0$, $\forall z\in C$ ；

(ii) $\Vert P_{C}x-P_{C}y\Vert \le \Vert x-y\Vert$ ；

(iii) ${\Vert P_{C}x-P_{C}y\Vert }^2\le {\Vert x-y\Vert }^2-{\Vert \left(I-P_C\right)x-\left(I-P_C\right)y\Vert }^2$ ；

(iv) $\langle P_{C}x-P_{C}y,x-y\rangle \ge {\Vert P_{C}x-P_{C}y\Vert }^2$ ；

(v) $\langle \left(I-P_C\right)x-\left(I-P_C\right)y,x-y\rangle \ge {\Vert \left(I-P_C\right)x-\left(I-P_C\right)y\Vert }^2$。

引理2.2 设 $a,b\in H$， $0\le \alpha \le 1$。则

${\Vert \alpha a+\left(1-\alpha \right)b\Vert }^2\le \left(1-\alpha \right){\Vert b\Vert }^2+2\langle \alpha a,\alpha a+\left(1-\alpha \right)b\rangle$。

引理2.2的证明是容易的，因此我们省略了它的证明。

引理2.3 [12] 设 $\left\{s^k\right\}$ 是一个非负实数列，且满足

$s^{k+1}\le \left(1-{\alpha }_k\right)s^k+{\alpha }_k{\beta }^k,k\ge 0$，

其中 $\left\{{\alpha }_k\right\}$ 和 $\left\{{\beta }^k\right\}$ 满足：(i) $\left\{{\alpha }_k\right\}\subseteq \left[0,1\right]$， ${\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\alpha }_k}=\infty$ ；(ii) $\underset{k\to \infty }{\lim \sup }{\beta }^k\le 0$。则 $\underset{k\to \infty }{\lim }{s}^k=0$。

定义2.1称函数 $f:H\to ℝ$ 在点x处是弱下半连续的，若 $x^k\rightharpoonup x$，则

$f\left(x\right)\le \underset{k\to \infty }{\lim \inf }f\left(x^k\right)$。

若f在每个点 $x\in H$ 都是弱下半连续的，则称f是H上的弱下半连续函数。

引理2.4 [2,4]设 $f\left(x\right)=\frac{1}{2}{\Vert \left(I-P_Q\right)Ax\Vert }^2$。则

(i) f是可微的凸函数；

(ii) $\nabla f\left(x\right)=A^{*}\left(I-P_Q\right)Ax$ ；

(iii) f是H上的弱下半连续函数；

(iv) $\nabla f$ 是 ${\Vert A\Vert }^2$ -Lipschitz连续的，即 $\Vert \nabla f\left(x\right)-\nabla f\left(y\right)\Vert \le {\Vert A\Vert }^2\Vert x-y\Vert$， $x,y\in H$。

3. 一个强收敛算法

受算法(1.4)和(1.5)的启发，下面我们构造一个求解SFP的强收敛算法，并在较弱的条件下证明了算法的收敛性。

算法3.1 设 $u\in H_1$ 是固定的， $x_0\in H_1$ 是任意的。给定 $x^k$，构造 $x^{k+1}$ 如下：

$x^{k+1}=P_C\left({\alpha }_{k}u+\left(1-{\alpha }_k\right)\left(x^k-{\tau }_k{A}^{*}\left(I-P_Q\right)A{x}^k\right)\right)$， (3.1)

其中 $\left\{{\alpha }_k\right\}\subseteq \left(0,1\right)$， ${\tau }_k$ 由(1.3)给出。

定理3.1假设SFP的解集 $S\ne \varnothing$， $\left\{{\alpha }_k\right\}$ 满足条件(C1)，且 $\underset{k}{\inf }{\rho }_k\left(2-{\rho }_k\right)>0$。则由算法(3.1)生成的序列 $\left\{x^k\right\}$ 强收敛到问题(1.1)的一个解v，这里 $v=P_S\left(u\right)$。

证明 令 $u^k=x^k-{\tau }_k{A}^{*}\left(I-P_Q\right)A{x}^k$， $y^k={\alpha }_{k}u+\left(1-{\alpha }_k\right)u^k$。由于 $v\in S$，再利用引理2.1，我们有

$\begin{array}{c}{\Vert u^k-v\Vert }^2={\Vert x^k-v-{\tau }_k{A}^{*}\left(I-P_Q\right)A{x}^k\Vert }^2\\ ={\Vert x^k-v\Vert }^2-2{\tau }_k\langle \left(I-P_Q\right)A{x}^k-\left(I-P_Q\right)Av,A{x}^k-Av\rangle \\ +{\tau }_k^2{\Vert A^{*}\left(I-P_Q\right)A{x}^k\Vert }^2\\ \le {\Vert x^k-v\Vert }^2-2{\tau }_k{\Vert \left(I-P_Q\right)A{x}^k\Vert }^2+{\tau }_k^2{\Vert A^{*}\left(I-P_Q\right)A{x}^k\Vert }^2\\ \le {\Vert x^k-v\Vert }^2-{\rho }_k\left(2-{\rho }_k\right)\frac{{\Vert \left(I-P_Q\right)A{x}^k\Vert }^4}{{\Vert A^{*}\left(I-P_Q\right)A{x}^k\Vert }^2}\end{array}$。(3.2)

