Weierstrass函数的盒维数与Riemann-Liouville分数阶积分的阶之间联系更进一步的研究

Further Discussion on Relationship between Fractal Dimension of Weierstrass Function and Order of Riemann-Liouville Fractional Integral

摘要: 本文中，我们更完整地对IE上Weierstrass函数分形维数与Riemann-Liouville分数阶微积分的阶之间进行了研究。即当α + v不再小于1时，Weierstrass函数的Riemann-Liouville分数阶积分的分形维数被证明是1。

Abstract: In this paper, we investigate further relationship between fractal dimension of the Weierstrass function on IE and the order of fractional calculus in Riemann-Liouville. That is, when α + v is no longer less than 1, the fractal dimension of the Riemann-Liouville fractional integral of Weierstrass function is proved to be 1.

1. 引言

[1] [2] 中，作者证明了至多可数个无界变差点的连续函数其分形维数为1。同时，在 [3] 中，作者构造了一个[0, 1]上的无界变差函数，该函数经Riemann-Liouville分数阶积分后被证明分形维数是1。很自然地，我们会想去研究分形维数与含有不可数个无界变差点的连续函数间的关系。而这个问题到目前尚未得到明确的答案。Weierstrass函数是含有不可数个无界变差点的连续函数中的一个典型例子。本文将对其盒维数进行研究。

[4] 中，作者讨论了Weierstrass函数的盒维数与Riemann-Liouville分数阶积分的阶的关系。为方便起见，本文中将用I_E表示闭区间[0, 1]。我们可以通过换元，将I_E替代为任意闭区间[a, b]，其中a严格小于b。Weierstrass函数定义将在下面给出。

例1.1 [5] [6]

令 $0<\alpha <1$， $\lambda >\text{4}$，Ｗeierstrass函数可记为

$W\left(x\right)={\displaystyle \underset{j\ge 0}{\sum }{\lambda }^{-\alpha j}\sin \left({\lambda }^{j}x\right)}$ (1.1)

而，

$1<{\dim }_B\Gamma \left(W,I_E\right)=2-\alpha <2$

其中Ｗeierstrass函数在I_E上图像的盒维数 [5] 记为 ${\dim }_B\Gamma \left(W,I_E\right)$。图1为Ｗeierstrass函数取定参数后的图像。

Figure 1. W(x)

图1. W(x)

定义1.2 [7] [8]

f(x)为定义在I_E上的连续函数，v > 0，定义 $D^{-v}f\left(0\right)=0$，当 $x\in \left(0,1\right]$ 时，f(x)的v阶Riemann-Liouville积分定义如下

$D^{-v}f\left(x\right)=\frac{1}{\Gamma \left(v\right)}{\displaystyle {\int }_0^x{\left(x-t\right)}^{v-1}f\left(t\right)\text{d}t}.$ (1.2)

u > 0，定义 $D^{u}f\left(0\right)=0$，当 $x\in \left(0,1\right]$ 时，f(x)的u阶Riemann-Liouville微分定义如下

$D^{u}f\left(x\right)=D\left(D^{u-1}f\left(x\right)\right)=\frac{1}{\Gamma \left(1-u\right)}\frac{\text{d}}{\text{d}x}{\displaystyle {\int }_0^x{\left(x-t\right)}^{-u}f\left(t\right)\text{d}t}.$ (1.3)

定理1.3 [4]

g(x)表示Ｗeierstrass函数W(x)的Riemann-Liouville分数阶积分， $0<\alpha ,v<1$ 且 $\alpha +v<1$，则存在足够大的λ使得下式成立

${\dim }_B\Gamma \left(g,I_E\right)=2-\alpha -v.$

而m(x)表示函数W(x)的Riemann-Liouville分数阶微分，其中 $0<u<\alpha <1$，则存在足够大的λ使得下式成立

${\dim }_B\Gamma \left(m,I_E\right)=2-\alpha +u.$

作者在 [4] 中对上述结果做的讨论中，Riemann-Liouville分数阶积分的阶v需要满足特定条件，即 $\alpha +v<1$ 且 $v>0$。作者并没有给出当 $\alpha +v=1$ 或者 $\alpha +v>1$ 时的结果。因此，我们很自然地会考虑 $\alpha +v=1$ 时，

${\dim }_B\Gamma \left(g,I_E\right)=1$

是否依然成立。当 $\alpha +v>1$ 时，结果又将如何？

本文主要研究当 $\alpha +v\ge \text{1}$ 时，Weierstrass函数W(x)的Riemann-Liouville分数阶积分的盒维数。

2. 定义及符号

为了便于讨论，我们在此给出盒维数的定义。

定义2.1 [5] [6]

