次线性框架下的随机Lotka-Volterra多种群互惠系统

Stochastic Cooperative Lotka-Volterra Systems under a Sublinear Expectation Framework

摘要: 众所周知，Lotka-Volterra系统描述了某个群落中n(n≥2)个种群的相互作用关系。本文主要讨论由G-布朗运动驱动的随机Lotka-Volterra多种群互惠系统。在次线性期望框架下，我们证明了系统正解的存在唯一性，另外，通过构造合适的Lyapunov函数，我们得到系统存在平稳分布，且具有遍历性。

Abstract: As we all know, the Lotka-Volterra system describes the interaction relationship between popula-tions in a community. This paper mainly discusses the stochastic cooperative Lotka-Volterra system driven by G-Brownian motion. Under the framework of sub-linear expectations, we prove the existence and uniqueness of the positive solution of the system. In addition, by constructing a suitable Lyapunov function, we obtain that the system has a stable distribution and ergodicity.

1. 引言

Lotka-Volterra系统 $\text{d}{x}_i=x_i\left(r_i+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_{ij}}{x}_j\right)\text{d}t,i=1,2,\cdots ,n$ 描述的是群落中 $n\left(n\ge 2\right)$ 个种群相互之间的作

用关系，其中 $x_i$ 表示第i个种群的密度， $r_i$ 表示第i个种群的内禀增长率， $a_{ij}$ 代表第j个种群对第i个种群的影响 [1]， $a_{ij}$ 和 $a_{ji}\left(i\ne j\right)$ 的正负性代表第i个种群和第j个种群的相互关系。本文主要讨论Lotka-Volterra多种群互惠系统。

Goh [2] 给出了两个种群情况下的互惠系统：

$\{\begin{array}{l}\text{d}{x}_1\left(t\right)=x_1\left(t\right)\left[r_1-a_{11}{x}_1\left(t\right)+a_{12}{x}_2\left(t\right)\right]\text{d}t,\hfill \\ \text{d}{x}_2\left(t\right)=x_2\left(t\right)\left[r_2+a_{21}{x}_1\left(t\right)-a_{22}{x}_2\left(t\right)\right]\text{d}t,\hfill \end{array}$

$r_i>0$， $a_{ij}\left(i,j=1,2\right)>0$。若 $r_i>0,a_{ij}>0\left(i,j=1,2\right)$ 且 $a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}>0$，那么

${\lim }_{t\to \infty }{x}_1\left(t\right)=x_1^{*},{\lim }_{t\to \infty }{x}_2\left(t\right)=x_2^{*},$

$x^{*}=\left(x_1^{*},x_2^{*}\right)$ 是系统的唯一正平衡点，

$x_1^{*}=\frac{r_1{a}_{22}+r_2{a}_{12}}{a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}}>0,x_2^{*}=\frac{r_2{a}_{11}+r_1{a}_{21}}{a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}}>0.$

下面我们在系统中引入白噪声。设 $r_i\to r_i+{\sigma }_i{\stackrel{\dot{}}{B}}_i\left(t\right)$， $B_i\left(t\right)$ 是初值为0的G-布朗运动， ${\sigma }_i^2,\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 是白噪声的强度。从而有：

$\text{d}{x}_i\left(t\right)=x_i\left(t\right)\left[\left(r_i+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_{ij}{x}_j}\right)\text{d}t+{\alpha }_i\text{d}{\langle B_i,B_i\rangle }_t+{\sigma }_i\text{d}{B}_i\left(t\right)\right],i=1,2,\cdots ,n$

2. 次线性期望和G-布朗运动

本章我们简要回顾了一些G-布朗运动的基本结果 [3] [4]。设 $\Omega \ne \varnothing$ 是给定的集合，向量格 $\mathcal{H}$ 是定义在 $\Omega$ 上的实值函数所组成的一个线性空间，同时有：每一个实值的常数c都在 $\mathcal{H}$ 中；如果 $X(\cdot )\in \mathcal{H}$，则也有。

定义2.1. 一个次线性期望 $\mathbb{E}$ 是定义在随机变量空间 $\mathcal{H}$ 上的满足以下性质的泛函：对于所有的随机变量 $X,Y\in \mathcal{H}$，有

1) 单调性：若 $X\ge Y,\mathbb{E}\left[X\right]\ge \mathbb{E}\left[Y\right]$；

2) 保常数性： $\mathbb{E}\left[c\right]=c,\forall c\in ℝ$；

3) 次线性： $\mathbb{E}\left[X+Y\right]\le \mathbb{E}\left[X\right]+\mathbb{E}\left[Y\right]$；

4) 正齐次性： $\mathbb{E}\left[\lambda X\right]=\lambda \mathbb{E}\left[X\right],\forall \lambda \ge 0$。