以下我们将证明分成5步。

第1步，证明 $\left\{x^k\right\}$， $\left\{u^k\right\}$ 和 $\left\{y^k\right\}$ 是有界的。由引理2.1和(3.2)式，我们有

$\begin{array}{c}\Vert x^{k+1}-v\Vert \le \Vert {\alpha }_k\left(u-v\right)+\left(1-{\alpha }_k\right)\left(u^k-v\right)\Vert \\ \le {\alpha }_k\Vert u-v\Vert +\left(1-{\alpha }_k\right)\Vert x^k-v\Vert \\ \le {\alpha }_k\Vert u-v\Vert +\left(1-{\alpha }_k\right)\Vert x^k-v\Vert \\ \le \max \left\{\Vert u-v\Vert ,\Vert x^k-v\Vert \right\}\end{array}$。

由数学归纳法可得，对所有的 $k\ge 0$，

$\Vert x^{k+1}-v\Vert \le \max \left\{\Vert u-v\Vert ,\Vert x^0-v\Vert \right\}$。

由此可知 $\left\{x^k\right\}$ 是有界的。再由(3.2)式可得， $\left\{u^k\right\}$ 也是有界的。又因为

$\Vert y^k-u^k\Vert ={\alpha }_k\Vert u-u^k\Vert \to 0$，

所以 $\left\{y^k\right\}$ 也是有界的。

第2步，证明下面的不等式成立：

$s^{k+1}\le \left(1-{\alpha }_k\right)s^k+{\alpha }_k{\beta }^k$， (3.3)

其中 $s^k={\Vert x^k-v\Vert }^2$，

${\beta }^k=2\langle u-v,y^k-v\rangle -\frac{1}{{\alpha }_k}\left({\Vert \left(I-P_C\right)y^k\Vert }^2+\left(1-{\alpha }_k\right)\frac{{\rho }_k\left(2-{\rho }_k\right){\Vert \left(I-P_Q\right)A{x}^k\Vert }^4}{{\Vert A^{*}\left(I-P_Q\right)A{x}^k\Vert }^2}\right)$。

事实上，利用引理2.2和(3.2)，我们有

$\begin{array}{c}{\Vert y^k-v\Vert }^2={\Vert {\alpha }_k\left(u-v\right)+\left(1-{\alpha }_k\right)\left(u^k-v\right)\Vert }^2\\ \le \left(1-{\alpha }_k\right){\Vert u^k-v\Vert }^2+2{\alpha }_k\langle u-v,y^k-v\rangle \\ \le \left(1-{\alpha }_k\right){\Vert x^k-v\Vert }^2+2{\alpha }_k\langle u-v,y^k-v\rangle \\ -\left(1-{\alpha }_k\right)\frac{{\rho }_k\left(2-{\rho }_k\right){\Vert \left(I-P_Q\right)A{x}^k\Vert }^4}{{\Vert A^{*}\left(I-P_Q\right)A{x}^k\Vert }^2}\end{array}$。

再由引理2.1可得

$\begin{array}{c}{\Vert x^{k+1}-v\Vert }^2={\Vert P_C\left(y^k\right)-P_C\left(v\right)\Vert }^2\\ \le {\Vert y^k-v\Vert }^2-{\Vert \left(I-P_C\right)y^k\Vert }^2\\ \le \left(1-{\alpha }_k\right){\Vert x^k-v\Vert }^2+{\alpha }_k[2\langle u-v,y^k-v\rangle -\frac{1}{{\alpha }_k}({\Vert \left(I-P_C\right)y^k\Vert }^2\begin{array}{c}\\ \underset{}{\underset{}{}}\end{array}\\ +\left(1-{\alpha }_k\right)\frac{{\rho }_k\left(2-{\rho }_k\right){\Vert \left(I-P_Q\right)A{x}^k\Vert }^4}{{\Vert A^{*}\left(I-P_Q\right)A{x}^k\Vert }^2})]\end{array}$。

所以不等式(3.3)成立。

第3步，证明 $\underset{k\to \infty }{\lim \sup }{\beta }^k$ 是有限的。由于 $\left\{y^k\right\}$ 是有界的，所以我们有