令 $F\left(\ne \varnothing \right)$ 为 ${ℝ}^n$ 上的有界子集，N_δ(F)是直径最大为δ可以覆盖F的集的最少个数，则F的下盒维数定义如下

$\underset{\_}{{\dim }_B}\left(F\right)=\underset{\delta \to 0}{\underset{\_}{\lim }}\frac{\log N_{\delta }\left(F\right)}{-\log \delta }.$ (2.1)

对应地，F的上盒维数定义如下

$\overline{{\dim }_B}\left(F\right)=\overline{\underset{\delta \to 0}{\lim }}\frac{\log N_{\delta }\left(F\right)}{-\log \delta }.$ (2.2)

如果这两个值相等，则称这共同的值为F的计盒维数或盒维数，记为

${\dim }_B\left(F\right)=\underset{\delta \to 0}{\lim }\frac{\log N_{\delta }\left(F\right)}{-\log \delta }.$ (2.3)

由上述定义方式可知，一个闭区间上连续函数的盒维数未必存在，但是由(2.1)和(2.2)可知，其上盒维数和下盒维数是确定存在的。

令

${\dim }_B\Gamma \left(f,I_E\right)=\left\{\left(x,f\left(x\right)\right):x\in I_E\right\}$

表示f(x)在I_E上的图像。如此一来

$\overline{{\dim }_B}\left(f,I_E\right),\underset{\_}{{\dim }_B}\left(f,I_E\right),{\dim }_B\left(f,I_E\right)$

就可以分别表示f(x)在I_E上图像的上盒维数、下盒维数以及盒维数。用C表示与x取值无关的正常数，为了方便计算，即使在同一行，C也可能表示两个不相等的常数。

由定义2.1以及 [9]，我们可以得到如下基本性质，可以用来估计一个闭区间上连续函数的上盒维数、下盒维数以及盒维数。

性质2.2

令f(x)为一个连续函数，其定义域为闭区间[0, 1]，记作 $I_E$。对于任意f(x)，

$1\le \underset{\_}{{\dim }_B}\left(f,I_E\right)\le \overline{{\dim }_B}\left(f,I_E\right)\le 2.$

若f(x)在I_E上盒维数存在，则可得

$1\le {\dim }_B\left(f,I_E\right)\le 2.$

由性质2.2可知，任意一个闭区间I_E上的连续函数，总有上盒维数的自然上界2以及下盒维数的自然下界1。

3. 主要结论

在 [5] 中，通过例11.3，作者证明了Ｗeierstrass函数在I_E上满足α-阶Hölder条件。接下来，我们将给出满足α-阶Hölder条件的连续函数经阶为v的Riemann-Liouville分数阶积分后函数的盒维数( $\alpha +v\ge 1$ )。

f(x)为I_E上的连续函数，且 $0<\alpha <\text{1}$，若下面的不等式成立

$\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|\le C{\left|x-y\right|}^{\alpha },\forall x,y\in I_E,$

则称f(x)在I_E上满足α-阶Hölder条件。若存在一个正数δ₀使得

$\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|\le C{\left|x-y\right|}^{\alpha }$

对于任意 $x\in I_E$ 以及任意满足 $\left|x-y\right|\le {\delta }_0$ 的y成立，则称f(x)在I_E上满足局部α-阶Hölder条件。相比于I_E上的α-阶Hölder条件，连续函数在I_E上的局部α-阶Hölder条件更容易满足。

定理3.1

假设f(x)为在I_E上定义良好的连续函数，且存在 $0<\alpha <1$，使得函数f(x)满足α-阶Hölder条件。 $D^{-v}f\left(x\right)$ 的定义如第一部分所述，令 $v=1-\alpha$，则我们可以考虑 $v+\alpha =1$ 的结果。若 $f\left(0\right)=0$，则 $D^{-v}f\left(x\right)$ 为I_E上有界的连续函数且

${\dim }_B\Gamma \left(D^{-v}f,I_E\right)=1.$ (3.1)

证明 令 $v>0$ 且 $x\in I_E$，由(1.2)得

$D^{-v}f\left(x\right)=\frac{1}{\Gamma \left(v\right)}{\displaystyle {\int }_0^x{\left(x-t\right)}^{v-1}f\left(t\right)\text{d}t}.$

令 $\delta >0$ 且定义

$D_{\delta }^{-v}f\left(x\right)=\frac{1}{\Gamma \left(v\right)}{\displaystyle {\int }_0^x{\left(x+\delta -t\right)}^{v-1}f\left(t\right)\text{d}t}.$

因为

$\frac{\text{d}}{\text{d}x}{D}_{\delta }^{-v}f\left(x\right)=\frac{v-1}{\Gamma \left(v\right)}{\displaystyle {\int }_0^x{\left(x+\delta -t\right)}^{v-2}f\left(t\right)\text{d}t+\frac{1}{\Gamma \left(v\right)}f\left(x\right){\delta }^{v-1}},$