称三元组 $\left(\Omega ,\mathcal{H},\mathbb{E}\right)$ 为次线性期望空间。

令 $\Omega$ 表示所有满足 ${\omega }_0=0$ 的-实值连续轨道 ${\left({\omega }_t\right)}_{t\in {ℝ}^{+}}$ 所成的空间，定义其上的距离为：

$\rho \left({\omega }^1,{\omega }^2\right):={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{-i}\left[\left({\max }_{t\in \left[0,i\right]}\left|{\omega }_t^1-{\omega }_t^2\right|\right)\wedge 1]\right]},$

$\mathcal{B}\left(\Omega \right)$ 表示Ω上的Borel $\sigma$ -代数，令 $B_t\left(\omega \right):={\omega }_t$ 上的典则过程，对每一确定的 $T\in \left[0,\infty \right)$，令

$Lip\left({\Omega }_T\right):=\left\{\phi \left(B_{t_1\wedge T},\cdots ,B_{t_n\wedge T}\right):n\ge 1,t_1,\cdots ,t_n\in \left[0,\infty \right),\phi \in C_{b,Lip\left({ℝ}^{d\times n}\right)}\right\}$

且

$Lip\left(\Omega \right):={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\cup }}Lip}\left({\Omega }_n\right),$

其中 $C_{b,Lip\left({ℝ}^{d\times n}\right)}$ 是 ${ℝ}^{d\times n}$ 上所有有界的Lipschitz函数的集合，因此，在 $\left(\Omega ,Lip\left(\Omega \right)\right)$ 上，我们可以定义典则次线性期望 $\mathbb{E}$ 使得典则过程 $B_t$ 是G-布朗运动。这个次线性期望通常称为G-期望，记作 $\hat{\mathbb{E}}$。对每个 $p\ge 1$，我们令 $L_G^p\left({\Omega }_T\right)$ 表示 $Lip\left({\Omega }_T\right)$ 在范数 ${\Vert \cdot \Vert }_p={\left\{\hat{\mathbb{E}}\left[{|\cdot |}^p\right]\right\}}^{\frac{1}{p}}$ 下的完备。

定义2.2. (G-正态分布) 次线性期望空间 $\left(\Omega ,\mathcal{H},\hat{\mathbb{E}}\right)$ 上的d维随机向量 $X={\left(X_1,\cdots ,X_d\right)}^{\text{T}}$ 称作G-正态分布，如果对每个 $a,b\ge 0$，有

$aX+b\bar{X}\stackrel{d}{=}\sqrt{a^2+b^2}X$,

其中 $\bar{X}$ 是X的一个独立版本。

G- 正态分布的随机向量X满足下面的特性 [4]：

引理2.1. 令X为d维G-正态分布的随机向量，那么可以由 $u\left(t,x\right)=\hat{\mathbb{E}}\left[\varphi \left(x+\sqrt{t}X\right)\right],\varphi \in C_{b,Lip\left({ℝ}^d\right)}$ 刻画X的分布。

$u\left(t,x\right)$ 是G-热方程

$\{\begin{array}{l}{\partial }_{t}u-G\left(D^{2}u\right)=0,\hfill \\ u\left(0,x\right)=\phi \left(x\right),\hfill \end{array}$

定义在 $\left[0,\infty \right)\times {ℝ}^d$ 上的唯一黏性解，其中 $D^{2}u$ 是 $\mu$ 的Hessian矩阵，定义 $G:\mathbb{S}\left(d\right)\to {ℝ}^d$ 为：

$G\left(A\right):=\hat{\mathbb{E}}\left[\frac{1}{2}\langle AX,X\rangle \right],A\in \mathbb{S}\left(d\right),$

$\mathbb{S}\left(d\right)$ 是 $d\times d$ 对称矩阵空间。 $G\left(\alpha \right)=\frac{1}{2}\left({\bar{\sigma }}^2{\alpha }^{+}-{\underset{\_}{\sigma }}^2{\alpha }^{-}\right),\alpha \in ℝ$，其中， ${\bar{\sigma }}^2:=\hat{\mathbb{E}}\left[X^2\right],{\underset{\_}{\sigma }}^2:=-\hat{\mathbb{E}}\left[-X^2\right]$。

定义2.3. (G-布朗运动) 次线性期望空间 $\left(\Omega ,\mathcal{H},\hat{\mathbb{E}}\right)$ 上的d维过程 $B=\left\{B_t,t\ge 0\right\}$ 称为G-布朗运动，如果满足以下性质：

1) $B_0\left(\omega \right)=0$；

2) 对每个 $t,s\ge 0$，增量 $B_{t+s}-B_t$ 独立于 $\left(B_{t_1},B_{t_2},\cdots ,B_{t_n}\right)$， $n\in \mathbb{N}$ 且 $0\le t_1\le t_2\le \cdots \le t_n\le t$；