${\beta }^k\le 2\langle u-v,y^k-v\rangle \le 2\Vert u-v\Vert \cdot \Vert y^k-v\Vert <+\infty$。

于是 $\underset{k\to \infty }{\lim \sup }{\beta }^k<+\infty$。下面我们用反证法证明 $\underset{k\to \infty }{\lim \sup }{\beta }^k\ge -1$。假设 $\underset{k\to \infty }{\lim \sup }{\beta }^k<-1$，则存在 $k_0$ 使得对任意 $k\ge k_0$，有 ${\beta }^k\le -1$。由不等式(3.3)可知，对所有 $k\ge k_0$，不等式

$s^{k+1}\le \left(1-{\alpha }_k\right)s^k+{\alpha }_k{\beta }^k\le \left(1-{\alpha }_k\right)s^k-{\alpha }_k=s^k-{\alpha }_k\left(s^k+1\right)\le s^k-{\alpha }_k$

成立。再由数学归纳法可得

$s^{k+1}\le s^{k_0}-{\displaystyle \underset{i=k_0}{\overset{k}{\sum }}{\alpha }_i}$。

由于 ${\displaystyle \underset{i=k_0}{\overset{\infty }{\sum }}{\alpha }_i}=\infty$，故存在 $K\ge k_0$ 满足 ${\displaystyle \underset{i=k_0}{\overset{K}{\sum }}{\alpha }_i}>s^{k_0}$。于是我们有

$s^{K+1}\le s^{k_0}-{\displaystyle \underset{i=k_0}{\overset{K}{\sum }}{\alpha }_i}<0$。

这显然与 $\left\{s^k\right\}$ 是非负实数列相矛盾。因此 $\underset{k\to \infty }{\lim \sup }{\beta }^k\ge -1$。从而 $\underset{k\to \infty }{\lim \sup }{\beta }^k$ 是有限的。

第4步，证明 $\underset{k\to \infty }{\lim \sup }{\beta }^k\le 0$。既然 $\underset{k\to \infty }{\lim \sup }{\beta }^k$ 是有限的，我们能取子序列 $\left\{k_i\right\}$ 满足

$\begin{array}{c}\underset{k\to \infty }{\lim \sup }{\beta }^k=\underset{i\to \infty }{\lim }{\beta }^{k_i}=\underset{i\to \infty }{\lim }[2\langle u-v,y^{k_i}-v\rangle -\frac{1}{{\alpha }_{k_i}}({\Vert \left(I-P_C\right)y^{k_i}\Vert }^2\begin{array}{c}\underset{}{\underset{}{{}_{}}}\\ \end{array}\\ +\left(1-{\alpha }_{k_i}\right)\frac{{\rho }_{k_i}\left(2-{\rho }_{k_i}\right){\Vert \left(I-P_Q\right)A{x}^{k_i}\Vert }^4}{{\Vert A^{*}\left(I-P_Q\right)A{x}^{k_i}\Vert }^2})]\end{array}$。 (3.4)

由于序列 $\left\{\langle u-v,y^{k_i}-v\rangle \right\}$ 是有界的，不失一般性，我们假设极限 $\underset{i\to \infty }{\lim }\langle u-v,y^{k_i}-v\rangle$ 存在。所以下面的极限

$\underset{i\to \infty }{\lim }\frac{1}{{\alpha }_{k_i}}\left({\Vert \left(I-P_C\right)y^{k_i}\Vert }^2+\left(1-{\alpha }_{k_i}\right)\frac{{\rho }_{k_i}\left(2-{\rho }_{k_i}\right){\Vert \left(I-P_Q\right)A{x}^{k_i}\Vert }^4}{{\Vert A^{*}\left(I-P_Q\right)A{x}^{k_i}\Vert }^2}\right)$

也存在。由此及条件 ${\alpha }_{k_i}\to 0$ 可得

$\underset{i\to \infty }{\lim }\Vert \left(I-P_C\right)y^{k_i}\Vert =0$ (3.5)

和

$\underset{i\to \infty }{\lim }\frac{{\Vert \left(I-P_Q\right)A{x}^{k_i}\Vert }^4}{{\Vert A^{*}\left(I-P_Q\right)A{x}^{k_i}\Vert }^2}=0$。 (3.6)

由(3.6)容易得到

$\Vert u^{k_i}-x^{k_i}\Vert ={\tau }_{k_i}\Vert A^{*}\left(I-P_Q\right)A{x}^{k_i}\Vert =\frac{{\rho }_{k_i}{\Vert \left(I-P_Q\right)A{x}^{k_i}\Vert }^2}{\Vert A^{*}\left(I-P_Q\right)A{x}^{k_i}\Vert }\to 0$。