$D_{\delta }^{-v}f\left(x\right)$ 在I_E上可微，故

$\begin{array}{c}\left|D_{\delta }^{-v}f\left(x\right)-D^{-v}f\left(x\right)\right|=\left|\frac{1}{\Gamma \left(v\right)}{\displaystyle {\int }_0^{x}f\left(t\right){\left(x+\delta -t\right)}^{v-1}\text{d}t}-\frac{1}{\Gamma \left(v\right)}{\displaystyle {\int }_0^{x}f\left(t\right){\left(x-t\right)}^{v-1}\text{d}t}\right|\\ =\left|\frac{1}{\Gamma \left(v\right)}{\displaystyle {\int }_0^{x}f\left(t\right)\left[{\left(x+\delta -t\right)}^{v-1}-{\left(x-t\right)}^{v-1}\right]\text{d}t}\right|\\ \le C\left|{\displaystyle {\int }_0^x\left[{\left(x+\delta -t\right)}^{v-1}-{\left(x-t\right)}^{v-1}\right]\text{d}t}\right|\\ \le C\left[{\delta }^v+{\left(x+\delta \right)}^v-x^v\right]\\ \le C{\delta }^v.\end{array}$

令 $x,y\in I_E$ 且 $0<\alpha ,v<1$，故

$\begin{array}{c}\left|D^{-v}f\left(x\right)-D^{-v}f\left(y\right)\right|\le \left|D^{-v}f\left(x\right)-D_{\delta }^{-v}f\left(x\right)\right|+\left|D^{-v}f\left(y\right)-D_{\delta }^{-v}f\left(y\right)\right|+\left|D_{\delta }^{-v}f\left(x\right)-D_{\delta }^{-v}f\left(y\right)\right|\\ \le C{\delta }^v+\left|D_{\delta }^{-v}f\left(x\right)-D_{\delta }^{-v}f\left(y\right)\right|.\end{array}$

因为 $D_{\delta }^{-v}\left(x\right)$ 在I_E上可微，由微分中值定理可得，存在某个确定的 $\xi \in I_E$ 使得

$\left|D_{\delta }^{-v}f\left(x\right)-D_{\delta }^{-v}f\left(y\right)\right|\le \left|{\left(\frac{\text{d}}{\text{d}x}{D}_{\delta }^{-v}f\left(x\right)\right)|}_{x=\xi }\right|\cdot \left|x-y\right|.$

注意到

$\begin{array}{c}\Gamma \left(v\right)\frac{\text{d}}{\text{d}x}{D}_{\delta }^{-v}f\left(x\right)=\left(v-1\right){\displaystyle {\int }_0^{x}f\left(t\right){\left(x+\delta -t\right)}^{v-2}\text{d}t}+f\left(x\right){\delta }^{v-1}\\ =\left(v-1\right){\displaystyle {\int }_0^{x}f\left(t\right){\left(x+\delta -t\right)}^{v-2}\text{d}t}-\left(v-1\right){\displaystyle {\int }_0^{x}f\left(x\right){\left(x+\delta -t\right)}^{v-2}\text{d}t}+f\left(x\right){\left(x+\delta \right)}^{v-1}\\ =\left(v-1\right){\displaystyle {\int }_0^x\left[f\left(t\right)-f\left(x\right)\right]{\left(x+\delta -t\right)}^{v-2}\text{d}t}+\left[f\left(x\right)-f\left(0\right)\right]\cdot {\left(x+\delta \right)}^{v-1}.\end{array}$

因为f(x)满足α-阶Hölder条件，故

$\begin{array}{c}\frac{\Gamma \left(v\right)}{1-v}\left|\frac{\text{d}}{\text{d}x}{D}_{\delta }^{-v}f\left(x\right)\right|\le C{\displaystyle {\int }_0^x{\left(x-t\right)}^{\alpha }}{\left(x+\delta -t\right)}^{v-2}\text{d}t+Cx{}^{\alpha }\left(x+\delta \right){}^{v-1}\\ \le C{\displaystyle {\int }_0^x{\left(x+\delta -t\right)}^{\alpha +v-2}\text{d}t}+C{\left(x+\delta \right)}^{\alpha +v-1}\\ \le C{\delta }^{\alpha +v-1}+C{\left(x+\delta \right)}^{\alpha +v-1}\\ \le C{\delta }^{\alpha +v-1}.\end{array}$

因此

$\frac{\Gamma \left(v\right)}{1-v}\left|\frac{\text{d}}{\text{d}x}{D}_{\delta }^{-v}f\left(x\right)\right|\le C{\delta }^{\alpha +v-1},$