3) 对每个 $t,s\ge 0$， $B_s~B_{t+s}-B_t~\sqrt{s}X$，其中X是G-正态分布的。

对 $T\in \left[0,\infty \right)$，我们介绍下列空间： $L^0\left(\Omega \right)$ ：所有 $\mathcal{B}\left(\Omega \right)$ -可测实函数所成空间， $L^0\left({\Omega }_T\right)$ ：所有 $\mathcal{B}\left({\Omega }_t\right)$ -可测实函数所成空间。对给定的 $\left[0,T\right]$ 的分划 $0=t_0<\cdots <t_N=T$，令

${\eta }_t\left(\omega \right)={\displaystyle \underset{j=0}{\overset{N-1}{\sum }}{\xi }_j}\left(\omega \right)\left(t_{j+1}-t_j\right),$

其中， ${\xi }_j\in L_G^p\left({\Omega }_{t_j}\right),j=0,\cdots ,N-1$，我们将这类过程的集合记作 $M_G^{p,0}\left(0,T\right)$。

对 $\eta \in M_G^{p,0}\left(0,T\right)$，定义其Bochner积分和Itô积分如下：

${\displaystyle {\int }_0^T{\eta }_t}\left(\omega \right)\text{d}t={\displaystyle \underset{j=0}{\overset{N-1}{\sum }}{\xi }_j}\left(\omega \right)\left(t_{j+1}-t_j\right),$

及

${\displaystyle {\int }_0^T{\eta }_s}\text{d}{B}_s={\displaystyle \underset{j=0}{\overset{N-1}{\sum }}{\xi }_j}\left(B_{t_{j+1}}-B_{t_j}\right).$

对 $p\ge 1$， $M_G^p\left(0,T\right)$ 表示 $M_G^{p,0}\left(0,T\right)$ 在范数 ${\Vert \eta \Vert }_{M_G^p\left(0,T\right)}:={\left(\hat{\mathbb{E}}\left[{\displaystyle {\int }_0^T{\left|{\eta }_t\right|}^p\text{d}t}\right]\right)}^{\frac{1}{p}}$ 下的完备。

引理2.2. 映射 $I:=M_G^{2,0}\left(0,T\right)\to L_G^2\left({\Omega }_T\right)$ 是一个线性的连续映射.因此，可以连续地延拓至 $I:=M_G^2\left(0,T\right)\to L_G^2\left({\Omega }_T\right)$。有：

$\hat{\mathbb{E}}\left[{\displaystyle {\int }_0^T{\eta }_s}\text{d}{B}_s\right]=0,$

$\hat{\mathbb{E}}\left[{\left({\displaystyle {\int }_0^T{\eta }_s}\text{d}{B}_s\right)}^2\right]\le \hat{\mathbb{E}}\left[{\displaystyle {\int }_0^T{\eta }_s^2}\text{d}{\langle B\rangle }_s\right].$

引理2.3. 对 $\mu ,v=1,\cdots ,n$，令 $\varphi \in C^2\left({ℝ}^n\right)$， ${\partial }_{x^v}\Phi ,{\partial }_{x^{\mu }{x}^v}^2\Phi \in C_{b,Lip}\left({ℝ}^n\right)$，固定 $s\in \left[0,T\right]$， $X={\left(X^1,\cdots ,X^n\right)}^{\text{T}}$ 是 $\left[s,T\right]$ 上的n维过程，且具有以下形式：

$X_t^v=X_s^v+{\alpha }^v\left(t-s\right)+{\eta }^{vij}\left({\langle B^i,B^j\rangle }_t-{\langle B^i,B^j\rangle }_s\right)+{\beta }^{vj}\left(B_t^j-B_s^j\right),$

其中，对 $v=1,\cdots ,n$， $i,j=1,\cdots ,d$， ${\alpha }^v,{\eta }^{vij}$ 和 ${\beta }^{vj}$ 在 $L_G^2\left({\Omega }_s\right)$ 中有界， $X_s={\left(X_s^1,\cdots ,X_s^n\right)}^{\text{T}}$ 是 $L_G^2\left({\Omega }_s\right)$ 中给定的随机向量，在 $L_G^2\left({\Omega }_s\right)$ 中，我们有：

$\begin{array}{c}\varphi \left(X_t\right)-\varphi \left(X_s\right)={\displaystyle {\int }_s^t{\partial }_{x^v}}\varphi \left(X_{\mu }\right){\beta }^{vj}\text{d}{B}_{\mu }^j+{\displaystyle {\int }_s^t{\partial }_{x^v}}\varphi \left(X_{\mu }\right){\alpha }^v\text{d}u\\ +{{\displaystyle \int }}_s^t\left[{\partial }_x^v\varphi \left(X_{\mu }\right){\eta }^{vij}+\frac{1}{2}{\partial }_{x^{\mu }{x}^v}\varphi \left(X_{\mu }\right){\beta }^{\mu i}{\beta }^{vj}\right]\text{d}{\langle B^i,B^j\rangle }_{\mu }.\end{array}$