于是，我们有

$\begin{array}{c}\Vert y^{k_i}-x^{k_i}\Vert =\Vert {\alpha }_{k_i}\left(u-x^{k_i}\right)+\left(1-{\alpha }_{k_i}\right)\left(u^{k_i}-x^{k_i}\right)\Vert \\ \le {\alpha }_{k_i}\Vert x^{k_i}-u\Vert +\left(1-{\alpha }_{k_i}\right)\Vert u^{k_i}-x^{k_i}\Vert \to 0\end{array}$。 (3.7)

又由于

$\frac{{\Vert \left(I-P_Q\right)A{x}^{k_i}\Vert }^4}{{\Vert A^{*}\left(I-P_Q\right)A{x}^{k_i}\Vert }^2}\ge \frac{{\Vert \left(I-P_Q\right)A{x}^{k_i}\Vert }^4}{{\Vert A\Vert }^2{\Vert \left(I-P_Q\right)A{x}^{k_i}\Vert }^2}=\frac{{\Vert \left(I-P_Q\right)A{x}^{k_i}\Vert }^2}{{\Vert A\Vert }^2}$。

所以由(3.6)可得

$\underset{i\to \infty }{\lim }\Vert \left(I-P_Q\right)A{x}^{k_i}\Vert =0$。 (3.8)

下面我们证明 $\left\{x^{k_i}\right\}$ 的任意弱聚点都属于S，即 ${\omega }_w\left(x^{k_i}\right)\subseteq S$。设 $\bar{x}\in {\omega }_w\left(x^{k_i}\right)$，不失一般性，我们假设 $x^{k_i}\rightharpoonup \bar{x}$。由 $f\left(x\right)=\frac{1}{2}{\Vert \left(I-P_Q\right)Ax\Vert }^2$ 的弱下半连续性和(3.8)可得，

$0\le f\left(\bar{x}\right)\le \underset{i\to \infty }{\lim \inf }f\left(x^{k_i}\right)=\underset{i\to \infty }{\lim }f\left(x^{k_i}\right)=0$。

所以 $f\left(\bar{x}\right)=0$，i.e. $A\bar{x}\in Q$。令 $g\left(x\right)=\frac{1}{2}{\Vert \left(I-P_C\right)x\Vert }^2$，同样由 $g\left(x\right)$ 的弱下半连续性和(3.5)可得，

$0\le g\left(\bar{x}\right)\le \underset{i\to \infty }{\lim \inf }g\left(x^{k_i}\right)=\underset{i\to \infty }{\lim }g\left(x^{k_i}\right)=0$。

所以 $g\left(\bar{x}\right)=0$，i.e. $\bar{x}\in C$。于是我们证明了 ${\omega }_w\left(x^{k_i}\right)\subseteq S$。

再由(3.7)可知 $\left\{y^{k_i}\right\}$ 的任意弱聚点也都属于S。不失一般性，我们设 $\left\{y^{k_i}\right\}$ 弱收敛于 $\bar{y}\in S$。因为 $v=P_S\left(u\right)$，所以由引理2.1可得

$\underset{i\to \infty }{\lim }\langle u-v,y^{k_i}-v\rangle =\langle u-v,\bar{y}-v\rangle \le 0$。

由(3.4)，我们有

$\underset{k\to \infty }{\lim \sup }{\beta }^k\le \underset{i\to \infty }{\lim }2\langle u-v,y^{k_i}-v\rangle \le 0$。

第5步，证明 $\left\{x^k\right\}$ 强收敛到v。事实上，容易验证引理2.3的条件都满足。应用引理2.3到(3.3)，我们就得到 $\Vert x^k-v\Vert \to 0$。证毕。

注3.1 (i)在算法(3.1)中，参数 ${\alpha }_k$ 可选取如下： ${\alpha }_k=\frac{1}{{\left(k+1\right)}^p}$， $0<p\le 1$。

(ii)在算法(1.5)中，要求 $u\in C$，然而在算法(3.1)中，并没有这一限制，实际上，对任意 $u\in H_1$，算法(3.1)均是强收敛的。特别地，若令 $u=0$，则算法(3.1)强收敛到问题(1.1)的最小2-范数解。

(iii)在算法(3.1)中，我们并不要求条件(C2)成立。另外，和算法(1.4)相比，算法(3.1)的迭代方法也不相同。

4. 结论

本文在Hilbert空间中研究了分裂可行问题。传统的CQ算法采用常数步长，需要计算有界线性算子的范数，并且仅具有弱收敛性。为了克服这些缺点，本文中我们构造了一个具有强收敛性的算法，同时该算法采用变步长策略，从而避免了计算有界线性算子的范数。同时我们构造的算法与已有文献中的算法的形式也不太相同。

基金项目

获国家自然科学基金(Nos. 11971216，11571005)，河南省高等学校重点科研项目(No. 20A110029)资助。