即

$\left|D^{-v}f\left(x\right)-D^{-v}f\left(y\right)\right|\le C{\delta }^v\cdot \left(1+{\delta }^{\alpha +v-1}\left|x-y\right|\right).$

所以

$\left|D^{-v}f\left(x\right)-D^{-v}f\left(y\right)\right|\le C{\delta }^v.$

取 $\delta ={\left|x-y\right|}^{\frac{1}{v}}$ 则

$\left|D^{-v}f\left(x\right)-D^{-v}f\left(y\right)\right|\le C\left|x-y\right|.$ (3.2)

由(3.2)可知， $D^{-v}f\left(x\right)$ 为I_E上一个满足Lipschitz条件的连续函数。任意满足Lipschitz条件的连续函数一定是有界变差函数。由 [10] 或 [11] 中的结论可得，有界变差连续函数的盒维数一定是1。故(3.1)得证。

由定理1.3以及定理3.1，我们可以得到如下结果。

注3.2

令f(x)为定义在I_E上的连续函数，且存在 $0<\alpha <1$，使其满足局部α-阶Hölder条件。同时，当 $v>0$ 且 $\alpha +v\ge 1$，令 $D^{-v}f\left(x\right)$ 定义为(1.2)所述。若 $f\left(0\right)=0$，同理可得， $D^{-v}f\left(x\right)$ 为I_E上的有界变差函数。因此可以得到如下结果

${\dim }_B\Gamma \left(D^{-v}f,I_E\right)=1.$

定理3.3

令W(x)为一个Weierstrass函数， $D^{-v}W\left(x\right)$ 表示W(x)的v阶Riemann-Liouville分数阶积分。再令 $0<\alpha ,v<1$，若 $\alpha +v<1$，对于足够大的λ，下式成立

${\dim }_B\left(D^{-v}W,I_E\right)=2-\alpha -v.$ (3.3)

若 $\alpha +v\ge 1$，对于足够大的λ，下式成立

${\dim }_B\left(D^{-v}W,I_E\right)=1.$ (3.4)

证明 (3.3)可由定理 1.3直接得到。由 [5] 中例11.3以及定理3.1可得(3.4)。

4. 图像

在这一部分，我们会给出几个图例，这些例子也说明了我们在上一部分得到的结果。

例4.1

令 $\lambda =\text{7}$， $\alpha =1/2$，我们可以得到

$W_{\alpha =\frac{1}{2},\lambda =7}\left(x\right)={\displaystyle \underset{j\ge 0}{\sum }{7}^{-\frac{1}{2}}\sin }\left(7^{j}x\right).$

为了方便讨论，上述函数记为G₀(x)。令G₁(x)、G₂(x)以及G₃(x)分别表示G₀(x)的1/3、1/2和2/3阶Riemann-Liouville 分数阶积分。由定理3.3可知：

${\dim }_B\Gamma \left(G_1\left(x\right),I_E\right)=\frac{7}{6},{\dim }_B\Gamma \left(G_2\left(x\right),I_E\right)=1,{\dim }_B\Gamma \left(G_3\left(x\right),I_E\right)=1$

为了更进一步地说明，下面我们将给出图例，图2~5分别表示G₀(x)、G₁(x)、G₂(x)以及G₃(x)。

与图2相比，我们可以发现图4中的G₂(x)的图像曲线更光滑。在图5中，曲线已没有尖点存在，因为G₃(x)是可微的，也就是说G₃(x)是一个有界变差函数。

Figure 2. G₀(x)

图2. G₀(x)

Figure 3. G₁(x)

图3. G₁(x)

Figure 4. G₂(x)

图4. G₂(x)

Figure 5. G₃(x)

图5. G₃(x)

5. 结论

在 [4] 中，作者在 $v<1-\alpha$ 的条件下给出了如下结论

${\dim }_B\Gamma \left(D^{-v}f,I_E\right)=2-v-\alpha$.

本文中，我们更完整地对I_E上Ｗeierstrass函数分形维数与Riemann-Liouville分数阶微积分的阶间的关系进行了研究，即当α + v不再小于1时，Ｗeierstrass函数的Riemann-Liouville分数阶积分被证明是Lipschitz 函数，故下式成立

${\dim }_B\Gamma \left(D^{-v}f,I_E\right)=1.$

事实上，关于Ｗeierstrass函数Riemann-Liouville分数阶积分性质的问题还值得进一步研究，例如当Riemann-Liouville分数阶积分的阶满足 $\alpha +v\ge 1$ 时，Weierstrass函数是否可微。

基金项目

感谢国家自然科学基金(批准号12071218)、江苏省自然科学基金(批准号12071218)资助的课题以及中央高校基础研究经费(批准号30917011340)的支持。