通过Denis等人的方法 [5]，我们可以将G-期望的域从 $Lip\left(\Omega \right)$ 扩展到 $L^0\left(\Omega \right)$。

用 $\bar{\mathbb{E}}$ 表示：

$\bar{\mathbb{E}}\left[X\right]:={\sup }_{P\in {\mathcal{P}}_G}{\mathbb{E}}^P\left[X\right],X\in L^0\left(\Omega \right).$

其中， ${\mathcal{P}}_{\mathcal{G}}$ 是 $\left(\Omega ,\mathcal{B}\left(\Omega \right)\right)$ 上鞅测度的弱紧集。

3. 系统的存在性

3.1. 系统正解的存在性

对于Lotka-Volterra多种群互惠系统(1)：

$\text{d}{x}_i\left(t\right)=x_i\left(t\right)\left[\left(r_i-a_{ii}{x}_i\left(t\right)+{\displaystyle \underset{j\in J_i}{\sum }{a}_{ij}}{x}_j\left(t\right)\right)\text{d}t+{\alpha }_i\text{d}{\langle B_i,B_i\rangle }_t+{\sigma }_i\text{d}{B}_i\left(t\right)\right],i=1,2,\cdots ,n$

设

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right):={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n},$

$\bar{A}=\left(\begin{array}{cccc}-a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& -a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & -a_{nn}\end{array}\right):={\left({\bar{a}}_{ij}\right)}_{n\times n},$

$x\left(t\right)=\left(x_1\left(t\right),x_2\left(t\right),\cdots ,x_n\left(t\right)\right).$

条件1 矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}$ 是不可约的，且 $r_i>0,a_{ij}\ge 0$， ${\gamma }_i:=a_{ii}-{\displaystyle \underset{j\in J_i}{\sum }{a}_{ij}}>0,i,j=1,2,\cdots ,n$。

定理3.1. 若条件1成立，则对任意初值 $x\left(0\right)=x_0\in {ℝ}_{+}^n$，系统(1)存在唯一的正解 $x\left(t\right)$，且该解以概率1位于 ${ℝ}_{+}^n$ 中，即对所有的 $t\ge 0,x\left(t\right)\in {ℝ}_{+}^n$ q.s.。

证明 由于系统(1)的系数满足局部Lipschitz条件，那么对 $x\left(0\right)=x_0\in {ℝ}_{+}^n$，存在唯一的局部解 $x\left(t\right)>0,t\in \left[0,{\tau }_e\right)$，其中 ${\tau }_e$ 表示爆破时刻(可参见Arnold [6]、Freedman [7]、Mao [8] )。证明该解是全局存

在的，只需证明 ${\tau }_e=\infty$ q.s.设 $0<k_0<1$ 满足 $x_0\in \left[\frac{1}{k_0},k_0\right]$。对每一个整数 $k\ge k_0$，定义停时：

${\tau }_k=\inf \left\{t\in \left[0,{\tau }_e\right):x\left(t\right)\notin \left(\frac{1}{k},k\right)\right\},$

此处及后面总假设 $\inf \varnothing =\infty$。显然，随着 $k\to \infty$， ${\tau }_k$ 是递增的。令 ${\tau }_{\infty }=\underset{k\to \infty }{\lim }{\tau }_k$，则 ${\tau }_{\infty }\le {\tau }_e$ q.s.因此要证 ${\tau }_e=\infty$ q.s.，只需证明 ${\tau }_{\infty }=\infty$ q.s.，并且此时显然满足 $x\left(t\right)>0,t\ge 0$ q.s.。换而言之，完成该定理的证明只需证明 ${\tau }_{\infty }=\infty$ q.s.。如若不然，存在常数 $T>0$ 和 $\epsilon \in \left(0,1\right)$ 使得 $\bar{C}\left\{{\tau }_{\infty }\le T\right\}>\epsilon$。从而存在整数 $k_1\ge k_0$ 满足 $\bar{C}\left\{{\tau }_k\le T\right\}\ge \epsilon$，对所有的 $k\ge k_1$。

定义 $C^2$ 函数 $V:{ℝ}_{+}\to {ℝ}_{+}$ ： $V\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_i}\left(x_i-1-\log x_i\right)$，其中 $c_i$ 表示 $L_A$ 的第i个对角元的余子式(见引理A.1.)。由附录A中引理A.1.的结论可知 $c_i>0\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$，则函数 $V\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 是正定的。由Itô公式可得

$\begin{array}{c}\text{d}V={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_i}\left(x_i-1\right)\left(r_i-a_{ii}{x}_i+{\displaystyle \underset{j\in J_i}{\sum }{a}_{ij}}{x}_j\right)\text{d}t+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_i}{\sigma }_i\left(x_i-1\right)\text{d}{B}_i\left(t\right)\\ +\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_i}{\alpha }_i\left(x_i-1\right)+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{c_i}{2}{\sigma }_i^2}\right]\text{d}{\langle B_i,B_i\rangle }_t\\ :=LV\text{d}t+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_i}{\sigma }_i\left(x_i-1\right)\text{d}{B}_i\left(t\right)+\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_i}{\alpha }_i\left(x_i-1\right)+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{c_i}{2}{\sigma }_i^2}\right]\text{d}{\langle B_i,B_i\rangle }_t\end{array}$

其中

$\begin{array}{c}LV={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_i}\left(x_i-1\right)\left(r_i-a_{ii}{x}_i+{\displaystyle \underset{j\in J_i}{\sum }{a}_{ij}}{x}_j\right)\\ ={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_i}\left[\left(r_i+a_{ii}\right)x_i-{\displaystyle \underset{j\in J_i}{\sum }{a}_{ij}}{x}_j-a_{ii}{x}_i^2+{\displaystyle \underset{j\in J_i}{\sum }{a}_{ij}}{x}_i{x}_j-r_i\right]\\ \le {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_i}\left[\left(r_i+a_{ii}\right)x_i-{\displaystyle \underset{j\in J_i}{\sum }{a}_{ij}}{x}_j-a_{ii}{x}_i^2+\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{j\in J_i}{\sum }{a}_{ij}}\left(x_i^2+x_j^2\right)-r_i\right].\end{array}$

由于矩阵A不可约，由附录A中引理A.3。

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_i}}{a}_{ij}{x}_j^2={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_i}}{a}_{ij}{x}_i^2,$

从而

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{j\in J_i}{\overset{}{\sum }}{c}_i}}{a}_{ij}{x}_j^2={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{j\in J_i}{\overset{}{\sum }}{c}_i}}{a}_{ij}{x}_i^2.$

可得

$\begin{array}{c}LV\le {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_i}\left[\left(r_i+a_{ii}\right)x_i-{\displaystyle \underset{j\in J_i}{\sum }{a}_{ij}}{x}_j-a_{ii}{x}_i^2+{\displaystyle \underset{j\in J_i}{\sum }{a}_{ij}}{x}_i^2-r_i\right]\\ ={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_i}\left[\left(r_i+a_{ii}\right)x_i-{\displaystyle \underset{j\in J_i}{\sum }{a}_{ij}}{x}_j-{\gamma }_i{x}_i^2-r_i\right]\\ \le K,\end{array}$

这里K是正常数。

从而

${\displaystyle {\int }_0^{{\tau }_k\wedge T}\text{d}}V\le {\displaystyle {\int }_0^{{\tau }_k\wedge T}K}\text{d}t+{\displaystyle {\int }_0^{{\tau }_k\wedge T}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_i}}\left[{\alpha }_i\left(x_i-1\right)+\frac{{\sigma }_i^2}{2}\right]\text{d}{\langle B_i,B_i\rangle }_t+{\displaystyle {\int }_0^{{\tau }_k\wedge T}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_i}}{\sigma }_i\left(x_i-1\right)\text{d}{B}_i\left(t\right).$

取G-期望可得

$\begin{array}{l}\hat{E}V\left[x_1\left({\tau }_k\wedge T\right),x_2\left({\tau }_k\wedge T\right),\cdots ,x_n\left({\tau }_k\wedge T\right)\right]\\ \le V\left[x_1\left(0\right),x_2\left(0\right),\cdots ,x_n\left(0\right)\right]+K\hat{E}\left({\tau }_k\wedge T\right)+\hat{E}\left[{\displaystyle {\int }_0^{{\tau }_k\wedge T}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_i}}\left[{\alpha }_i\left(x_i-1\right)+\frac{{\sigma }_i^2}{2}\right]\text{d}{\langle B_i,B_i\rangle }_t\right]\\ \le V\left[x_1\left(0\right),x_2\left(0\right),\cdots ,x_n\left(0\right)\right]+KT+\hat{E}\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{c_i}{2}{\sigma }_i^2}{\langle B_i,B_i\rangle }_T\right)+\hat{E}\left({\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_i}}{\alpha }_i\left|x_i-1\right|I_{{\tau }_k}\text{d}{\langle B_i,B_i\rangle }_t\right)\\ =V\left[x_1\left(0\right),x_2\left(0\right),\cdots ,x_n\left(0\right)\right]+KT+{\bar{\sigma }}^2\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{c_i}{2}{\sigma }_i^2}\right)T+{\bar{\sigma }}^2\hat{E}\left({\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_i}}{\alpha }_i\left|x_i-1\right|I_{{\tau }_e}\text{d}s\right)\\ :=C+\bar{K}T.\end{array}$

其中

$C=V\left[x_1\left(0\right),x_2\left(0\right),\cdots ,x_n\left(0\right)\right]+{\bar{\sigma }}^2\hat{E}\left({\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_i}}{\alpha }_i\left|x_i-1\right|I_{{\tau }_e}\text{d}s\right),$

$\bar{K}=K+{\bar{\sigma }}^2\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{c_i}{2}{\sigma }_i^2}\right).$

对 $k\ge k_1$，令 ${\Omega }_k=\left\{{\tau }_k\le T\right\}$，可得 $\bar{C}\left({\Omega }_k\right)\ge \epsilon$。注意到对每个 $\omega \in {\Omega }_k$， $x_1\left({\tau }_k,\omega \right),x_2\left({\tau }_k,\omega \right),\cdots ,x_n\left({\tau }_k,\omega \right)=k$ 或者 $\frac{1}{k}$。

于是， $V\left[x_1\left({\tau }_k,\omega \right),x_2\left({\tau }_k,\omega \right),\cdots ,x_n\left({\tau }_k,\omega \right)\right]$ 不小于 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_i}\left(k-1-\log k\right)$ 或者 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_i}\left(\frac{1}{k}-1+\log k\right)$。

即

$\begin{array}{c}C+\bar{K}T\ge \hat{E}\left[I_{{\Omega }_k}V\left(x_1\left({\tau }_k\right),x_2\left({\tau }_k\right),\cdots ,x_n\left({\tau }_k\right)\right)\right]\\ =\underset{P\in \mathcal{P}}{\sup }{E}^P\left[I_{{\Omega }_k}V(x_1\left({\tau }_k\right),x_2\left({\tau }_k\right),\cdots ,x_n\left({\tau }_k\right)\right]\\ \ge \epsilon \left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_i}\left(k-1-\log k\right)\right]\wedge \left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_i}\left(\frac{1}{k}-1+\log k\right)\right],\end{array}$

其中 $I_{{\Omega }_k}$ 表示集合 ${\Omega }_k$ 的示性函数。令 $k\to \infty$，得

$\infty >C+\bar{K}T=\infty ,$

矛盾。因此必有 ${\tau }_{\infty }=\infty$ q.s.定理得证。

3.2. 系统(1)存在平稳分布且具有遍历性

设非其次线性方程

$\bar{A}x=-r$ (2)

其中 $\bar{A}$ 如前所定义， $x={\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)}^{\text{T}},r={\left(r_1,r_2,\cdots ,r_n\right)}^{\text{T}}$。定义矩阵

$B_n=\left(\begin{array}{cccc}-b_1& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ -b_2& -a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ -b_n& a_{n2}& \cdots & -a_{nn}\end{array}\right),$

其中 $b_i,i=1,2,\cdots ,n$ 是正常数。

引理3.1. 若 $b_i>0,i=1,2,\cdots ,n$ 且条件1成立，有

${\left(-1\right)}^n\det \left(B_n\right)>0,n\ge 2.$

引理3.2. 若条件1 满足，那么方程(2)存在正解。

$X\left(t\right)$ 是 $E_l$ 中一自治Markov过程，那么它可表示以下随机微分方程的解：

$\text{d}X\left(t\right)=b\left(X\right)\text{d}t+{\displaystyle \underset{r=1}{\overset{k}{\sum }}{g}_r}\left(X\right)\text{d}{B}_r\left(t\right).$

方程的扩散阵：

$\Lambda \left(x\right)=\left({\lambda }_{ij}\left(x\right)\right),{\lambda }_{ij}\left(x\right)={\displaystyle \underset{r=1}{\overset{k}{\sum }}{g}_r^i}\left(x\right)g_r^j\left(x\right).$

假设B：存在具有正则边界 $\Gamma$ 的有界区域 $U\subset E_l$ 满足：

(B.1.) 在U和它的一些邻域，扩散阵 $\Lambda \left(x\right)$ 的最小特征值是非零的。

(B.2.) 当 $x\in E_l\backslash U$ 时，从x出发的轨道到达集合U的平均时间 $\tau$ 是有限的，且对每个紧子集 $K\subset E_l$ 有 $\underset{x\in K}{\sup }{E}_x\tau <\infty$。

引理3.3. 如果上述假设成立，那么Markov过程 $X\left(t\right)$ 存在平稳分布 $\mu (\cdot )$。令 $f(\cdot )$ 为关于测度 $\mu$ 可积的函数。则对所有的 $K\subset E_l$ 成立

$P_x\left\{{\lim }_{T\to \infty }\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^{T}f}\left(X\left(t\right)\right)\text{d}t={\displaystyle {\int }_{E_l}f}\left(x\right)\mu \left(\text{d}x\right)\right\}=1.$

引理3.4. 设 $X\left(t\right)$ 为 $E_l$ 中的正则Markov过程。若 $X\left(t\right)$ 相对于某个有界区域U是常返的，则它相对于 $E_l$ 中的任一非空区域是常返的。

注记3.1. 定理3.1.给出了系统(1)存在唯一的正解 $x\left(t\right)$。另外，由定理3.1.的证明得到了 $LV\le K$，现定义 $\tilde{V}=V+K$，则 $L\tilde{V}\le \tilde{V}$，且显然有

${\tilde{V}}_R={\inf }_{x\in {ℝ}_{+}^n\backslash D_K}\tilde{V}\left(x\right)\to \infty$, 当 $k\to \infty$,

其中 $D_k=\left(\frac{1}{k},k\right)\times \left(\frac{1}{k},k\right)\times \cdots \times \left(\frac{1}{k},k\right)$。因此由Khas’minskii [9] 给出 $x\left(t\right)$ 是 ${ℝ}_{+}^n$ 中的自治Markov过程。

定理3.2. 假设条件1成立，且 $r_i>\frac{{\sigma }_i^2}{2},{\sigma }_i>0,i,j=1,2,\cdots ,n$ 满足

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{c_i{x}_i^{*}}{2}{\sigma }_i^2}<\min \left\{c_i{\gamma }_i{\left(x_i^{*}\right)}^2,i=1,2,\cdots ,n\right\},$

其中 $c_i$ 如定理3.1.证明中所定义， $x^{*}=\left(x_1^{*},x_2^{*},\cdots ,x_n^{*}\right)$ 是方程(2)的正解，则系统(1)存在平稳分布 $\mu (\cdot )$ 且具有遍历性。

证明 定义 $V:R_{+}^n\to R_{+}$

$V\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_i}\left(x_i-x_i^{*}-x_i^{*}\log \frac{x_i}{x_i^{*}}\right).$

由于矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}$ 是不可约的，则由引理A.1.可知 $c_i>0,i=1,2,\cdots ,n$。此外由引理3.2.可知方程(2)存在正解 $x^{*}=\left(x_1^{*},x_2^{*},\cdots ,x_n^{*}\right)$ 满足

$r_i=a_{ii}{x}_i^{*}-{\displaystyle \underset{j\in J_i}{\sum }{a}_{ij}}{x}_j^{*},i=1,2,\cdots ,n.$

于是 $V\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 是正定的。由Itô公式并结合上式可得

$\begin{array}{c}\text{d}V={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_i}\left(x_i-x_i^{*}\right)\left[\left(r_i-a_{ii}{x}_i+{\displaystyle \underset{j\in J_i}{\sum }{a}_{ij}}{x}_j\right)\text{d}t+{\sigma }_i\text{d}{B}_i\left(t\right)\right]\\ +\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{c_i}{2}{x}_i^{*}{\sigma }_i^2}+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_i}{\alpha }_i\left(x_i-x_i^{*}\right)\right]\text{d}{\langle B_i,B_i\rangle }_t\\ ={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_i}\left(x_i-x_i^{*}\right)\left[\left({\displaystyle \underset{j\in J_i}{\sum }{a}_{ij}}\left(x_j-x_j^{*}\right)-a_{ii}\left(x_i-x_i^{*}\right)\right)\text{d}t+{\sigma }_i\text{d}{B}_i\left(t\right)\right]\\ +\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{c_i}{2}{x}_i^{*}{\sigma }_i^2}+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_i}{\alpha }_i\left(x_i-x_i^{*}\right)\right]\text{d}{\langle B_i,B_i\rangle }_t\\ :=LV\text{d}t+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_i}{\sigma }_i\left(x_i-x_i^{*}\right)\text{d}{B}_i\left(t\right)+\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{c_i}{2}{x}_i^{*}{\sigma }_i^2}+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_i}{\alpha }_i\left(x_i-x_i^{*}\right)\right]\text{d}{\langle B_i,B_i\rangle }_t,\end{array}$

其中，

$\begin{array}{c}LV=-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_i}{a}_{ii}\left(x_i-x_i^{*}\right)+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{j\in J_i}{\sum }{c}_i}}{a}_{ij}\left(x_i-x_i^{*}\right)\left(x_j-x_j^{*}\right)\\ \le -{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_i}{a}_{ii}{\left(x_i-x_i^{*}\right)}^2+\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{j\in J_i}{\sum }{c}_i}}{a}_{ij}\left[{\left(x_i-x_i^{*}\right)}^2+{\left(x_j-x_j^{*}\right)}^2\right]\\ \le -{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_i}{a}_{ii}{\left(x_i-x_i^{*}\right)}^2+\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{j\in J_i}{\sum }{c}_i}}{a}_{ij}\left[{\left(x_i-x_i^{*}\right)}^2+{\left(x_j-x_j^{*}\right)}^2\right]+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{c_i}{2}{x}_i^{*}{\sigma }_i^2}\\ =-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_i}{a}_{ii}{\left(x_i-x_i^{*}\right)}^2+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{j\in J_i}{\sum }{c}_i}}{a}_{ij}{\left(x_i-x_i^{*}\right)}^2+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{c_i}{2}{x}_i^{*}{\sigma }_i^2}\\ =-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_i}{\gamma }_i{\left(x_i-x_i^{*}\right)}^2+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{c_i}{2}{x}_i^{*}{\sigma }_i^2}\end{array}$

由于

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{c_i{x}_i^{*}}{2}{\sigma }_i^2}<\min \left\{c_i{\gamma }_i{\left(x_i^{*}\right)}^2,i=1,2,\cdots ,n\right\},$

则椭圆

$-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_i}{\gamma }_i{\left(x_i-x_i^{*}\right)}^2+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{c_i}{2}{x}_i^{*}{\sigma }_i^2}=0$

全部落于 ${ℝ}_{+}^n$ 中。选取U是包含 $\bar{U}\subseteq {ℝ}_{+}^n$ 的一个邻域，使得当 $x\in {ℝ}_{+}^n\backslash U$，有 $LV\le -C$ (C为正常数)，这表明假设B中的条件(B.2.)满足。因此解 $x\left(t\right)$ 在区域U是常返的，结合引理3.4.和注记3.1.可知 $x\left(t\right)$ 在 ${ℝ}_{+}^n$ 中的任意有界区域D是常返的。

另一方面，对任意的 $D\subseteq {ℝ}_{+}^n$，设

$M=\min \left\{{\sigma }_i^2{x}_i^2,i=1,2,\cdots ,n,x\in \bar{D}\right\}>0,$

那么对 $x\in \bar{D},\xi \in {ℝ}_{+}^n$，有

${\displaystyle \underset{i,j=1}{\overset{n}{\sum }}{\lambda }_{ij}}{\xi }_i{\xi }_j={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\sigma }_i^2}{x}_i^2{\xi }_i^2\ge M{\left|\xi \right|}^2,$

所以条件(B.1.)也满足。由此系统(1)存在平稳分布 $\mu (\cdot )$ 且具有遍历性。

附录A

在本节中，我们介绍上面证明中使用的一些图论知识。

一有向图 $\mathcal{G}=\left(V,E\right)$ 包含定点集 $V=\left\{1,2,\cdots ,n\right\}$ 和一个有向线 $\left(k,j\right)$ (表示从k到终点j)的集合E。若对有向线 $\left(j,k\right)$ 赋予一正的值 $a_{kj}$，则图 $\mathcal{G}$ 是有权重的。给定一个具有n个顶点的权重图 $\left(\mathcal{G},A\right)$，其中

$A={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}$ 表示权重矩阵，若 $a_{kj}$ 存在则表示有向线 $\left(j,k\right)$ 的权重，否则为0。称有向图 $\mathcal{G}$ 是强相关的，若

任意两个不同顶点之间存在从这一点到另一点的路。一个权重的有向图 $\left(\mathcal{G},A\right)$ 是强相关的当且仅当权重矩阵A是不可约的。

$\left(\mathcal{G},A\right)$ 的Laplacian矩阵定义如下

$L_A=\left(\begin{array}{cccc}{\displaystyle \underset{k\ne 1}{\sum }{a}_{1k}}& -a_{12}& \cdots & -a_{1n}\\ -a_{21}& {\displaystyle \underset{k\ne 2}{\sum }{a}_{2k}}& \cdots & -a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ -a_{n1}& -a_{n2}& \cdots & {\displaystyle \underset{k\ne n}{\sum }{a}_{nk}}\end{array}\right).$

设 $c_k$ 表示矩阵 $L_A$ 的第k个对角元的余子式，则其具有如下性质。

引理A.1. 设 $n\ge 2$，那么

$c_k={\displaystyle \underset{\mathcal{T}\in {\mathbb{T}}_k}{\sum }w}\left(\mathcal{T}\right),k=1,2,\cdots ,n$

其中， ${\mathbb{T}}_k$ 是 $\left(\mathcal{G},A\right)$ 以顶点k为根的生成树 $\mathcal{T}$ 的集合，并且 $w\left(\mathcal{T}\right)$ 是 $\mathcal{T}$ 的权重。特别地，若有向图 $\left(\mathcal{G},A\right)$ 是强相关的，则对 $1\le k\le n$， $c_k>0$。

引理A.2. 设 $n\ge 2$ 且矩阵A是不可约的，则线性系统 $L_{A}v=0$ 的解空间的维度为1，且 $\left(c_1,c_2,\cdots ,c_n\right)$ 是解空间的基础解，其中， $c_k,k=1,2,\cdots ,n$ 如引理A.1.中所定义。

引理A.3. 设 $n\ge 2$ 且 $c_k,k=1,2,\cdots ,n$ 如引理A.1.中所定义，则如下等式成立

${\displaystyle \underset{k,j=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_k}{a}_{kj}{G}_k\left(x_k\right)={\displaystyle \underset{k,j=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_k}{a}_{kj}{G}_j\left(x_j\right),$

其中 $G_k\left(x_k\right),1\le k\le n$ 是任意函数。